1、第四章三角形,數學七年級下冊北師,1認識三角形,課時1三角形及其內角和,課時1,1.下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形,其中是三角形的是 (,答案,1.D【解析】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形,由此可知A,B,C不是三角形,D是三角形.故選D,知識點1 三角形的有關概念,2.2020北京順義區期末如圖,以BC為邊的三角形有 () A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,答案,2.C【解析】以BC為邊的三角形有BCE,BAC,DBC.故選C,知識點1 三角形的有關概念,3.如圖,在BCE中,邊BE所對的角是,CBE所對的邊是;在AEC中,邊AE所對的角是, AEC

2、所對的邊是;以A為內角的三角形是,答案,3.BCECEACEACABD,ABC,ACE,知識點1 三角形的有關概念,4.2019浙江紹興中考如圖,墻上釘著三根木條a,b,c,量得1=70,2=100,那么木條a,b所在直線所夾的銳角是 () A.5 B.10 C.30 D.70,答案,4.B【解析】如圖,因為2=100,所以3=2=100,所以木條a,b所在直線所夾的銳角為180-3-1=180-100-70=10.故選B,知識點2 三角形的內角和,5.2019湖北襄陽中考如圖,直線BCAE,CDAB于點D,若BCD=40,則1的度數是 () A.60 B.50 C.40 D.30,答案,5.

3、B【解析】因為CDAB,BCD=40,所以DBC=50.因為BCAE,所以1=DBC=50.故選B,知識點2 三角形的內角和,6.2020山東淄博中考如圖,在四邊形ABCD中,CDAB,ACBC,若B=50,則DCA等于 () A.30 B.35 C.40 D.45,答案,6.C【解析】解法一因為ACBC,所以ACB=90,又因為B=50,所以CAB=90-B=40.因為CDAB,所以DCA=CAB=40.故選C. 解法二因為CDAB,B=50,所以DCB=180-50=130.因為ACBC,所以ACB=90,所以DCA=DCB-ACB=40.故選C,知識點2 三角形的內角和,7.如圖,1+2

4、+3+4的度數為,答案,7.300【解析】由題圖,可知1+2=180-30=150,3+4=180-30=150,所以1+2+3+4= 150+150=300,知識點2 三角形的內角和,8.2019黑龍江哈爾濱香坊區期中如果ABC的三個內角之比為153,那么ABC中最大角的度數為,答案,8.100【解析】設ABC中最小的內角為x,則另外兩角的大小分別為5x,3x,由題意,得x+5x+3x=180,解得x=20,所以5x=100,所以ABC中最大角的度數為100,知識點2 三角形的內角和,9.2020河北保定一模如圖,一個三角形只剩下一個角,這個三角形為 () A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C

5、.直角三角形 D.以上都有可能,答案,9.B【解析】從題圖中看到的一個角是鈍角,所以這個三角形為鈍角三角形.故選B,知識點3 三角形按角的大小分類,10.2019四川綿陽涪城區月考在ABC中,A= 1 2 B= 1 3 C,則ABC是 () A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.等邊三角形,答案,10.B【解析】因為A= 1 2 B= 1 3 C,所以可設A=x,則B=2x,C=3x,由題意,得x+2x+3x=180,所以x=30,所以A=30,B=60,C=90,所以ABC是直角三角形.故選B,知識點3 三角形按角的大小分類,11.2019四川資陽中考如圖,l1l2,點O在直線l1

6、上,若AOB=90,1=35,則2的度數為 () A.65 B.55 C.45 D.35,答案,11.B【解析】解法一因為l1l2,1=35,所以OAB=1=35.因為OAOB,所以2=OBA=90-OAB=55.故選B. 解法二因為AOB=90,1=35,l1l2,所以OBA=180-(AOB+1)=55,所以2=OBA=55.故選B,知識點4 直角三角形的兩個銳角互余,12.2019四川成都武侯區期中如圖,已知ACB=90,CDAB,垂足是D,則圖中與A相等的角是 () A.1 B.2 C.B D.1,2和B,答案,12.B【解析】因為ACB=90,所以1+2=90.因為CDAB,所以AC

7、D是直角三角形,所以A+1=90,所以A=2.故選B,知識點4 直角三角形的兩個銳角互余,13.如圖,在ABC中,C=90,EFAB,分別交AC,BC于點E,F,CEF=50,則B的度數是,答案,13.40【解析】因為C=90,所以CEF+CFE=90,又因為CEF=50,所以CFE=40.因為EFAB,所以B=CFE=40,知識點4 直角三角形的兩個銳角互余,1.2019江蘇蘇州期中如圖,點D在ABC內,若BDC=120,1+2=55,則A的度數為 () A.50 B.60 C.65 D.75,答案,1.C【解析】因為D=120,所以DBC+DCB=60,因為1+2=55,所以ABC+ACB

8、=60+55=115,所以A=180-115=65.故選C,本題主要考查三角形的內角和,求出ABC+ACB的值是解決問題的關鍵,名師點睛,2.如圖是一組按照某種規律擺放成的圖形,則第5個圖形中三角形的個數是() A.8 B.9 C.16 D.17,答案,2.C【解析】第1個圖形中三角形的個數是1;第2個圖形中三角形的個數是1+3=4;第3個圖形中三角形的個數是1+ 3+4=8;第4個圖形中三角形的個數是1+3+4+4=12.由此可知,從第2個圖形開始,后一個圖形比前一個圖形多4個三角形,因此第5個圖形中三角形的個數是1+3+4+4+4=16.故選C,3.2020吉林長春期末將一個三角形紙片剪開

9、分成兩個三角形,這兩個三角形不可能 () A.都是銳角三角形 B.都是直角三角形 C.都是鈍角三角形 D.是一個銳角三角形和一個鈍角三角形,答案,3.A【解析】如圖1,沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形;如圖2,鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形;如圖3,銳角三角形沿虛線剪開即可得到一個銳角三角形和一個鈍角三角形.綜上所述,將一個三角形剪成兩個三角形,這兩個三角形不可能都是銳角三角形.故選A,4.2019山東東營中考將一副三角板(A=30,E=45)按如圖所示方式擺放,使得BAEF,則AOF等于 () A.75 B.90 C.105 D.115,答案,4.A【解析】解法一因為

10、BAEF,A=30,所以FCA=A=30.因為F=E=45,所以COF=180-FCA-F=105,所以AOF=180-COF=75.故選A. 解法二如圖,過點O作OMEF.因為BAEF,所以OMEFBA.因為A=30,F=E=45,所以AOM=A=30, FOM=F=45,所以AOF=AOM+FOM=75.故選A,5.2019廣西貴港港南區期中下列條件不能判斷ABC是直角三角形的是 () A.A+B=CB.A-B=C C.ABC=123D.A=B=3C,答案,5.D【解析】A項,因為A+B=C,所以A+B+C=2C=180,所以C=90,ABC為直角三角形,同理,B項、C項均能得出ABC為直

11、角三角形;D項,因為A=B=3C,所以A+B+C=7C=180,三個內角中沒有直角,故不是直角三角形.故選D,判斷三角形的形狀時,要先根據三角形三個內角的和等于180求出各角的度數,然后觀察三角形中最大角的度數,以此判斷三角形的形狀,名師點睛,6.如圖,A+B+C+D+E等于 () A.90 B.180 C.270 D.360,答案,6.B【解析】連接CD,易得A+B=BDC+ACD,則A+B+ACE+BDE+E=ACD+BDC+ACE+ BDE+E=EDC+ECD+E=180.故選B,7.2019江蘇常州金壇區期中如圖,ABC中,B=68,A比C大28,點D,E分別在AB,BC上,連接DE,

12、DEB=42. (1)求A的度數; (2)判斷DE與AC之間的位置關系,并說明理由,答案,7.【解析】(1)設C的度數為x,則A的度數為(x+28), 在ABC中,A+B+C=180,B=68, 可得x+x+28+68=180,解得x=42, 所以C=42,A=70. (2)DEAC.理由如下: 因為C=42=DEB, 所以DEAC,8.如圖,直線ABCD,直線EF分別交AB,CD于點E,F,BEF的平分線與DFE的平分線相交于點P.試判斷EPF的形狀,并說明理由,答案,8.【解析】EPF是直角三角形.理由如下: 因為ABCD,所以BEF+DFE=180. 因為BEF的平分線與DFE的平分線相

13、交于點P, 所以PEF= 1 2 BEF,PFE= 1 2 DFE, 所以PEF+PFE= 1 2 (BEF+DFE)=90, 所以EPF=180-(PEF+PFE)=180-90=90, 所以EPF是直角三角形,9.2019廣東深圳外國語學校期中如圖1,線段AB,CD相交于點O,連接AD,CB.如圖2,在圖1的條件下,DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點P,且與CD,AB分別相交于點M,N.試解答下列問題: (1)在圖1中,請直接寫出A,B,C,D之間的數量關系; (2)在圖2中,若D=40,B=30,試求P的度數; (3)若圖2中D和B為任意銳角,其他條件不變,試寫出P與D,B之間的數

14、量關系,不需要說明理由,答案,9.【解析】(1)A+D=B+C. 因為A+D+AOD=180,B+C+BOC=180, AOD=BOC, 所以A+D=B+C. (2)由題意,得1+D=P+3, 4+B=2+P. 因為AP,CP分別為DAB和BCD的平分線, 所以1=2,3=4. 由+得1+D+4+B=P+3+2+P, 所以D+B=2P. 因為D=40,B=30, 所以2P=40+30=70, 所以P=35. (3)P= 1 2 (B+D,課時2三角形的三邊關系,課時2,1.下列說法正確的是 () 等腰三角形是等邊三角形; 三角形按邊可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形; 等腰三角形至少有

15、兩邊相等; 三角形按角應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形. A.B. C.D,答案,1.C【解析】因為有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形,所以等腰三角形不一定是等邊三角形,所以錯誤;因為三角形按邊可分為等腰三角形和三邊都不相等的三角形,其中等腰三角形分為底邊和腰不相等的等腰三角形和等邊三角形,所以錯誤;因為兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,所以正確;因為三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,所以正確.故選C,知識點1 三角形按邊分類,2.設M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等邊三角形,Q表示等腰直角三角形.下列四個選項中,能正確表示它們之

16、間關系的是 (,答案,2.C,知識點1 三角形按邊分類,3.一個等腰三角形的周長為18,若腰長比底邊長的2倍少6,求各邊長,答案,3.【解析】設等腰三角形的底邊長為x,則腰長為2x-6. 依題意,得2(2x-6)+x=18,解得x=6, 所以2x-6=26-6=6. 所以三角形各邊長分別為6,6,6,知識點1 三角形按邊分類,4.2019北京海淀區期末有下列長度的三條線段,其中能組成三角形的是 () A.3,4,8B.5,6,11 C.3,1,1D.3,4,6,答案,4.D【解析】A項,3+46,能組成三角形.故選D,知識點2 三角形的三邊關系,判斷已知長度的三條線段能否組成三角形的方法 當三

17、條線段的長度互不相等時,只需要驗證較短的兩條線段的長度之和是否大于最長的線段長度,若大于就能組成,否則就不能組成;當有兩條線段的長度相等時,只需要驗證相等的兩條線段的長度之和是否大于另一條線段的長度,若大于就能組成,否則就不能組成;三條長度相等的線段一定可以組成一個三角形,歸納總結,5.2020福建漳州期末如圖,為估計池塘岸邊A,B之間的距離,小方在池塘的一側選取一點O,測得OA=15米,OB=10米,則A,B間的距離不可能是 () A.5米 B.10米 C.15米 D.20米,答案,5.A【解析】設A,B間的距離為x米,由題意,可知15-10 x15+10,所以5x25,選項中只有A項不符合

18、x的取值范圍.故選A,知識點2 三角形的三邊關系,6.易錯題邊長為整數并且最大邊長是5的三角形共有 () A.3個B.9個C.11個D.13個,答案,6.B【解析】三條邊長都為5,這樣的三角形共有1個;當兩邊長分別為5,5時,第三邊的長度可取1,2,3,4,共4個;當兩邊長為5,4時,第三邊的長度可取2,3,4,共3個;當兩邊長為5,3時,第三邊的長度可取3,4,共2個;當兩邊長為5,2時,第三邊的長度可取4,共1個;當兩邊長為5,1時,第三邊的長度應該大于4且小于5,不存在這樣的整數;去掉重合的5,4,3;5,4,2這兩組,得這樣的三角形共有4+3+2+1+1-2=9(個).故選B,知識點2

19、 三角形的三邊關系,7.2020廣東珠海北大附屬實驗學校月考若三角形的兩邊長分別是4,5,則周長C的取值范圍是 () A.1C9B.9C14 C.10C14D.10C18,答案,7.D【解析】設該三角形第三邊的長為x,則5-4x4+5,即1x9,所以10C18.故選D,知識點2 三角形的三邊關系,8.2020河南信陽期末若三角形的兩邊長是3和7,且第三邊的長是偶數,則第三邊的長可能為,答案,8.6或8【解析】設這個三角形的第三邊的長為x,則7-3x7+3,所以4x10,因為第三邊的長為偶數,所以第三邊的長可能為6或8,知識點2 三角形的三邊關系,9.七年級(1)班的周祥說大話,被同學們開玩笑地

20、稱為“吹牛大王”.一天,他說:“我走起路來步子大,一步能走3米多.”你認為他說的對嗎?請你用剛學過的數學知識分析,答案,9.【解析】他說的不對. 人在邁步時,兩腿及兩腳間的線段所組成的圖形可看作三角形,若一步邁3米,由三角形的三邊關系,可知腿長應在1.5米以上,則身高大約3米,顯然不成立,所以他說的不對,知識點2 三角形的三邊關系,10.2020安徽合肥瑤海區期中已知ABC的三邊長分別為a,b,c. (1)若a,b,c滿足(a-b)2+(b-c)2=0,試判斷ABC的形狀; (2)若a=5,b=2,且c為整數,求ABC周長的最大值及最小值,答案,10.【解析】(1)因為(a-b)2+(b-c)

21、2=0, 所以a-b=0,b-c=0,所以a=b=c, 所以ABC是等邊三角形. (2)因為a=5,b=2, 所以5-2c5+2,所以3c7, 因為c為整數,所以c=4,5,6, 所以當c=4時,ABC的周長最小,最小值為5+2+4=11; 當c=6時,ABC的周長最大,最大值為5+2+6=13,知識點2 三角形的三邊關系,1.2019江蘇無錫新吳區期中有長為2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的四根木棒,選其中的三根作為三角形的邊,可以圍成的三角形的個數是 () A.1B.2C.3D.4,答案,1.C【解析】共有以下方案可圍成三角形:選2 cm,3 cm,4 cm三根木棒,3-243+2,

22、能構成三角形;選2 cm,4 cm, 5 cm三根木棒,4-254+2,能構成三角形;選3 cm,4 cm,5 cm三根木棒,4-354+3,能構成三角形.所以可以圍成的三角形的個數是3.故選C,2.2019湖北武漢江夏區期中在如圖所示的正方形網格中,網格線的交點稱為格點.已知A,B是兩格點,若C也是圖中的格點,且使得ABC為等腰三角形,則滿足條件的點C的個數是 () A.6 B.7 C.8 D.9,答案,2.C【解析】如圖,分情況討論:當AB為等腰三角形ABC的底邊時,符合條件的點C有4個,分別是C1,C2,C3,C4;當AB為等腰三角形ABC的腰時,符合條件的點C有4個,分別是C5,C6,

23、C7,C8.因此滿足條件的點C有8個.故選C,3.2019貴州遵義月考已知三角形的三邊長分別為a,b,c,化簡|a-b+c|-|a-b-c|的結果為 () A.2a-2b B.2a-2c C.a-2bD.0,答案,3.A【解析】因為三角形的三邊長分別是a,b,c,所以a-b+c0,a-b-c0,所以|a-b+c|-|a-b-c|=a-b+c+a-b-c=2a-2b.故選A,解答本題的關鍵是先根據三角形的三邊關系判斷絕對值內式子的正負,再去掉絕對值符號,最后合并同類項,名師點睛,4.2020浙江紹興中考長度分別為2,3,3,4的四根細木棒首尾相連,圍成一個三角形(木棒允許連接,但不允許折斷),得

24、到的三角形的最長邊長為 () A.4B.5C.6D.7,答案,4.B【解析】三角形有三條邊,故有兩根細木棒連接成一根新的細木棒.若長度為2,3的兩根細木棒連接,則三邊長分別為5,3,4,符合三角形的三邊關系,圍成的三角形的最長邊為5;若長度為2,4的兩根細木棒連接,則三邊長分別為3,3,6,不符合三角形的三邊關系,不能圍成三角形;若長度為3,3的兩根細木棒連接,三邊長分別為2,4,6,不符合三角形的三邊關系,不能圍成三角形;若長度為3,4的兩根細木棒連接,三邊長分別為2,3,7,不符合三角形的三邊關系,不能圍成三角形.綜上所述,得到的三角形的最長邊長為5.故選B,5.若一個等腰三角形的周長為1

25、8 cm,一邊長為7 cm,則其他兩邊的長為,答案,5.7 cm,4 cm或 11 2 cm, 11 2 cm【解析】若7 cm為腰長,則另一腰長為7 cm,底邊長為18-7-7=4(cm),且7+74;若7 cm為底邊長,則腰長為 187 2 = 11 2 (cm),且 11 2 + 11 2 7.故其他兩邊的長分別為7 cm,4 cm或 11 2 cm, 11 2 cm,6.2019安徽合肥瑤海區期中在ABC中,AB=8,且 BC=2a+2,AC=22. (1)求a的取值范圍; (2)若ABC為等腰三角形,求ABC的周長,答案,6.【解析】(1)由題意,得22-82a+222+8, 解得6

26、a14,所以a的取值范圍是6a14. (2)因為ABC為等腰三角形, 所以2a+2=8或2a+2=22,解得a=3或a=10. 由(1)知6a14,所以a=10, 所以ABC的周長等于22+22+8=52,7.“佳園工藝店”打算制作一批有兩邊長分別是7分米、3分米,第三邊的長為奇數(單位:分米)的不同規格的三角形木框. (1)滿足上述條件的三角形木框共有種; (2)若每種規格的三角形木框只制作1個,制作這種木框的木條的售價為8元/分米,問至少需要多少錢購買木條?(忽略接頭,答案,7.【解析】(1)3 設三角形木框的第三邊的長為x分米,則7-3x3+7,即4x10.因為第三邊的長為奇數,所以第三

27、邊的長可以為5分米,7分米或9分米.故滿足條件的三角形木框共有3種. (2)制作每種規格的三角形木框各1個所需木條的長為3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米), 518=408(元). 答:至少需要408元購買木條,8.如圖,點P是ABC內部的一點,連接PB,PC. (1)度量線段AB,AC,PB,PC的長度,根據度量結果比較AB+AC與PB+PC的大小; (2)改變點P的位置,上述結論還成立嗎? (3)你能說明上述結論為什么正確嗎,答案,8.【解析】(1)經度量,AB1.7 cm,AC2.3 cm,PB1.4 cm,PC2.0 cm, 所以AB+ACPB+PC. (2)成立. (3

28、)延長BP交AC于點D. 在ABD中,AB+ADPB+PD, 在PDC中,PD+DCPC, +,得AB+AD+PD+DCPB+PD+PC, 所以AB+ACPB+PC,9.如圖,有4個村莊A,B,C,D,現要建造一座水塔P.問水塔P應建在什么位置,才能使它到4個村莊的距離之和最小.請你找出水塔P的位置,并說明理由,答案,9.【解析】水塔P應建在AC和BD的交點處,這樣能使它到4個村莊的距離之和最小.理由如下: 連接AC,BD交于點P,不妨任取一點P(不與點P重合),連接AP,BP,CP,DP, 在APC中,AP+CPAC=AP+CP, 在BPD中,BP+DPBD=BP+DP, +,得AP+BP+

29、CP+DPAP+BP+CP+DP, 所以AC和BD的交點到4個村莊的距離之和最小,所以水塔P應建在AC和BD的交點處,課時3三角形的中線、角平分線和高線,課時3,1.如圖,D為AC 上一點,AD=DC,E為BC上一點,BE=EC,則下列說法不正確的是 () A.DE是BDC的中線 B.BD是ABC的中線 C.D為AC的中點,E為BC的中點 D.DE是ABC的中線,答案,1.D【解析】因為BE=EC,所以DE是BDC的中線,所以選項A說法正確,選項D說法不正確;因為AD=DC,所以BD是ABC的中線,所以選項B說法正確;因為AD=DC,所以D為AC的中點,因為BE=EC,所以E為BC的中點,所以

30、選項C說法正確.故選D,知識點1 三角形的中線及重心,2.如圖,已知BD是ABC的中線,AB=5,BC=3,則ABD和BCD的周長的差為 () A.2 B.3 C.6 D.不能確定,答案,2.A【解析】因為BD是ABC的中線,所以AD=CD,所以ABD和BCD的周長的差為(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=5-3=2.故選A,知識點1 三角形的中線及重心,三角形中線的作用 一是一條中線平分一條邊;二是一條中線將三角形分成面積相等的兩個三角形(等底同高).本題考查三角形的周長問題,解題的關鍵是中線將三角形的一邊平分,歸納總結,3.如圖,已知點P是ABC的重心,連接AP,并延長

31、交BC于點D.若ABC的面積為20,則ADC的面積為,答案,3.10【解析】因為點P是ABC的重心,所以AD是ABC的中線,所以ADC的面積等于ABC面積的一半,又因為ABC的面積為20,所以ADC的面積為10,知識點1 三角形的中線及重心,4.2020河南許昌期中如圖,ABC中(ABBC),AB=2AC,AC邊上的中線BD把ABC的周長分成30和20兩部分,求AB和BC的長,答案,4.【解析】設AC=x,則AB=2x. 因為BD是AC邊上的中線,所以AD=DC= 1 2 x. 由題意,得2x+ 1 2 x=30,解得x=12. 所以AC=12,AB=24, 所以BC=20- 1 2 12=1

32、4,知識點1 三角形的中線及重心,5.2020遼寧錦州中考如圖,在ABC中,A=30,B=50,CD平分ACB,則ADC的度數是 () A.80 B.90 C.100 D.110,答案,5.C【解析】因為A=30,B=50,所以ACB=180-30-50=100.因為CD平分ACB,所以ACD=BCD= 1 2 ACB= 1 2 100=50,所以ADC=180-A-ACD=180-30-50=100.故選C,知識點2 三角形的角平分線,6.2019湖北武漢武昌區模擬如圖,在ABC中,ADBC于點D,AE平分BAC交BC于點E.若1=30,2=20,則B的度數為,答案,6.50【解析】因為AE

33、平分BAC,1=30,所以CAE=1=30,所以DAE=CAE-2=10,所以BAD=1+ DAE=40.因為ADBC,所以ADB=90,所以B=180-BAD-ADB=50,知識點2 三角形的角平分線,7.如圖,已知AE平分BAC,且1=2=4=15,計算3的度數,并說明AE是DAF的角平分線,答案,7.【解析】因為AE平分BAC,所以BAE=CAE. 因為1=2=15,所以BAE=1+2=15+15=30, 所以CAE=4+3=30, 又因為4=15,所以3=15, 所以2=3=15,所以AE是DAF的角平分線,知識點2 三角形的角平分線,8.2020湖南永州期中下列圖形中AD是ABC的高

34、的是 (,答案,8.D,知識點3 三角形的高,9.2019江蘇蘇州姑蘇區期中如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點,那么這個三角形是 () A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形D.任意三角形,答案,9.A【解析】因為直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高的交點,所以可以得出這個三角形是直角三角形.故選A,知識點3 三角形的高,銳角三角形的三條高在三角形內部,相交于三角形內一點;直角三角形有兩條高與直角邊重合,另一條高在三角形內部,它們的交點是直角頂點;鈍角三角形有兩條高在三角形外部,一條高在三角形內部,三條高所在的直線相交于三角形外一點,名師點睛,10.如圖,在ABC中,AC

35、B=90,1=B. (1)試說明CD是ABC的高; (2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的長,答案,10.【解析】(1)因為ACB=1+BCD=90,1=B, 所以B+BCD=90, 所以CDB=180-90=90,所以CDAB, 所以CD是ABC的高. (2)因為ACB=CDB=90, 所以SABC= 1 2 ACBC= 1 2 ABCD, 又因為AC=8,BC=6,AB=10, 所以CD= = 68 10 = 24 5,知識點3 三角形的高,1.2020天津南開區期末如圖,ACBC于C,CDAB于D,圖中可以作為三角形高的線段有 () A.1條 B.2條 C.3條 D.5條,答

36、案,1.D【解析】可以作為ACD的高的有AD,CD,共2條;可以作為BCD的高的有BD,CD,共2條;可以作為ABC的高的有BC,AC,CD,共3條.綜上所述,可以作為三角形高的線段有AD,CD,BD,BC,AC,共5條.故選D,2.原創題將一副直角三角板按如圖所示的方式放置,若AD平分CAB,則1的度數為 () A.15 B.30 C. 45 D.60,答案,2.D【解析】解法一如圖,因為AD平分CAB,CAB=90,所以CAD= 45, 又因為C=45,所以COA=90,所以COD=90,所以1=BPD=180-COD- D=180-90-30=60. 解法二因為AD平分CAB,CAB=9

37、0,所以CAD=DAB=45,所以EAC= EAD-CAD=90-45=45.又因為C=45,所以EAC=C,所以BCAE,所以1=E=60,3.2019四川成都金牛區期中如圖,在ABC中,1=2,G為AD的中點,連接BG并延長交AC于點E,CFAD分別交AD, AB于點H,F.給出下列判斷,其中正確的個數是 () BG是ABD中邊AD上的中線;AD既是ABC中BAC的平分線,也是ABE中BAE的平分線;CH既是ACD中AD邊上的高線,也是ACH中AH邊上的高線. A.0 B.1 C.2 D.3,答案,3.D【解析】因為G為AD的中點,所以BG是ABD中邊AD上的中線,故正確;因為1=2,所以

38、AD既是ABC中BAC的平分線,也是ABE中BAE的平分線,故正確;因為CFAD于點H,所以CH既是ACD中AD邊上的高線,也是ACH中AH邊上的高線,故正確.故選D,4.2020浙江溫州期中如圖,在ABC中,已知點D,E,F分別為BC,AD,CE的中點,且SABC=8 cm2,則圖中陰影部分(BEF)的面積等于 () A.1 cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.6 cm2,答案,4.B【解析】因為點E是AD的中點,所以SABE= 1 2 SABD,SACE= 1 2 SADC,所以SABE+SACE= 1 2 SABC= 1 2 8=4(cm2),所以SBCE=8-4=4(cm2).

39、因為點F是CE的中點,所以SBEF= 1 2 SBCE= 1 2 4=2(cm2).故選B,本題考查了三角形面積的求法,解題的關鍵是掌握三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形,其數學原理為等底同高的兩個三角形面積相等,名師點睛,5.易錯題已知AD是ABC的一條高,如果BAD=65,CAD=30,那么BAC的度數為,答案,5.95或35【解析】當AD在ABC內部時,如圖1,BAC=BAD+CAD=65+30=95;當AD在ABC外部時,如圖2,BAC=BAD-CAD=65-30=35.綜上,BAC的度數為95或35,6.如圖,在鈍角三角形ABC中. (1)作出鈍角三角形ABC的高AM,

40、CN; (2)若CN=3,AM=6,求BC與AB的比值,答案,6.【分析】(1)過點A作AMBC交BC的延長線于點M,過點C作CNAB于點N,則AM,CN為ABC的高;(2)根據三角形的面積公式得到 1 2 AMBC= 1 2 CNAB,再利用等式的性質求BC與AB的比值. 【解析】(1)如圖,AM,CN即所求. (2)因為AM,CN為ABC的高, 所以SABC= 1 2 AMBC= 1 2 CNAB, 所以AMBC=CNAB. 因為CN=3,AM=6,所以6BC=3AB,所以 = 1 2,7.2020江蘇泰州姜堰區期中如圖,在ABC中,AE為邊BC上的高,點D為邊BC上的一點,連接AD. (

41、1)當AD為邊BC上的中線時,若AE=4,ABC的面積為24,求CD的長; (2)當AD為BAC的平分線時. 若B=35,C=65,求DAE的度數; 若C-B=20,則DAE,答案,7.【解析】(1)因為AE為邊BC上的高,AE=4,ABC的面積為24, 所以 1 2 BCAE=24,所以BC=12. 因為AD是邊BC上的中線,所以CD= 1 2 BC=6. (2)因為B=35,C=65, 所以BAC=180-B-C=180-35-65=80. 因為AD平分BAC,所以BAD= 1 2 BAC=40. 因為AEBC,所以AEB=90, 所以BAE=90-B=55, 所以DAE=BAE-BAD=

42、55-40=15. 10 由可得DAE=BAE-BAD=90-B- 1 2 (180-B-C)= 1 2 (C-B)=10,8.在ABC中,ACBABC,AD平分BAC. (1)如圖1,過點B作BEAD交AD的延長線于點E,則ABE與 1 2 (ACB+ABC)有何大小關系?請說明理由. (2)如圖2,過點C作CFAD于點F,則DCF與ACB,ABC有怎樣的數量關系?寫出你的結論(不用說明理由). (3)如圖3,過點A作AMBC于點M,則DAM與ACB,ABC有怎樣的數量關系?寫出你的結論(不用說明理由,答案,8.【解析】(1)ABE= 1 2 (ACB+ABC).理由如下: 在ABE中,BE

43、AD,所以E=90. 因為AD平分BAC,所以BAD= 1 2 BAC, 所以ABE=180-E-BAD=90- 1 2 BAC. 在ABC中,BAC=180-ACB-ABC, 所以ABE=90- 1 2 (180-ACB-ABC)= 1 2 (ACB+ABC). (2)DCF= 1 2 (ACB-ABC). (3)DAM= 1 2 (ACB-ABC,專項4三角形中三條重 要線段的應用,1.易錯題已知一個三角形的三邊長之比為345,則這三條邊上的高之比為() A.345B.543 C.201512D.541,答案,1.C【解析】由三邊長之比為345,3,4,5的最小公倍數為60,再結合同一個三

44、角形的面積相等,得這三邊上的高之比為201512.故選C,2.2019山東棗莊模擬如圖,ABC中,AD是BC邊上的高,AE,BF分別是BAC,ABC的平分線,BAC=50,ABC=60,則EAD+ACD=() A.75 B.80 C.85 D.90,答案,2.A【解析】根據三角形內角和定理,得ACD=180-(BAC+ABC)=70.因為AD是BC邊上的高,所以ADC= 90,所以CAD=90-ACD=20.因為AE是BAC的平分線,所以CAE= 1 2 BAC=25,所以EAD=CAE-CAD= 25-20=5,所以EAD+ACD=5+70=75.故選A,3.2020天津西青區期末如圖,AD

45、是ABC的高,BE平分ABC交AD于點E.若C=76,BED=64,求BAC的度數,答案,3.【解析】因為AD是ABC的高,BED=64, 所以EBD=180-90-64=26. 因為BE平分ABC, 所以ABC=2EBD=52. 所以BAC=180-ABC-C=180-52-76=52,4.2020廣東深圳福田區期末如圖,AD為ABC的中線,BE為ABD的中線. (1)若ABE=15,BAD=35,求BED的度數; (2)作BED中BD邊上的高; (3)若ABC的面積為60,BD=5,求點E到BC邊的距離,答案,4.【解析】(1)因為ABE=15,BAD=35, 所以BEA=180-15-3

46、5=130, 所以BED=180-130=50. (2)如圖所示,EF即BED的邊BD上的高. (3)因為AD為ABC的中線,BE為ABD的中線, 所以SABD= 1 2 SABC,SBED= 1 2 SABD, 所以 = 1 4 = 1 4 60=15. 因為BD=5,SBED= 1 2 EFBD,所以EF= 2SBED = 215 5 =6, 即點E到BC邊的距離為6,5.在ABC中,CB,AE平分BAC,F為射線AE上一點(不與點E重合),且FDBC于點D. (1)如圖1,當點F與點A重合,且C=50,B=30時,求EFD的度數,并直接寫出EFD與 1 2 (C-B)之間的數量關系. (

47、2)如圖2,當點F在線段AE上(不與點A重合)時,EFD與C-B有怎樣的數量關系?并說明理由. (3)當點F在ABC外部時,在圖3中畫出符合題意的圖形,并直接寫出EFD與C-B的數量關系,答案,5.【解析】(1)因為B=30,C=50, 所以BAC=180-B-C=100. 因為AE是BAC的平分線, 所以CAE= 1 2 BAC=50. 因為FDBC,所以FDC=90,答案,又因為C=50,所以CAD=180-90-50=40, 所以EFD=CAE-CAD=50-40=10. EFD= 1 2 (C-B). (2)EFD= 1 2 (C-B).理由如下: 如圖1,過點A作AMBC于點M, 因

48、為BAC+B+C=180,所以BAC=180-B-C. 因為AE是BAC的平分線, 所以CAE= 1 2 BAC=90- 1 2 (B+C). 因為AMBC,所以AMC=90, 所以CAM=180-90-C=90-C, 所以EAM=CAE-CAM=90- 1 2 (B+C)-(90-C)= 1 2 (C-B). 因為AMBC,FDBC,所以AMFD, 所以EFD=EAM= 1 2 (C-B,答案,3)符合題意的圖形如圖2所示,EFD= 1 2 (C-B). 如圖2,過點A作ANBC于點N, 由(2)可知,EAN= 1 2 (C-B). 因為ANBC,FDBC,所以ANFD, 所以EFD=EAN

49、= 1 2 (C-B,2圖形的全等,1.2019湖南邵陽期中下列各組圖形是全等圖形的是 (,答案,1.D【解析】能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形.結合選項,知只有D項中的兩個圖形能夠完全重合.故選D,知識點1 全等圖形,判斷兩個圖形是不是全等圖形的方法 通過平移、翻折、旋轉等方法,將兩個圖形疊合在一起觀察是否完全重合,若重合,則是全等圖形,否則不是.有時還可以借助網格背景來觀察比較,歸納總結,2.下列說法不正確的是 () A.用一張底片沖洗出來的10張一寸照片是全等圖形 B.我國國旗上的4顆小五角星是全等圖形 C.全等圖形的面積一定相等 D.所有的正方形都是全等圖形,答案,2.D【解析】根據

50、全等圖形的概念,知A,B,C項說法正確;因為所有的正方形的邊長不一定都相等,所以它們不一定是全等圖形,故D項說法不正確.故選D,知識點1 全等圖形,3.若如圖所示的兩個三角形能夠完全重合,則下列說法正確的是 () A.ABEAFB B.ABEABF C.ABEFBA D.ABEFAB,答案,3.B【解析】觀察題中圖形可知,兩個三角形的對應頂點分別是點A與點A、點B與點B、點E與點F,所以ABE ABF.故選B,知識點2 全等三角形的概念及表示方法,4.如圖,已知ABEACD,AEB=ADC,B=C,指出對應邊和其他的對應角,答案,4.【解析】因為ABEACD,所以這兩個三角形的對應邊為AB與A

51、C,AE與AD,BE與CD,其他的對應角為BAE與CAD,知識點2 全等三角形的概念及表示方法,確定全等三角形對應元素的方法 (1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊,兩對對應角所夾的邊是對應邊;(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角,兩組對應邊所夾的角是對應角;(3)全等三角形中有公共邊的,公共邊一定是對應邊;(4)全等三角形中有公共角的,公共角一定是對應角;(5)全等三角形中有對頂角的,對頂角一定是對應角;(6)兩個全等三角形中,一對最長的邊(或最大的角)是對應邊(或對應角),一對最短的邊(或最小的角)是對應邊(或對應角,歸納總結,5.2020廣東珠海香洲區期末如圖,ABCADE,B=20,

52、C=110,則EAD的度數為 () A.50 B.20 C.110 D.70,答案,5.A【解析】因為B=20,C=110,所以CAB=180-20-110=50.因為ABCADE,所以EAD=CAB= 50.故選A,知識點3 全等三角形的性質,6.2020山東淄博中考如圖,若ABCADE,則下列結論中一定成立的是 () A.AC=DE B.BAD=CAE C.AB=AE D.ABC=AED,答案,6.B【解析】因為ABCADE,所以AC=AE,AB=AD,ABC=ADE,BAC=DAE,所以BAC-DAC= DAE-DAC,即BAD=CAE.由題中所給條件無法得到A,C,D選項中的結論,B選

53、項一定成立. 故選B,知識點3 全等三角形的性質,7.2020湖南長沙明德教育集團期中已知ABCDEF,ABC的周長為12,AC=3,EF=4,則AB,答案,7.5【解析】因為ABCDEF,所以BC=EF=4.因為ABC的周長為12,所以AB+BC+AC=12,所以AB=12-3-4=5,知識點3 全等三角形的性質,8.已知ABCDEF,BC=6 cm,ABC的面積是18 cm2,則EF邊上的高是cm,答案,8.6【解析】因為ABCDEF,BC=6 cm,ABC的面積是18 cm2,所以EF=BC=6 cm,DEF的面積是18 cm2,由三角形的面積公式,得EF邊上的高為6 cm,知識點3 全

54、等三角形的性質,9.如圖,ABCDEF,且點B,E,C,F在同一條直線上. (1)試說明:ACDF. (2)若D+F=90,試判斷AB與BC的位置關系,并說明理由,答案,9.【解析】(1)因為ABCDEF, 所以ACB=F, 所以ACDF. (2)ABBC.理由如下: 在DEF中,D+F=90,所以DEF=90. 因為ABCDEF, 所以B=DEF=90, 所以ABBC,知識點3 全等三角形的性質,10.2020四川眉山期末如圖,已知ABCDEB,點E在AB上,DE與AC相交于點F. (1)當DE=8,BC=5時,求線段AE的長. (2)已知D=35,C=60,求DBC的度數,答案,10.【解

55、析】(1)因為ABCDEB,DE=8,BC=5, 所以AB=DE=8,BE=BC=5. 所以AE=AB-BE=8-5=3. (2)因為ABCDEB, 所以A=D=35,DBE=C=60. 因為A+ABC+C=180, 所以ABC=180-A-C=85. 所以DBC=ABC-DBE=85-60=25,知識點3 全等三角形的性質,1.2020江西南昌十九中月考如圖,在RtABC中,BAC=90,D,E分別是AC,BC上的點.若ADBEDBEDC,則C的度數是 () A.15 B.20 C.25 D.30,答案,1.D【解析】因為ADBEDBEDC,所以ABD=EBD=C.因為BAC=90,所以AB

56、D+EBD+ C=90,即3C=90,所以C=30.故選D,2.2020河南周口期末如圖,在ABC和ABC中,ABCABC,AABC,ACB=,BCB=,則,滿足關系 () A.+=90 B.+2=180 C.2+=180 D.+=180,答案,2.C【解析】因為ABCABC,所以AC=AC,易得AAC=AAC.因為AABC,所以AAC=ACB=,所以AAC=AAC=,所以BCB=ACA=180-AAC-AAC=180-2=,所以2+=180.故選C,3.已知ABCDEF,AB=2,BC=4.若DEF的周長為偶數,則DF的長為 () A.3B.4 C.5D.3,4或5,答案,3.B【解析】因為

57、ABCDEF,AB=2,BC=4,所以DE=AB=2,EF=BC=4,所以4-2DF4+2,即2DF6.因為DE=2, EF=4,DEF的周長為偶數,所以DF的長為偶數,所以DF=4.故選B,4.2020江蘇鎮江市外國語學校月考已知ABC的三邊長分別為3,5,7,DEF的三邊長分別為3,3x-2,2x-1.若這兩個三角形全等,則x為 () A. 7 3 B.4C.3D.2,答案,4.C【解析】因為ABC與DEF全等,所以3x-2=5,2x-1=7或3x-2=7,2x-1=5.當3x-2=5,2x-1=7時,x不存在;當3x-2=7, 2x-1=5時,x=3.故選C,5.2020福建莆田期末如圖

58、,在孔雀開屏般漂亮的44正方形網格中,1+2+3+4+5+6+7,答案,5.315 【解析】由題意,得AEFLBA,所以7=EAF. 所以1+7=90.同理可得2+6=90,3+5= 90,易知4=45,所以1+2+3+4+5+6+7=90+90+90+45=315,6.如圖,請分別畫兩條直線,把這個“+”圖案分成四個全等的圖形,答案,6.【解析】如圖所示.(答案不唯一,7.2019北京海淀區期末如圖,已知ABCADE,DAE=80,C=30,DAC=35,AC,DE交于點F,求CFE的度數,答案,7.【解析】因為DAE=80,DAC=35, 所以FAE=DAE-DAC=45. 因為ABCAD

59、E,所以E=C=30, 所以CFE=180-AFE=180-(180-FAE-E)=75,8.2020河南南陽期末如圖,已知ABFCDE. (1)若B=30,DCF=45,求EFC的度數; (2)若BD=10,EF=2,求BF的長,答案,8.【解析】(1)因為ABFCDE,所以D=B=30, 又因為DCF=45, 所以DFC=180-D-DCF=105, 所以EFC=180-DFC=75. (2)由ABFCDE,可知BF=DE, 所以BF-EF=DE-EF,所以BE=DF, 又因為BD=10,EF=2, 所以BE= 1 2 (BD-EF)= 1 2 (10-2)=4, 所以BF=BE+EF=4

60、+2=6,9.2019湖南常德鼎城區期中如圖,A,D,E三點在同一直線上,且BADACE. (1)試說明:BD=DE+CE. (2)ABD滿足什么條件時,BDCE,答案,9.【解析】(1)因為BADACE,所以BD=AE,AD=CE, 所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE. (2)ABD滿足ADB=90時,BDCE.理由如下: 當ADB=90時,BDE=180-90=90. 因為BADACE,所以E=ADB=90, 所以BDE=E,所以BDCE,解答探究條件類題目的方法 可先猜想出條件,利用猜想的條件推出題目的結論;也可先將題目中的結論當作條件進行推理,推出題目中要探究的