1、小學數學核心知識研究曾小平曾小平首都師范大學初等教育學院首都師范大學初等教育學院上帝創造了自然數，其余的數都是人為的。上帝創造了自然數，其余的數都是人為的。（注：這里上帝指大自然） 克羅內克（德，數學家）克羅內克（德，數學家） 對兒童來講，自然數遠比實物難以理對兒童來講，自然數遠比實物難以理解。為什么？解。為什么？ 自然數數有兩種屬性。基數屬性指什自然數數有兩種屬性。基數屬性指什么？序數屬性指什么？么？序數屬性指什么？ 基數基數表示集合的元素有多少個表示集合的元素有多少個 0 a 1 a,b 2 a,b,c 3 序數序數表示集合中元素的的順序表示集合中元素的的順序 a , b , c , d

2、, e , f , 1 2 3 4 5 6 數（數（sh）來源于數（）來源于數（sh），計數就是數），計數就是數（sh）數（）數（sh）。）。為什么說1是特殊的自然數？為什么要把0作為自然數？ 中華人民共和國國家標準中華人民共和國國家標準（gb3100-3102-93第第311頁）規定：頁）規定：0是自然數，表示是自然數，表示一個也沒有。一個也沒有。0 作為自然數會帶來哪些麻煩？ 0 0作除數會怎樣？作除數會怎樣？ 0 0是質數還是合數？是質數還是合數？ 最小的一位數是幾？最小的一位數是幾？ 0 0的約數是多少？的約數是多少？0 0是任何一個自然數的倍是任何一個自然數的倍數嗎？數嗎？ 0 0只

3、是一個自然數，不要對它的意義過分追只是一個自然數，不要對它的意義過分追究，否則在小學階段很難向學生解釋！究，否則在小學階段很難向學生解釋！加法、減法的含義 小學數學如何定義加法？小學數學如何定義加法？ 加法的結果為和，為什么不是合？加法的結果為和，為什么不是合？ 小學數學如何定義減法？小學數學如何定義減法？ 小學生在加減法運算的困難在哪里？小學生在加減法運算的困難在哪里？ 哪些加減法學生不易掌握？哪些加減法學生不易掌握？乘法、除法的含義 小學數學如何定義乘法？小學數學如何定義乘法？ 乘法的結果為什么叫做積？乘法的結果為什么叫做積？ 小學乘法可以怎么算？小學乘法可以怎么算？ 小學數學如何定義除法

4、？小學數學如何定義除法？ 除法結果為什么叫做商？除法結果為什么叫做商？ 小學除法可以怎么算？小學除法可以怎么算？ 除法有分配律嗎？除法有分配律嗎？ 分配律的價值是什么？分配律的價值是什么？四則運算的性質與規律 加法、乘法有哪些運算律？如何證明？它加法、乘法有哪些運算律？如何證明？它們的本質是什么？們的本質是什么？ 加減乘除四則運算有哪些運算性質？它們加減乘除四則運算有哪些運算性質？它們同哪些知識有關？今后什么時候會用到它同哪些知識有關？今后什么時候會用到它們？們？四則運算中的常見錯誤四則運算中的常見錯誤32523248325248523232483）（）（62542564252）（104251

5、04251）（）（錯了沒有？如何評價？評價標準是什么？ 學生的解答是否有其合理性？學生是如何學生的解答是否有其合理性？學生是如何思考的？思考的？ 學生這樣做違背了什么？數學中的知識按學生這樣做違背了什么？數學中的知識按照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違背？哪些不能違背？這幾類知識如何教學？背？哪些不能違背？這幾類知識如何教學？ 如何評價學生的這種解答？我們要以什么如何評價學生的這種解答？我們要以什么樣的心態對待學生的樣的心態對待學生的“錯誤錯誤”？如何糾正？如何糾正學生不規范的書寫？學生不規范的書寫？余數的運用身份證校驗碼號號碼碼1 1 010519491

6、231002x權權重重7 9 10584216379105842權重求和為權重求和為167167，再除以，再除以1111得余數得余數2 2，再尋找相應校驗碼，再尋找相應校驗碼x x余數余數0 12345678910校驗校驗碼碼1 0x 98765432余數的運用商品條形碼 國際商品編碼協會，國際商品編碼協會，ean-13ean-13有有1313位：本體碼位：本體碼+ +校驗碼校驗碼 前三位為生產國家和地區代碼，中間前三位為生產國家和地區代碼，中間4-64-6位為生產商代碼，位為生產商代碼，后面后面3-53-5位為商品代碼。位為商品代碼。 前三位：前三位：690-692690-692代表中國大陸

7、，代表中國大陸，471471代表中國臺灣，代表中國臺灣，489489代表中國香港。代表中國香港。 校驗碼的計算過程校驗碼的計算過程 （1 1）計算前）計算前1212位中奇數位數字和位中奇數位數字和j j； （2 2）計算前）計算前1212位中偶數位數字和的位中偶數位數字和的3 3倍倍s s； （3 3）計算）計算j+sj+s； （4 4）計算）計算j+sj+s除以除以1010的余數的余數x x； （5 5）計算補數）計算補數(10-x)(10-x)作為校驗碼。作為校驗碼。6902952880294余數的運用書號 國際標準書號國際標準書號 isbn+組號組號+出版者號出版者號+書名號書名號+校驗

8、碼校驗碼 商品條碼（商品條碼（ean) 987+國家地區代碼國家地區代碼+出版機構代出版機構代碼碼+商品代碼商品代碼+校驗碼校驗碼isbn 7-303-05884-29787303058846 國際標準書號國際標準書號 （1）計算前九位本體嗎的加權和）計算前九位本體嗎的加權和s=207； （2）s除以除以11得余數得余數y=9； （3）求）求y的補數的補數j=11 y=2，即為校驗碼。，即為校驗碼。isbn 7-303-05884-2數碼730305884權重1098765432算術運算的特征 （1）計算）計算1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ =？ （2）比較）比較0.9999

9、與與1的大小？的大小？1. 十進制計數法 “十進制計數法”包括“十進位”和“位置值”兩條原則： “十進位十進位”，就是滿十進一，即相鄰兩個計數單位，就是滿十進一，即相鄰兩個計數單位之間的進率為十。之間的進率為十。 “位置值位置值”，就是同一個數字在不同數位上表示，就是同一個數字在不同數位上表示的數值不同。的數值不同。“十進制計數法”的歷史發展 第一階段，創造數字符號，即每個數字對第一階段，創造數字符號，即每個數字對應一個文字符號，只能用有限的一些符號應一個文字符號，只能用有限的一些符號表示有限的一些數。表示有限的一些數。 第二階段，建立進位規則，即重復使用有第二階段，建立進位規則，即重復使用有

10、限的幾個數字符號按一定規則進行組合表限的幾個數字符號按一定規則進行組合表示大量數字。示大量數字。 比如，古埃及用比如，古埃及用 表示表示1、 表示表示10、用、用表示表示32。公元前。公元前1600年左右，我國年左右，我國的甲骨文中就有專用的符號表示的甲骨文中就有專用的符號表示“一、二、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千千”等數字，并用這些符號進行組合表示等數字，并用這些符號進行組合表示其它的數。其它的數。 這種計數系統的進率為十，這就是早期的這種計數系統的進率為十，這就是早期的“十進制計數法十進制計數法”。 第三階段，建立位置概念，即數字符號在

11、第三階段，建立位置概念，即數字符號在不同的不同的“位位”表示基數不同的量，比較直表示基數不同的量，比較直觀的計數。人類將常見的計數單位從右到觀的計數。人類將常見的計數單位從右到左排成一排，計數時在對應的位置上寫上左排成一排，計數時在對應的位置上寫上相應單位的個數，而不必重復記下各個單相應單位的個數，而不必重復記下各個單位。位。 第四階段，建立十進制計數法，即按照第四階段，建立十進制計數法，即按照“滿十進一滿十進一”的原則，用的原則，用09這這10個數字個數字表示所有自然數。表示所有自然數。 偉大政治家馬克思偉大政治家馬克思 ：“人類最妙的發明之一人類最妙的發明之一”。 法國數學家拉普拉斯法國數

12、學家拉普拉斯 ：“用十個記號表示一切數，用十個記號表示一切數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這是每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以至于我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡以至于我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都帶來了極大的方便，才使得單性以及對一切計算都帶來了極大的方便，才使得我們的算術在一切有用的發明中列在首位我們的算術在一切有用的發明中列在首位 ”。 東北師范大學史寧中校長：東北師范大學史寧中校長：“人類從數量的多少中人類從數量的多少中抽象出數的概念，并且

13、用十個符號來表示，這不僅抽象出數的概念，并且用十個符號來表示，這不僅對于數學，即便對于人類文明的發展的貢獻也都是對于數學，即便對于人類文明的發展的貢獻也都是巨大的巨大的” 。十進制計數法的重要價值“認識11-20各數”的教學 體會體會“要用一個代表多個要用一個代表多個” ； 體會單個計數的局限性體會單個計數的局限性 ； 操作理解操作理解“滿十進一滿十進一” ； 操作中體會操作中體會“借一當十借一當十” 。感興趣的讀者可以參閱 六年級六年級 “ “認識負數認識負數”的數學公開課上，比較數的數學公開課上，比較數的大小引出現了困難：的大小引出現了困難： 1616-5-5，5 5-16-16，-5-5

14、-16-16。 第一小題，學生全部正確。第一小題，學生全部正確。 第二小題，大多數學生認為第二小題，大多數學生認為5-165-16，因為，零下，因為，零下1616要比要比55冷得多冷得多”。 第三小題，大多數學生都認為第三小題，大多數學生都認為“-5-16”-5-16”，因為，因為，在銀行里第一次取出在銀行里第一次取出5 5元錢，第二次取出元錢，第二次取出1616元錢，元錢，第二次取出的第二次取出的1616元多，所以元多，所以-5-16”-5-16”。2. 負數的理解與教學減法的局限性 在非負數范圍內，加法是可以暢通無阻的在非負數范圍內，加法是可以暢通無阻的進行的，即任何兩個非負數相加，其結果

15、進行的，即任何兩個非負數相加，其結果是非負數，是非負數， 可是，在非負數范圍內，減法卻不能暢通可是，在非負數范圍內，減法卻不能暢通無阻的進行，當減數大于被減數時差不是無阻的進行，當減數大于被減數時差不是非負數。非負數。 因此，要適當延伸非負數，即增加一些新因此，要適當延伸非負數，即增加一些新的數，得到一個更廣闊的范圍。使得在這的數，得到一個更廣闊的范圍。使得在這個大范圍內，減法可以暢通無阻的進行。個大范圍內，減法可以暢通無阻的進行。 在非負數范圍內，我們沒辦法計算在非負數范圍內，我們沒辦法計算5-8，但，但可以盡量將它化簡，即根據差不變的性質，可以盡量將它化簡，即根據差不變的性質，得到得到5-

16、8=0-3，把，把0-3看做一個新的數，簡單看做一個新的數，簡單記作記作-3。 數學上規定形如數學上規定形如3（=0+3）、）、5（0+5）這樣）這樣的數叫做正數，形如的數叫做正數，形如-3（=0-3）、）、-5（=0-5）這樣的數叫做負數，把正數、零和負數統這樣的數叫做負數，把正數、零和負數統稱為有理數。稱為有理數。 在有理數范圍內，按照非負數的加減法進在有理數范圍內，按照非負數的加減法進行計算就可以了。比如，行計算就可以了。比如，8+（-13）=8+（0-13）=8-13=0-5=-5，9-（-4）=9-（0-4）=9-0+4=13，-7-（-5）=（0-7）-（0-5）=0-7+5=5-

17、7=0-2=-2。 數學上規定：數學上規定： 如果如果a-b0，則，則ab； 如果如果a-b0，則，則a=b； 如果如果a-b0，則，則ab。比如，（比如，（-8）-（-5）=-3，所以，所以-8-5。在小學階段，要求不是特別嚴密，如果注意在小學階段，要求不是特別嚴密，如果注意到到-8=0-8、-5）=0-5，因為，因為0-80-5（被減（被減數相同，減數越大，差越小），也可以得數相同，減數越大，差越小），也可以得到到-8-5。數的大小比較“認識負數”的教學感興趣的讀者可以參閱3.分數的本質與教學在北京市監測試題中，下面兩題普遍出錯：在北京市監測試題中，下面兩題普遍出錯：1.1.小蘭按要求配制

18、了兩杯糖水：小蘭按要求配制了兩杯糖水：第一杯，糖占第一杯，糖占水的水的1/51/5；第二杯，用；第二杯，用1010克糖配制克糖配制5050克糖水。克糖水。哪一杯更甜呢？哪一杯更甜呢？2.2.圖中圓被平均分成圖中圓被平均分成8 8分，將涂分，將涂 色的色的5 5份看做單位份看做單位1 1，用分數表，用分數表 示未涂色的部分為（示未涂色的部分為（ ）。）。分數的意義是什么？ 課本上說：將單位課本上說：將單位1（可以是一個個體，也（可以是一個個體，也可以是一個整體）平均分成幾份，表示一可以是一個整體）平均分成幾份，表示一份或者幾份的數。份或者幾份的數。 學生所掌握的分數的學生所掌握的分數的“份數份數

19、”定義，只是定義，只是分數的一種直觀模型化解釋，并不是分數分數的一種直觀模型化解釋，并不是分數定義的本質所在。定義的本質所在。 在小學數學中，分數有三種定義，即份數在小學數學中，分數有三種定義，即份數定義、商的定義和比的定義，定義、商的定義和比的定義，“商的定義商的定義”才是分數定義的本質所在。才是分數定義的本質所在。 份數的定義有什么優點？有什么缺點？份數的定義有什么優點？有什么缺點？為什么說為什么說“商的定義商的定義”才是分數的本質定義？才是分數的本質定義？這兩個定義有何異同？這兩個定義有何異同？五年級“分數意義”的教學 （一）分數產生的必要性（一）分數產生的必要性（二）分數的定義（二）分

20、數的定義感興趣的讀者可以參閱4.小數的意義與教學 2010年年11月，在一個小學數學教師的交流月，在一個小學數學教師的交流群里，有一個帖子，引發了不少小學教師群里，有一個帖子，引發了不少小學教師的討論。的討論。 這個帖子是：這個帖子是：“課本上說小數是一種特殊課本上說小數是一種特殊的分數，既然小學已經系統的學習了分數，的分數，既然小學已經系統的學習了分數，將小數問題轉化為分數問題來處理就行了，將小數問題轉化為分數問題來處理就行了，為什么還要學習小數呢？為什么還要學習小數呢？” 小數的定義？課本中的小數定義這個教學案例說明了什么？小數的本質小數的教學 用人民幣類比引入小數用人民幣類比引入小數 ；

21、 用米尺測量理解小數的產生和含義。用米尺測量理解小數的產生和含義。5.多位數乘法的算法與教學 乘法的計算方法乘法豎式的教學6.除法豎式的歷史演變與教學 學生為什么不會寫除法豎式？ 為何探究不出來？122 242 4 4 0243 726 12 12 0？難點分析除法豎式的教學 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給3個小朋友，你個小朋友，你怎么分？請你分一分，分完后請告訴老師，怎么分？請你分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對應的數學算你是分幾步完成的？每一步對應的數學算式是什么？式是什么？ 生：我分三步來分的。第一步，把生：我分三步來分的。第一步，把4捆平均捆平均非給

22、非給3個人，每人個人，每人1捆，還余下一捆，對應捆，還余下一捆，對應算式算式4311；第二步，把余下一捆打；第二步，把余下一捆打開，和開，和2根放在一起，得到根放在一起，得到12根，對應算式根，對應算式10212；第三步，把；第三步，把12根平均分給根平均分給3個個人，每人人，每人4根，對應算式根，對應算式1234 。 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給4個人，請你用個人，請你用剛才的第一種方法分一分，分完后請告訴剛才的第一種方法分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對應的老師，你是分幾步完成的？每一步對應的數學算式是什么？數學算式是什么？ 生：分三步來分的：第一步，

23、把生：分三步來分的：第一步，把4捆平均分捆平均分給給4個人，每人個人，每人1捆，對應算式捆，對應算式441；第；第二步，把第一步余下的和二步，把第一步余下的和2根放在一起，得根放在一起，得到到2根，對應算式根，對應算式022；第三步，把；第三步，把2根根平均分給平均分給4個人，每人個人，每人0根，余下兩根，對根，余下兩根，對應算式應算式2402（教師把三個算式寫在（教師把三個算式寫在黑板上）。結果為，每人黑板上）。結果為，每人10根余下根余下2根。根。7.7.三角形的內角和為什么等于三角形的內角和為什么等于180180？ 在一節在一節“三角形的內角和三角形的內角和”的公開課上，教師期的公開課上

24、，教師期望學生通過度量發現三角形的內角和等于望學生通過度量發現三角形的內角和等于180，便讓每位學生隨意畫一個三角形，用量角器量出便讓每位學生隨意畫一個三角形，用量角器量出三個內角的度數，然后把它們加起來，看看等于三個內角的度數，然后把它們加起來，看看等于多少。多少。 然而，大部分學生測量的結果都不是然而，大部分學生測量的結果都不是180（要（要么多一點，要么少一點），僅有幾個學生量出所么多一點，要么少一點），僅有幾個學生量出所畫的三角形內角和為畫的三角形內角和為180，教師就通過投影展，教師就通過投影展示了這幾個學生的示了這幾個學生的“作品作品”，然后通過投影出示，然后通過投影出示結論結論“

25、三角形的內角和為三角形的內角和為180”。接下頁接下頁 誰知，膽大的學生開始反駁，誰知，膽大的學生開始反駁，“老師，大多數同老師，大多數同學的三角形都不是學的三角形都不是180，你為什么卻偏偏同意，你為什么卻偏偏同意少數幾個同學的結果？少數幾個同學的結果？” 老師連忙解釋道，老師連忙解釋道，“因為你們的測量存在誤差，因為你們的測量存在誤差，如果你們測量準確，也會得到三角形內角和為如果你們測量準確，也會得到三角形內角和為180”。 然而，學生卻不依不饒，然而，學生卻不依不饒，“就算我們測量準確，就算我們測量準確，得到三角形的內角和為得到三角形的內角和為180，我們班上，我們班上30多個多個同學測

26、量的也是成千上萬個三角形中的很少一部同學測量的也是成千上萬個三角形中的很少一部分，這怎么就能說明所有的都是分，這怎么就能說明所有的都是180呢？呢？” 教師無言以對了，只好說教師無言以對了，只好說“等你們長大了，就可等你們長大了，就可以證明三角形的內角和為以證明三角形的內角和為180了，現在你們只了，現在你們只要記住這個結論就行了要記住這個結論就行了”。內角和公式的證明運用歸納方法發現結論 教學階段（一） 師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角形，最大的角在變化，另外兩個角呢？形，最大的角在變化，另外兩個角呢？ 生：另外兩個角在變小。生：另外兩個角

27、在變小。 師：可以大膽的設想，你還能發現什么？師：可以大膽的設想，你還能發現什么？ 生：在三角形中，一個角變大，另外兩個角會變生：在三角形中，一個角變大，另外兩個角會變小。小。 生：有可能三個角的和是不變的，是一個固定值。生：有可能三個角的和是不變的，是一個固定值。 生：我也覺得有這個可能。我們文具盒里的兩個生：我也覺得有這個可能。我們文具盒里的兩個三角板，內角度數分別為三角板，內角度數分別為90、45、45和和90、60、30，總和為，總和為180。 生：好像等邊三角形每個角生：好像等邊三角形每個角60，那么它的內角，那么它的內角和為和為180。 生：有可能所有三角形的內角和都是生：有可能所

28、有三角形的內角和都是180。 師：真是這樣嗎？你能夠用事實來說明嗎？師：真是這樣嗎？你能夠用事實來說明嗎？ 生：我剪下一個三角形的三個角，拼在一起，好生：我剪下一個三角形的三個角，拼在一起，好像形成一個平角，可以大致說明三角形的內角和像形成一個平角，可以大致說明三角形的內角和是是180。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內角分生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內角分別為別為75、83和和21，和為，和為179，接近，接近180。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內角分別為112、53和16，和為181，比180多了一點點。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內角分別為66、71和4

29、3，和剛好為180。 師：從上述四位同學的研究中，你發現了什么？ 生：三角形的內角和很有可能是180。 生：可是我們兩個的結果是179和181啊？ 生：可能你們測量不夠準確，所以有點偏離180。 生：我們測量的到的結果都在180附近，沒有偏離的太遠，這說明三角形的內角和很有可能是180。運用演繹方法證明結論運用演繹方法證明結論 教學片斷（二）教學片斷（二）8. 平均數的含義與教學 哪一個球隊更高？ 計算兩個球隊的平均身計算兩個球隊的平均身高，其中歡樂隊平均身高，其中歡樂隊平均身高為（高為（148142139141140）5142（厘米），開心隊平均（厘米），開心隊平均身高為（身高為（14414

30、6142145143）5144（厘米）。最后，（厘米）。最后，教師引導學生得出結論，教師引導學生得出結論，“開心隊高一些開心隊高一些”。 此時，有個學生提出疑問。此時，有個學生提出疑問。“要比較兩個球隊的要比較兩個球隊的身高，只要比較身高的總數就可以了。而且比較身高，只要比較身高的總數就可以了。而且比較總數還更簡單一些。因此，沒有必要比較平均數，總數還更簡單一些。因此，沒有必要比較平均數，用平均數反而復雜了用平均數反而復雜了”。 教師沒有立即回答這個問題，而是問其他同學，教師沒有立即回答這個問題，而是問其他同學，“你們怎么看？你們怎么看？” 有學生說，有學生說，“要是隊員超過要是隊員超過10人

31、，我們就沒辦法人，我們就沒辦法計算了，我們只學過除數是一位數的除法。算總計算了，我們只學過除數是一位數的除法。算總數只用加法，我們都會算數只用加法，我們都會算”；也有學生說，；也有學生說，“要要是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數不是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數不好好”。 學習平均數時，學生會出現哪些常學習平均數時，學生會出現哪些常見錯誤見錯誤 ？平均數的統計含義 （一）統計學的本質與基本過程 統計學是關于搜集和分析數據的科學和藝術，其目的是為了對一些不確定的事物進行較準確的推斷。統計學的本質是數據分統計學的本質是數據分析，通過對數據的分析來了解和判斷數據析，通過對數據的分析來了解和

32、判斷數據產生的背景。產生的背景。 （1）確定研究問題；）確定研究問題； （2）制定研究方法；）制定研究方法； （3）搜集數據，采集信息；）搜集數據，采集信息； （4）分析數據，探索隱含的規律；）分析數據，探索隱含的規律； （5）做出推斷與結論。）做出推斷與結論。（2）統計的基本過程 （3）平均數的含義naaaxn21ffafafaxnn2211ffax11ffa22ffann （四）平均數的特征 平均數介于最大值和最小值之間，即平均平均數介于最大值和最小值之間，即平均數比最小的數大一些，比最大的數小一些；數比最小的數大一些，比最大的數小一些； 平均數是一個虛擬值，即平均數不一定是平均數是一個虛

33、擬值，即平均數不一定是這一組數據中的數；平均數反映的是一組數這一組數據中的數；平均數反映的是一組數據的特征，不是其中每一個數據的特征；據的特征，不是其中每一個數據的特征； 所有數據都影響平均數，即所有的數據所有數據都影響平均數，即所有的數據（包括（包括0）都要參與平均數的計算；）都要參與平均數的計算； （四）平均數的特征 平均數易受極端數據的影響，即一個數據平均數易受極端數據的影響，即一個數據離平均數越遠，對平均數的影響越；離平均數越遠，對平均數的影響越； 所有的數據在平均數上下波動，它們的偏所有的數據在平均數上下波動，它們的偏差之和等于差之和等于0； 平均數并不是將所有的數據都變得相等了，平

34、均數并不是將所有的數據都變得相等了，而是將各個數據平均分擔了。而是將各個數據平均分擔了。平均數的教學 （一）明確問題 師：學校想知道咱們三年級到底男生高還是女生師：學校想知道咱們三年級到底男生高還是女生高，你打算怎么辦？高，你打算怎么辦？ 生：測量我們學校三年級生：測量我們學校三年級8個班所有同學的身高，個班所有同學的身高，然后進行比較。然后進行比較。 師：這是個好辦法。不過老師很好奇，想這節課師：這是個好辦法。不過老師很好奇，想這節課就知道大概的結果。你打算怎么辦？就知道大概的結果。你打算怎么辦？ 生：以咱們班為代表，測量一下我們的身高。生：以咱們班為代表，測量一下我們的身高。 生：咱們班近

35、生：咱們班近40人，全部都測量也需要很多時間。人，全部都測量也需要很多時間。干脆找一個小組代替，這樣更快，也能大致回答干脆找一個小組代替，這樣更快，也能大致回答學校的問題。學校的問題。 （二）搜集數據（二）搜集數據 師：找哪個小組呢？師：找哪個小組呢？ 生：第三組比較合適，他們組沒有太高的，也沒生：第三組比較合適，他們組沒有太高的，也沒有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。 師：好。現在咱們測量第三組同學的身高。師：好。現在咱們測量第三組同學的身高。 （三）分析數據 師：從這九個數字出發，怎么比較呢？師：從這九個數字出發，怎么比較呢？ 生：把這些數字加起來

36、，看看誰大。生：把這些數字加起來，看看誰大。 生：那不行。女生人數多，肯定女生總數大。不生：那不行。女生人數多，肯定女生總數大。不一定說明女生高，因為最高的是男生。一定說明女生高，因為最高的是男生。 生：那就把他們折算一下，折算成一個人大概有生：那就把他們折算一下，折算成一個人大概有多高，不就可以比較了嗎？多高，不就可以比較了嗎？ 師：這是一個好辦法，怎么折算呢？師：這是一個好辦法，怎么折算呢？ 生：第四個男生高，把他的身高移生：第四個男生高，把他的身高移2厘米給第一厘米給第一個，移個，移1厘米給第三個，大家都成了厘米給第三個，大家都成了135厘米了，厘米了，這就是折算后男生的大致身高。這就是折算后男生的大致身高。 師：這種方法叫做移多補少，比較直觀形象。師：這種方法叫做移多補少，比較直觀形象。 師：女生呢？師：女生呢？ 生：好像不太好移，可能移多補少的方法生：好像不太好移，可能移多補少的方法不靈了？不靈了？ 師：是的。誰還有別的方法？師：是的。誰還有別的方法？ 生：生：全部加起來除以全部加起來除以5就可以了，也就是就可以了，也就是（134+133+136+134+137）5，結果是商，結果是商134還余還余4。 生：我用計算器算的，女生的