1、內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作第五節第五節 微分方程的微分方程的數值解數值解 在實用上有重大意義的許多微分方程，雖然滿足解的存在唯在實用上有重大意義的許多微分方程，雖然滿足解的存在唯一性定理的相關條件，但是它們的解常常不能表達成初等函數的一性定理的相關條件，但是它們的解常常不能表達成初等函數的形式，這類微分方程除了在第六章將要介紹穩定性、定性方法進形式，這類微分方程除了在第六章將要介紹穩定性、定性方法進行討論之外，最常用的方法就是用數值方法求解它們了，即行討論之外，最常用的方法就是用數值方法求解它們了，即微分微分方程的數值解法方程的數值解法

2、，現已逐步形成一門新的、獨立的研究分支了。，現已逐步形成一門新的、獨立的研究分支了。求求cauchy問題問題(初值問題初值問題)的解的解 ，根據初值條件，根據初值條件 ，按照一定的步，按照一定的步長長h，用某種方法（算法）計算微分方程解，用某種方法（算法）計算微分方程解 的近似的近似值值 ，這樣求出的解稱為，這樣求出的解稱為數值解數值解。00( , )()yf x yy xy )()(0nhxxxyynn)(xyy 00)(yxy00)(yxy)(xy內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作第一部分第一部分 歐拉方法歐拉方法規定規定：相鄰兩個節點的間

3、距：相鄰兩個節點的間距 稱為稱為步長步長，在以后，在以后如不特別聲明，步長就為定值如不特別聲明，步長就為定值h。1nnhxx12nxxx討論下列節點列上的近似解：12,ny yy00( , ) , ( ) 1()2yf x yxa by xy（）內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作1(,),0,1,2,nnnnyyhf xyn并用并用 的近似值的近似值 代入上式的右端，記所得結果為代入上式的右端，記所得結果為 ，于是有于是有()ny xny1ny歐拉公式歐拉公式(euler)()(, ()nnny xf xy x把方程（把方程（1）離散化，其基本

4、方法是用）離散化，其基本方法是用差商代替微商差商代替微商，如以，如以點點 列代入方程（列代入方程（1），有：），有：nx1()()()nnny xy xy xh并用差商代替其中的導數項，即并用差商代替其中的導數項，即1()()(, ()nnnny xy xhf xy x有：有：例例1 求解以下初值問題求解以下初值問題2,(01).(0)1,xyyyxy 解：分析解：分析 1、 確定步長確定步長h0.1，由歐拉格式，有，由歐拉格式，有1(,),0,1,2,nnnnyyhf xyn2、通過計算分析歐拉格式的精度較低。、通過計算分析歐拉格式的精度較低。nxnynxny()ny x()ny x1.73

5、211.78481.01.41421.43510.51.61251.64980.81.26491.27740.31.67331.54921.48320.90.70.61.35821.19181.10001.71781.34160.41.58031.18320.21.50901.09540.1內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作在在 的前提下估計的前提下估計 的誤差稱為的誤差稱為局部截斷誤差局部截斷誤差。)(nnxyy 11)(nnyxy)3() , 2 , 1 , 0(),(1nyxhfyynnnn1、歐拉公式（歐拉格式）、歐拉公式（歐拉格式）2

6、、差分方程、差分方程由（由（3）構成的方程稱為）構成的方程稱為差分方程差分方程，由此逐步求，由此逐步求 。ny3、局部截斷誤差和精度、局部截斷誤差和精度如果一種數值方法的局部截斷誤差為如果一種數值方法的局部截斷誤差為 ，則稱這種方法的，則稱這種方法的精度為精度為 階階。p)(1pho內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作), 2 , 1 , 0(),(),()(2)(12211nxxhoyhyxyrnnnnnnn),(111nnnnyxhfyy用向后差商 替代方程中的導數項 ，有)(11nnyxyh)(,()( 111nnnxyxfxy)( 1nx

7、y歐拉格式的精度是歐拉格式的精度是 階。事實上，有階。事實上，有p內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作),(211nnnnyxhfyy用中心差商 替代方程中的導數項 ，有)()(2111nnxyxyh)(,()( nnnxyxfxy)( nxy計算當前步的值需要用到前兩步的值，因此，得名兩步格式兩步格式。同時，也稱前兩種方法為單步方法單步方法。內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作內江師范學院數學與信息科學學院內江師范學院數學與信息科學學院 吳開騰吳開騰 制作制作小小 結結介紹了常微分方程初值問題數值求解的介紹了常微分方程初值問題數值求解的歐拉格式歐拉格式，這，這些格式分別具有一階和二階精度。注意：些格式分別具有一階和二階精度。注意：1、歐拉格式建立的基本思想就是用、歐拉格式建立的基本思想就是用差商差商代替代替微商微商（向（向 前、向后和中心差商）；前、向后和中心差商）；2、步長的選取；、步長的選取；3、算法的收斂和穩定性算法的收斂和穩定性分析是一個算法的重要部分。分析是一個算法的重要部分。1(,)nnnnyyhf xy111(,)nnnnyyhf xy),(211nnnnyxhfyy