1、1第七節(jié)拋物線考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)（范 圍、對稱性、頂點、離心率）2 理解數(shù)形結(jié)合思想 3 了解拋物線的實際背景及拋 物線的簡單應(yīng)用.1.拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 1（1 不經(jīng)過點 F）的距離相等的點的軌跡叫 做拋物線.點 F 叫做拋物線的焦點，直線 I 叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2= 2px(P0)y2= 2px(P0)x2 2py(P0)x2 2py(p0)p 的幾何意義：焦點 F 到準(zhǔn)線 I 的距離圖形1ETJIltd頂點坐標(biāo)0(0,0)對稱軸x 軸y 軸焦點坐標(biāo)F(2,O)F0, y Rx0

2、, x Ry0)上一點 P(xo, yo)到焦點 F 2, 0 的距離|PF| =XO+號,也稱為拋物線的焦半徑.(2)y2= ax(a 0)的焦點坐標(biāo)為專，0，準(zhǔn)線方程為 x= 4.(3) 設(shè) AB 是過拋物線 y2= 2px(p0)焦點 F 的弦，2卄n2若 A(xi, yi), B(X2, y2)，貝Uxix2=4, yiy2= p .2弦長 AB| = xi+ x2+ p = sina a為弦 AB 的傾斜角).3以弦 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.4通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于 2p,通徑是過焦點最短的弦.基礎(chǔ)自測1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯誤的打“

3、X”)(1)平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 I 的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.()(2)方程 y= ax2(a0)表示的曲線是焦點在 x 軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是a，0，準(zhǔn)線方程是 Xa.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.()答案(1)x(2)X(3)X X122 .拋物線 y=x2的準(zhǔn)線方程是()A. y= 1B. y= 2C. x= 1D . x= 23Ay=， x2= 4y, 準(zhǔn)線方程為 y= 1.3.(教材改編)若拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱 坐標(biāo)是()4A17B15C7

4、D0A.16B.16C.8D-0一 1 一B M 到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離，又準(zhǔn)線方程為 y=16,設(shè) M(x,115y),則 y+16 二 1, -y=面4.(教材改編)過拋物線一4x 的焦點的直線 l交拋物線于 P(x1, y1), Q(x2, y2)兩點，如果 X1+ X2= 6,則|PQ|等于()A. 9B. 8C. 7 D. 6B 拋物線 y2= 4x 的焦點為 F(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x= 1.根據(jù)題意可得，|PQ|= |PF|+ |QF 匸 X1+ 1 + X2+ 1 = X1+ x2+ 2= 8.5 .(教材改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點 P(

5、 2,4),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .y2= 8x 或 x2= y 設(shè)拋物線方程為 y2= 2px(pM0)或 x2= 2py(p 0).將P( 2, 4)代入，分別得方程為 y2= 8x 或 x2= y.例 1】 設(shè) P 是拋物線 y2= 4x 上的一個動點，若 B(3,2),則|PB|+ |PF|的最小值為_.4 如圖，過點 B 作 BQ 垂直準(zhǔn)線于點 Q,交拋物線于點 P1,則|P1Q|=|P1F|.則有 |PB|+ |PF| |P1B|+ |P1Q|= |BQ|= 4, 即 |PB| + |PF|的最小值為 4.課堂題型全突破考點全面方法簡潔5拓展探究(1)若將本例中的 B 點坐標(biāo)

6、改為(3,4),試求|PB|+ |PF|的最小值.(2)若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2= 4x,直線 l的方程為 x y+ 5 = 0,在拋物線上有一動點 P 到 y 軸的距離為 di,到直線 I 的距離為 d2,求 di+ ch 的最小值.解(1)由題意可知點 B(3,4)在拋物線的外部.|PB|+ |PF|的最小值即為 B, F 兩點間的距離，F(xiàn)(1,0),|PB|+|PF|BF|h/+ 22=2 5,即|PB|+ |PF|的最小值為 2 5.(2)由題意知，拋物線的焦點為 F(1,0).點 P 到 y 軸的距離 di= |PF| 1,所以 d1+ d2= d2+ |PF 1.

7、易知 d2+ |PF|的最小值為點 F 到直線 I 的距離，|1+ 5|廠故 d2+ |PF|的最小值為22= 3 2,十 12+(-仃所以 d1+ d2的最小值為 3 2 1.規(guī)律方法與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關(guān) 問題的重要途徑.跟蹤塚習(xí)(1)已知 P 是拋物線 y2= 4x 上的一個動點，Q 是圓(x 3)2+ (y 1)2=1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，貝PQ| + |PN|的最小值為()A. 3B. 4C. 5 D. 2+1(2)動圓過點(1,0)，且與直線 x = 1 相切，則動圓的

8、圓心的軌跡方程為(1)A (2)y2= 4x (1)由拋物線方程 y2= 4x,可得拋物線的焦點F(1,0),又N(1,0)，所以 N 與 F 重合.過圓(x 3)2+ (y 1)2= 1 的圓心 M 作拋物線準(zhǔn)線的垂 線MH，交圓于 Q,交拋物線于 P,則|PQ|+ |PN|的最小值等于|MH| 1 = 3.6(2)設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x, y),則圓心到點(1,0)的距離與到直線 x= 1 的距 離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2二 4x.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性1 題型題型 2|質(zhì)例 2】點 M(5,3)到拋物線 y= ax2的準(zhǔn)線的距離為 6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

9、()212121A x =祛B. x =裙或 x = 36yC. x2= 36yD . x2= 12y 或 x2= 36y(2) (2016 全國卷I)以拋物線 C 的頂點為圓心的圓交 C 于 A, B 兩點，交 C 的準(zhǔn)線于 D, E 兩點.已知|AB| = 4 2, |DE|= 2 5,則 C 的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A. 2B. 4C. 6 D. 8(3) 如圖所示，過拋物線 y2= 2px(p0)的焦點 F 的直線交拋物線于點 A, B,交其準(zhǔn)線 I 于點 C,若|BC|= 2|BF|, 且 |AF 匸 3,則此拋物線的方程為()232A. y= xB . y= 9x- 22o規(guī)律方法

10、1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有 p,所以只需一個7C . y pxD . y = 3x811 111+4a=6, :a= 12當(dāng) a0),圓的方程為 x2+ y2=上- AB|= 4 2, |DE| = 2 5,點2 2 , D 2, 5 在圓 x2+ y2= r2上, C 的焦點到準(zhǔn)線的距離為 4.(3)分別過點 A, B 作 AA1丄 l, BB1丄 l,且垂足分別為 A1, B1,由已知條件|BC|=2|BF|,得 |BC|= 2|BB1|，所以/ BCB1= 30又 AA1|= AF|= 3,所以 AC|= 2|AA1|= 6,所以|

11、CF| = AC| AF| = 6 3 = 3,所以 F 為線段 AC 的中點.13o故點 F 到準(zhǔn)線的距離為 p = 2AA1| = 2 故拋物線的方程為 y2= 3x.p6+ 8= r2,4 +5=2,p+8= 4 +5, p = 4(負(fù)值舍去).拋物線的準(zhǔn)線方程為 x不妨設(shè) A p, 2 2 ,P9條件確定 p 值即可.(2)因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再2.確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧(1) 利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線等性質(zhì)時，關(guān)鍵是將拋物線方 程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) 要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解直線與拋物線的位置關(guān)1 題型題型

12、 3|系?考法 1 直線與拋物線的交點問題2【例 3】(2017 全國卷I)設(shè) A，B 為曲線 C: y=號上兩點，A 與 B 的橫坐標(biāo)之和為 4.(1)求直線 AB 的斜率；設(shè) M 為曲線 C 上一點，C 在 M 處的切線與直線 AB 平行，且 AM 丄 BM， 求直線 AB 的方程.解(1)設(shè) A(x1, y1)，B(x2, y2)，2 2X1X2則 X1X2，4，y2= 4，* + X2= 4,X1 X22rX/口，X(2)由 y= 4，得 y 二夕設(shè) M(X3，y3)，由題設(shè)知2=1，解得 X3= 2，于是 M(2,1).于是直線 AB 的斜率 k=y1 y2X1+ X21.10設(shè)直線

13、 AB 的方程為 y=X+m，故線段 AB 的中點為 N(2,2+ m), |MN|= |m+ 1|.11x22將 y_x+ m 代入 y_ 才得 x 4x 4m_ 0.當(dāng)_ 16(m+ 1)0, 即卩 m 1 時，xi,2_ 2 珂 m+ 1.從而 |AB|_ 2|X1 X2|_ 4 2 m+ 1 .由題設(shè)知 AB|_2|MN|,即 4；2m+ 1 _2(m+ 1),解得 m_7.所以直線 AB 的方程為 y_ x+ 7.?考法 2 與拋物線弦長或中點有關(guān)的問題【例 4】 已知拋物線 C: x2_ 2py(p0),過焦點 F 的直線交 C 于 A, B 兩點，D 是拋物線的準(zhǔn)線 I 與 y

14、軸的交點.(1) 若 AB/I，且 ABD 的面積為 1,求拋物線的方程；(2) 設(shè) M 為 AB 的中點，過M作 I 的垂線，垂足為 N.證明：直線 AN 與拋物 線相切.解：AB/I, |FD|_ p, AB|_2p.-SAABD_p2, p_ 1,故拋物線 C 的方程為 X2_2y.(2)設(shè)直線 AB 的方程為 y_ kx+ p,y_kx+2，222由得 x2 2kpx p2_ 0, X1+ X2_ 2kp, X1X2_ p .j 2x _ 2pyX1 X1X22pxiX1 X2pxi又 X2_2py, y _p. 拋物線 X2_2py 在點 A 處的切線斜率 k_葺直線 AN 與拋物線

15、相切.M kp, k2p +p, N kp.P.其中 A, J ,22 pB22 | 2Xipxi+ p 2p+2_ 2pX1+ X2X1 X212規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法1 直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系2 有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過 拋物線的焦點，可直接使用公式 AB 匸 Xl|+ |X2| + P,若不過焦點，則必須用一般 弦長公式.3 涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān) 系采用“設(shè)而不求” “整體代入”等解法跟蹤練習(xí)已知拋物線 C: y2= 2px(

16、p0)的焦點為 F， 拋物線 C 與直線 11：y =x的一個交點的橫坐標(biāo)為 8.(1) 求拋物線 C 的方程；(2) 不過原點的直線 12與 li垂直，且與拋物線交于不同的兩點 A，B,若線段AB 的中點為 P,且 OP|=|PB|，求 FAB 的面積.解易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8, 8)，2I (8)=2pX8，二 2p = 8，拋物線方程為 y2= 8x.(2)直線 12與|1垂直，故可設(shè)直線 12： x= y+ m，A(X1, y1)，B(x2，y2)，且直 線l2與 x 軸的交點為 M.2 2ccyyi2y1+ y2= 8, y1y2= 8m, 二 X1x2= 4 = m .由

17、題意可知 OA 丄 OB, 即卩 x1x2+ yy2= m 8m= 0,m= 8 或 m= 0(舍),二直線 l2： x= y+ 8, M(8,0).13y2=8x,2由得 y 8y 8m= 0, = 64+ 32m0,二 m 2.x= y+ m,14故 SFAB=SFMB+SFMA= 2 |FM | |yi y2|=3 寸(yi+ y22 4yiy2=24/5.221. （2018 全國卷I）設(shè)拋物線 C:y2=4x的焦點為 F，過點（2,0）且斜率為-的直線與 C 交于 M , N 兩點，則 FM FN =（）A. 5B. 6C. 7 D. 82 2D 法一：過點（一 2,0）且斜率為 3

18、 的直線的方程為 y = 3（x + 2）,由得 x2 5x+ 4= 0,解得 x= 1 或 x = 4,所以X=1,ly=2 =(0,2), FN = (3,4)，所以 FM FN =8.故選 D.22.y=3(x+2)，法二：過點(2,0)且斜率為：的直線的方程為 y=：(x+2),由3332y = 4x,得 x2 5x+ 4= 0,設(shè) M(X1, y1), N(X2, y2)，則 y10, y20,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān) 系，得 X1+ x2= 5, X1Q4.易知 F(1,0)，所以 FM =(X1 1, y” , FN =(X2 1, y2),所以 FM FN = (X1 1)(X2 1)

19、 + y1y2= X1X2 (X1+ X2)+ 1 + 4 X1X2= 4 5+ 1 +8= 8.故選 D.2k真題自主驗效果近年哮題感悟規(guī)律y=|x+2,y2= 4x,x= 4,或y= 4,不妨設(shè) M(1,2), N(4,4)，易知 F(1,0),所以 FM152. (2016 全國卷U)設(shè) F 為拋物線 C: y2= 4x 的焦點，曲線 y=(k0)與 CX交于點 P, PF 丄 x 軸，則 k=()A.fD y3二 4x,. F(1,0).k又曲線 y=x(k0)與 C 交于點 P, PF 丄 x 軸， P(1,2).k將點 P(1,2)的坐標(biāo)代入 y=x(k0)得 k= 2故選 D.入

20、入3. (2018 全國卷川)已知點 M( - 1,1)和拋物線 C: y2= 4x,過 C 的焦點且斜 率為k 的直線與 C 交于 A, B 兩點.若/ AMB= 90則 k=_ .2 法一：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過 C 的焦點且斜率為 k 的直線y= k(X-1),222 22方程為 y= k(x- 1)(kM0),由2消去 y 得 k (x-1) = 4x,即卩 kx - (2ky = 4xk2+ 4y= kx-1 ,+ 4)x+ k = 0.設(shè) A(x1, y1), B(X2, y2),則 x1+ X2=2, X1X2= 1.由2k4x2 j1i 244消去 x 得 y = 4y +1 ,即 y y- 4=0,貝 U y1+ y2=k , yy2=- 4.由/AMB=90 ,得 MA MB = (X1+ 1 , y1 1) (X2+ 1, y2 1) = X1X2+ X1+ X2+ 1 + y1y232y1 y24所以 y1 y2= 4(X1 X2),貝 U k=.取