1、讀書之法,在循序而漸進，熟讀而精思圓錐曲線一、知識點講解一、橢圓：（1）橢圓的定義:平面內與兩個定點F1, F2的距離的和等于常數（大于 | F1F2 |）的點的軌跡。abf2的周P,Q兩點,其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：2a |F1F2|表示橢圓；2a 4F.F, |表示線段F1F2 ； 2a ：| F1F2 |沒有軌跡；（2）橢圓的標準方程、圖象及幾何性質：中心在原點，焦點在 x軸上中心在原點，焦點在 y軸上標準方程2 2冷+占=1（a>b>0） a b2 222 =1（anb0） ab圖形p y 一A小<>2xAP1y-A ox0>

2、;B10o 頂點A1 （一a,0）, A2 （a,0）B1（0-b）, B2（0,b）Ab,0）,A2（b,0）B1（0,-a）, B2 （0, a）對稱軸x軸，y軸；短軸為2b，長軸為2a隹占八、八、F1（-c,0）,F2 （c,0）F1（0,c）,F2（0,c）焦距| F1F2 = 2c（> 0）c2=a2-b2離心率ce = （0 <e v1）（離心率越大，橢圓越扁）a通徑2b 2乩 （過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內的線段）a2 23常用結論：（1）橢圓x2 +y2 =i（a>bAO）的兩個焦點為F1,F2，過F1的直線交橢圓于A, B兩點，則a2 b2長=2 2

3、（2）設橢圓 芻-V- =1（a b 0）左、右兩個焦點為F2，過F1且垂直于對稱軸的直線交橢圓于 a b則P,Q的坐標分別是 | PQ F 二、例題講解。例1、已知橢圓的中心在原點，且經過點P 3,0，a =3b，求橢圓的標準方程.分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據題設條件，運用待定系數法,求出參數a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標準方程.2 2解：當焦點在x軸上時，設其方程為 篤爲=1 a . b 0 .a b由橢圓過點P 3,0，知$ 2 =1 又a =3b，代入得b2 =1a b2 w,a2=9，故橢圓的方程為9y2 =1.當焦點在y軸上時，設其方程為22

4、y2x2=1 a b 0 .ab9由橢圓過點P 3,0 ,知2a2又a =3b，聯立解得a2 = 81，b2 = 9，故橢圓的方程為 2x1 .819例2、ABC的底邊BC的軌跡.=16，AC和AB兩邊上中線長之和為 30，求此三角形重心 G的軌跡和頂點 A分析：（1）由已知可得GC+ GB =20，再利用橢圓定義求解.解：（1）GC +GB（2 ）由G的軌跡方程以BC所在的直線為G、A坐標的關系，利用代入法求 A的軌跡方程.x軸,-20，知G點的軌跡是以B、BC中點為原點建立直角坐標系.設G點坐標為 x, y，由C為焦點的橢圓,且除去軸上兩點.因a =10 , c=8，有b=6 ,故其方程為

5、x，2設Ax，y，Gx，則而#2丄36,xX = ，2由題意有=1 y = 0，其軌跡是橢圓（除去 x軸上兩3代入，得A的軌跡方程為一” y900324y葛點）.例3、已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為 空和，過P點作焦33點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.解：設兩焦點為F1、F2，且PF=勺吃，3=W .從橢圓定義知 2a = PF13PF2 = 215 .即PF2從PF> PF2知PF2垂直焦點所在的對稱軸，所以在R0PF2F1中，sinNPF1F2 =2PF1=1=，5，從而b26. 3可求出 NP£F2= , 2c=PR co

6、s=6C-c210焦點為F1 , F2 , P是橢圓上一點,在第一象限.由余弦定理知:由橢圓定義知:PF1 PF2 =2aF1F22=PF1+PF?22PFi -PF22cos： = 4c .故 S.F1PF2 二PF1 PF2 sin a則2得2b2sin :PF1二 b2tan 二.2PF22b21 COS：2 3 2 3 2 2所求橢圓方程為 L 工=1或竺 '1.51010522例4、已知橢圓方程x2 y2 = 1 a b 0，長軸端點為A , a bNA PA2 =日，NF| PF2 = a .求：AF1PF2 的面積(用 a、b、ot 表示).1分析：求面積要結合余弦定理及

7、定義求角：的兩鄰邊，從而利用S、二丄absinC求面積.口 2解：如圖，設P x, y ,由橢圓的對稱性，不妨設P x, y ,由橢圓的對稱性，不妨設P三、習題講解。一、選擇題。1.圓6x2+ y2=6的長軸的端點坐標是A.(-1,0) ?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(- ' 6,0)?( 6 ,0)D.(0,- 6 )?(0, 6 )2.橢圓x2+ 8y2=1的短軸的端點坐標是、2、2A.(0,- 4 卜(0, 4 )B.(-1,0)、(1,0)C.(22 ,0)、(-' 2 ,0)D.(0,2 ' 2 卜(0, - 2 2)3. 橢圓3x2+2y2=

8、1的焦點坐標是.6A.(0,-6)、(0, 622x4.橢圓b2a 12y =+aA.Ja2 b222xy-才5.橢圓94(a>b>0)的準線方程是的焦點到準線的距離是)B.(0,-1)、(0,1)y =-B.a2.a2 -b2y =-C.b2a2 -b2D.(- 6 ,0)、( 6 ,0)y = -D.a2- a2 b2讀書之法，在循序而漸進_，熟讀而精思a； 5 和 5-b.5-和14 5c；5 和 AD1：-56.已知Fi、F2為橢圓2 X2 ab2=1(a> b> 0)的兩個焦點，過F2作橢圓的弦AB,若 AFiB的周長為16,橢圓離心率，則橢圓的方程是2 2x

9、 y 1A. 43=17.離心率為X2A.V y2X28.橢圓aB.162 2C.1612=1=1D.1632 ,且過點(2,0)的橢圓的標準方程是=1X2y2B.2J14x2X2C.d. 4y2=12 2x y1 或416A.相同的離心率=1和2 x2 a2 y b2(k>0)具有B.相同的焦點C.相同的頂點D.相同的長？短軸9.點A(a,1)在橢圓A.-2 <a<2B.a<-2 或a> 2C.-2< a<2D.-1<a<152x-210.設F是橢圓a2Lb2=1的右焦點，P(x,y)是橢圓上一點，貝U |FP|等于A. ex+ aB.e

10、x aC.ax e D.a ex二、填空題1.橢圓的焦點2.橢圓9F1 (0,6),中心到準線的距離等于10,則此橢圓的標準方程是=1 _ _上的點到直線2x - 3y x y1 3=0距離的最大的值是遐,則m =5. 直線y=1-x交橢圓mx三、簡答題。1、已知動圓P過定點A -3,0，且在定圓B:x-32 y2 =64的內部與其相內切, 跡方程.2 22、已知橢圓4x y =1及直線y = x m . 當m為何值時，直線與橢圓有公共點？210 若直線被橢圓截得的弦長為 仝10，求直線的方程.+ny2=1于M , N兩點，弦MN的中點為P,若K°p= 2 n .6. 若橢圓的一個頂

11、點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率是.27. 已知橢圓的準線方程是y=_9,離心率為 3，則此橢圓的標準方程是 .28. 到定點(1，0)的距離與到定直線x=8的距離之比為 2的動點P的軌跡方程是.9. 已知橢圓x2+2 y2=2的兩個焦點為Fi和F2，B為短軸的一個端點，則 BF1F2的外接圓方程是10. 已知點A(0，1)是橢圓x2+4y2=4上的一點，P是橢圓上的動點，當弦 AP的長度最大時，則點 P的坐標是2 23以橢圓 -1的焦點為焦點，過直線l: x 一 y 9 = 0上一點M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短,123點M應在何處？并求出此時的橢圓方程.4已知長軸為12,短軸

12、長為6,焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點 作傾斜解為一的直線交橢圓于 A ,3B兩點，求弦AB的長.1 : D 2 : A 3. A 4. B5. C 6. D 7. D 8. A 9. A 10. D1.2 2x y12460.24. 6 - v'25.丄6. 22 2乞.y_7. 1418= 18. x2 +2y2 +12x_62 = 09關鍵是根據題意,1、分析解：如圖所示，設動圓列出點 P滿足的關系式.P和定圓B內切于點M .動點P到兩定點,3. B讀書之法,在循序而漸進，熟讀而精思即定點A -3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑,即PA+|PB =|PM| +

13、PB =|BM| =8.點P的軌跡是以A，B為兩焦點, _ 2半長軸為4,半短軸長為b=42 -32 =$7的橢圓的方程： 21.167說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌 跡方程的一種重要思想方法.2、解：（1）把直線方程y=x+m代入橢圓方程4x2+y2=1得 4x2+（x+mf=1，即 5x2+2mx+m21 =0 . A = (2m 24><5沃(m21 )=16m2+20K 0 ，得m2（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1， x2，由（1 ）得X1 x2 -彳巴5x1x2 二根據弦長公式得： 1 12迥4x丄二1

14、=空12 .解得m = 0 .方程為y = x .I 5 丿55說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區別.這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式 ：；解決弦長問題，一般應用弦長公式.用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數的關系），可大大簡化運算過程.3分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線 同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決.2 2解:如圖所示，橢圓x y 1的焦點為F1 -3,0，F2 3,0 .123點Fi關于直線丨：x - y +9 =0的對稱點F的

15、坐標為（一9，6），直線FF?的方程1OF為 x 2y -3 =0 .解方程組丿x+2y3-0得交點皿的坐標為（5，4）.此時 MF1 +|MF2最小.£ _y +9 =0所求橢圓的長軸：2a = MR + MF2 = FF-6 5， a =3 5，又 c = 3，_ 2 2 2 b2二a2 -c2-32 =36.因此，所求橢圓的方程為- y 1 .45362 2為x_仝亠1554分析：可以利用弦長公式|AB| =訥十冏捲X2 = J（1卄2）（捲“2）2 4x2求得, 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求.解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.AB = J1

16、 +k X1 x2 = J（1 中 k ）（X1 *X2） 4xiX2.因為 a=6 , b=3，所以 c =隊/3 .因為焦點在 x 軸上，2 2所以橢圓方程為 y1，左焦點F（-3. 3,0），從而直線方程為 y 3x 9 .369X1X236 813從而 AB = J1 + k2 x1 x22248=.（1 k ）（xX2） -4x1X2= 13由直線方程與橢圓方程聯立得：-7Q f Q13x2 72, 3x 36 8 =0 .設 , x?為方程兩根，所以 x< x -,13（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解.2 2由題意可知橢圓方程為=1，設AF1= m,BF=n，貝UAF2 =12 m ,BF2=12 -n.369亠222兀22廠 1在 MF1F2中，AF2=AR +F1F22 AF1F1F2cos，即（12 m） =m+36-2 m 3-；3264 一 “3.同理在 BF1F2中，用余弦定理得UN，所以AB13（法3）利用焦半徑求解.先根據直線與橢圓聯立的方程 13x2 72