1、1第五章第五章 矩陣的對(duì)角化問(wèn)題矩陣的對(duì)角化問(wèn)題一一. 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量二二. 相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)三三. 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件四四. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化2一一. 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量1. 特征值與特征向量的定義特征值與特征向量的定義定義定義1:注：注：設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣，An若數(shù)若數(shù) 和和 維非零列向量維非零列向量 ，使得，使得 nx Axx 成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) 是方陣是方陣 的一個(gè)的一個(gè)特征值，特征值， A為方陣為方陣 的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值 的一個(gè)的一個(gè)特征向量。特征向量。x

2、A (1) A是方陣是方陣1.定義定義2.求法求法3.性質(zhì)性質(zhì)（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量x（4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（3）方陣）方陣 的與特征值的與特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一A 32. 特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法Axx 0AE x 或或 0EA x 已知已知0,x 所以齊次線性方程組有非零解所以齊次線性方程組有非零解0AE 或或0EA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 定義定義2： ,n nijn nAa 數(shù)數(shù) 是關(guān)于是關(guān)于 的一個(gè)多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣的一個(gè)多項(xiàng)式，稱(chēng)

3、為矩陣 的的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式。 A4 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣 的的特征方程。特征方程。A求特征值、特征向量：求特征值、特征向量：(1) 0AE 求出求出 即為特征值即為特征值; (2) Axx 0AE x 把得到的特征值把得到的特征值 代入上代入上 式，式， 求齊次線性方程組求齊次線性方程組的非零解的非零解 0AE x x即為所求特征向量。即為所求特征向量。5解：解：第一步：寫(xiě)出矩陣第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例1： 求矩陣求矩陣的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102

4、A AE 1104300102 2210特征值為特征值為1232,1第二步：對(duì)每個(gè)特征值第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 0,AE x 求非零解。求非零解。6齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12 20AE x系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 3102410100AE 100010000自由未知量自由未知量:3x120 xx令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:31x 1001p 111(0k p k常數(shù)常數(shù))是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于12 的全部特征向量。的全部特征向量。7齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，231 0AE x 210420101AE 10101200013232x

5、xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2121p 222(0k p k常數(shù)常數(shù))是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于231的全部特征向量。的全部特征向量。書(shū)書(shū)P130. 例例4. 例例583. 特征值和特征向量的性質(zhì)特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1： 若若 的特征值是的特征值是 ， 是是 的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則的特征向量，則A xA (1) kA的特征值是的特征值是. (kk 是任意常數(shù)是任意常數(shù))(2) mA的特征值是的特征值是. (mm 是正整數(shù)是正整數(shù))(3) A若若 可逆，則可逆，則 的特征值是的特征值是1A 1. A 的特征值是的特征值是1.A 1,mkA AAA且且 仍然是矩陣仍然是矩陣 x分別對(duì)應(yīng)于

6、分別對(duì)應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。11 , ,A mk (4) ( )f x為為x的多項(xiàng)式，則的多項(xiàng)式，則 的特征值為的特征值為 ( )f x( ).f 9性質(zhì)性質(zhì)2： 矩陣矩陣 和和 的特征值相同。的特征值相同。TAA定理定理2：設(shè)設(shè) 階方陣階方陣 的的 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 n ijAa n12,n 則則12n11221 1) ( )ninniiatraaAa 稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣A的的跡。跡。（主對(duì)角元素之和）（主對(duì)角元素之和）112n2) niiA 10例例2 ： 例例3：設(shè)：設(shè)解解： （1）設(shè)設(shè) 為矩陣為矩陣 的特征值，求的特征值，求 的特征值；的特征值； A22AAE若若 可逆，求可

7、逆，求 的特征值。的特征值。A *1,AEA 111222111A 求：求： （1） 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。A（2）求可逆矩陣）求可逆矩陣 ，使得，使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。1PAP P1112220111AE 11 022 111222111 000000111 A321xxx ,021時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0Ax 自由未知量自由未知量:32, xx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12110,110pp 全全部部特特征征向向量量的的是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的常常數(shù)數(shù)不不同同時(shí)時(shí)為為0)0 ,(21212211 kkpkpk 2 , 0321 得得12 000210111111202113自由未知量自由未

8、知量:3x 000210101 32312 xxxx的的全全部部特特征征向向量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于，常常數(shù)數(shù)0)0 (3333 kpk得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3121p 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)23 (2)0AE x13 321 111222333(2) ,.App AppApp 123123A pppApApAp 112233ppp 112323ppp 取取 123Pppp 111012101 002 1420P APP1P 存在存在11PAPP P 本題啟示本題啟示: 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：矩陣矩陣 是否唯一？矩陣是否唯一？矩陣 是否唯一？是否唯一？P 2. 提供了一種求提供了一種求 的方法的方法.kA1PAP 其中其中

9、 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。 1. 通過(guò)求通過(guò)求A的特征值的特征值,特征向量特征向量,有可能把有可能把A寫(xiě)成寫(xiě)成15. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpx 定理定理3：設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 的的 個(gè)特征值，個(gè)特征值，12,m Am12,mppp依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。如果如果 各不相等，各不相等，12,m 12,mppp則則 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。書(shū)書(shū)p138 定理定理5.3.2即，即，方陣方陣 的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。A證明：證明：設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) 使得使得12,mx xx16類(lèi)推之，有類(lèi)推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為Vandermonde行列式，行列式， 當(dāng)當(dāng) 各不相同時(shí)，該行列式的值不等于零，所以存在逆矩陣。各不相同