1、一、延續函數的運算法那么一、延續函數的運算法那么 第九節二、初等函數的延續性二、初等函數的延續性 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 延續函數的運算與初等函數的延續性 第一章 定理定理2. 延續單調遞增延續單調遞增 函數的反函數函數的反函數xx cot,tan在其定義域內延續一、延續函數的運算法那一、延續函數的運算法那么么定理定理1. 在某點延續的有限個函數經有限次和在某點延續的有限個函數經有限次和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四那么運算法那么證明)連續xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點延續的函數 .例如例如,例如例如,xysin在,22上延續單調遞增，

2、其反函數xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也延續單調遞增.遞增(遞減)也延續單調機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理3. 延續函數的復合函數是延續的延續函數的復合函數是延續的.xey 在),(上延續 單調 遞增,其反函數xyln在),0(上也延續單調遞增.證證: 設函數設函數)(xu,0連續在點 x.)(00ux,)(0連續在點函數uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數)(xf.0連續在點 x又如又如, 且即機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例如例如,xy1sin是由延續函數鏈),

3、(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上延續 .復合而成 ,xyoxy1sin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1 . 設)()(xgxf與均在,ba上延續, 證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上延續.證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據延續函數運算法那么 , 可知)(, )(xx也在,ba上延續 .)(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、初等函數的延續性二、初等函數的延續性根本初等函數在定義區間內延續延續函數經四那么運算仍延續延續函數的復合函數延續一切初等函數

4、在定義區間內延續例如例如,21xy的延續區間為1, 1(端點為單側延續)xysinln的延續區間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無延續點而機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln闡明闡明: 當當, ea 時, 有0 x)1ln(x1xexx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx

5、解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e闡明闡明: 假假設設,0)(lim0 xuxx那么有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x21,41,)(xxxxx例例5. 設設,1,21,)(2xxxxxf解解:討論復合函數)(xf的延續性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時延續; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類延續點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點 x = 1 不延續 , 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 內容小結內容小結根本初等函數在定義區間內延續延續函數的四那么運算的結果延續延續函數的反函數延續延續函數的復合函數延續初等函數在定義區間內延續闡明闡明: 分段函數在界點處能否延續需討論其分段函數在界點處能否延續需討論其 左、右延續性左、右延續性.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習思索與練習,)(0連續在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續? 反例, 1,1)(xf x 為有理數 x 為無理數)(xf處處延續,)(, )(2xfxf處處