1、§ 1.2 .常用邏輯用語、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且”、“或”、“非”分別用符號(hào)“ ”“ ” “ 一 ”表示2 命題：能夠判斷真假的陳述句.3 簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題4復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，復(fù)合命題的基本形式：p或q； p且q；非p5.四種命題的構(gòu)成：原命題：若p則q;逆命題：若q則p;否命題：若一 p則q ;逆否命題：若- q則- p.6原命題與逆否命題同真同假，是等價(jià)命題，即“若p則q” 一 ： “若-q則-p ” .7反證法：欲證“若 p則q”，從“非q”出發(fā)，導(dǎo)出矛盾，從而知“若p則非q”為假，即“若p則q”為真&充分條件與必要條件

2、： pq ： p是q的充分條件；q是p的必要條件； pq : p是q的充要條件9常用的全稱量詞：“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)” “對(duì)一切” “對(duì)每一個(gè)” “任給”等；并 用符號(hào)“ - ”表示含有全稱量詞的命題叫做全稱命題 10常用的存在量詞：“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、“有的”、“對(duì)某 個(gè)”；并用符號(hào)“日”表示含有存在量詞的命題叫做特稱命題 .二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1 基本題型及其方法(1 )由給定的復(fù)合命題指出它的形式及其構(gòu)成；(2)給定兩個(gè)簡(jiǎn)單命題能寫出它們構(gòu)成的復(fù)合命題，并能利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；(3 )給定命題，能寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并能運(yùn)用四種命

3、題的相互關(guān)系，特別是互為逆否命題的等價(jià)性判斷命題的真假注意：否命題與命題的否定是不同的(4) 判斷兩個(gè)命題之間的充分、必要、充要關(guān)系；方法：利用定義(5) 證明p的充要條件是q ；方法：分別證明充分性和必要性(6) 反證法證題的方法及步驟：反設(shè)、歸謬、結(jié)論反證法是通過證明命題的結(jié)論的反面不成立 而肯定命題的一種數(shù)學(xué)證明方法，是間接證法之一 注：常見關(guān)鍵詞的否定：關(guān)鍵詞是都是(全是)> (C)至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意存在否定不是不都是(全是)< (Z)一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在任意2.全稱命題與特稱命題的關(guān)系:全稱命題p:M,p(x),它的否定一p :M,p(x)；特稱命題p:M,p(

4、x),它的否定p:M,p(x)；即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題否定一個(gè)全稱命題可以通過“舉反例”來說明三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題錯(cuò)解：原命題可改寫成：若兩個(gè)三角形全等，則它們一定相似逆命題：若兩個(gè)三角形相似，則它們?nèi)确衩}：若兩個(gè)三角形不一定全等，則它們不一定相似逆否命題：若兩個(gè)三角形不一定相似，則它們不一定全等錯(cuò)因：對(duì)“一定”的否定把握不準(zhǔn)，“一定”的否定“一定不”，在邏輯知識(shí)中求否定相當(dāng)于求補(bǔ)集，而“不一定”含有“一定”的意思對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)要多與日常生活中的例子作比較，注意結(jié)合集合知識(shí)

5、因而否命題與逆否命題錯(cuò)了 正解：否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則它們不相似逆否命題：若兩個(gè)三角形不相似，則它們不全等例2將下列命題改寫成“若 p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨 x值的增加而增加錯(cuò)解：原命題改為：若 a>o時(shí)，x的值增加，則函數(shù) y=ax+b的值也隨著增加錯(cuò)因：如果從字面上分析最簡(jiǎn)單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結(jié)論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對(duì)象，那么原命題改為若 a>o時(shí)，貝U函數(shù)y=ax+b的值隨著x的值增加而增加，其否命題為若ao時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值不隨x值的增加而增加此題錯(cuò)解在注意力集中在“增

6、加”兩個(gè)字上，將x值的增加當(dāng)做條件，又不把a(bǔ)>o看作前提，就變成兩個(gè)條件的命題，但寫否命題時(shí)又沒按兩個(gè)條件的規(guī)則寫，所以就錯(cuò)了正解：原命題改為：a>o時(shí)，若x的值增加，則函數(shù) y=ax+b的值也隨著增加否命題為：a>o時(shí)，若x的值不增加，則函數(shù) y=ax+b的值也不增加原命題也可改為：當(dāng) x的值增加時(shí)，若a>o,，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加否命題為：當(dāng)x增加時(shí)，若a< o,則函數(shù)y=ax+b的值不增加.例3已知h>0,設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù) a、b滿足a-b v2h，命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù) a、b滿足a 1|ch且b 1|ch，那么A 甲是乙的充分但不必要條

7、件B 甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D甲是乙的既不充分也不必要條件錯(cuò)解：ab<2h= (a T)(b T)| v 2h = h + h 二 | a11< h , | b1|v h關(guān)鍵詞是都是(全是)> (V)至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意存在否定不是不都是(全是)< (&一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在任意12.全稱命題與特稱命題的關(guān)系:全稱命題 p: -x M , p(x),它的否定 一p ： Tx M , 一p(x);特稱命題 p: x M,p(x), 它的否定一p：M,p(x);即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.否定一個(gè)全稱命題可以通過

8、“舉反例”來說明三、經(jīng)典例題導(dǎo)講題與逆否命題錯(cuò)解：原命題可改寫成：若兩個(gè)三角形全等，則它們一定相似逆命題：若兩個(gè)三角形相似，則它們?nèi)确衩}：若兩個(gè)三角形不一定全等，則它們不一定相似逆否命題：若兩個(gè)三角形不一定相似，則它們不一定全等錯(cuò)因：對(duì)“一定”的否定把握不準(zhǔn)，“一定”的否定“一定不”，在邏輯知識(shí)中求否定相當(dāng)于求補(bǔ)集，而“不一定”含有“一定”的意思對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)要多與日常生活中的例子作比較，注意結(jié)合集合知識(shí)因而否命題與逆否命題錯(cuò)了 正解：否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則它們不相似逆否命題：若兩個(gè)三角形不相似，則它們不全等例2將下列命題改寫成“若 p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時(shí)，

9、函數(shù)y=ax+b的值隨 x值的增加而增加錯(cuò)解：原命題改為：若 a>o時(shí)，x的值增加，則函數(shù) y=ax+b的值也隨著增加錯(cuò)因：如果從字面上分析最簡(jiǎn)單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結(jié)論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對(duì)象，那么原命題改為若 a>o時(shí)，貝U函數(shù)y=ax+b的值隨著x的值增加而增加，其否命題為若ao時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值不隨x值的增加而增加此題錯(cuò)解在注意力集中在“增加”兩個(gè)字上，將x值的增加當(dāng)做條件，又不把a(bǔ)>o看作前提，就變成兩個(gè)條件的命題，但寫否命題時(shí)又沒按兩個(gè)條件的規(guī)則寫，所以就錯(cuò)了正解：原命題改為：a>o時(shí)，若x的值增加，則函數(shù)

10、 y=ax+b的值也隨著增加否命題為：a>o時(shí)，若x的值不增加，則函數(shù) y=ax+b的值也不增加原命題也可改為：當(dāng) x的值增加時(shí)，若a>o,，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加否命題為：當(dāng)x增加時(shí)，若a< o,則函數(shù)y=ax+b的值不增加.例3已知h>0,設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù) a、b滿足a-b v2h，命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù) a、b滿足a 1|ch且b 1|ch，那么A 甲是乙的充分但不必要條件B 甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D甲是乙的既不充分也不必要條件錯(cuò)解：ab<2h= (a T)(b T)| v 2h = h + h 二 | a11< h ,

11、 | b1|v h故本題應(yīng)選c.錯(cuò)因：(1)對(duì)充分、必要、充要條件的概念分不清，無從判斷，憑猜測(cè)產(chǎn)生錯(cuò)誤;(2) 不能運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)作正確推理而產(chǎn)生錯(cuò)誤正解：因?yàn)閍T<hb -1 vh所以丿-h ： a -1 ： h- h ： b T ： h'例1把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命例1把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命兩式相減得- 2h ： a - b ： 2h2:2h即由命題甲成立推出命題乙成立，所以甲是乙的必要條件a -2 <h由于丁b2 <h同理也可得a b Y 2h因此，命題

12、甲成立不能確定命題乙一定成立，所以甲不是乙的充分條件，故應(yīng)選B.例4已知命題甲：a+b = 4,命題乙：a = 1且b = 3，則命題甲是命題乙的.錯(cuò)解：由逆否命題與原命題同真同假知，若a=1且b=3則a+b=4成立，所以命題甲是命題乙的充分不必要條件錯(cuò)因：對(duì)命題的否定不正確.a=1且b = 3的否定是a=1或b=3.正解：當(dāng)a+b4時(shí)，可選取a=1,b=5，故此時(shí)a1且b3不成立（；a=1）.同樣，a = 1,且b = 3時(shí)，可選取a=2,b=2,a+b=4，故此時(shí)a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要條件注：a = 1且b = 3為真時(shí)，必須 a=1,b=3同時(shí)成立例5已知p是r的充分

13、不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么 p是q成立的 （）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析：本題考查簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)因?yàn)閜= r= s= q但r成立不能推出p成立，所以p= q ,但q成立不能推出p成立，所 以選A解：選A例6已知關(guān)于x的一元二次方程 （m Z）222 mx4x + 4= 0 x - 4mx+ 4m 4m- 5= 0求方程和都有整數(shù)解的充要條件.解：方程有實(shí)根的充要條件是=16-4 4 m _ 0,解得m1.5方程有實(shí)根的充要條件是厶二16m24（4m2 4m5） _ 0，解得m .45m_1.而m Z,故 m= 1 或

14、 n=0 或 m=1.4當(dāng)m= 1時(shí)，方程無整數(shù)解當(dāng)m=0時(shí)，無整數(shù)解；當(dāng)m=1時(shí)，都有整數(shù)從而都有整數(shù)解 m=1.反之，m=1都有整數(shù)解都有整數(shù)解的充要條件是m=1.例7用反證法證明：若a、b、R ,且x二a2-2bT , y二b2-2cT ,2z=c -2a 1，則x、y、z中至少有一個(gè)不小于0*證明：假設(shè)x、y、z均小于0,即:2x =a-2b1：0一；y =b2-2c1：0 -；z =C-2a1：0-； + + 得 xy z = (a I)?(b I)? (c 1)? : 0 ,這與(a-1)2 (b-1)2 (c-1)2 _0 矛盾, 則假設(shè)不成立， .x、 y、z中至少有一個(gè)不小于

15、0、例8已知命題p:方程x + mx+仁0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題 q:方程4x + 4( m 2) x + 1=0無實(shí)根.若“ p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值范圍.分析：“ p或q”為真，則命題p、q至少有一個(gè)為真，“ p且q”為假，則命題p、q至少 有一為假，因此，兩命題 p、q應(yīng)一真一假，即命題 p為真，命題q為假或命題p為假，命 題q為真解：若方程x2 + m灶1=0有兩不等的負(fù)根，則2A =mm =0-400解得m>2,即命題p： rn> 2一 2若方程4x + 4( m- 2)x+ 1 = 0無實(shí)根，則= 16( m- 2) 16= 16(m 4m 3) v0

16、解得：1v mv 3.即 q： 1 v mv 3.因“ p或q”為真，所以p、q至少有一為真， 又“ p且q”為假，所以命題 p、q至少有一為假, 因此，命題p、q應(yīng)一真一假，即命題 p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.蔦2或m,3或m <21 vm v322解得：m>3 或 1 v me2.四、典型習(xí)題導(dǎo)練21方程mx 2x 0至少有一個(gè)負(fù)根，則()A. 0 m ： 1 或 m : 0 B. 0m ： 1 C. m 1 D. m _ 12.“ x2 -3x 2 0 ”是“ x : 1 或 x 4 ”的()22A.充分不必要條件B.必要不充分條件3三個(gè)數(shù)a,b,c不全為0的

17、充要條件是A. a, b,c都不是0.C. a,b,c中只有一個(gè)是0.C.充要條件D.既不充分也不必要條件( )B. a, b,c中至多一個(gè)是 0.D. a, b,c中至少一個(gè)不是 0.224. 由命題p：6是12的約數(shù)，q：6是24的約數(shù)，構(gòu)成的“p或q”形式的命題是：_ _,“ p且q”形式的命題是 _, “非p”形式的命題是 _5. 若a,b三R，試從2 2A. ab = 0 B. a b = 0 C. a b =0 D. ab 0 E. a b 0F. a2 b20中，選出適合下列條件者，用代號(hào)填空：(1 )使a,b都為0的充分條件是 ；(2) 使a,b都不為0的充分條件是 ；(3) 使a,b中至少有一個(gè)為 0的充要條件是 ；(4) 使a,b中至少有一個(gè)不為 0的充要條件是 .6. 分別指出由下列各組命題構(gòu)成的邏輯關(guān)聯(lián)詞“或”、“且”、“非”的真假.(1) p:梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有一組對(duì)邊