1、數(shù)學(xué)概念的了解與教學(xué)數(shù)學(xué)概念的了解與教學(xué)有效教學(xué)的關(guān)鍵有效教學(xué)的關(guān)鍵 了解數(shù)學(xué)，了解學(xué)生，了解教學(xué)。了解數(shù)學(xué)，了解學(xué)生，了解教學(xué)。 “三個(gè)了解的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)三個(gè)了解的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；初中數(shù)學(xué)課程構(gòu)造體系、教學(xué)重科知識(shí)；初中數(shù)學(xué)課程構(gòu)造體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)價(jià)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)價(jià)學(xué)生的知識(shí)了解程度的知識(shí)；等。學(xué)生的知識(shí)了解程度的知識(shí)；等。 特別強(qiáng)調(diào)特別強(qiáng)調(diào)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法的了解，決議了教學(xué)所能到達(dá)的程度和效的了解，決議了教學(xué)所能

2、到達(dá)的程度和效果。果。當(dāng)前概念教學(xué)的問題當(dāng)前概念教學(xué)的問題 不注重章節(jié)起始課的教學(xué)，沒有把本章節(jié)不注重章節(jié)起始課的教學(xué)，沒有把本章節(jié)要處理的主要問題、根本過程和主要思想要處理的主要問題、根本過程和主要思想方法等納入教學(xué)義務(wù)中；方法等納入教學(xué)義務(wù)中； 概念教學(xué)走過場(chǎng)，經(jīng)常采用概念教學(xué)走過場(chǎng)，經(jīng)常采用“一個(gè)定義，一個(gè)定義，三項(xiàng)留意的方式，在概念的背景引入上三項(xiàng)留意的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的時(shí)機(jī)，以為讓學(xué)生多做幾道標(biāo)題質(zhì)特征的時(shí)機(jī)，以為讓學(xué)生多做幾道標(biāo)題更實(shí)惠更實(shí)惠 有些教師不知如何教概念有些教師不知如何教概念教概念的意

3、義教概念的意義 李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧缺乏道也！是玩技巧技巧缺乏道也！ 以解題教學(xué)替代概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離以解題教學(xué)替代概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必需糾正否那么，學(xué)生了數(shù)學(xué)的正軌，必需糾正否那么，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精神，結(jié)果能夠在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精神，結(jié)果能夠是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人終將落空數(shù)學(xué)育人終將落空概念教學(xué)的中心概念教學(xué)的中心 概念教學(xué)的中心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概概念教學(xué)的中心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思想翻開，以典型豐富的念中的數(shù)學(xué)

4、家的思想翻開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開察看、分析各實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開察看、分析各事例的屬性、籠統(tǒng)概括共同本質(zhì)屬性，歸事例的屬性、籠統(tǒng)概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。納得出數(shù)學(xué)概念。概念教學(xué)的根本環(huán)節(jié)概念教學(xué)的根本環(huán)節(jié) 典型豐富的詳細(xì)例證典型豐富的詳細(xì)例證屬性的分析、比屬性的分析、比較、綜合；較、綜合； 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性； 下定義準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)言語描畫；下定義準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)言語描畫； 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例正例、反例為以實(shí)例正例、反例為載體分析關(guān)鍵詞的含義；載體分析關(guān)鍵詞的含義； 用概念作判別的詳細(xì)事例用概念作判別的詳細(xì)事例

5、構(gòu)成用概念構(gòu)成用概念作判別的詳細(xì)步驟；作判別的詳細(xì)步驟； 概念的概念的“精致精致建立與相關(guān)概念的聯(lián)建立與相關(guān)概念的聯(lián)絡(luò)。絡(luò)。例例1 1 代數(shù)的中心概念、思想方法代數(shù)的中心概念、思想方法 代數(shù)代數(shù)以符號(hào)以符號(hào)( (不定元不定元) )代表數(shù)；代表數(shù)； 代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算；代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算； 代數(shù)運(yùn)算有一系列普遍成立的運(yùn)算律：交代數(shù)運(yùn)算有一系列普遍成立的運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律、指數(shù)法那么；換律、結(jié)合律、分配律、指數(shù)法那么； 方式、關(guān)系、函數(shù)：方式、關(guān)系、函數(shù)：“找規(guī)律，用代數(shù)找規(guī)律，用代數(shù)符號(hào)表征和了解數(shù)學(xué)構(gòu)造、數(shù)量關(guān)系、變符號(hào)表征和了解數(shù)學(xué)構(gòu)造、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律。化規(guī)律。

6、代數(shù)學(xué)的根本思想：有系統(tǒng)、有效能地運(yùn)代數(shù)學(xué)的根本思想：有系統(tǒng)、有效能地運(yùn)用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去處理各種各樣的代數(shù)問題：處理各種各樣的代數(shù)問題： 各種式整式、分式、根式等的運(yùn)算各種式整式、分式、根式等的運(yùn)算用運(yùn)算律進(jìn)展用運(yùn)算律進(jìn)展“等價(jià)變換；作為數(shù)及等價(jià)變換；作為數(shù)及其運(yùn)算的推行。其運(yùn)算的推行。 方程方程未知數(shù)、知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)未知數(shù)、知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)系；解方程系；解方程由代數(shù)方程式確定其中的由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)的值；未知數(shù)的值； 解方程的根本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都解方程的根本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都成立通性，所以對(duì)成立通性，所以

7、對(duì)“未知數(shù)也成未知數(shù)也成立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)的方程，從而確定其中的未知數(shù)化化未知為知。未知為知。 一元一次方程是根底，其它都用消元、一元一次方程是根底，其它都用消元、降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 方程問題，從元的添加、次數(shù)的添加兩方程問題，從元的添加、次數(shù)的添加兩個(gè)方向，按照由簡(jiǎn)到繁、由易到難依次個(gè)方向，按照由簡(jiǎn)到繁、由易到難依次展開。展開。 從代數(shù)式符號(hào)代表數(shù)、方程符號(hào)從代數(shù)式符號(hào)代表數(shù)、方程符號(hào)代表未知數(shù)到函數(shù)符號(hào)代表變數(shù)代表未知數(shù)到函數(shù)符號(hào)代表變數(shù)是一個(gè)飛躍，這是看問題角度的根本變是一個(gè)飛躍，

8、這是看問題角度的根本變化化從變化過程中調(diào)查規(guī)律，函數(shù)是從變化過程中調(diào)查規(guī)律，函數(shù)是研討變化規(guī)律的。研討變化規(guī)律的。 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰反映的變化規(guī)律由誰反映不僅明確不僅明確x，y的意義，而且明確的意義，而且明確k，b的意義的意義變化規(guī)律由變化規(guī)律由k，b決議。決議。 其他函數(shù)也類似。其他函數(shù)也類似。例例2 2 乘法公式的了解及教學(xué)設(shè)計(jì)乘法公式的了解及教學(xué)設(shè)計(jì) 多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號(hào)的算式之間多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號(hào)的算式之間的運(yùn)算字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所的運(yùn)算字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律；以字母也滿足運(yùn)算律； 兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它

9、歸于兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法那么是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法那么來計(jì)算來計(jì)算運(yùn)算法那么；運(yùn)算法那么； 乘法公式是一類特殊的多項(xiàng)式乘法問題，乘法公式是一類特殊的多項(xiàng)式乘法問題，是一個(gè)方式。是一個(gè)方式。乘法公式蘊(yùn)含的思想方法乘法公式蘊(yùn)含的思想方法 乘法公式是研討普通多項(xiàng)式乘法根底上對(duì)乘法公式是研討普通多項(xiàng)式乘法根底上對(duì)“特例的調(diào)查，尋覓一個(gè)方式：特例的調(diào)查，尋覓一個(gè)方式： 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊方式，即

10、有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊方式，即 1a=c，b=d時(shí)有平方差公式；時(shí)有平方差公式； 2a=c，b=d時(shí)有完全平方和公式；等。時(shí)有完全平方和公式；等。 從普通到特殊，歸納的思想，從普通到特殊，歸納的思想，“調(diào)查特例調(diào)查特例是數(shù)學(xué)研討的是數(shù)學(xué)研討的“根本套路。根本套路。教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1復(fù)習(xí)與引入復(fù)習(xí)與引入 問題問題1 前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法，他能說說運(yùn)算法那么嗎？這些運(yùn)算乘法，他能說說運(yùn)算法那么嗎？這些運(yùn)算的根據(jù)是什么？的根據(jù)是什么？ 設(shè)計(jì)意圖：回想運(yùn)算法那么，強(qiáng)化設(shè)計(jì)意圖：回想運(yùn)算法那么，強(qiáng)化“用運(yùn)算用運(yùn)算律計(jì)算的認(rèn)識(shí)。律計(jì)算的認(rèn)識(shí)。 先行組織

11、者：先行組織者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中中，a，b，c，d可以是數(shù)、式或別的什么。可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要經(jīng)過調(diào)查特殊情況來獲得數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要經(jīng)過調(diào)查特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，例如在兩條直線的對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研討了平行、垂直位置關(guān)系中，我們特別研討了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一些特殊情形值得研討。些特殊情形值得研討。 2公式的探求公式的探求 問題問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直

12、接寫出結(jié)可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x時(shí)的特例。在時(shí)的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，他以為還有中，他以為還有哪些特殊情形？他能得到什么？哪些特殊情形？他能得到什么？ 設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過“先行組織者，浸透從普先行組織者，浸透從普通到特殊，調(diào)查特例，深化認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象通到特殊，調(diào)查特例，深化認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出已有特例已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個(gè)類比對(duì)，使學(xué)生有一個(gè)類比對(duì)象，明確思索方向。象，明確思索方向。 問題問題3 請(qǐng)他用本人的言語表述平方差

13、公式、請(qǐng)他用本人的言語表述平方差公式、完全平方公式。完全平方公式。 設(shè)計(jì)意圖：協(xié)助學(xué)生了解公式。設(shè)計(jì)意圖：協(xié)助學(xué)生了解公式。 3例題例題 本環(huán)節(jié)主要目的是經(jīng)過變式字母本環(huán)節(jié)主要目的是經(jīng)過變式字母a，b取取數(shù)、式等各種變形，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)公式在數(shù)、式等各種變形，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)公式在“方式化運(yùn)算中的作用。另外，經(jīng)過適方式化運(yùn)算中的作用。另外，經(jīng)過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生能夠的忽略。最終要讓當(dāng)反例，糾正學(xué)生能夠的忽略。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備方式學(xué)生明確：第一，具備方式(a+b)(ab)或或(ab)2，就可以用公式；第二，要留意哪，就可以用公式；第二，要留意哪個(gè)代表個(gè)代表a，哪個(gè)代表，哪個(gè)代表b。 4公式的多

14、元聯(lián)絡(luò)表示公式的多元聯(lián)絡(luò)表示 問題問題4 假設(shè)假設(shè)a，b表示線段的長(zhǎng)，那么表示線段的長(zhǎng)，那么a2，b2分別表示正方形的面積。他能根據(jù)公式的分別表示正方形的面積。他能根據(jù)公式的方式，本人構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公方式，本人構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公式嗎？式嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過構(gòu)造幾何模型表示公式，設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開辟學(xué)生的思緒。經(jīng)過數(shù)形結(jié)合、圖形以開辟學(xué)生的思緒。經(jīng)過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深了解、加強(qiáng)記憶。直觀，以加深了解、加強(qiáng)記憶。 5小結(jié)小結(jié) 1請(qǐng)他總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的根本請(qǐng)他總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的根本過程。過程。 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“

15、根本套路，即根本套路，即“多項(xiàng)式乘法普通多項(xiàng)式乘法普通乘法公式特殊乘法公式特殊公式特征分析公式特征分析與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)絡(luò)。絡(luò)。 2為什么要討論為什么要討論“特殊情形？是如何特殊情形？是如何得到的？得到的？ 設(shè)計(jì)意圖：領(lǐng)會(huì)設(shè)計(jì)意圖：領(lǐng)會(huì)“如何提出問題。如何提出問題。 3能否循著上述思緒，再提出一些值得能否循著上述思緒，再提出一些值得研討的問題？研討的問題？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研討。必要時(shí)可設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研討。必要時(shí)可作提示，如公式作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推中，推行行“次數(shù)，可以研討次數(shù)，可以研討(a+b)3，(a+b)4。雖然這不是。雖然這不是“

16、課標(biāo)要求的，但對(duì)學(xué)生課標(biāo)要求的，但對(duì)學(xué)生思想開展是有益處的。思想開展是有益處的。例例3 3 函數(shù)概念的了解和教學(xué)函數(shù)概念的了解和教學(xué) 被扭曲的函數(shù)概念教學(xué)舉例：被扭曲的函數(shù)概念教學(xué)舉例： 1只在方式化變形上下功夫只在方式化變形上下功夫 如下圖是二次函數(shù)如下圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖圖 像的一部分，圖像過點(diǎn)像的一部分，圖像過點(diǎn)A(3,0)，對(duì)，對(duì) 程軸為程軸為x=1，給出以下四個(gè)結(jié)論：，給出以下四個(gè)結(jié)論： b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正確的結(jié)論是，其中正確的結(jié)論是 。2 2與平面幾何知識(shí)的疊加與平面幾何知識(shí)的疊加(3)(3)將知識(shí)點(diǎn)拼湊、疊加，成為一種數(shù)學(xué)游戲?qū)⒅?/p>

17、識(shí)點(diǎn)拼湊、疊加，成為一種數(shù)學(xué)游戲據(jù)稱，這是近幾年中考常見的壓軸題。據(jù)稱，這是近幾年中考常見的壓軸題。有評(píng)論說：有評(píng)論說：“這樣的標(biāo)題的特點(diǎn)是經(jīng)過采這樣的標(biāo)題的特點(diǎn)是經(jīng)過采用寬入口、低起點(diǎn)、層層遞進(jìn)、逐漸提高用寬入口、低起點(diǎn)、層層遞進(jìn)、逐漸提高知識(shí)的綜合程度，利用點(diǎn)和線的圖形運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合程度，利用點(diǎn)和線的圖形運(yùn)動(dòng)，借助函數(shù)知識(shí)來研討圖形在運(yùn)動(dòng)變化過，借助函數(shù)知識(shí)來研討圖形在運(yùn)動(dòng)變化過程中的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)浸透多種數(shù)學(xué)思想程中的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)浸透多種數(shù)學(xué)思想方法的方式設(shè)計(jì)標(biāo)題的問題，為標(biāo)題的區(qū)方法的方式設(shè)計(jì)標(biāo)題的問題，為標(biāo)題的區(qū)分度奠定了較好的根底。分度奠定了較好的根底。完全分開了函數(shù)的背景，割裂

18、了函數(shù)與客觀完全分開了函數(shù)的背景，割裂了函數(shù)與客觀世界的天然聯(lián)絡(luò)。世界的天然聯(lián)絡(luò)。人為制造，矯揉造作！人為制造，矯揉造作！關(guān)于函數(shù)概念的了解關(guān)于函數(shù)概念的了解 說文解字：函說文解字：函信函，傳送和交流信息信函，傳送和交流信息的書面方式。引申為有順序的對(duì)應(yīng)關(guān)的書面方式。引申為有順序的對(duì)應(yīng)關(guān)系。系。 函數(shù)的來源：函數(shù)來源于運(yùn)動(dòng)，是應(yīng)函數(shù)的來源：函數(shù)來源于運(yùn)動(dòng)，是應(yīng)“科科學(xué)的數(shù)學(xué)化之所需。學(xué)的數(shù)學(xué)化之所需。“數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研討中引出了一個(gè)根本概念。在那以后的二討中引出了一個(gè)根本概念。在那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎一切的任務(wù)中占百年里，這個(gè)概念在幾乎一切的任務(wù)中占中心位置，這就是函數(shù)中

19、心位置，這就是函數(shù)或變量間的關(guān)或變量間的關(guān)系系的概念。的概念。MM克萊因克萊因函數(shù)概念的本質(zhì)函數(shù)概念的本質(zhì) 函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量之間的一種特函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！昂瘮?shù)不是一個(gè)數(shù)，而函數(shù)不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。 函數(shù)概念所反映的根本思想：運(yùn)動(dòng)變化的函數(shù)概念所反映的根本思想：運(yùn)動(dòng)變化的思想。思想。 教學(xué)的中心義務(wù)：讓學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)的中心義務(wù)：讓學(xué)生體驗(yàn)“一個(gè)量隨一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化的過程著另一個(gè)量的變化而變化的過程只只需數(shù)字、圖形游戲是辦不到的。需數(shù)字、圖形游戲是辦不到的。標(biāo)題的比較標(biāo)題的比較 我們習(xí)以為常的標(biāo)題：我們習(xí)

20、以為常的標(biāo)題： 這樣的標(biāo)題，只需方式化的訓(xùn)練，主要在這樣的標(biāo)題，只需方式化的訓(xùn)練，主要在代數(shù)運(yùn)算上下功夫，函數(shù)的味道很淡，代數(shù)運(yùn)算上下功夫，函數(shù)的味道很淡，“變量、變量、“運(yùn)動(dòng)變化、運(yùn)動(dòng)變化、“一個(gè)量隨另一一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化以及變化過程中個(gè)量的變化而變化以及變化過程中“確確定的關(guān)系或定的關(guān)系或“變化規(guī)律等，都表達(dá)得變化規(guī)律等，都表達(dá)得不夠。不夠。 換一種方法出標(biāo)題：換一種方法出標(biāo)題： 函數(shù)味道很濃，函數(shù)味道很濃，“變量、變量、“一個(gè)量隨另一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化以及變化過程中一個(gè)量的變化而變化以及變化過程中“確定的關(guān)系或確定的關(guān)系或“變化規(guī)律等，都得到變化規(guī)律等，都得到充分表達(dá)。

21、一定要了解了概念才干回答，充分表達(dá)。一定要了解了概念才干回答，如必需真正了解斜率如必需真正了解斜率k k的實(shí)踐含義才干回答的實(shí)踐含義才干回答“是什么緣由導(dǎo)致了他們所畫的圖像的不是什么緣由導(dǎo)致了他們所畫的圖像的不同？同？ 兩種出題方法的教育功能也是不同的兩種出題方法的教育功能也是不同的后一種方法更有助于學(xué)生了解函數(shù)概念的后一種方法更有助于學(xué)生了解函數(shù)概念的本質(zhì)；能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用；對(duì)學(xué)生本質(zhì)；能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用；對(duì)學(xué)生才干的培育更全面。才干的培育更全面。函數(shù)概念的開展簡(jiǎn)史函數(shù)概念的開展簡(jiǎn)史 背景：背景：1717世紀(jì)，科學(xué)家們努力于對(duì)運(yùn)動(dòng)的世紀(jì)，科學(xué)家們努力于對(duì)運(yùn)動(dòng)的研討。如計(jì)算天體的位置

22、，長(zhǎng)間隔航海中研討。如計(jì)算天體的位置，長(zhǎng)間隔航海中對(duì)經(jīng)度和緯度的丈量，炮彈的速度對(duì)于高對(duì)經(jīng)度和緯度的丈量，炮彈的速度對(duì)于高度和射程的影響等。涉及兩個(gè)變量之間的度和射程的影響等。涉及兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要根據(jù)這種關(guān)系對(duì)事物的變化規(guī)律關(guān)系，要根據(jù)這種關(guān)系對(duì)事物的變化規(guī)律作出判別，如根據(jù)炮彈的速度推測(cè)它能到作出判別，如根據(jù)炮彈的速度推測(cè)它能到達(dá)的高度和射程。達(dá)的高度和射程。 萊布尼茲用萊布尼茲用“函數(shù)表示隨曲線的變化而函數(shù)表示隨曲線的變化而改動(dòng)的幾何量，如坐標(biāo)、切線等。改動(dòng)的幾何量，如坐標(biāo)、切線等。17181718年年，貝努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示。，貝努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示。17551755年年，

23、歐拉將函數(shù)定義為，歐拉將函數(shù)定義為“假設(shè)某些變量，以假設(shè)某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。的變量稱為后面變量的函數(shù)。 當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家對(duì)不用公式表示函數(shù)很不當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家對(duì)不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱疑心態(tài)度。習(xí)慣，甚至抱疑心態(tài)度。 1837年，狄利克雷提出：年，狄利克雷提出：“假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于x的每的每一個(gè)值，一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么，那么y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。 1870年代，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概年代，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募吓c對(duì)應(yīng)言語表述

24、。念用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募吓c對(duì)應(yīng)言語表述。 映射的言語定義函數(shù)那么是更晚的事情了映射的言語定義函數(shù)那么是更晚的事情了。函數(shù)概念的教學(xué)要點(diǎn)函數(shù)概念的教學(xué)要點(diǎn) 為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道；為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道； 精選實(shí)踐例子精選實(shí)踐例子從實(shí)例出發(fā)，在函數(shù)概念的引從實(shí)例出發(fā)，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和運(yùn)用等階段都要留意運(yùn)用實(shí)踐入、表示、性質(zhì)和運(yùn)用等階段都要留意運(yùn)用實(shí)踐例子，為學(xué)生提供了解函數(shù)概念的例子，為學(xué)生提供了解函數(shù)概念的“參照物。參照物。一個(gè)好例子勝過一千次說教。一個(gè)好例子勝過一千次說教。 不在字面含義、方式化不在字面含義、方式化“運(yùn)用等方面糾纏，多運(yùn)用等方面糾纏，多讓學(xué)生用函數(shù)觀念解

25、釋詳細(xì)問題。讓學(xué)生用函數(shù)觀念解釋詳細(xì)問題。 圍繞運(yùn)動(dòng)變化、變量、一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化圍繞運(yùn)動(dòng)變化、變量、一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化等，以實(shí)例為載體開展教學(xué)，加強(qiáng)思想方而變化等，以實(shí)例為載體開展教學(xué)，加強(qiáng)思想方法、函數(shù)建模等。法、函數(shù)建模等。例例4 一次函數(shù)的例題教學(xué)一次函數(shù)的例題教學(xué) 一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費(fèi)方一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式：方式式：方式A以每分以每分0.1元的價(jià)錢按上網(wǎng)時(shí)間元的價(jià)錢按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)；方式計(jì)費(fèi)；方式B除收月基費(fèi)除收月基費(fèi)20元外，再以每分元外，再以每分0.05元的價(jià)錢按照上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)。如何選擇元的價(jià)錢按照上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)。如何選擇收費(fèi)方式能使上網(wǎng)

26、更合算？收費(fèi)方式能使上網(wǎng)更合算？ 通常的做法：列出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)通常的做法：列出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像看出相交，再解二元一次方程組得交圖像看出相交，再解二元一次方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，給出回答；或者引入點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，給出回答；或者引入“差額函數(shù)，借助與差額函數(shù)，借助與x軸的交點(diǎn)作答。軸的交點(diǎn)作答。充分發(fā)掘此題的教學(xué)價(jià)值充分發(fā)掘此題的教學(xué)價(jià)值 問題問題1 101 10分兩種方式收費(fèi)各多少？分兩種方式收費(fèi)各多少？2020分呢分呢？5050分呢？分呢？引導(dǎo)學(xué)生采用多種表征方引導(dǎo)學(xué)生采用多種表征方式，用表格法很方便。式，用表格法很方便。時(shí)間時(shí)間（分）（分）0 0101020203030

27、404050506060方式方式A A0 01.01.02.02.03.03.04.04.05.05.06.06.0方式方式B B20.020.020.520.521.021.021.521.522.022.022.522.523.023.0 問題問題2 為什么可以用射線表示收費(fèi)情況？為什么可以用射線表示收費(fèi)情況？ 問題問題3 為什么方式為什么方式A的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，而方的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，而方式式B的圖像經(jīng)過點(diǎn)的圖像經(jīng)過點(diǎn)0，20？ 問題問題4 如何找到上網(wǎng)如何找到上網(wǎng)a分時(shí)的兩種方式各收分時(shí)的兩種方式各收費(fèi)多少？費(fèi)多少？ 問題問題5 計(jì)費(fèi)方式的哪些方面在表格或圖像計(jì)費(fèi)方式的哪些方面在表格或圖像中

28、表現(xiàn)出來了？?jī)山M數(shù)的差是常數(shù)；每中表現(xiàn)出來了？?jī)山M數(shù)的差是常數(shù)；每多上網(wǎng)多上網(wǎng)1分，就要再付分，就要再付0.1元或元或0.05元。元。 問題問題6 6 假設(shè)他不常上網(wǎng)，選哪種方式更合假設(shè)他不常上網(wǎng)，選哪種方式更合算？假設(shè)常上網(wǎng)呢？算？假設(shè)常上網(wǎng)呢？ 問題問題7 7 假設(shè)他想盡量長(zhǎng)時(shí)間上網(wǎng)，但又不假設(shè)他想盡量長(zhǎng)時(shí)間上網(wǎng)，但又不想讓費(fèi)用超越想讓費(fèi)用超越4040元，該選哪種方式？元，該選哪種方式？ 問題問題8 8 假設(shè)方式假設(shè)方式A A收取基費(fèi)，或方式收取基費(fèi)，或方式B B提高提高基費(fèi)，對(duì)圖像有什么影響？截距問題基費(fèi)，對(duì)圖像有什么影響？截距問題 問題問題9 9 假設(shè)方式假設(shè)方式A A決議將每分決議將

29、每分0.10.1元提高到元提高到每分每分0.150.15元，它的圖像有什么變化？斜元，它的圖像有什么變化？斜率問題率問題 問題問題10 10 假設(shè)方式假設(shè)方式A A改為缺乏改為缺乏1 1分按分按1 1分算，分算，請(qǐng)畫出圖像。階梯形請(qǐng)畫出圖像。階梯形 問題問題11 11 哪種函數(shù)表示法更容易得到收費(fèi)哪種函數(shù)表示法更容易得到收費(fèi)相等的時(shí)間點(diǎn)？相等的時(shí)間點(diǎn)？ 問題問題12 12 哪種函數(shù)表示法更容易看出每分哪種函數(shù)表示法更容易看出每分的收費(fèi)規(guī)范？的收費(fèi)規(guī)范？ 問題問題13 13 如何從表格中確定收費(fèi)規(guī)范？如何從表格中確定收費(fèi)規(guī)范？ 問題問題14 14 如何從圖像上確定收費(fèi)添加快慢如何從圖像上確定收費(fèi)

30、添加快慢？ 問題問題15 15 如何從圖像上看出用哪種方式更如何從圖像上看出用哪種方式更經(jīng)濟(jì)？經(jīng)濟(jì)？例例5 5 平行四邊形的斷定平行四邊形的斷定 中心：斷定與性質(zhì)的邏輯關(guān)系，以此為載中心：斷定與性質(zhì)的邏輯關(guān)系，以此為載體，培育合情推理、邏輯推理的才干體，培育合情推理、邏輯推理的才干 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要點(diǎn)：教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要點(diǎn)： 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)怎樣復(fù)習(xí)？不只是羅列知識(shí)點(diǎn)怎樣復(fù)習(xí)？不只是羅列知識(shí)點(diǎn) 提出斷定定理的學(xué)習(xí)義務(wù)，由定義可以斷提出斷定定理的學(xué)習(xí)義務(wù)，由定義可以斷定講清條件：兩組對(duì)邊相互平行，但定講清條件：兩組對(duì)邊相互平行，但條件的表現(xiàn)方式是多樣化的，根據(jù)不同條條件的表現(xiàn)方式是多樣化的，根據(jù)不同條件更

31、靈敏地判別件更靈敏地判別學(xué)習(xí)斷定定理的理由學(xué)習(xí)斷定定理的理由 從操作開場(chǎng)，還是從逆命題開場(chǎng)？從操作開場(chǎng)，還是從逆命題開場(chǎng)？ 暫時(shí)認(rèn)同先操作：操作暫時(shí)認(rèn)同先操作：操作猜測(cè)猜測(cè)“兩組對(duì)兩組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形邊相等的四邊形為平行四邊形證明證明接著干什么？與性質(zhì)定理比較接著干什么？與性質(zhì)定理比較 后續(xù)的猜測(cè)，可以從性質(zhì)出發(fā)。假設(shè)還不后續(xù)的猜測(cè)，可以從性質(zhì)出發(fā)。假設(shè)還不做，那么在小結(jié)時(shí)無論如何要說。做，那么在小結(jié)時(shí)無論如何要說。當(dāng)前存在的問題當(dāng)前存在的問題 沒有關(guān)注思想的自然，邏輯推理才干的培沒有關(guān)注思想的自然，邏輯推理才干的培育，停留在育，停留在“實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)猜測(cè)猜測(cè)證明證明運(yùn)用的方式上。運(yùn)用的

32、方式上。 過度依賴實(shí)驗(yàn)，降低了平面幾何的教育價(jià)過度依賴實(shí)驗(yàn)，降低了平面幾何的教育價(jià)值。值。 該推理時(shí)不推理，該證明時(shí)不證明該推理時(shí)不推理，該證明時(shí)不證明從從普通到特殊、逆命題等，都普通到特殊、逆命題等，都“該證明。該證明。例例6 用頻率估計(jì)概率用頻率估計(jì)概率 如何了解頻率？如何了解頻率？隨機(jī)變量，隨實(shí)驗(yàn)結(jié)隨機(jī)變量，隨實(shí)驗(yàn)結(jié)果的改動(dòng)而改動(dòng)。果的改動(dòng)而改動(dòng)。 概率，隨機(jī)的還是確定的？概率，隨機(jī)的還是確定的？ 事件事件A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為0，A是不能夠事件嗎是不能夠事件嗎？ 事件事件A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為1，A是必然事件嗎？是必然事件嗎？如何了解用頻率估計(jì)概率的必要性？如何了解用頻率估計(jì)概

33、率的必要性？ 用拋擲硬幣、擲骰子的例子好不好？用拋擲硬幣、擲骰子的例子好不好？ 姚明投籃：在姚明罰球出手的一剎那，畫姚明投籃：在姚明罰球出手的一剎那，畫面停頓，問面停頓，問“姚明罰進(jìn)的概率有多大？姚明罰進(jìn)的概率有多大？ 接著該干什么？接著該干什么？姚明罰球的命中率客姚明罰球的命中率客觀存在，假設(shè)知道該值的大小，對(duì)對(duì)方球觀存在，假設(shè)知道該值的大小，對(duì)對(duì)方球隊(duì)決策有協(xié)助。假設(shè)該值小，罰球得分的隊(duì)決策有協(xié)助。假設(shè)該值小，罰球得分的能夠性小，可以思索犯規(guī)后能夠性小，可以思索犯規(guī)后“隨他投；隨他投；否那么思索不犯規(guī)。否那么思索不犯規(guī)。 水到渠成地，提問：水到渠成地，提問：“如何求命中率？如何求命中率？

34、現(xiàn)實(shí)中，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)歷史的罰球記錄來得到現(xiàn)實(shí)中，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)歷史的罰球記錄來得到罰球的命中率，即用頻率估計(jì)概率。罰球的命中率，即用頻率估計(jì)概率。 假設(shè)知道一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的能夠性的大假設(shè)知道一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的能夠性的大小小概率，有助于我們做決策，所以要概率，有助于我們做決策，所以要想方法知道它。概率的統(tǒng)計(jì)定義想方法知道它。概率的統(tǒng)計(jì)定義用頻用頻率估計(jì)概率率估計(jì)概率一種得到概率的方法。一種得到概率的方法。正確了解正確了解“用頻率估計(jì)概率用頻率估計(jì)概率 普通地，在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)事件普通地，在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)事件A發(fā)發(fā)生的頻率生的頻率m/n會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那附近，那么事件么事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率P(A)=p。只需實(shí)驗(yàn)的次。只需實(shí)驗(yàn)的次數(shù)數(shù)n足夠大，頻率足夠大，頻率m/n就可以作為概率就可以作為概率p的估的估計(jì)值。計(jì)值。 只需大量實(shí)驗(yàn)的頻率才干作為概率的估計(jì)只需大量實(shí)驗(yàn)的頻率才干作為概率的估計(jì)嗎？嗎？究竟多少次是究竟多少次是“足夠大？足夠大？ 頻率總可以作為概率的估計(jì)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)影頻率總可以作為概率的估計(jì)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)影響的是估計(jì)精度。次數(shù)由問