江西省景德鎮市2025屆高三第二次質量檢測二模數學試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三試卷標題：江西省景德鎮市2025屆高三第二次質量檢測二模數學試題。一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f(x)=\lnx+ax^2$，$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x>0$，所以$a\geq0$。2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，則該數列的公差為（）A.2B.3C.4D.5例：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點$P(2,2)$，則過點$P$的圓$C$的切線方程為（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$為切點坐標，$r$為圓的半徑。因為點$P(2,2)$在圓$C$上，所以切線方程為$2x+2y=16$，化簡得$x+y=4$。4.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點，$x=2$為$f(x)$的極小值點，$x=4$為$f(x)$的拐點。5.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據通項公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.已知函數$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因為$x>0$，所以$a\geq0$。7.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，則該數列的公差為（）A.2B.3C.4D.5例：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點$P(2,2)$，則過點$P$的圓$C$的切線方程為（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$為切點坐標，$r$為圓的半徑。因為點$P(2,2)$在圓$C$上，所以切線方程為$2x+2y=16$，化簡得$x+y=4$。9.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點，$x=2$為$f(x)$的極小值點，$x=4$為$f(x)$的拐點。10.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據通項公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空題（共5題，每題10分，共50分）要求：直接寫出答案。11.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，則該數列的公差為______。12.已知函數$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$a$的取值范圍為______。13.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點$P(2,2)$，則過點$P$的圓$C$的切線方程為______。14.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點為______。15.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為______。三、解答題（共5題，共50分）要求：寫出解答過程，并化簡結果。16.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的導數$f'(x)$，并求$f'(x)$的零點。17.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，求該數列的公差和首項。18.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點$P(2,2)$，求過點$P$的圓$C$的切線方程。19.已知函數$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求$a$的取值范圍。20.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求該數列的通項公式。本次試卷答案如下：一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.答案：B解析：由題意知，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x>0$，所以$a\geq0$。2.答案：A解析：由等差數列前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.答案：A解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡得$x+y=4$。4.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點，$x=2$為$f(x)$的極小值點，$x=4$為$f(x)$的拐點。5.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據通項公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.答案：B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因為$x>0$，所以$a\geq0$。7.答案：D解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.答案：A解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡得$x+y=4$。9.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點，$x=2$為$f(x)$的極小值點，$x=4$為$f(x)$的拐點。10.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據通項公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空題（共5題，每題10分，共50分）11.答案：16解析：由等差數列前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。12.答案：$a\geq0$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因為$x>0$，所以$a\geq0$。13.答案：$x+y=4$解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡得$x+y=4$。14.答案：$x=1$，$x=2$，$x=4$解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點，$x=2$為$f(x)$的極小值點，$x=4$為$f(x)$的拐點。15.答案：$a_n=\sqrt{n^2-1}$解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據通項公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。三、解答題（共5題，共50分）16.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f'(x)$的零點為$x=1$，$x=2$，$x=4$。解析：對$f(x)=x^3-3x^2+4x$求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x