第一章特殊的平行四邊形

§1,1菱形的性質及判定

一、教學目標：.1、菱形的性質定理的運用.2.菱形的判定定理的運用.

二、教學重點難點：掌握菱形的性質推導及面積計算方法的推導，運用綜合法解

決菱形的相關題型。

三、概念：

菱形性質：

1.兩條對角線互相垂直平分；

2.四條邊都相等；

3.每條對角線平分一組對角；

4.菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。

菱形的判定定理：

1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）

2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.（根據對角線）

3、四條邊都相等的四邊形是菱形.（根據四條邊）

4、每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.（對角線和角的關系）

四、講課過程：

1、例題、

例1.（2006?大連）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F

是DB延長線上一點，且DE=BF.請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一

點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一

組線段相等即可）.

（1）連接AF；

（2）猜想：AF=AE:

(3)證明：(說明：寫出證明過程的重要依據)

考點：菱形的性質；全等三角形的判定及性質。

專題：幾何綜合題。

分析：觀察圖形應該是連接AF,可通過證4AFB和4ADE全等來實現AF=AE.

解答：解：(1)如圖，連接AF；

(2)AF=AE；

(3)證明：四邊形ABCD是菱形.

AAB=AD,

Z.ZABD=ZADB,

，ZABF=ZADE,

在aABF和4ADE中

△ABF也△ADE,

點評：此題考查簡單的線段相等，可以通過全等三角形來證明.

例2、(2009?貴陽)如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個動點(不及A、B重

合)，連接DP交對角線AC于E連接BE.

(1)證明:ZAPD=ZCBE；

（2）若NDAB=60°,試問P點運動到什么位置時，ZXADP的面積等于菱形ABCD

面積嗎為什么?

考點：菱形的性質；全等三角形的判定及性質；等邊三角形的性質。

專題：證明題；動點型。

分析：（1）可先證△BCE^^DCE得到NEBC二NEDC,再根據AB〃DC即可得到結論.

（2）當P點運動到AB邊的中點時，S&，DP“S菱形ABCD，證明S△ADP=1X2AB?DP=芯菱形CD

4224AB

即可.

解答：（1）證明：二?四邊形ABCD是菱形

ABC=CD,AC平分NBCD（2分）

VCE=CE

.,.△BCE^ADCE（4分）

AZEBC=ZEDC

又TAB〃DC

，NAPD=NCDP（5分）

AZEBC=ZAPD（6分）

（2）解：當P點運動到AB邊的中點時，芯菱形ABCD.（8分）

4

理由：連接DB

VZDAB=60°,AD=AB

.）△ABD等邊三角形（9分）

???P是AB邊的中點

Z.DP1AB（10分）

,,SAADP~1AP-DP,S菱形ABCD=AB?DP（11分）

,.,AP=2AB

2

=

,,SAADP=—-iAB?DPAS菱形ABCD

224

即4ADP的面積等于菱形ABCD面積的上(12分)

4

點評：此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定，判斷當P點運動到AB邊的

中點時，S^ADP=空菱形ABCD是難點.

4

例3、(2010?寧洱縣)如圖，四邊形ABCD是菱形，BE±AD.BF1CD,垂足分別為

E、F.

(1)求證：BE=BF；

(2)當菱形ABCD的對角線AC=8,BD=6時，求BE的長.

考點：菱形的性質；全等三角形的判定及性質。

分析：(1)根據菱形的鄰邊相等，對角相等，證明AABE及aCBF全等，再根據

全等三角形對應邊相等即可證明；

(2)先根據菱形的對角線互相垂直平分，求出菱形的邊長，再根據菱形的面積等

于對角線乘積的一半和底邊乘以高兩種求法即可求出.

解答：(1)證明：???四邊形ABCD是菱形，

.\AB=CB,NA=NC,

VBE±AD>BF±CD,

AZAEB=ZCFB=90°,

在4ABE和4CBF中，

AAABE^ACBF(AAS),

.,.BE=BF.

(2)解：如圖，

???對角線AC=8,BD=6,

???對角線的一半分別為4、3,

???菱形的邊長為廬#5,

菱形的面積=5BE皂X8X6,

2

解得BE=24.

5

點評：本題主要考查菱形的性質和三角形全等的證明，同時還考查了菱形面積的

兩種求法.

例3、（2011?廣安）如圖所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延

長線于點E.

求證：DE=2BE.

2

專題：證明題。

分析：由四邊形ABCD是菱形，NABC=60°,易得BDLAC,NDBC=30°,又由DE〃AC,

即可證得DE_LBD,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得DE=2BE.

2

解答：證明：

法一：如右圖，連接BD,

???四邊形ABCD是菱形，NABC=60°,

ABDXAC,ZDBC=30°,

VDE/7AC,

.\DE±BD,

即NBDE=90°,

ADE=1BE.

2

法二：???四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

，AD〃BC,AC=AD,

VAC/7DE,

??.四邊形ACED是菱形,

ADE=CE=AC=AD,

又四邊形ABCD是菱形,

.\AD=AB=BC=CD,

，BC=EC=DE,即C為BE中點,

.?.DE=BC=1BE.

2

點評：此題考查了菱形的性質，直角三角形的性質等知識.此題難度不大，注意

數形結合思想的應用.

例4.(2010?益陽)如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,0為對角線BD的中

點，過0點作0ELAB,垂足為E.

(1)求NABD的度數;

(2)求線段BE的長.

分析：(1)根據菱形的四條邊都相等，又NA=60°,得到4ABD是等邊三角形，

NABD是60°；

(2)先求出0B的長和NB0E的度數，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一

半即可求出.

解答：解：（1）在菱形ABCI）中，AB=AD,ZA=60°,

二.△ABD為等邊三角形，

AZABD=60°；（4分）

（2）由（1）可知BD=AB=4,

又丁。為BD的中點，

A0B=2（6分）,

XV0E1AB,及NABD=60°,

AZB0E=30°,

.*.BE=1.（8分）

點評：本題利用等邊三角形的判定和直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的

一半求解，需要熟練掌握.

2、鞏固練習

1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是.

2.菱形的兩條對角線長分別是8cm和10cm,則菱形的面積是

3.菱形的兩鄰角之比為1：2,邊長為2,則菱形的面積為.

4.菱形的面積等于（）（20分）

5.下列條件中，可以判定一個四邊形是菱形的是（）（20分）

6.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數是（）.（20分）

A1個B2個C3個D4個

7.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZABC=120°

的度數為;對角線BD=,AC二

.（20分）

B

5、在矩形四切中，。是對角線力。的中點，比'是線段,%于

E、￡求證：四邊形/比尸是菱形（20分）

6、如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=5,

求：（1）NBAC的度數；（2）求AC的長。

7、四邊形/及刀是矩形，四邊形/比廠是菱形,若/廬2cm,&>4cm,求四邊形/比廠

的面積。

8、在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且CE=CF,過點C做CG〃EA交

FA于H，交AD于G,若NBAE=25°,ZBCD=130°，求NAHC的度數。

3、作業：

一、選擇題。

1、已知菱形兩個鄰角的比是1:5,高是8cm,則菱形的周長是（）。

A.16cmB.32cmC.64cmD.128cm

2、已知菱形的周長為40cm,兩對角線長的比是3:4,則兩對角線的長分別是

（）O

A.6cm、8cmB.3cm、4cmC.12cm>16cmD.24cm、

32cm

3、如圖：在菱形中，AELBC,AFICD,且￡、F濟別為BC、繆的中點，則

/EAF等于（）。

A.75°B.60°C.45°D.30°

4、棱形的周長為8.4cm,相鄰兩角之比為5：1,則菱形一組對邊之間的距離為（）

5、菱形具有而矩形不具有的性質是（）

A.對角相等B.四邊相等C.對角線互相平分D.四角相等

6、口/反》的對角線/C、劭相交于點。，下列條件中，不能判定64灰》是菱形的是

（）O

A.A斤ADB.ACLBDC.D.CA平分/BCD

7、下列命題中，真命題是（）。

A.對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形。

B.有一條對角線平分一組對角的四邊形是平行四邊形。

C.對角線互相垂直的矩形是菱形。

D.菱形的對角線相等。

8、菱形是軸對稱圖形，對稱軸有（）。

A.1條B.2條C.3條D.4條

9、已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm,則這個菱形的周長為,面積

為

10、將兩張長10cm寬3cm的長方形紙條疊放在一起，使

之成60度角，則重疊部分的面積的最大值為

11、一個菱形面積為80,周長為40,則兩條對角線長度之和為.

12、如圖所示,已知菱形ABCD中，E、F分別在所和CD上,且N如N所示60°,

ZBAE=15°，求NCEF的度數。

13、已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD

上的點，且CE=CF。過點C作CG〃EA交AF于H,交AD

于G,若NBAE=25°，ZBCD=130°，求NAHC的度數。

14、如圖所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB二AE,NBAE4

ZEAD,AE交BD于M,試說明BE=AM。

15、如圖，在AABC中，AB=BC,D、E、F分別是BC、AC、AB上的中點，（1）求

證四邊形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm,求菱形BDEF的

周長?

16、已知：如圖，AABC中，ZBAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點，且AE=AC,

EF〃BC交AD于點F,求證：四邊形CDEF是菱形。

17.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線

及AD、BC、AC分別交于點E、F、0,求證：四邊形AFCE

是菱形。

18、已知：如圖，C是線段BI）上一點，ZXABC和△ECD

都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形AABDE各邊

的中點，求證：四邊形RFGH是菱形。

B

19、如圖，已知在aABC中，AB=AC,ZB,NC的平分線BD、CE相交于點DF

〃CE,EG/7BD,DF及EG交于N,求證：四邊形MDNE是菱形。

§1,2矩形的性質及判定

一、教學目標：

1、能用綜合法來證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論.

2、能運用矩形的性質進行簡單的證明及計算.

二教學重難點：矩形的性質的證明以及它及平行四邊形的從屬關系.

三、概念：1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（矩形是特殊的

平行四邊形）。

2.矩形的性質：矩形具有平行四邊形的所有性質。

（1）角：四個角都是直角。

(2)對角線：互相平分且相等。

3.矩形的判定：

(1)有一個角是直角的平行四邊形。

(2)對角線相等的平行四邊形。

(3)有三個角是直角的四邊形。

4.矩形的對稱性：矩形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心；

矩形是軸對稱圖形，對稱軸有2條，是經過對角線的交點且垂直于矩形一邊

的直線。

5.矩形的周長和面積：

矩形的周長=2(。+b)矩形的面積=長、寬為矩形的長及寬)

★注意：(1)矩形被兩條對角線分成的四個小三角形都是等腰三角形且面積相等。

(2)矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的中垂線是它的對稱軸

1--------1

小:/、:/*一~7口正方形

四、講課過程：一E.

【經典例題：】

例1：已知：0是矩形ABCD對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、

0D上的點,AE=BF=CG=DH,求證：四邊形EFGH為矩形.

分析：利用對角線互相平分且相等的四邊形是矩形用

證明：TABCD為矩形

A—

.?.AC=BD

-AC、BD互相平分于0

.\AO=BO=CO=DO

,.,AE=BF=CG=DH

.?.EO=FO=GO=HO

又HF=EG

AEFGH為矩形

例2：判斷

(1)兩條對角線相等四邊形是矩形()

(2)兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形()

(3)有一個角是直角的四邊形是矩形()

(4)在矩形內部沒有和四個頂點距離相等的點()

分析及解答：

(1)如圖

四邊形ABCD中，AC=BD,但ABCD不為矩形，AX

(2)對角線互相平分的四邊形即平行四邊形，...對角線相等的平行四邊形為

矩形二?V

(3)如圖,

四邊形ABCD中，ZB=90°,但ABCD不為矩形AX

(4)矩形對角線的交點0到四個頂點距離相等AX,

如圖，

【課堂練習題：】

1.判斷一個四邊形是矩形，下列條件正確的是()

A.對角線相等B.對角線垂直C.對角線互相平分且相等D.對角線互相垂直

且相等。

2.矩形的兩邊長分別為10cm和15cm,其中一個內角平分線分長邊為兩部分，這

兩部分分別為（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和

8cm

3.在下列圖形性質中，矩形不一定具有的是（）

A,對角線互相平分且相等B.四個角相等

C.是軸對稱圖形D.對角線互相垂直平分

4在矩形ABCD中，對角線交于0點，AB=0.6,BC=0.8,則△A0B的面積為；周長

為.

5一個矩形周長是12cm,對角線長是5cm,則它的面積為.

6.若一個直角三角形的兩條直角邊分別為5和12,則斜邊上的中線等于.

°,一條對角線及矩形短邊的和為15,則矩形對角線的長為，短邊長為.

8.矩形的兩鄰邊分別為4cm和3cm,則其對角線為cm,矩形面積為cm）

°,則兩條對角線相交所成的銳角是.

10.矩形的對角線相交所成的鈍角為120。，矩形的短邊長為5cm,則對角線之

長為cm。

11.矩形ABCD的兩對角線AC及BD相交于0點，NA0B=2NB0C,若對角線AC的

長為18cm,則AD=cmo

12、已知：如圖所示，矩形ABCD中，E是BC上的一卓，且AE=BC,NEDCp15。.

求證：AD=2AB./

B!----------------------

【課后練習題：】

1.矩形具有而一般的平行四邊形不一定具有的特征是(

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互

相平分

2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC及BD相交于點0,AB=5,AC=13,則矩形ABCD

的面積_°

3.已知，矩形的一條邊上的中點及對邊的兩個端點的連線互相垂直，且該矩形的

周長為24cm,

2

則矩形的面積為cmo

4.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一點E,使AE=AB,則NEBC二。

5.如圖，已知aABC中，AB=AC,D為BC上一點，DE±AB,DFLACdBM為高，

求證：DE+DF=BM。/\

6.如圖，ABCD是矩形紙片，翻折N反/D,使比、4?恰好落在/C上。設足II

分別是反〃落在上的兩點，E、G分別是折痕區AG及AB、必的交點。

(1)求證：四邊形/比'G是平行四邊形；

(2)若AB=4cm,BC=3cm,求線段夕7的長。

7、已知：如圖，在aABC中，AB=AC,AD±BC,垂足為點D,AN是aABC的外角N

CAM的平分線，CE±AN,垂足為點E,求證：四邊形ADCE為矩形。

8、如圖，在矩形ABCD中，AP=DC,PH=PC,求證：PB平分/CBIL

9、如圖，矩形ABCD中，E為AD上一點，EFLCE交AB于F,若DE=2,矩形ABCD

的周長為16,且CE=EF,求AE的長.

10、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個內角的平分

線分別相交于點E,F,G,H,求證：四邊形EFGH是

矩形。

BC

11、已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、

N分別為BC、AD的中點.求證：四邊形BMDN是矩形.

12>如圖，已知在四邊形“BCD中，交于0,E>G、〃分別最四邊的中

點，

求證：四邊形EFG”是矩形.B

§1,3正方形的性質及判定

一、教學目標：了解正方形的有關概念，理解并掌握正方形的性質和判定方法。

二、教學重難點：探索正方形的性質及判定。掌握正方形的性質和判定的應用方

法

三、概念：

正方形的性質：

1、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.

2、正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角。

正方形的判定：

1、有一個角是直角的菱形是正方形.

2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

3、兩組對邊平行的菱形是正方形。

4、對角線相等的菱形是正方形。

5、對角線互相垂直的矩形是正方形。

6、兩組對邊平行的矩形是正方形

7、四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形。

8、一組鄰邊相等，對角線互相垂直的平行四邊形是正方形。

9、一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

io,每個角都是90度的平行四邊形是正方形。

11、一組鄰邊相等，對角線平分的四邊形是正方形。

12、四個均為直角，每條對角線平分一組對角的四邊形是正方形

正方形的判定方法有哪些:

正方形的判定方法還有哪些？

修岫盤獅四條邊都相等且有一個角是直角

對角線相等且垂直平分

四、講課過程

1、例題

例1：如圖:△ABC中，NACB=90°,CD平分NACB,DEJ_BC,DFJ_AC,垂足分另lJ為E、F

求證：四邊形CFDE是正方形.

分析：要證明四邊形CFDE是正方形,可以先證四邊形CFDE是矩形,然后再證明有

一組鄰邊

相等;也可以先證四邊形CFDE是菱形,然后再證有一個角是直角.

解平分NACB,DE±BC,DF1AC

???DE=DF（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

AZDEC=NECF=NCFD=90°,

??.四邊形CFDE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），

又DE=DF（已證）

...四邊形CFDE是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.

例2：已知：如圖點A'、B'、C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點，并且

AA'=BB'=CC'=DD'

求證：四邊形A'B'C'I）'是正方形

分析：法一：①先證明四邊形A'B'C'D'是菱形②再證明四邊形A'B'C'D’

有一個角是直角

法二:①先證明四邊形A'B'C'D'是矩形②再證明四邊形A'B'C'D'

有一組鄰邊相等。

證明：???四邊形ABCD是正方形

/.AB=BC=CD=DA

XVA'A=B'B=C'C=D'D

/.D'A=A'B=B'C=C'D

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

AAA'D'^ABB'A'^ACC'B'^ADD'C'

AD'=AB'=BC'=CD'

四邊形A'B'C'D'是菱形

又ZAD'A'=ZBA'B',ZAA'D'+ZAD'A'=90°

AZAA'D'+ZBA'B'=90°

VZD'A'B'=180°—（ZAA'D'+ZBA'B'）=90°

???四邊形A'B'C'D'是正方形

例3：如圖：EG、FH過正方形ABCD的對角線的交點O,EG_LFH,求證四邊形EFGH

為正方形

解答：???正方形ABCDEG1FH

NOAH=ZOBE=45°,DB=ACOA=OB,ZA0H=90°-NA0E=ZBOE,

ZIAOH^ZIBOE(ASA).OH=OE.

同理OE=OF=OG=OH,

四邊形EFGH是平行四邊形，FH=EG

VEGXFH，四邊形EFGH為正方形。

2、鞏固練習

1、如圖，分別延長等腰直角AOAB的兩條直角邊A0和B0,使AO=OC,BO=OD

求證：四邊形ABCD是正方形---------71。

2、矩形ABCD中，四個內角的平分線組成四邊形EMFN,判斷四邊形EMFN的形狀,

并說明原因：

D

3、判斷下列命題哪些是真命題、哪些是假命題?

對角線相等的菱形是正方形。（）

②、對角線互相垂直的矩形是正方形。（）

③、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。（）

@、四條邊都相等的四邊形是正方形。（）

⑤、四個角都相等的四邊形是正方形。（）

⑥、四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形。（）

⑦、正方形一定是矩形。（）

@、正方形一定是菱形。（）

@、菱形一定是正方形。（）

國、矩形一定是正方形。（）

4、已知：如圖，正方形4ra中，C拒CD,MN1AC,連結制則/"除=/B,

/初快=ZB.

5、在正方形/a72中，/斤12cm,對角線ZC、放相交于0,則△/80的周長是（）

A.12+12V2B.12+6V2C.12+V2D.24+6收

3、作業

1、在正方形ABCD的邊BC的延長線上取一點E,使CE=CA,連接AE交CD于F,求4ED

的度數。

變式：1、已知如下圖，正方形/寬9中，￡是切邊上的一點，尸為及;延長線上一

點,CE-CF.

(1)求證：ABEC^ADFC；(2)若/應'e60°，求/跖9的度數.

2：如圖，片為正方形/及刀的a'邊上的一點，CG平貨Z.DCF,連結并在CG

上取一點G,使吩/￡求證：AEA.EG.

3、尸為正方形/及刀內一點，為=1,PF2,片3,求乙4%的度數.

AD

P

B

C

4、（海南省）如圖，〃是邊長為1的正方形48繆對角線4。上一動點QP及A、C

不重合），點￡在射線式上，魚PE=PB.

（1）求證：①PE=PD；②PEIPD；

（2）設力Rx,△上定的面積為y.求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取

值范圍；

5、如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE,CE及

DB相交于點F,則NAFD=o

6、（哈爾濱）若正方形ABCD的邊長為4,E為BC邊上一點，BE=3,M為線段AE

上一點，射線BM交正方形的一邊于點F,且BF=AE,則BM的長為。

7、.正方形的面積是;，則其對角線長是,

8、6為正方形力用》內一點，且△石％是等邊三角形，求/右M的度數.

9、如圖，正方形ABCD及正方形OMNP的邊長均為10,點0是正方形ABCD的中心,

正方形OMNP繞0點旋轉，證明：無論正方形OMNP旋轉到何種位置，這兩個正方

形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值.

10、E是正方形ABCD對角線AC上一點，理rsEG：。,垂足分別為F、G,求證:

BE=FGo

11>已知見”8。中，zc=90°,CD平分NNCB,交AB于D,DF//BC,DE//AC,求證:

四邊形DECF為正方形。

第二章一元二次方程

§2,1認識一元二次方程

一.教學目標：

1、經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發展估算意識和能力。

2、滲透“夾逼”思想

二.教學重點難點：用“夾逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。

三.概念：(一)、一元二次方程定義

含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。

(二)、一元二次方程的一般形式

ax2+6x+c=0(a^0),它的特征是：等式左邊是一個關于未知數X的二次多項式,

等式右邊是零，其中“叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做

一次項系數；C叫做常數項。

四.講課過程

一、復習：

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a^0)

2、指出下列方程的二次項系數，一次項系數及常數項。

(1)2X2-X+1=0(2)-X2+1=0(3)x2-x=0(4)一3x2=0

二、新授：

1、估算地毯花邊的寬。

地毯花邊的寬x(m),滿足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是：2X2-13X+11=0

你能求出x嗎？

(1)x可能小于。嗎？說說你的理由；x不可能小于0,因為x表示地毯的寬度。

(2)x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？

x不可能大于4,也不可能大于2.5,x〉4時，5-2x<0,x>2.5時，5-2x<0.

(3)完成下表

X012

2x2一

13x+ll

從左至右分別11,4.75,0,-4,-7,-9

(4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？及同伴交流。

地毯花邊1米，另，因8—2x比5—2x多3,將18分解為6X3,8—2x=6,x=l

2、例題講析：

例:梯子底端滑動的距離x(m)滿足(x+6)2+72=10?

也就是X2+12X-15=0

(1)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

(2)x的整數部分是幾？十分位是幾？

X012

X2+12X—-15-213

15

進一步計算

X

X2+12X—

15

因此X的整數部分是1,十分位是1

注意：(1)估算的精度不適過高。(2)計算時提倡使用計算器。

三、鞏固練習：

1、判斷下列方程是否為一元二次方程，如果是說明二次項及二次項系數、一次項

及一次項系數和常數項：

(1)2X2+3X+5(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+l

(3)(2x-l)(3x+5)=-5(4)(3x+l)(x-2)=-5x

2、把方程(3x+2)2=4(x-3產化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、

一次項系數和常數項。

3、關于x的方程(k-3)X2+2X-1=0,當k時，是一元二次方程。

4、試找出五個連續整數，使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和：

如果設五個連續整數中的第一個數為X,則后面四個數依次可表示為、、

、，根據題意可得方程：

判斷下列方程哪些是一元二次方程

(1)4x2—5x—l=x(2)9x'—5=0(3)-+x—5=3

(4)ax2+(b—l)x+c=O(aWO)(5)5(x—l)2=5x2(6)

6、判斷關于x的方程x2—nx(x—n—l)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出

其二次

項系數，一次項系數及常數項。

7、如果關于x的一元二次方程：x2—2(a+l)x+a2=0有兩個整數根，a為整數，且

12<a<60,求這個方程的兩個根。

四、小結：估計方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。

五、作業：

1、五個連續整數，前三個數的平方和等于后兩個數的平方和，你能求出這五個連

續整數嗎？

2、一個面積為120平方米的矩形苗圃，它的長比寬多2米，求苗圃的周長？

之,則他最多有多長時間完成規定的動作？

4、已知兩個數的和為10,積為9,求這兩個數。

5、把方程2x(x-3)=(x+l)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后，a,b,c的值分別是()

、7、、-5、、-5、、-7、-1

6、方程①X?-l=x;②2x2-y-1=0;③3x2-1+1=0;④中.其中是一元二次方程

X

的是()

A.①④B.①③④C.①D.①②

7、方程x2=x的解是()

或或0

8、在一幅長80cm,寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形

圖。如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,設金色紙邊的寬為xcm,則滿足的方程

是()

22+65X-350=0

22-65X-350=0

9、一元二次方程的一般形式是，二次項是，一次項系數是。

io、方程3(x2-l)=x的二次項系數是，一次項是，常數項是。

11、根據題意，列出方程：

(1)有一面積為54平方米的長方形，將它的一邊剪短5米，另一邊剪短2米,

恰好變成一個正方形，這個正方形的邊長是多少？

⑵三個連續的整數兩兩相乘，再求和，結果為242,這三個數分別是多少？

12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項

系數和常數項：

方程一般形式二次項系一次項系常數項

數數

3X2=5X-1

13、關于x的方

(x+2)(xT)=6

程(k2-l)X2+2

4-7x2=0

(k-1)

x+2k+2=0

當k時是一元二次方程；當k時是一元一次方程。

14、關于x的方程(k-3)x2+(m-3)x-l=0,是一元二次方程。則k和m的取值范

2

圍分別為什么？

15、把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項、一次項、常數項：

(1)9x2—4x=5(2)(x—7)(4x+3)=(x—I)2

§2、2用配方法求解方程

一.教學目標：

1、會用開平方法解形如(x+m)2=n(n》0)的方程；

2、理解配方法，會用配方法解簡單的數字系數的一元二次方程；

3、體會轉化的數學思想，用配方法解一元二次方程的過程。

二.教學重難點：理解并掌握配方法，能夠靈活運用配方法解二次項系數為1的

一元二次方程。如何利用等式的性質進行配方？

三.概念：

1.配方法：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二

閃方程的方法稱為配方法2.配方法一般步驟:

(1)方程ox?+bx+c=0(〃工0)兩邊同時除以a,將二次項系數化為1.

⑵將所得方程的常數項移到方程的右邊。

(3)所得方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方

(4)配方，化成(x+4=6

(5)開方。當60時，x/土瓜當b<0時，方程沒有實數根。

四.教學程序：

一、復習：

1、解下列方程：

(1)x=9(2)(X+2)2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式計算：

(1)(x+6)"(2)(x--)-

2

注意：它們的常數項等于一次項系數一半的平方。

3、解方程：(梯子滑動問題)

X2+12X-15=0

二、新授：

1、引入：像上面第3題，我們解方程會有困難，是否將方程轉化為第1題的方程

的形式呢？

2、解方程的基本思路(配方法)

如：X2+12X-15=0轉化為

(x+6)J51

兩邊開平方，得

x+6=±-\/51

...X尸倔-6X2=-A/51—6(不合實際)

因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉化為(x+m)2=n的形式，它的

一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數，當n20時，兩邊開平方便可求

出它的根。

3、講解例題：

例1：解方程:X2+8X-9-0

分析：先把它變成(x+m)2=n(n20)的形式再用直接開平方法求解。

解：移項，得：X2+8X=9

配方，得：X2+8X+42=9+42(兩邊同時加上一次項系數一半的平方)

即：(x+4)=25

開平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=—5

所以:Xi=Lx2=—9

三、鞏固練習：

1＞解下列方程：

(1)(2-x)=3(2)(x-V2)=64(3)2(x+1)2=-

2

(4)x-8x+9=0(5)x--x=2

3

2、配方：填上適當的數，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(X+6)2

(2)X2—12x+=(x—)2

(3)X2+8X+=(X+)2

3、若x?=4,貝！Jx二.若(x+D、4,則x=.若x?+2x+l=4,則x=.若x?+2x=3,則x=.

4、填上適當的數，使下列等式成立：

X2+12X+=(X+6)2;

X2-4X+=(x-)2;

X2+8X+=(X+)2.

5、利用配方法快速解下列兩個方程：

X2+2X-35=05X2-15X-10=0

6、方程y2-4=2y配方,得()

A.(y+2)2=6B.(y-l)2=5C.(y-l)=3D.(y+l)=-3.

四、小結：

(1)什么叫配方法？

(2)配方法的基本思路是什么？

(3)怎樣配方？

五、作業：

1、如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬

的兩條互相垂直的道路，剩余部分種花草，要使剩余部分面積

為850m2,道路的寬應為多少？(第1題)

2、解下列方程:

(1)X2+12X+25=0(2)x+4x=10

(3)X2-6X=11

(4)X2-2X-4=0(5)x-4x-12=0

(6)x-10x+25=7

(7)X2+6X=1(8)x-6x-40=0

(9)X2-6X+7=0

(10)X2+4X+3=0

4、當x取何值時，代數式10-6x+x?有最小值，是幾?

5、配方法證明y2-12y+42的值恒大于0。

22

6.(DxMx+=(x-)；(2)x^x+=(x-)

7、方程XM12X=9964經配方后得(x-)2=

8、方程(x+m)2=n的根是

9、當x=-1滿足方程X?-2(a+1)2X-9=0時，a=

10>已知：方程(m+1)x2mH+(m-3)x-l=O,試問：

(1)m取何值時，方程是關于x的一元二次方程，求出此時方程的解;

(2)m取何值時，方程是關于x的一元一次方程

11、關于x的一元二次方程(a+l)x2+3x+a2-3a-4=0的一個根為0,則a的值為()

A、-1B、4C、-1或4D、1

12、不論x、y為什么實數，代數式x?+y2+2x-4y+7的值()

A、總不小于2B、總不小于7C、可為任何實數D、可能為負數

§2、2用公式法求解一元二次方程

一.教學目標：

1、能夠熟練地、靈活的應用配方法解一元二次方程。

2、進一步體會轉化的數學思想方法來解決實際問題。

3、培養觀察能力運用所學舊知識解決新問題。

二.教學重點、難點：能夠熟練的應用配方法解一元二次方程和兩種方法的選用。

用求根公式解簡單數字系數的一元二次方程。對求根公式的推

導過程的理解

三.概念：

1.公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方

程的一般方法。

2

元二次方程ax+bx+c=O(a^0)的求根公式：x/士五―4竺(/_4ac>0)

2a

四.教學程序：

一、復習：上節課我們學過的解一元二次方程的基本思路是什么？其關鍵是什么？

二、新授：

1、例題講析：

例1利用公式法解方程X2-7X-18=0

分析：此方程中哪些數字相當于ax?+bx+c=0(aWO)中的a、b、c?試寫出解

方程的完整過程。

例2對于問題：k取何值時,kx2+3x+4=0有兩個不相等的實數根，下面的

解法是否正確？若不正確，請給出正確解法。

解：VA=3-4?k-4=9-16k

令9T6k>0,則k<-

16

即當k<2時，方程kx2+3x+4=0有兩個不相等的實數根。

16

2、用公式法解一元二次方程的步驟：

(1)把方程化為(一般形式)

(2)寫出一元二次方程的各項(系數)

(3)計算(判別式了2-4ac)的值，并判斷出及(0)的大小關系

(4)在一元二次方程有(b"2-4ac>=0)的前提下，用公式(x=(-b+(-)VA)

/2a)求出x的值

(5)具體寫出xl=((-b+VA)/2a)x2=((-b-VA)/2a)

3、利用配方法推導一元二次方程的求根公式

若給出一個一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)你覺得應如何利用配方法求解？

(1)ax2+bx+c=O(aWO)方程的兩邊同時除以a可得到：。

⑵把上式中的常數項移項可得：

⑶如果對上式進行配方，方程兩邊應加上什么式子，這個式子是怎樣得到的?

(4)配方后可得：。

⑸思考：對于上式能不能直接利用直接開平方，為什么？

結論：對于一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO),當時，它的根是：

x=。式子稱為求根公式，用解一元二次方程的方法稱為公式法。

1、用公式法解下列方程:

(1)2X2-4X-1=0;(2)5x+2=3x2;

(x-2)(3x-5)=l

(4)X2-2X-4=0(5)5x2=4-2x

(x—2)(3x—5)=1

(7)x2-5V2X+8=0(8)X2+2X-35=0

5x-15x-10=0

(10)9X2+6X+1=0(11)16X2+8X=3

2、一個直角三角形三邊的長為三個連續的偶數，求這個三角形的三條邊長。

3、方程(m+1)x"(m-3)xT=O.

(1)m取何值時，方程是一元一次方程

⑵m取何值時，方程是一元二次方程，并求出此方程的解。

4、x=-2是方程2x2+mx-4=0的一個根，則m的值是。

5、兩個連續奇數的積是483,則這兩個奇數分別是、。

6、若一個等腰三角形三邊長均滿足方程X2-6X+8=0,則此三角形的周長為。

7、已知一元二次方程有一個根是2,則這個方程可以是(填上你認為正確的一個

方程即可)。

8、填空:

(1)方程x?+2x+l=0的根為5=,x2=,則Xi+x2=;xjX2=.

(2)方程x?-3xT=0的根為x尸，x2=,則Xi+x2=;xjX2=.

(3)方程3x2+4x-7=0的根為x尸,x2=,則Xi+x2=;xjX2=.

§2、2用分解因式法求解一元二次方程

一、教學目標：

1、了解分解因式法的概念；

2、會用因式分解法解某些簡單的數字系數的一元二次方程。

3、體驗解決問題的方法的多樣性，靈活選擇方程的解法。

4、在學習活動中獲得成功的體驗，建立學好數學的信心。

二、教學重點、難點：會用因式分解法解某些簡單的數字系數的一元二次方程。

會用因式分解法解某些簡單的數字系數的一元二次方程。

三、概念：因式分解法：一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的

乘積時使用此方法。

四、教學程序：

一、復習：

1、有兩個數a、b,如果它們之間滿足a?b=O,則a,b的值會是怎樣的情況？

2、對下列各式分解因式：(1)5X2-4X(2)X-2-X2+2X

二、新授：

1、例題

例1：

如圖所示：

(1)設花園四周小路的寬度均為xm,可列怎樣的一元二次方程?

(16-2x)(12-2x)=-X16X12

2

(2)元二次方程的解是什么？

Xi=2X2=12

(3)這兩個解都合要求嗎？為什么？

*尸2合要求，X2=12不合要求，因荒地的寬為12nl，小路的寬不可能為12m,

它必須小于荒地寬的一半。

例2、設花園四角的扇形半徑均為xm,

可列怎樣的一元二次方程？

21

x2Ji=-X12X16

2

(2)一元二次方程的解是什么？

X2^

(3)合符條件的解是多少？

X.

3、你還有其他設計方案嗎？請設計出來及同伴交流。

(1)花園為菱形？(2)花園為圓形

三、鞏固練習

1、利用分解因式法解方程

(1)5X2=4X(2)x-2=x(x-2)

2、你能用分解因式法解方程x?-4=0,(x+l)2-25=0嗎？及同學交流一下。

四、小結：

1、本節內容的設計方案不只一種，只要合符條件即可。

2、設計方案時，關鍵是列一元二次方程。

3、一元二次方程的解一般有兩個，要根據實際情況舍去不合題意的解。

五、作業：

1、用分解因式法解方程

(1)X2-6X=0(2)3(X-5)=2(5-X)(3)

2(x-3)2=X2-9

(4)4X2-4X+1=0(5)4(x-2)2=9(x+3)2

(6)4x(2x+l)=3(2x+l)

(7)(2x+3)=4(2x+3)(8)3x(x-1)=2-2x(9)

(x-2)2=(2x+3)2

(10)(x-2)(x-3)=12(11)X-5V2X+8=0(12)

2(x-3)2=X2-9

(13)5(x2-x)=3(x2+x)

2、解方程2x(x-1)=x-1時，有的同學在方程的兩邊同時除以(x-1),得2x=l,

解方程得x=0.5,這種做法對嗎如

果不對,請你寫出正確的答案并及同學交流.

3、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(yT>=5C.(y-l)=3D.(y+l)2=-3.

4、已知Di?-13m+12=0,則m的取值為()

5、如果關于x的一元二次方程：x2—2(a+l)x+a2=0有兩個整數根，a為整數，且

12<a<60,求這個方程的兩個根。

§2、5一元二次方程根及系數的關系

一、教學目標：提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。

二、教學重難點：尋找等量關系，建立方程模型。

三、概念：一元二次方程根及系數的關系：如果方程"2+bx+c=0（〃NO）的兩個實數

根是X］，”則，。

四.教學程序：

1、例題精講

例1:已知關于X的方程（1）--。-2切+/-3=0有兩個不相等的實數根，且關于X

的方程（2）/-2x+2a-l=0沒有實數根，問o取什么整數時，方程（1）有整數解？

分析：在同時滿足方程（1）,（2）條件的口的取值范圍中篩選符合條件的。的整

數值。

aJ

解：???方程（1）有兩個不相等的實數根，.*.A1=［-（l-2a）］-4（a-3）＞0解

得；

???方程（2）沒有實數根，.?.5=（-2尸-4（2"1）＜0解得”＞1；于是，同時滿足

方程（1）,（2）條件的。的取值范圍是其中，a的整數值有a=2或a=3

當a=2時，方程（1）為#+3x+l=0,無整數根；當a=3時，方程（1）為1+5x+6=0,

有整數根。解得：々=?2.勺=?3

所以，使方程（1）有整數根的。的整數值是。=3。

例2：不解方程,判別方程2M+3x-7=0兩根的符號。

分析：對于一+6+＞咐工。）來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為己

知，可據此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正

負,則需要確定A0或A+4的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別

式的值，又要確定A0或2+它的正負情況。

解：V2xa+3x-7=0,.-.△=3a—4X2X(―7)=65>0

???方程有兩個不相等的實數根。設方程的兩個根為近⑦，

???vo??.原方程有兩個異號的實數根。

說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根及系數的關系”結合起

來進行確定，另外由于本題中再0<0,所以可判定方程的根為一正一負；倘若A今

>0,仍需考慮丸+吃的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。

二作業

填空題：

1、如果關于x的方程M+6x+±=0的兩根之差為2,則七=。

2、已知關于X的一元二次方程(/-D，-(a+l)x+l=0兩根互為倒數，貝必=。

3、已知關于x的方程1-3用了+2如7)=0的兩根為a、4且，貝帆=。

4、已知小刀2是方程2--7x-4=0的兩個根，則:雄+4=；

(可+1)(/+1)=；k「xj=。

5、已知關于x的一元二次方程皿2-4八6=0的兩根為玉和%且近+占=-2,則

=；(Xj+Xj)***=

6、如果關于x的一元二次方程/+及x+a=O的一個根是1-拉，則另一個根是,

。的值為。

7、已知2+、回是左=0的一根，則另一根為，上的值為。

8、一個一元二次方程的兩個根是2+m和2-癡，則這個一元二次方程為：。

求值題：

1、已知小聲是方程2?一3x7=0的兩個根，利用根及系數的關系，求五、2?刀巖的

值。

2、已知可、匕是方程3/-2x-】=0的兩個根,利用根及系數的關系，求尸

的值。

3、