1、第四節 直線、平面平行的判定與性質題型 9595 證明空間中直線、平面的平行關系20132013 年1.1.（ 20132013 廣東文 8 8）設I為直線，：，：是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A A 若I/，丨/廠：，則/ 1B B.若 1_:1_: ,I _ 1，則/ -C C.若I.1.1 二,I / 1,則II、D D.若鳥.1.1 】,I/,則I _ 12.2.（20132013 浙江文 4 4）設m,n是兩條不同的直線，:-/-是兩個不同的平面，A.A.若m/，n/ ：,貝ym/nB.B.若m/，m/ ：,則:-/1C.C.若m/n,m驀，則n _D.D.若m/，_：,貝Um

2、3.3. (20132013 山東文 1919)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB_AC,AB _ PA,AB/CD,AB= 2CD,E, F, G, M , N分別為PB, AB, BC, PD, PC的中點.(1) 求證：CE/平面PAD；(2) 求證：平面EFG_平面EMN.4.4. （20132013 江蘇 1616）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB_平面SBC,AB _ BC,AS = AB，過A作AF _ SB，垂足為F,點E, G分別是棱SA,_求證：（1 1）平面EFG/平面ABC;（2 2）BC SA. .5.5. （20132013 遼寧文 1818）如圖，AB是圓O的

3、直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上 的點. .（1 1）求證：BC_平面PAC；（2 2） 設Q為PA的中點，GAOC的重心，求證：QG/平面PBC. .6.6. (2013(2013 陜西文 1818)如圖，四棱柱ABCD-ABiGiGDi的底面ABCD是正方形，O為底面中心，AiO_ 平面ABCD,AB = AAi二厲. .(2 2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積. .20142014年1.1. (20142014 山東文 1818)如圖所示，四棱錐P - ABCD中AP_ 平面PCD, AD/BC,AB =BC二1AD, E,F分別為線段2(1)求證：AP/平面 BEF;(2

4、)求證：BE _平面 PAC. .2 17. .點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點，平面GEFH_平面ABCD,BC /平面GEFH. .(1 1)求證：GH / EF;(2)若EB =2，求四邊形GEFH的面積. .(1)證明：平面A,BD/平面CD1B1；AD, PC的中點 2.2. (20142014 安徽文 1919)如圖所示，四棱錐P -ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為PBDiCiAB220152015年1.1. (20152015 廣東文 1818)如圖所示，PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD = PC = 4,AB = 6

5、,BC = 3.求證：BC平面PDA；求證：BC _ PD；(3)(3)求點C到平面PDA的距離.1.1.解析(1 1)因為四邊形ABCD是長方形，所以BC/AD. .因為BC二平面PDA,AD二平面PDA，所以BC/平面PDA. .(2) 因為四邊形ABCD是長方形，所以BC_CD. .因為平面PDC_平面ABCD，平面PDC門平面ABCD =CD,BC平面ABCD, 所以BC_平面PDC. .因為PD平面PDC，所以BC _ PD. .(3) 解法一：取CD的中點E，連接AC和PE,如圖所示. .因 為pD=pc所 以P JEC在RtAPDE中 ，PE = JPD2-DE2= J4232=

6、 V7. .因為平面PDC_平面ABCD，平面PDC|平面ABCD二CD,PE平面PDC，所以PE_ 平面ABCD. .由(2 2)知BC_平面PDC，由(1 1 )知BC/AD，所以AD _平面PDC. .因為PD平 面PDC，所以AD_ PD 設點C到平面PDA的距離為h,因為V三棱錐 C _PDA- V三棱錐 p丄CD，、11所以齊PDA“訐ACDpE即h二ACDPE3、7所以點C到平面PDA的距離是3.7SAPDAPC C2P PH解法二：過點C作CH _ DP交DP的延長線于點H，取CD的中點E,連接PE，如圖 所示. .由（2 2）知BC_平面PDC，由（1 1）知BC/AD，所以

7、AD _平面PDC. .又HC平面PDC，所以AD _ HC. .因為PDfAD =D，所以HC _平面PAD. .則CH的長度即為點C到平面PDA的距離 因為PD =PC =4，所以PE_ CD. .在厶PDE與ACDH中，PDE=CDH,所以PDECDH，所以昱 戈.PED二.CHDDC CH在RtAPDE中，PE二 一PD2匚DE2二.42-32二.7. .則4唏，得c.故點C到平面PDA的距離為苧2.2. （20152015 江蘇 1616）如圖所示，在直三棱柱ABC - ARG中，已知 ACAC _ _ BCBC ,BC二C.設AB,的中點為D,BQI BC,二E.求證：(1 1)D

8、E/平面AACiC； (2 2)BCi_ABi.2 2 解析（1 1）因為四邊形BCC1B1是矩形，所以E是BQ的中點. .又D是AB1的中點，因此DE是B1CA的中位線，故 DEDE / ACAC . .又DE二平面AAC Q,AC平面AAC1C，所以DE/平面AAC Q.（2 2）因為C6 平面 ABCABC ,AC平面 ABCABC，所以AC CG，又 ACAC _ _ BCBC ,BC PlCG =C，從而AC平面BCC1B1. .因為BC1平面BCC1B1，所以B AC.ABEDC11B1因為BC =CCi,E為BCi的中點，所以BCi_CB因為AC門CB =C，所以BCi_平面AB

9、iC. .又因為AB1平面AB1C，所以B _ AB1.2016年1.1.（20162016 浙江文 2 2）已知互相垂直的平面 ，一：交于直線I. .若直線m,n滿足m/：，n_n_,則（） A.A.m/lB. m/nc.c.n _ ID. m _ni.Ci.C 解析 對于選項 A A，因為:-H -=l=l，所以 I I :-:-. .又因為mil】，所以m與 I I 平行或異 面. .故選項 A A不正確；對于選項 B B 和 D D，因為二I】，n _一：，所以n二:或n/：又因為m/r，所以m與n的關系平行、相交或異面都有可能. .故選項 B B 和 D D 不正確；對于選項 C C

10、，因為： =1,所以I一卩，因為n _一所以n _ I，故選項 C C 正確，故選 C.C.2.2.（20162016 上海文 1616）如圖所示，在正方體ABCD -AiBQDi中，E,F分別為BC, BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（ ）. .A.A.直線AA!C.C.直線 ADAD12.2.D D 解析 易知EF與AA1在兩個平行平面內，故不可能相交;與3G均在平面BCGB內，且EF與B1C1不平行，故相交，其交點G如圖所示 故選 D.D.B.B.直線A1B1D.D.直線 EGEGEF /平面A1B1C,ABj平面ABQ，故不可能相交；同理與ADj也不可能相交;EFC1BC3

11、.3. (20162016 江蘇 1616)如圖所示，在直三棱柱ABC ABC中，D,E分別為AB,BC的中點，點F在側棱B1B上，且BQ _ A1F,AC1_ AB1. . 求證：(1 1)直線DE /平面AC1F；(2 2)平面B DEI I 平面A|C1F. .3.3.解析(1 1)因為D,E分別為AB, BC的中點，所以DEABC的中位線，所以DE/AC，又因為三棱柱ABC -AB1C1為直棱柱，故AC /AC1，所以DE/AC1，又因為AG平面A|C1F，且DE：二AC1F，故DE /平面AC1F. .(2 2)三棱柱ABC - AG為直棱柱，所以AA _平面AEG. .又AG二平面

12、A1B1C1, 故AA)_ AC1. .又AC1 _ A1B1，且AA 0 A1B1 = A1,AA), A1B1平面AA1B1B, 所以AG _平面AA1B1B. .又因為BQ二平面AA1B1B，所以. . 又因為AFQD,ACIAF =A1，且ACAF平面AC1F,所以BQ_平面AC1F. .又因為B1D平面B1DE，所以平面B1D平面AC1F. .4.4. (20162016 天津文 1717)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形， 平面AED_ 平面ABCD，EF/AB,AB=2,BC =EF =1,AE = 6,DE =3,BAD =60；,G為BC的中點. .(1) 求證：FG/平

13、面BED;(2) 求證：平面BED_平面AED;(3) 求直線EF與平面BED所成角的正弦值 4 4 解析(1 1 )如圖所示，取BD的中點為O，聯結OE,OG. .口1OG/DC且OG DC= =1 1 . .2又因為EF/AB,AB/DC，所以EF/OG且EF = OG，即四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG/OE. .又FG二平面BED,OE二平面BED，所以FG/平面BED.(2 2)在厶 ABD中，AD = 1,AB = 2, BAD =60.由余弦定理可得BD=.3，進而可 得/ADB=90，即BD AD. .又因為平面AED平面ABCD,BD平面ABCD，平面AED平面ABCD二

14、AD，所在厶BCD中，因為G是BC的中點，所以CiFBB1DE以BD_平面AED. .又因為BD二平面BED，所以平面BED_平面AED. .（3 3）因為EF/AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角. . 過點A作AH _ DE于點H，連接BH，如圖所示. .又因為平面BED平面AED= ED，由（2 2）知AH _平面BED，所以直線AB與平面BED所成角即為.ABH. .在厶 ADE中，AD = 1 DE = 3, AE = J6. .由余弦定理可得cos. ADE，所以sin. AD53因此AH二AD sin ADE二3AH在RtAHB中，sin ABH二-

15、AB5 5（ 20162016 山東文 1818）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EFLDB. .（1 1）已知AB = BC，AE = EC. .求證：AC _ FB；（2 2）已知G, H分別是EC和FB的中點. .求證：GH二平面ABC. .5.5.解析（1 1）因為EF二BD，所以EF與BD確定一個平面BDEF，連接DE，如圖（1 1） 所示. .因為AE二EC,D為AC的中點，所以DE AC；同理可得BD AC. .又因為BD DE =D，所以AC平面BDEF，因為FB平面BDEF，所以AC FB. .（2 2）設FC的中點為I，連接GI ,HI，如圖（2 2）所示. .在 C

16、EF中，G是CE的中點，所以GI二EF. .又EF DB，所以GR.DB；在 CFB所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為.5ACC中，H是FB的中點，所以HI.-BC. .又GI HI = I,DBR BC二B，所以平面GHI二平面ABC. .因為GH平面GHI，所以GH平面ABC. .(1)6.6.（20162016 全國丙文 1919）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA_底面ABCD，AD/BC,AB二AD二AC = 3, PA二BC = 4，M為線段AD上一點，AM =2MD，N為PC的中點. .（1 1）證明MN平面PAB；（2 2）求四面體N -BCM的體積. .6 6 解析（

17、1 1）取PB中點Q，連接AQ、NQ，因為N是PC中點，NQ/BC，且NQ222 31又AM ADBC BC，且AM / BC，所以QN /AM，且QN = AM，33 42所以四邊形AQNM是平行四邊形. .所以MNAQ. .PDC又MN二平面PAB，AQ平面PAB， 所以 面PAB. .MN /平BD20172017 年1.1. (20172017 全國 1 1 文 6 6)如圖所示，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()1 1 解析由選項 B B，AB/MQ， 貝 V V 直線AB/平面MNQ； 由選

18、項 C C，AB/MQ， 貝直線AB/平面MNQ;由選項 D D,AB/NQ，則直線AB/平面MNQ 故選項 A A 不滿足 故選 A.A.2.2. (20172017 全國 2 2 文 1818)如圖所示，四棱錐P - ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,1AB二BC AD,. BAD ABC =90. .2(1) 證明：直線BC/平面PAD;(2) 若PCD面積為2 J，求四棱錐P - ABCD的體積 解析(1 1)在平面 ABCDABCD 內，因為 ZBADZBAD /ABC/ABC = =9090, ,，所以 BC/ADBC/AD (2)(2)由(1)(1)QN 平

19、面ABCD 所以VNCM=VQ_BCM所以VN_BCM3PA足ABC2VP_BCM又 BCBC 二平面PAD,AD平面PAD，故 BCBC平面PAD. .(2 2)取AD的中點M，聯結PM, CMCM . .1 1由 ABAB = =BCBCADAD，及 BC/ADBC/AD , . . ABCABC = =9090、，得四邊形 ABCMABCM 為正方形，則 CMCM _ _ ADAD . .2 2因為側面PAD是等邊三角形且垂直于底面ABCDABCD，平面PADP|平面 ABCDABCD 二 ADAD，所以PM _AD，因為PM二平面PAD，所以PM_平面 ABCDABCD . .因為 C

20、MCM 二平面 ABCDABCD，所以PMPM _CM_CM 設 BCBC 二 x x，貝 U U CMCM 二 x x， CDCD = = .2x.2x， PMPM 二 3x3x， PCPC 二 PDPD =2x.=2x.取 CDCD 的中點 N N，聯結 PNPN，貝 U U PNPN _CD_CD，所以PN二上 x.x.2 2因為 PCDPCD 的面積為 2 2 7 7，所以- 2x2x 上 x x = =2 2 7 7，解得 x x = = - -2 2 (舍去)，x x = = 2 2，于是2 2 2 2AB=BC=2AB=BC=2,AD=4=4, PMPM =2.3=2.3. .所

21、以四棱錐P -ABCDABCD 的體積3.(20172017 山東文 1818)由四棱柱ABCA1B1C1D1截去三棱錐C B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，AE_平面ABCD. .(1 1)證明：AO/平面B1CD1；解析(1 1)如圖所示，取B1D1中點F，聯結CF,A F,由于ABC A1B1C1D1為四棱柱,所以A1F/CO,A,F二CO，因此四邊形A1OCF為平行四邊形，所以AO/FC. .又FC平面B1CD1,AO二平面B1CD1，所以AO/平面B1CD1. .(2 2)因為四邊形ABCD是正方形，所以AC _ BD,E

22、,M分別為AD和OD的中點,所以EM _BD. .又AE _面ABCD,BD平面ABCD，所以AE _ BD. .因為BQi/BD，所以EM_BiDi,AE_BQi. .又AE ,EM平面AEM,AEfl EM =E，所以B1D平面AEM，又B1D1平面BCDi，所以平面AiEM平面BiCDi. .解析（1 1）如圖所示，取B1D1中點F，聯結CF,AF，由于ABCD - ABGDj為四棱柱,所以A1F/CO，AF二CO，因此四邊形AiOCF為平行四邊形，所以AO/FC. .又FC平面B1CD1，AO二平面B1CD1，所以AO/平面B1CD1. .（2 2）因為四邊形ABCD是正方形，所以AC

23、_ BD，E，M分別為AD和OD的中點, 所以EM _BD. .又AE _面ABCD，BD平面ABCD，所以AE _ BD. .因為B1D1/ /BD，所以EMBQj,AE BQ又AE ,EM平面AEM，AECIEM =E，所以B1D平面AEM，又B1D1平面BCDi，所以平面A1EM平面B1CD1. .4.4.（20172017 江蘇 1515）如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB AD，BC BD，平面ABD -平面BCD，點E,F（E與A,D不重合）分別在棱AD,BD上，且EF _ AD.求證：（1 1）EF/平面ABC;(2)AD _ AC解析 （1 1）在平面ABD內，因為AB _

24、AD,EF _ AD，且點E與點A不重合，所以EF/AB. .又因為EF二平面ABC,AB平面ABC，所以EF平面ABC. .（2 2）因為平面ABD_平面BCD，平面ABD|平面BCD = BD,BC二平面BCD,BC _ BD，所以BC_ 平面ABD. .因為AD平面ABD，所以BC _ AD 又AB_AD,BCp|AB二B,AB二平面ABC,BC平面ABC,所以AD_平面ABC. .又因為AC平面ABC，所以AD _ AC. .題型 9696 與平行有關的開放性、探究性問題20142014 年27.27.（20142014 四川文 1818）在如圖所示的多面體中，四邊形（1 1 ）若AC

25、_BC，求證：直線BC_平面ACC1A1；（2 2）設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是 否存在一點M，使直線DE/平面A1MC?請證明你的結論. .ABB和ACC1A1都為矩形. .20152015 年n1.1. (20152015 陜西文 1818)如圖 1 1 所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC,BAD二一,2AB二BC=AD=a,E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起2到圖 2 2 中厶ABE的位置，得到四棱錐A- BCDE時，四棱錐ApBCDE的體積為36,2,求a的值. .1nAD二a,E是AD的中點，.BAD，且AD/BC所以四邊形ABCE22是正方形，故BE I AC. .又在圖 2 2 中，BE_AQ，BE_OC，從而BE _平面AOC 又DE/BC且DE =BC，所以CD/BE，即可證得CD_平面AQC；(2)(2)由已知， 平面ABE_平面BCDE， 且平面ABEPI平面BCDE = BE. .又由知，AO - BE，所以AO_平面BCDE，即AO是四棱錐A BCDE的高,由一2 a3= 36 2，得620162016 年1.(20161.(2016 四川文 1717)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA CD,1AD/BC,ADC二PAB=90,BC =CD AD. .2(1) 在平面P