專題8.1空間幾何體的表面積和體積

【題型目錄】

題型一空間幾何體的結構特征

題型二斜二測畫法

題型三最短路徑

題型四空間幾何體的表面現

題型五空間幾何體的體積

題型六截面問題

【典型例題】

題型一空間幾何體的結構特征

例1.（2023?上海?上海市七寶中學?？寄M預測）《九章算術》中，將四個面都

是百角二角形的四面體稱為“鱉需在長方體ABC。-A5CQ中.鱉席的個數為

（）

A.48B.36C.24D.12

例2.（2023?全國?高一專題練習）下列關于空間幾何體結構特征的描述錯誤的是

（）

A.棱柱的側棱互相平行

B.以直角三角形的一邊為軸旋轉一周得到的幾何體不一定是圓錐

C.正三棱錐的各個面都是正三角形

D.棱臺各側棱所在直線會交于一點

舉一反三

練習1.（2023?全國?高一專題練習）一個幾何體由六個面組成，其中兩個面是互

相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個幾何體是（）

A.三棱柱B.三棱臺C.四棱柱D.四棱臺

練習2.（2023?全國?高三專題練習）（多選）下列說法正確的是（）

A.以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐

B.棱臺的側面都是等腰楞形

C.底面半徑為八母線長為2,,的圓錐的軸截面為等邊三角形

D.棱柱的側棱長都相等，但側極不一定都垂直于底面

練習3.（2023?全國?高三專題練習）下列說法正確的是（）

A.等邊三角形繞其一條邊旋轉一周所得的幾何體是圓錐

B.球體的截面都是圓面

C.正四棱臺的側面展開圖是一個等腰梯形

D.正三棱錐的四個面都是等邊三角形

練習4.（2023春?甘肅?高三校聯考期中）（多選）下列命題正確的是（）

A.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是極臺

C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面

所圍成的旋轉體是圓臺

D.用平面截留柱得到的截面只能是圓和矩形

練習5.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）某兒童玩具的實

物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由OA,OB,OC,OD四

條等長的線段組成，其結構特點是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在

的直線豎直向上，則sin403=（）

題型二斜二測畫法

例3.（2023春?河南?高三洛陽市第三中學校聯考階段練習）如圖，△04夕是一

的直觀圖，貝九。4區是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.以上都有可能

例4.（2023?全國?高三專題練習）某幾何體底面的四邊形。ABC直觀圖為如圖矩

形QA4G，其中。小=6,0G=2,則該幾何體底面對角線AC的實際長度為（）

C.4及D.2M

舉一反三

練習6.（2023春?全國?高三專題練習）如圖等腰梯形ABC。，ABCD,八8=1,

AD=2,CO=3,那么該梯形直觀圖的面積是_____.

練習7.（2023?全國?高三專題練習）如圖，“EC是的直觀圖，其中

BO=CO=1,40=@，那么BBC是一個（

8'/O'Cx'

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.無法確定

練習8.（2023?全國?高一專題練習）已知在如圖所示的等腰梯形中，

"=1,。。=3,AD=6,用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖，則該梯形的直觀圖

的面積為.

AB

練習9.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，矩形O'AEC是水平放置的一個

平面圖形的直觀圖，其中。W=3,OV=1,則原圖形是（）

C'B'

面積為這的矩形

A.面積為6&的矩形B.

4

D.面積為舉的菱形

C.面積為66的菱形

4

練習10.（2023春?河南周口?高三?？计谀┤鐖D，一個水平放置的平面圖形的

直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（）

A.16B.12C.4+8x/2D.4+4及

題型三最短路徑

例5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，圓錐的底面圓直徑/W為2,母線長S4

為4,若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C,則小蟲爬行

的最短距離為（）

C.4及D.2G

例6.（2023?全國?高一專題練習）如圖，止三棱錐V-心。中，

人8=8。=4。=2"八=\/8=收=五，點M,N分別為E4.8。的中點，一只螞蟻從點M

出發，沿三棱錐側面爬行到點N,求：

（1）該三棱錐的體積與表面積;

（2）螞蟻爬行的最短路線長.

舉一反三

練習11.（2023?安徽銅陵?統考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形,

山腳呈圓形,半徑為2km,山高為2洞m,5是山坡SA上一點，且M=2km.現要

建設一條從A到B的環山觀光公路，這條公路從A出發后先上坡，后下坡，當公

路長度最短時，下坡路段長為.

s

練習12.（2023?全國?高三專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母

線長為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點尸出發，繞圓錐爬行一周后回到點?

處，若該小蟲爬行的最短路程為4百，則這個圓錐的體積為（）

128及冗口32后兀0尺轉口

練習13.（2023?四川資陽?統考三模）如圖，在正三棱柱4BC-4B/C/中，

AA=AB=2,。在A/C上，E是4由的中點，則（AD+的最小值是（）

C.3+幣D.5+V7

練習14.（2023春?安徽?高三安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，在長

方體AG中，AB=1,BC=8,CC.=3,若P為線段BQ上的動點，則。P+PQ的

最小值為.

D,G

A

，，"

DC

AB

練習15.（2023?全國?高三專題練習）長方體ABC。-中，寬、長、高

分別為3、4、5,現有一個小蟲從A出發沿長方體表面爬行到。來獲取食物，

則其路程的最小值為.

題型四空間幾何體的表面積

例7.（2023?江西?統考模擬預測）已知某圓錐的底面半徑為2,其體積與半徑為

1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（）

A.1B.2C.6D.5

例8.（2023春?福建廈門?高三廈門一中?？计谥校┮阎獔A錐PO,其軸截面（過

圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6m,頂角為g的等腰三角形，該圓錐的側面積

為（）

A.67tnfB.6\^3nm?C.3\/3nm~D.125/3nm2

舉一反三

練習16.（2023?安徽安慶?安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈钤绯鐾恋氖?/p>

制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.

己知，底面圓的直徑AB=12cm,圓柱體部分的高8c=6cm,圓錐體部分的高

CZ）=4cm,則這個陀螺的表面積（單位：cnr）是（）

?D

A.(144+12/5)冗B.(144+24炳冗

C.(108+12折)兀D.(108+24響兀

練習17.（2023?湖北黃岡?黃岡中學?？级＃ǘ噙x）一個圓柱和一個圓錐的底

面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論正確的是（）

A.圓柱的側面積為2獻2

B.圓錐的側面積為2冗十

C.圓柱的側面積與球的表面積相等

D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2

練習18.（河北省2023屆高三模擬（六）數學試題）機（zhu）,是一種古代打

擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，祝的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，

下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內壁發聲，表示樂曲將開始.如圖，某機（含

底座）高60cm,上口正方形邊長7（）cm,下口正方形邊長54cm,底座可近似地看

作是底面邊長比下口邊長長4cm,高為16cm的正四核柱，則該椀（含底座）的側

面積約為（2.236）（）

A.12960cm2B.14803cm2C.168(X)cnrD.18240cm

練習19.（2023?安徽合肥?合肥市第八中學校考模擬預測）“阿基米德多面體”也

稱為半正多面體（semi-re^ularsolid）,是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的

多面體，它體現了數學的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點的三條棱的

中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐得到.已知人8=夜，若該半正多面體的

表面積為S,體積為V,則1為（）

練習20.（2023?安徽合肥?合肥一中?？寄M預測）（多選）已知半徑為R的球與

圓臺的上下底面和側面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為〃和;*2,母線長為/,

球的表面積與體積分別為S/和V/,圓臺的表面積與體積分別為S2和總則下列

說法正確的是（）

A./=4+4B.尺=7^

C.MJD.興的最大值為［

題型五空間幾何體的體積

例9.（2023?山東煙臺?統考二模）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發明的一種塑

料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體.某樂高拼插組件為

底面邊長為3cm、高為4cm的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的

圓心、直徑為2cm、高為4cm的圓柱，則該組件的體積為（）.（單位：cm5）

A.48-8nB.36-6nC.16-4nD.36-4n

例1（）.（2023?上海閔行?上海市七寶中學?？级＃┰赗iZXABC中，N8=90°,

A8=2,CB=3,將一48c繞邊AB旋轉一周，所得到幾何體的體積為.

舉一反三

練習21.（2023?北京海淀?校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督

造一種標準量器一商鞅銅方升，開創了秦朝統一度量衡的先河.如圖，升體是

長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是18.7c%內口長xcm,寬7cm,

高2.3cm（忽略壁的厚度，取圓周率兀=3）,若手柄的底面半徑為1cm,體積為

18.6cm1則銅方升的容積約為（小數點后保留一位有效數字）（）

A.201.3cm5B.210.5cm3C.202.1cm5D.212.2cm5

練習22.（2023.湖北?統考模擬預測）如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時所用的圓臺

狀模具，它的高為8cm,入底部直徑為12cm,上面開口圓的直徑為2（）cm,現用

此模具烘焙一個跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變為原

來液態狀態下體積的2倍（模具不發生變化），若用直徑為l（）cm的圓柱形容量

器取液態原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態原料的高度約為（）（單

位：cm）

D.4.61

練習23.（2023?廣東佛山??？寄M預測）如圖，某圓柱體的高為2,ABC。是該

圓柱體的軸截面.已知從點8出發沿著圓柱體的側面到點。的路徑中，最短路徑的

長度為2石，則該圓柱體的體積是（）

C.327t

練習24.（2023?福建福州福州三中?？寄M預測）如圖是一個圓臺的側面展開

圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且

ZABC=120°,則該圓臺的體積為（）

里3D.哈

練習25.（2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）如圖，用

一邊長為20的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢,

將體積為號的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球

心）與蛋巢底面的距離為.

題型六截面問題

例11.例023?江西?統考模擬預測）已知在長方體A3CD-A4GA中,

AB=BB、=2BC,點p,。，7分別在棱84，CG和A8上，且87=38夕，CQ=3CQ,

BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

例12.（2023?河北唐山?統考二模）正方體A8CQ-A4c■的棱長為2,E,尸分

別為棱AB,BC的中點，過R,E,E做該正方體的截面，則截面形狀為,

周長為.

舉一反三

練習26.（2022?全國?高三專題練習）作出平面穴與四棱錐A-8CQE的截面,

截面多邊形的邊數為.

練習27.（2023?全國?高三專題練習）（多選）用一個平面去截正方體，則截面可

能是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.正方形D.正六邊形

練習28.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？计谥校┱襟wA8CD-AMCQ

的棱長為2,P為中點，過4,P,。三點的平面截正方體為兩部分，則截面

圖形的面積為（）

,—廠9r-

A.VioB.2、回C.-D.卡

乙

練習29.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學?？计谥校┤鐖D，在正方體

A3CO-A4CQ中，DR的中點為Q,過A,Q,4三點的截面是（)

C.菱形D.梯形

練習30.（2023?全國?高一專題練習）如圖,正方體ABCO-AgG。的樓長為2,

E是側棱AA的中點，則平面&CE截正方體A8CD-A4CQ所得的截面圖形的周

長是________

參考答案與試題解析

專題8.1空間幾何體的表面積和體積

【題型目錄】

題型一空間幾何體的結構特征

題型二斜二測畫法

題型三最短路徑

題型四空間幾何體的表面鞏

題型五空間幾何體的體積

題型六截面問題

【典型例題】

題型一空間幾何體的結構特征

例1.（2023?上海?上海市七寶中學?？寄M預測）《九章算術》中，將四個面都

是直角三角形的四面體稱為“鱉脯”，在長方體A3CQ-A4cA中，鱉膈的個數為

()

A.48B.36C.24D.12

【答案】C

【分析】每個頂點對應6個鱉腌，所以8個頂點對應48個鱉睡.但每個鱉膈都重

復一次，再除2,即可得解.

【詳解】在正方體中，當頂點為A時，三棱錐A-E”G、A-EFG、

A-DCG.

A-DHG,A-BCG、A—8FG均為鱉瞞.

所以8個頂點為8x6=48個.但每個鱉膈都重復一次，

所以，鱉腕的個數為g=24個.

故選：B.

例2.（2023?全國?高一專題練習）下列關于空間幾何體結構特征的描述錯誤的是

（）

A.棱柱的側棱互相平行

B.以直角三角形的一邊為軸旋轉一周得到的幾何體不一定是圓錐

C.正三棱錐的各個面都是正三角形

D.棱臺各側棱所在直線會交于一點

【答案】C

【分析】根據相應幾何體的定義和性質判斷即可.

【詳解】根據棱柱的性質可知A正確；

當以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉軸時，所得幾何體為兩個圓錐的組合體，

故B正確；

正三棱錐的底面是正三角形，其余側面是全等的等腰三角形，故C錯誤；

棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側棱所在直線必交于一點，D正確.

故選：C

舉一反三

練習1.（2023?全國?高一專題練習）一個幾何體由六個面組成，其中兩個面是互

相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個幾何體是（）

A.三棱柱B.三棱臺C.四棱柱D.四棱臺

【答案】D

【分析】根據條件，分別對題目中四個選項分析推理.

【詳解】不妨假定兩個平行的面是上下底面，并且必須是6個面，顯然三棱柱和

三棱臺不滿足要求，

四棱柱要求各側面均為平行四邊形，上下兩個平面為全等的四邊形，不滿足要求，

四棱臺上下兩個底面相互平行，其余各面都是梯形，故滿足條件的幾何體是四棱

臺.

故選：D.

練習2.（2023?全國?高三專題練習）（多選）下列說法正確的是（）

A.以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐

B.棱臺的側面都是等腰楞形

C.底面半徑為〃母線長為2,?的圓錐的軸截面為等邊三角形

D.棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面

【答案】CD

【分析】根據圓錐、棱臺、棱柱的定義及結構特征逐一判斷即可.

【詳解】圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉

體，

當繞斜邊旋轉時，不是棱錐，故A錯誤；

棱臺的側面都是梯形，但棱臺的側棱不一定都相等，故B錯誤；

圓錐的軸截面是等腰三角形，其腰長為2r,又底面半徑為r,故等腰三角形的底

邊為2廠，

即該圓錐的釉截面為等邊三角形，故c正確；

棱柱的側面都為平行四邊形，所以側楂都相等，棱柱包含直棱柱馬斜棱柱，

故側棱不一定都垂直于底面，故D正確.

故選：CD.

練習3.（2023?全國?高三專題練習）下列說法正確的是（）

A.等邊三角形繞其一條邊旋轉一周所得的幾何體是圓錐

B.球體的截面都是圓面

C.正四棱臺的側面展開圖是一個等腰梯形

D.正三棱錐的四個面都是等邊三角形

【答案】B

【分析】根據幾何體的特征依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】對選項A：等邊三角形繞其一條邊旋轉一周所得的幾何體是兩個圓錐的

組合體，錯誤；

對選項B：球體的截面都是圓面，正確；

對選項C：正四樓臺的側面是一個等腰梯形，側面展開圖不是，錯誤；

對選項D：正三棱錐的側面可能不是等邊三角形，錯誤.

故選：B

練習4.（2023春?甘肅?高三校聯考期中）（多選）下列命題正確的是（）

A.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是校臺

C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面

所圍成的旋轉體是圓臺

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

【答案】AC

【分析】根據圓錐母線的定義可判斷A,根據桂臺的定義可判斷B,根據圓臺的

定義可判斷C,根據平面與圓柱底面的位置關可判斷D.

【詳解】對于A,根據圓錐的母線的定義，可知A正確；

對于B,把梯形的腰延長后有可能不交于一點，

此時得到幾何體就不是棱臺，故B錯誤；

對于C,根據圓臺的定義，可知c正確;

對于D,當平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時,

得到的截面不是圓和矩形，故D錯誤.

故選：AC

練習5.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學校考階段練習）某兒童玩具的實

物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由。4,OB,OC,。。四

條等長的線段組成，其結構特點是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在

的直線豎直向上，則sin4O3=（）

【分析】利用正四面體的外接球相關性質，解三角形既可.

【詳解】如圖，連接ASAC,AD,BC,CD,BD,得到正四面體A8CD,則點

O為正四面體ABCD外接球的球心，延長AO交底面BCD于G,則G為△8C。的

中心.

設八8=26，外接球的半徑為R,連接8G,

在正三角形中，易得則AG=2a,

故在R3Go中有：BO--OG2=BG2=>R2-（2>/2-7?）*=4,

解得R=逑，則cos/A（用=（訴+加一］嘰」,所以sin/AOB=也，

22OAOB33

故選：A.

A

題型二斜二測畫法

例3.（2023春?河南?高三洛陽市第三中學校聯考階段練習）如圖，△OWQ是一。43

的直觀圖，貝九。43是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D,以上都有可能

【答案】C

【分析】根據斜二測畫法的規則，化簡△OW"的直觀圖結合圖形，即可

求解.

【詳解】因為N〃y=45,則線段A*與y'軸必相交，令交點為U,如圖（1）所

以,

在直角坐標系宜萬中，點A在X軸上，可得04=0'A',點C在y軸上，可得

0C=2OC,

如圖（2）所示，因此點B必在線段AC的延長線上，所以N3OA>NCO4=90。,

所以10A8是鈍角三角形.

故選；C.

例4.（2023?全國?高三專題練習）某幾何體底面的四邊形048。直觀圖為如圖矩

形。人8￡,其中。0=6,。6=2,則該幾何體底面對角線AC的實際長度為（）

C.4x/2D.2M

【答案】R

【分析】通過直觀圖與原圖的關系得出4、C兩點的坐標，即可得出答案.

【詳解】根據四邊形。A8C直觀圖將其還有為平面圖形如圖：

根據直觀圖與原圖的關系可得：

。4=04=6,OD=2\l2?+2。=4四,。。=。6=2,

則點A(6,0),C(-2,4>/2),

:.\AC\=^(4>/2-0)2+(-2-6)：=4>/6,

故選：B.

舉一反三

練習6.（2023春?全國?高三專題練習）如圖等腰梯形ABCQ,"CD,AZ?=1,

4）=2,CD=3,那么該楞形直觀圖的面積是,

D

【答案】當

【分析】根據斜二測畫法的性質結合梯形面積公式即可求解.

【詳解】由題意可知等腰梯形4BCQ的高

AE=>JAD2-DE2=AD2-*4-1=6,

~2~

由斜二測畫法的規則可如該梯形直觀圖中的高叫心*=$0號?

A8,C。的長度在直觀圖中與原圖保持一致，故直觀圖的面積為，1+3卜4=4

故答案為：顯

練習7.（2023?全國?高三專題練習）如圖，4A7TC是/8C的直觀圖，其中

*。"松，=冬那么/是一個（）

直角三角形C.等腰三角形D.無法確定

【答案】A

【分析】將直觀圖還原，分析幾何圖形的形狀.

y

【詳解】/\

B(\~C

如圖，將直觀圖還原，貝ljBO=CO=l,AO=C，所以加=AC=8C=2,SR..ABC

是正三角形.

故選：A.

練習8.(2023?全國?高一專題練習)已知在如圖所示的等腰梯形A8CQ中，

AB=\,DC=3,AD=?,用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖，則該梯形的直觀圖

的面積為.

【答案】坐匕忘

22

【分析】如圖所示，過AB作AE_LOC,A/_LDC,垂足分別為區尸，求出人E=l,

即得解.

【詳解】解：如圖所示，過A8作AE_LDGA/1OC,豆足分別為E.F.

依題意，＞W-1,DC-3,D￡-1,.?AD-V2,所以4￡=1,

可知等腰梯形ABCD的面積為:x(l+3)xl=2,

根據斜二測畫法規則知，其直觀圖的面積為原圖形面積的也，

4

所以該梯形的宜觀圖的面積為也x2=*.

42

故答案為：

2

練習9.(2()23?全國?高三專題練習)如圖所示，矩形O'AEC是水平放置的一個

平面圖形的直觀圖，其中。A=3,OfC=l,則原圖形是（）

A.面積為6立的矩形B.面積為次的矩形

4

C.面積為6顯的菱形D.面積為羋的菱形

4

【答案】C

【分析】根據題意利用斜二測畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.

【詳解】NDYX4'=45,oe=c7y=l,所以07/=&,

故在原圖中，0”=2&，CD=Ciy=\

OC=y/OD2+CD2=78+T=3?

所以四邊形O4AC為菱形（如圖所示），04=3,

則原圖形面積為S=04x00=675，

練習10.（2023春?河南周口?高三?？计谀┤鐖D，一個水平放置的平面圖形的

直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（）

C.4+8x/2D.4+4夜

【答案】A

【分析】根據斜二測畫法分析運算.

【詳解】在直觀圖中，O,A=2,O,B=V22+22=2>/2,

可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2,高為2x2C=4&,

則另一邊長為朽+（4揚2=6,所以原圖形的周長為2X（2+6）=16.

故選：A.

題型三最短路徑

例5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，圓錐的底面圓直徑A8為2,母線長S4

為4,若小蟲P從點4開始繞著圓錐表面爬行一圈到S4的中點C,則小蟲爬行

的最短距離為（）

A

.（p）g

A.2#>B.2、存C.4&D.26

【答案】A

【分析】將錐體側面展開為扇形，先求出所得扇形圓心角，再根據兩點間線段距

離最短，求最短路徑.

【詳解】由題意，底面圓的直徑4B=2,故底面周長等于2兀

匕

4A（P）

設圓錐的側面展開后的扇形網心角為〃。，

根據底面周長等于展開后扇形的弧長得271=誓,解得〃=90,

1OV

所以展開圖中NPSC=9（）。，故PC=2石，

所以小蟲爬行的最短距離為26.

故選：A

例6.（2023?全國?高一專題練習）如圖，正三棱錐V-他。中，

A4=8C=AC=2WA=W?=VC=&,點M,N分別為VA,BC的中點，一只螞蟻從點M

出發，沿三棱錐側面爬行到點N,求：

A

（1）該三極錐的體積與表面積；

（2）螞蟻爬行的最短路線長.

【答案】（1）體積為豐，表面積為3+G；

⑵①

2

【分析】（I）將△V8C當作底面，將必1當作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即

口J求得三棱錐的體枳；再由求出各個面的面枳，由面積公式可得三棱錐的表面枳;

（2）將△AV8與KV8延丫8展開，使得兩個三角形在同一個平面上，連接MN,

再由余弦定理即可求得最短值.

【詳解】(1)因為八8=8C=A。=2,VA=V8=Vr=&,

22222

所以+VB?=AB\VB+VC=BC\VA+VC=ACf即h_LVB,VBJ.VC.VA_LVC,

又VficVC=V,VI3,VC在面V8C內，得小_!_面沖。,

_屋VA-1后&缶立，

V-^C-X-VBC-3V/,C3

叵史+與2』+氐

^V-AHC=S'sc+S.VACC+ABC=3X

24

（2）如下圖：連接MN,線段MN的長度即螞蟻爬行的最短路線長,

由余弦定理可得：MN2=MC2+CN2-2MN-CN-COS-,

4

22222

舉一反三

練習II.（2023?安徽銅陵?統考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形,

山腳呈圓形，半徑為2km,山高為2、后km,8是山坡SA上一點，且他=2km.現要

建設一條從A到8的環山觀光公路，這條公路從A出發后先上坡，后下坡，當公

路長度最短時，下坡路段長為.

【分析】利用圓錐的側面展開圖，利用兩點間的距離，結合圖象，求最小值.

【詳解】由題意，半徑為2km,山高為2而km,則母線SA=在+（2灼?=8,

底面圓周長2"=4冗，所以展開圖的圓心角

o2

如圖，是圓錐側面展開圖，結合題意，48=屈養=10，

由點S向A3引垂線，垂足為點〃，此時S"為點S和線段A8上的點連線的最小值,

即點”為公路的最高點，段即為下坡路段，

則=即36=108”,得8”=3.6km

下坡路段長度為3.6km.

故答案為：3.6km

練習12.（2023?全國?高三專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母

線長為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐爬行一周后回到點P

處，若該小蟲爬行的最短路程為4右，則這個圓錐的體積為（）

D32后兀CVi默

D?----------D.苧

8127

【答案】A

【分析】作出圓錐側面展開圖，根據最短路程和母線長，利用余弦定理可求得側

面展開圖扇形的圓心角，結合扇形弧長公式和勾股定理可求得圓錐底面半徑和

高，代入圓錐體積公式即可.

【詳解】設圓錐的頂點為。，以母線。尸為軸可作出圓錐側面展開圖如下圖所示,

小蟲爬行的最短路程為4/，，PP=4K，又0P=0P=4,

OP2+OP12-PP，216+16-48I

cos/POP==...^POP'=—

2OPOP'32~23

設圓錐底面半徑為L高為h,貝1」2"=等4,解得：""/『業-/）；殍,

.??圓錐體積喈*華=喏

故選：A.

練習13.（2023?四川資陽?統考三模）如圖,在正三棱柱A5C-4BQ中,

AA=A8=2,。在A/C上，E是A/的中點，貝lJ（AO+OE『的最小值是（）

小

C

A.6—yjlB.\/lC.3+yjlD.5+'Jl

【答案】C

[分析】將平面AJBC與平面A/AC翻折到同一平面上，連接AE,記入EcAC=尸,

再根據余弦定理可得cos/BAC,進而求得sin/gC=#，再根據兩角和的余弦

公式可得COS/4A3=3拒一而,進而由余弦定理可得A￡2即可

8

【詳解】如圖，將平面A/BC與平面4/AC翻折到同一平面上，連接AE,記

AEn\C=F,

由題意可知AA=AC=8C=2,AC=A8=2拒，

則N/U,C=45,cos44C=2x靠:冊=:,從而sinN3AC=（,

cosZ/V\B=cos（Z/V\C+ZBA]C）-——-

\/

因為E是人史的中點，所以人石-0，

由余弦定理可得4爐=4+2-2x2x應x更與巫=3+77,

因為。在A/C上，所以

貝IJ（A。+OE）223+療，故（A。+OE）2的最小值是3+近.

故選：C

練習14.（2023春?安徽?高三安徽師范大學附屬中學校考,階段練習）如圖，在長

方體AG中，AB=\,8c=G,CC.=3,若P為線段⑸C上的動點，貝IJOP+PG的

最小值為.

【答案】氏

【分析】將DRC,許G置于同一平面內，利用兩點之瓦線段最短即可求得

OP+PG的最小值.

【詳解】OP/G分別在面A4CD與面C8C內移動,

將面CA|G以為軸旋轉至面人畫c。所在平面，

得到4CC；,則。盤即為。P+PG的最小值

又在長方體AG中，AB=\,BC=Ji,CG=3,

則/4CC：=/4CG=30,CD=1,cc；=3

則G'O2=『+32-2XIX3X（-；）=I3,則G力=布

故答案為：Vl3

練習15.（2023?全國?高三專題練習）長方體A8CQ-4&G。/中，寬、長、高

分別為3、4、5,現有一個小蟲從A出發沿長方體表面爬行到。來獲取食物，

則其路程的最小值為.

【答案】V74

【分析】把長方體含4。H勺面作展開圖，有三種情形如圖所示，求解即可.

【詳解】把長方體含A。H勺面作展開圖，有三種情形如圖所示:

利用勾股定理可得A。的長分別為歷、舊、瘋.

由此可見圖（2）是最短路線，其路程的最小值為

故答案為：V74.

題型四空間幾何體的表面積

例7.（2023?江西?統考模擬預測）已知某圓錐的底面半徑為2,其體積與半徑為

1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（）

A.1B.2C.石D.5

【答案】C

【分析】設圓錐的高為3根據圓錐及球的體積公式求出力，再由勾股定理計算

可得.

【詳解】設圓錐的高為3則+x22x/?=g兀解得"=1,

所以母線長為/=病==后.

故選：C

例8.（2023春?福建廈門?高三廈門一中校考期中）己知圓錐PO,其軸截面（過

圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6m,頂角為華的等腰三角形，該圓錐的側面積

為（）

A.671m°B.6、金m?C.3>/5兀m?D.125/37tm2

【答案】B

【分析】運用圓錐側面積公式計算即可.

【詳解】如圖所示，

由題意知，r=OB=^AB=3t

在□△P08中，Z5PO=-ZBPA=-x—=-,

2233

人也3=26

.n

所以sin—

32

所以圓錐側面積為冗「/=兀x3x2-73=6/兀m?.

故選:B.

舉一反三

練習16.（2023?安徽安慶?安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石

制陀螺是在由西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.

己知，底面圓的直徑A3=12cm,圓柱體部分的高8c=6cm,圓錐體部分的高

CD=4cm,則這個陀螺的表面積（單位：cm2）是（）

B.(144+24x/i3)7t

D.(108+24響兀

【答案】C

【分析】根據圓柱與圓錐的表面積公式求解.

【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為/=后#=2而,

所以圓錐體的側面積為g?12兀.2月=1兀，

圓柱體的側面積為12兀x6=72%

圓柱的底面面積為兀x6?=36兀，

所以此陀螺的表面積為12舊兀+72冗+36兀=（108+12如兀）（cm）

故選：C.

練習17.（2023?湖北黃岡?黃岡中學校考二模）（多選）一個圓柱和一個圓錐的底

面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論正確的是（）

A.圓柱的側面積為2兀六

B.圓錐的側面積為2兀六

C.圓柱的側面積與球的表面積相等

D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2

【答案】CD

【詳解】根據圓柱，圓錐，球體的側面積，表面積，和體積公式依次判斷選項即

可.

【點睛】對選項A,圓柱的側面積為2兀八2寵=4兀a，故A錯誤；

對選項B,圓錐的母線為胸7:常=石/?,

圓錐的側面積為:x石/?、2以=6求2,故B錯誤.

對選項C,球的表面積為4兀4，故C正確.

對選項D,圓柱的體積匕=小葭2寵=2瓦川，

圓錐的體積匕=卜n*x2R=彳兀球的體積匕=7rW，

JJJ

所以圓村入圓錐、球的體積之比為川爭亭R'=3:1:2,故D正確.

故選：CD

練習18.（河北省2023屆高二模擬（六）數學試題）積（zhu）,是一種古代打

擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，祝的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，

下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內壁發聲，表示樂曲將開始.如圖，某機（含

底座）高60cm,上口正方形邊長70cm,下口正方形邊長54cm,底座可近似地看

作是底面邊長比下口邊長長4cm,高為16cm的正四棱柱，則該機（含底座）的側

面積約為（石a2.236）（）

A.12960cm2B.14803cm2C.16800cnrD.18240cm2

【答案】B

【分析】首先求出正四棱臺的側棱長，即可求出斜高，再根據側面積公式計算可

得.

【詳解】如圖正四樓臺中，連接AC,AG,過點A、C分別作AE±AG、CF1八￡,

交AC于點E、F,

依題意AB=54cm,^^=70cm,AE=CF=60-16=44cm,

則"夜14&=8五cm,所以必=6爐+（44=7^1cm,

所以正四棱臺的斜高為（"四J=20后cm,

所以正四棱臺的側面積5=4乂衛*、206=4960。。11090.56cm2,

又正四棱柱的側面積S）=4x（54+4）x16=3712cm2,

所以該機（含底座）的側面積約為11090.56+37123480256*1480女n?；

故選：B

練習19.（2023?安徽合肥哈肥市第八中學校考模擬預測）“阿基米德多面體''也

稱為半正多面體（semi-regidarsolid）,是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的

多面體，它體現了數學的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點的三條棱的

中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐得到.已知A8=&,若該半正多面體的

表面積為S,體積為V,則1為（）

【答案】A

【分析】根據表面積公式計算表面積，把多面體積轉化為正方體體積去掉8個三

楂錐體積求解，最后求比值即可.

【詳解】如圖，該半正多面體的表面由6個正方形和8個正三角形構成，

貝IJ其表面積S=6x及x及+8x與2=46+12,

4

該半正多面體的體積可以由正方體截去8個三棱錐的體積計算，

1/…1120.S36+9

V=8-8x-x—=—=----------.

323V5

故選:A.

練習20.（2023?安徽合肥?合肥一中?？寄M預測）（多選）已知半徑為R的球與

圓臺的上下底面和側面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為〃和s母線長為/,

球的表面積與體積分別為S/和V/,圓臺的表面積與體積分別為S2和總則下列

說法正確的是（）

A./=彳+4B.R=

C.今=*D,9的最大值為［

J,V>。2J

【答案】ABC

【分析】根據題意結合圓臺與球的表面積、體積公式逐項分析判斷.

【詳解】由切線長定理易得，=4+GA正確；

由勾股定理知（2/?尸=（4+療-6-幻2=4依，解得氏=廂，B正確；

、S14近4TIR22，

因為S2叩:+萬+（4+々）/：12兀（C+口）1+片+?，

V_，元”=料3_2爐

匕區方+寸+斗沙竽（Y+片+研）#片+榜

所以正確；

S\_2M2/

-

因為S2片+片+彳4ZL+4+i3,當且僅當（=々時，等號成立，

r2r

這與圓臺的定義矛盾，故D錯誤.

故選：ABC.

題型五空間幾何體的體積

例9.（2023?山東煙臺?統考二模）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發明的一種塑

料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體.某樂高拼插組件為

底面邊長為女m、高為4cm的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的

3

圓心、直徑為2cm、高為4cm的圓柱，則該組件的體積為（）.（單位：cm）

A.48-8nB.36-6兀C.16-4兀D.36-47r

【答案】D

【分析】利用正四棱柱和圓柱的體積公式即可求出結果.

【詳解】因為正四棱柱的底面邊長為3cm、高為4cm,所以正四棱柱的體積為

V；=5/1=3x3x4=36cm3

又挖去的圓柱的直徑為2cm、高為4cm,所以圓柱的匕=曲=4n而,

故所求幾何體的體積為V=K=36-4ncm\

故選：D.

例10.（2023?上海閔行?上海市七寶中學?？级＃┰赗tZ\A8C中，々=90°,

八8=2,6=3,將繞邊A3旋轉一周，所得到幾何體的體積為.

【答案】6兀

【分析】繞直線A8旋轉一周,所得幾何體是底面是以8C為半徑的圓，

高為AB的圓錐，由此根據圓錐的體積公式能求出其體積.

【詳解】因為在直角三角形金C中，乙4=90。，AB=2,CB=3,

所以53C繞直線AB旋轉一周所得幾何體是底面是以BC為半徑的圓，高為AB

的圓錐，示意圖如下圖所示：

所以繞直線AB旋轉一周所得幾何體的體積為

V=-X7lxfiC?x4fi=-X7tx3*x2=67t.

33

故答案為:6兀.

舉一反三

練習21.（2023?北京海淀校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督

造一種標準量器——商鞅銅方升，開創了秦朝統一度量衡的先河.如圖，升體是

長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是I8.7crr,內口寬7cm,

高2.3cm（忽略壁的厚度，取圓周率冗=3）,若手柄的底面半徑為1cm,體積為

18.6cm，則銅方升的容積約為（小數點后保留一位有效數字）（）

A.201.3cmB.210.5cmC.202.icmD.212.2cm

【答案】A

【分析】由手柄的體積求出手柄的長度，即可得到長方體的內口長，再根據長方

體的體積公式計算可得.

【詳解】依題意手柄的底面半徑為1cm,體積為18.6c”,則手柄的底面積為

7txl2=71cm2，

所以手柄的長度為—=6.2cm,

71

所以長方體的內口長X=18.7-6.2=12.5cm,

所以升體的容積為12.5x7x2.3=201.25?201.3cm3,

即銅方升的容積約為20L3cml

故選：A

練習22.（2023.湖北?統考模擬預測）如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時所用的圓臺

狀模具，它的高為8cm,入底部直徑為1