1、3 . 2 導數的應用(一) 考點梳理 多思勤筆 函數的單調性與導數 (i)在某個區間(a, b)內，如果 f(x)0,那么函數 y= f(x)在這個區間內 _ ;如果 f(x)0 ,那么函 數 y= f(x)在這個區間內 _ . 如果在某個區間內恒有 f (x)= 0,那么函數 f(x)在這個區間上是 _ . 自查自糾： (i)單調遞增單調遞減 (2 )常數函數 基礎自測 小易全潘牛刀小試 V (教材改編)函數 f(x) = x3 6x2的單調遞減區 間為 ( ) A . (0, 4) B . (0, 2) C . (4, + a) D . ( a, 0) 解： f(x) = 3X2 i2x

2、= 3x(x 4)， 由 f(x)0， 得 0 xf(3)f(n B . f(3)f(2)f(n C . f(2)f( nf(3) D . f(nf(3)f(2) 解：f (x) = 1 cosx, 當 x (0 , n時，f (x)0, 所以 f(x)在(0, n上是增函數，所以 f( nf(3)f(2).故 選 D.D. (2017 浙江)函數 y= f(x)的導函數 y= fx) 的圖象如圖所示，貝U函數 y= f(x)的圖象可能是( ) A B yi C 解：由導函數 y = f(x)的圖象可知，該圖象在 x 軸的負半軸上有一個零點(不妨設為 Xi)，并且當 xxi 時，f (x)0

3、； 當 x(X2, x3)時，f (x)X3 時， f (x)0.因此函數 f(x)在 x= Xi處取得極小值，在 X= X2處取得極大值，在 x= X3處取得極小值.對照 四個選項，選項 A 中，在 x = xi處取得極大值，不合 題意；選項 B 中，極大值點應大于 0,不合題意；選 項 C 中，在x= xi處取得極大值，也不合題意； 選項 D 合題意.故選 D.D. 若函數 f(x) = x3 + bx2 + cx+ d 的單調減區間 為(-i, 3)，貝U b + c= _ . 解：f(x)= 3X2 + 2bx+ c,由題意知 ix3 是不 等式3X2 + 2bx+ c0 恒成立，即

4、x2 mx+ i 0 恒成立，所以 i i i mw x+ -恒成立.令 g(x) = x+ -, g (x) = i r,當 X X X x2 時，g (x)0，即 g(x)在(2 ,+旳上單調遞增， 所以mw 2 + * = ；故填a, 典例解桁賈妙血霆切 類型一導數法研究函數的單調性 (1)已知定義在區間(一n n上的函數 f(x) =xsinx+ cosx，則 f(x)的單調遞增區間是 _ 解: f(x)= sinx+ xcosx sinx= xcosx. 令 f (x) = xcosx0, 則其在區間(一n, n上的解集為 不等式 f (x) 0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

5、解即 f(x)的單調遞增區間為 n. n 2 故填 n 2 2 范圍是 ( ) A . 1 , + x) B. J，2 丿 C. 1 , 2) D. 3 2、 _2，2丿 解: 函數 f(x)的定義域為 (0,+ ,f (x)= . .1 . (2)若函數 f(x) = 2x2 lnx在其定義域內的一個子 區間(k 1, k+ 1)內不是單調函數，貝 U 實數 k 的取值 1 1 k 1c 0, (1)已知函數 f(x)= xlnx,貝U f(x)( ) A .在(0,+旳上單調遞增 B .在(0 ,+叼上單調遞減 C 在o,三:上單調遞增 D .在 o, e 上單調遞減 解：函數 f(x)的

6、定義域為(0 ,+ x)，所以 f(x)= 1 lnx + 1(x0).當 f(x)0 時，解得 x-,即函數的單調 e 遞增區間為2，+ x ；當 f(x)o 時，解得 0 xe， 即函數的單調遞減區間為 0, .故選 D.D. 設函數 f(x) = *x2 9lnx 在區間a 1, a+ 1 3 解得 1 k1 的解集為 ( ) (3, (2, 2) C . (2, 3) D . (x, .2) U ( 2,+ 旳 解：由 y= f(x)的圖象知, f(x)在(x, 0上單調 遞增，在(0,+旳上單調遞減，又 f( 2) = 1, f(3) = 1,所以 f(x2 6)1 可化為2x2 6

7、3，所以 2x3 或3x0),當 x 9w 0 時， 有 0 xw 3, x 即函數 f(x)的單調遞減區間是 (0, 3,所以 0a 1a + K 3, 解得 1f (2) f(3) B. f(3)f(e)f(2) C. f(3)f(2)f(e) D. f(e)f(3)f(2) 解: f(x)的定義域是(0, + , 1 lnx x) , f (x) = x2 , 上單調遞減，則實數 a 的取值范圍是 ( ) 令 f(x) = 0，得 x= e.所以當 x (0, e)時,f (x)0, f(x)單調遞增，當 x (e,+x)時，f (x)f(3)f(2).故選 D.D. 類型二 利用導數研

8、究含參數函 類型三 已知函數單調性確定參 數的值(范圍) m (x+ 1) 1 (x+ 1) 2 (x 1). 當 mW 0 時，F (x)0 時，令 F (x)0? x0? x 1 + m 函數 F(x)在1 + m，+ g 上單調遞增. 點撥： 根據函數單調性求參數的一般思路：利用集 合間的包含關系處理：y= f(x)在(a, b)上單調，則區 間(a, b)是相應單調區間的子集.f(x)為增函數的 充要條件是對任意的 x (a, b)都有 f (x)0 且在(a, b)內的任一非空子區間上 f(x)不恒為零，應注意此時 式子中的等號不能省略，否則漏解 .函數在某個 區間存在單調區間可轉化

9、為不等式有解問題 (1)(2016 全國卷I )若函數 f(x) = x 1 3sin2x + asinx 在(g,+ g)上單調遞增，則 a 的取(2018 皖南八校聯考)已知函數 ex(ax2 2x+ 2),其中 a0.討論 f(x)的單調性. 解：f(x) = exax2 + (2a 2)x(a0). 令 f(x)= 0，得 x1= 0, x2= 2_2a = 2 2. a a 當 0a 0, 1 + x a0)的單調遞增區間是1 , +g),則 a 的取值集合是 解：f(x)的單調遞增區間為1 , +g),即 f(x)僅在 區間1, +g)上單調遞增. 2 - 2,+ g a 遞減；

10、當 上單調遞增，在區間 2 a 令 f(x)0? ax2 + a 20? x2 - a 當 a= 1 時，f(x)在 R R 上單調遞增； -g, a - 2 和(0, a1 時，f(x)在區間 上單調遞增，在區間字2, 0 上單調遞減. 若a 2，貝U x2 恒成立，f(x) a a 的單調遞增區間為0，+ g)，不符合題意； 若2一-a 0,即 0 v a v 2,則 f(x)的單調遞增區間 點撥： 研究含參數函數的單調性， 要依據參數對不等 式解集的影響進行分類討論.劃分函數的單調區間 時， 要在函數定義域內討論，還要確定導數為 0 的 點和函數的間斷點. (2018 河北石家莊質檢二)

11、已知函數 x f(x) = mln(x+ 1)(m R R), g(x) = (x 1).討論函 I I 數 F(x) = f(x) g(x)在( 1 ,+g上的單調性. F(x) = f(x) 一 g(x) = x| (x+ 1) ,+ g，所以 a 符合題意.故填a|a a|a = 1 1. a =1,即卩 a= 1 時, a 1 一 x 若函數 f(x) = In(ax+ 1) +1 - (x0, a0)在 1 I x 的取值范圍是 區間1 , + g)上單調遞增，則 f(x) a ax+ 1 2 (x+ 1) 2 ax2 + a 2 ，由 f(x)在1 , +g)上單調遞增 (ax+1

12、)( x+1) 2 可得，對任意 x 1, f (x)0? a(x2 + 1)2.所以 2+ = 1，所以 a 1故填1 1,+ g). -+ I max a 數的 4 2 5 ，一、 cosx= t，貝 U g(t) = 3t + at+ 30 在1, 1上恒成 即函數 f(x)為增函數；當 0 xx1時，f (x)0，解得 a 9，所以實數 a 的取值范圍是 9 ,+ .故填9 9，+ m . . 名師點睛 1 .用導數判斷單調性 用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數 的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數 的符號，來判斷函數的單調區間 .在對函數劃分單 調區間時，除了必須確定使

13、導數等于 0 的點外，還 要注意定義區間內的間斷點 . 2 .已知單調性確定參數的值 (范圍),要分清“在 某區間單調”與“單調增 (減)區間是某區間”的不 同，“在某區間不單調”，一般是該區間含導數變號 零點. 1 Q 3 .已知函數 f(x) = x3 + ax+ 4,貝 V a0”是“ f(x) 在 R R 上單調遞增”的 ( ) A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C .充要條件 D.既不充分也不必要條件 解：f(x) = |x2 + a, 當 a0 時，f (x)0 恒成 立，故“a0”是“f(x)在 R R 上單調遞增”的充分不 必要條件.故選 A.A. 4 . (2016

14、 杭州模擬)若函數 f(x) = kx Inx 在區 間(1, +叼上單調遞增，則實數 k 的取值范圍是( ) A .(汽一 2 B . ( , 1 C . 2 ,+ 叼 D . 1 ,+ 旳 1 解：因為 f(x) = kx Inx,所以 f(x)= k 一.因為 f(x) x 值范圍是( ) A 1 , 1 -彳1 B. 1, 3 課時作業 卜査瀾補缺拓龐延伸 1 .函數 f(x)= (x 3)ex的單調遞增區間是 ( -1 1 C.3, 3 D. -1,-1 解：依題意知， , 2 f (x) = 1 3 cos2x + acosx = A .(汽 2) B. (0, 3) C . (1

15、 , 4) D . (2,+ 解：f(x) = (x 3) + (x 3)(ex)= (x 2)ex，令 A C cos2x+ acosx + 云0 在(m, +勺上恒成立.設 3 3 f (x) 0，解得 x 2,故選 D.D. 2 .f(x)是 f(x)的導函數,若 f(x)的圖象如圖所示, 則 f(x)的圖象可能是 ( ) 解: f (x) = x2+ x + 2a = x- 2 +1 + 2a.當 數 f(x)為減函數；當 XX1時，f (x)0，即函數 f(x) 為增函數.觀察選項易知 C 正確.故選 C.C. 立 , 因為 = a2 80 9 0 , 所以 C.C. 4 5 d)=

16、 3+a+30， 4 5 (1)= 3 a+30 1 1 解得3w a3.故選 1 3 1 2 2 (2)若函數 f(x) = 3x + * + 2ax 在 3，+ m 存在單調遞增區間，則實數 a 的取值范圍是 C 解：由導函數的圖象可知, D 當 x0 , x 故 f(x)的最大值為 2 _3, (x)單調遞減, 1 在區間(1 ,+旳上單調遞增，所以當 x1 時，f (x) 1 1 =k10 恒成立，即 k1在區間(1 ,+旳上恒成 x x 立.因為 x1，所以 0- 1故選 D.D. X 5 . (2016 武漢模擬)函數 f(x)在定義域 R R 內可 導，若 f(x) = f(2

17、x),且當 x ( - , 1)時， (x- 1)f(x)0,設 a = f(0), b= f 2 , c= f(3),則( ) A. abc B. cba C. cab D. bca 解：依題意得，當 x0, f(x)為增函 1 數；又 f(3) = f( 1),且一 10 21 ,因此有 f( 1)f(0)f 2，即有 f(3)f(0)f 2 , ca0 ,解得 x3.當 g (x)0 時，x0, n 5 n 解：y= 1 2cosx，由 得-x5. |px1，所以 exf(x)在 R R 上單調遞增，所 以 f(x) = 2x 具有 M 性質.對于，f(x) = x2, exf(x) =

18、exx2, exf(x)= ex(x2 + 2x),令 ex(x2 + 2x)0,得 x0 或 x 2;令 ex(x2 + 2x)0，得2x上單調遞增，在(2, 0)上單調遞減，所以 f(x) = x2不具有 M 性質對于， f(x) = 3 x= 3 ,則 exf(x) = ex 3 =(因為 f0)的導函數 f (x) 的兩個零點為一 3 和 0求 f(x)的單調區間. (2ax+ b) ex (ax2 + bx+ c) ex 解：f(x)= ( ex)2 ax2+( 2a b) x+ b c = x . e 令 g(x) = ax2 + (2a b)x+ b c, ( D. (m, 2)

19、 C. m, 由圖可知 f( 2)= 解：對于，f(x) = 2 一x= 1 , 則 exf(x) = ex 1 因為 ex0，所以 f(x)的零點就是 g(x)= ax2+ (2a b)x+ b c 的零點，且 f(x)與 g(x)的符號相同. 又因為 a0,所以3x0 ,即 f(x)0, 當 x0 時，g(x)0，即 f(x)0), x 令 h(x)= x2- 2ax+ 1, A = 4(a2- 1). 當 a 0,所以 f(x)= h(x) , 函數 f(x)在(0 ,+叼上是增函數. 當 oaw 1 時，A = 4(a2- 1)0 即 f (x)0,所以函數 f()在(0,+旳上是增函數. 當 a1 時，A = 4(a2- 1)0, 令 h(x) = 0,得 x1 = a a2- 10 , x2 = a + a2 - 10. f (x)0? (0, x”U (x2,+ 旳,f (x)0? (X1, X2), 所以 f(x)在(0, aa2- 1)和(a+ + g) 上是增函數，在(a- a2- 1,a + a2- 1)上是減函數. 綜上，當 a1 時，f(x)在(0, a ?a2- 1)和(a + a2 1, + g)上單調遞增，在(a- a2- 1, a +