第五章四邊形第21講平行四邊形與多邊形（6~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一多邊形的相關(guān)概念考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定考點三三角形中位線04題型精研·考向洞悉命題點一多邊形及其內(nèi)角和?題型01認識多邊形?題型02多邊形對角線條數(shù)?題型03多邊形內(nèi)角和問題?題型04正多邊形的外角和問題?題型05多邊形外角和的實際應用?題型06平面鑲嵌?題型07多邊形內(nèi)角、外角綜合問題命題點二平行四邊形的性質(zhì)與判定?題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解?題型02判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形?題型03添加一個條件使四邊形成為平行四邊形?題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解?題型05利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明命題點三三角形中位線?題型01三角形中位線有關(guān)的計算?題型02三角形中位線的實際應用?題型03與三角形中位線有關(guān)的證明05分層訓練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測多邊形的相關(guān)概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角與對角線.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.10年7考本考點內(nèi)容是考查重點，年年都會考查，分值為8分左右，預計20254年廣東中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計算的可能性比較大．中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復練習，靈活運用．平行四邊形的性質(zhì)與判定探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.10年8考三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.10年8考考點一多邊形的相關(guān)概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個內(nèi)角為，每一個外角為．2）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．考點三三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.常用結(jié)論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半.結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形.結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形.結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等.命題點一多邊形及其內(nèi)角和?題型01認識多邊形1．（2023·廣東深圳·模擬預測）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別進行判斷即可．【詳解】解：由正多邊形的性質(zhì)知，偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以正六邊形既是軸對稱又是中心對稱的圖形，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別，熟知偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2012·江蘇無錫·中考模擬）如圖，正五邊形與正五邊形，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個五邊形都是正多邊形，得到各邊都相等，然后進行等量替換判斷正確選項．【詳解】解：五邊形和五邊形都是正多邊形，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)判斷線段之間的關(guān)系．3．（2020·全國·模擬預測）下列圖形中，正多邊形的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】略4．（2024·河北石家莊·一模）如圖，點O是正六邊形對角線上的一點，若，則陰影部分的面積為（

）A．10 B．15C．20 D．隨點O位置而變化【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)．把正多邊形分成兩個全等的三角形和一個矩形求解即可．【詳解】解：∵正六邊形，∴，四邊形是矩形，∴，∴陰影部分的面積為，故選：B．?題型02多邊形對角線條數(shù)5．（2022·廣東深圳·模擬預測）多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，再根據(jù)邊形對角線的總條數(shù)為，即可求出結(jié)果．【詳解】解：設多邊形邊數(shù)為，從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，再根據(jù)邊形對角線的總條數(shù)為，即，，故答案選：D．【點睛】本題考查了多邊形的對角線公式，根據(jù)多邊形對角線公式列等式是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·河北·模擬預測）一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個多邊形從一個頂點引對角線的條數(shù)是（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程求解，然后即可確定對角線的條數(shù)．【詳解】解：設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，，解得．∴從一個頂點引對角線的條數(shù)是（條），故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形對角線的條數(shù)，熟練掌握多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是是解題關(guān)鍵．7．（2022·河北保定·一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】A【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得再解方程，從而可得答案．【詳解】解：設這個多邊形為邊形，則，，解得：，所以從這個多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線，故選A．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對角線問題，掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為,外角和為”是解題的關(guān)鍵．8．（2021·云南普洱·一模）如圖，從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出3條對角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為（

）A．n B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得從n邊型的同一個頂點出發(fā)，可以引條對角線．【詳解】解：∵從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出條對角線；從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出條對角線，∴從n邊型的同一個頂點出發(fā)，可以引條對角線，故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到規(guī)律求解．?題型03多邊形內(nèi)角和問題9．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長線分別交，于點M，N，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計算方法求出、，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于計算即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故選：B．10．（2024·湖南·二模）如圖，在四邊形內(nèi)部，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了三角形和四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解即可．【詳解】∵∴∵，∴．故選：B．11．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，三個正方形一些頂點已標出了角的度數(shù)，則x的值為（

）A．30 B．39 C．40 D．41【答案】D【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，多邊形的內(nèi)角和等于，先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算出內(nèi)角和，再根據(jù)各個角的度數(shù)建立方程，解方程即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，三個正方形與下面的圖像構(gòu)成一個九邊形，九邊形的內(nèi)角和為：，∴，解得，故選：D．12．（2024·河南·模擬預測）如圖，點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理．連接，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：如圖，連接，則，，∵，∴，∴，故選：C．?題型04正多邊形的外角和問題13．（2023·河北張家口·模擬預測）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進5米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進5米，又向左轉(zhuǎn)，……，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（

）A．20米 B．25米 C．30米 D．35米【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形的外角和；由已知條件得走的圖形是正多邊形，且每個外角為，由外角和求出邊數(shù)，即可求解．【詳解】解：第一次回到出發(fā)點A時，走的圖形是正多邊形，且每個外角為，，解得：，共走路程為（米），故選：B．14．（2024·廣東清遠·模擬預測）若一個正多邊形的每一個外角都等于三角形內(nèi)角和的，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．六邊形 B．八邊形 C．十邊形 D．十二邊形【答案】D【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和外角及三角形內(nèi)角和定理，設多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)“一個正多邊形的每一個外角都等于三角形內(nèi)角和的”可知多邊形各外角相等，然后根據(jù)多邊形外角和為進行解答即可解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形內(nèi)角和外角的概念以及多邊形外角和等于．【詳解】解：三角形內(nèi)角和為，∵一個正多邊形的每一個外角都等于三角形內(nèi)角和的，∴多邊形各外角都為，設多邊形的邊數(shù)為，∴，解得：．故多邊形的邊數(shù)為12，故選：D．15．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個外角為，∴的值為；故選A16．（2024·山東聊城·二模）我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了多邊形外角和定理，由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論．【詳解】解：∵正八邊形的每一個外角都相等，外角和為，∴它的一個外角．故選：A．?題型05多邊形外角和的實際應用17．（2024·湖北荊門·模擬預測）小聰利用所學的數(shù)學知識，給同桌出了這樣一道題：假如從點A出發(fā)，沿直線走9米后向左轉(zhuǎn)，接著沿直線前進9米后，再向左轉(zhuǎn)，…，如此下去，當他第一次回到點A時，發(fā)現(xiàn)自己一共走了72米，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是明確第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個正多邊形．第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個正多邊形，用，求得邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和為，即可求解．【詳解】解：∵第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個正多邊形，∴正多邊形的邊數(shù)為：，根據(jù)多邊形的外角和為，∴則他每次轉(zhuǎn)動θ的角度為：，故選：D．18．（2024·湖北十堰·二模）參加創(chuàng)客興趣小組的同學，給機器人設定了如圖所示的程序，機器人從點O出發(fā)，沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)……照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地O點時，一共走的路程是（

）A．10米 B．18米 C．20米 D．36米【答案】C【分析】本題考查了多邊形的外角和定理的應用．由題意可知小華所走的路線為一個正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：∵，∴他需要走20次才會回到原來的起點，即一共走了（米）．?故選：C19．（2023·河北保定·模擬預測）如圖，六邊形為正六邊形，，則的值為（

）

A．60° B．80° C．108° D．120°【答案】A【分析】延長交于點G，利用多邊形外角和定理算出，再利用平行線的性質(zhì)，三角形外角定理得出．【詳解】如圖，延長交于點G，

∵六邊形為正六邊形，∴，∵，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了多邊形外角和定理，三角形外角定理，構(gòu)建合適的三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023·北京房山·一模）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解答即可．【詳解】解：由多邊形的外角和等于可知，，故選：B．【點睛】本題考查的是多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．?題型06平面鑲嵌21．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，用一些全等的正五邊形按如圖方式可以拼成一個環(huán)狀，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，所夾的銳角為，圖中所示的是前3個正五邊形拼接的情況，拼接一圈后，中間會形成一個正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了正多邊形、多邊形的內(nèi)角與外角等知識；由完全拼成一個圓環(huán)需要的正五邊形為個，則圍成的多邊形為正邊形，利用正五邊形的內(nèi)角與夾角計算出正邊的每個內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)內(nèi)角和定理得到解方程求解即可．【詳解】∵正五邊形的每個內(nèi)角為，∴組成的正多邊形的每個內(nèi)角為，∵n個全等的正五邊形拼接可以拼成一個環(huán)狀，中間會形成一個正多邊形，∴形成的正多邊形為正n邊形，則，解得：．故選C．22．（2023·北京平谷·二模）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】B【分析】先計算出正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)平面鑲嵌的條件計算求解．【詳解】解：正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為，∴的度數(shù)為，故選：B．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，也考查了正多邊形內(nèi)角的計算方法，掌握正多邊形的概念，理解幾何圖形鑲嵌成平面是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角是解題關(guān)鍵．23．（2022·廣東佛山·三模）如圖是某小區(qū)花園內(nèi)用正邊形鋪設的小路的局部示意圖，若用塊正邊形圍成的中間區(qū)域是一個小正方形，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)鑲嵌滿足的條件：在小正方形的頂點處可以拼成求出正邊形的一個內(nèi)角，進而得到一個外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是即可得出答案．【詳解】解：正方形的一個內(nèi)角是，正邊形的一個內(nèi)角，正邊形的一個外角，，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握鑲嵌滿足的條件：在小正方形的頂點處可以拼成是解題的關(guān)鍵．24．（2022·江西撫州·一模）在數(shù)學活動課中，我們學習過平面鑲嵌，若給出如圖所示的一些邊長均為1的正三角形、正六邊形卡片，要求必須同時使用這兩種卡片，不重疊、無縫隙地圍繞某一個頂點拼在一起，形成一個平面圖案，則可拼出的不同圖案共有（

）．A．2種 B．3種 C．4種D．5種【答案】B【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360°，若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．【詳解】解：∵正三角形的內(nèi)角為60°，正六邊形的內(nèi)角為120°，設圍繞某一個頂點拼在一起，成一個平面圖案，用個正三角形、個正六邊形，則；采用列舉法求解，從來討論求值：∴①當時，有兩種圖案，具體是或；②當時，有一種圖案，具體是；故選：B．【點睛】考查了平面鑲嵌（鋪滿）問題，記住幾個常用正多邊形的內(nèi)角并能夠用兩種正多邊形鑲嵌的幾個組合是解決問題的關(guān)鍵．?題型07多邊形內(nèi)角、外角綜合問題25．（2025·上海寶山·模擬預測）簪花結(jié)束后，小強和爸爸牽著媽媽的手，到蟳埔村參觀游玩拍照紀念，精美的鏤空窗花搭配蚵殼墻，極具泉州古民居特色，給小強一家留下來極其深刻的印象，在感嘆泉州人民的勤勞與智慧的同時，聰明的小強發(fā)現(xiàn)有的窗花是由幾種形狀的正多邊形組合鑲嵌而成，具有很好的對稱美，小強爸爸給他出了如下兩個題目，請幫幫小強一起解決．(1)已知一扇窗戶在某個結(jié)點處由兩種邊長相等的正多邊形鑲嵌而成，其中一種是等邊三角形，另一個種不能是下列哪種形狀的正多邊形______（填序號）①正三角形②正四邊形③正五邊形④正六邊形(2)小強發(fā)現(xiàn)某個花紋用4個全等的正八邊形進行拼接，使相等的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1，小強猜想，如果用n個全等的正六邊形按這種方式進行拼接，如圖2，若圍成一圈后中間形成一個正多邊形，則n的值為______，并簡要說明理由【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平面鑲嵌，熟練掌握平面圖形的鑲嵌是解題的關(guān)鍵：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（1）分別求出各多邊形內(nèi)角的度數(shù)，再由密鋪的條件即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)正六邊形各內(nèi)角的度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①正三角形的內(nèi)角是，，可以密鋪，不符合題意；②正四邊形的內(nèi)角是，，可以密鋪，不符合題意；③正五邊形的內(nèi)角是，，不能密鋪，符合題意；④正六邊形的內(nèi)角是，，可以密鋪，不符合題意；故答案為：③；（2）解：，理由如下：由題意得，這個正六邊形圍成的圖形是一個正多邊形，由圖可知，圍成的這個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是，，解得：，故答案為：．26．（2024·廣東河源·二模）綜合與實踐中式建筑中的窗戶將對稱美發(fā)揮得淋漓盡致．小明在旅游中看到了如圖所示的八邊形窗戶，發(fā)現(xiàn)它既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，這個八邊形窗戶各個角都相等．圖是從圖中抽象出來的幾何圖，其中，，．八邊形的周長為．設，．

(1)八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為．(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式．(3)當?shù)扔诙嗌贂r，這個八邊形窗戶外框透過的光線最多？【答案】(1)(2)(3)當時，這個八邊形窗戶外框透過的光線最多【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角以及內(nèi)角和、一次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的應用及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，理解題意、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“這個八邊形窗戶各個角都相等”，結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式，計算出八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)即可；（2）根據(jù)題意得出，，，根據(jù)“八邊形的周長為”，得出，整理得出關(guān)于的函數(shù)解析式即可；（3）分別延長、、、，交于點，設這個八邊形的面積為，證明構(gòu)造的四個角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，列出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，求出出取得最大值時，的值即可．【詳解】（1）解：∵該多邊形是八邊形，∴它的內(nèi)角和，又∵這個八邊形窗戶各個角都相等，∴八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，故答案為：；（2）解：∵，，，八邊形的周長為，，，∴，，，∴，∴；（3）解：如圖，分別延長、、、，交于點，設這個八邊形的面積為，∵八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為，∴每個外角，又∵，∴構(gòu)造的四個角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，斜邊為，則直角邊為，∴，∴當時，取得最大值，∴當時，這個八邊形窗戶外框透過的光線最多．27．（2024·河南平頂山·二模）如圖1，線段的長度一定，現(xiàn)將線段首尾相連，圍成正邊形（，且為整數(shù)），已知正邊形的面積S（單位：）與邊數(shù)（單位：條）之間的關(guān)系如圖2所示．

(1)根據(jù)圖中的信息，線段__________，當時，__________．(2)發(fā)現(xiàn)：觀察圖像，寫出正邊形的面積隨邊數(shù)的變化趨勢為__________．(3)猜想：把線段圍成什么圖形時面積最大，并求出最大面積．【答案】(1)12，(2)隨的增大而增大(3)圍成圓形時面積最大，最大面積【分析】本題考考查多邊形的面積和周長，圓的面積和周長；（1）根據(jù)正方形的面積，求出周長即可得到，再求出正六邊形的周長和面積即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖像直接得到答案；（3）根據(jù)題意，線段圍成圓形時面積最大，進而即可求解【詳解】（1）解：當時，圖形為正方形，此時面積為，∴正方形的邊長為，周長為，即，當時，圖形為正六邊形，邊長為，面積=故答案為：12，；（2）由函數(shù)圖像可知：隨的增大而增大；（3）線段圍成圓形時面積最大．由得圓的半徑，所以圓的面積．28．（2024·山東青島·一模）（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點O．①如圖1，容易得到______；②探究：如圖1，______；如圖2，______；如圖3，______；（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊；，是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊，與的延長線相交于點O，則______（用含n的式子表示）．【答案】（1）①

②；（2）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出，再根據(jù)可證明；②在圖1中，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出的值，在圖2中，連接，然后用同樣的方法證明，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出的值，在圖3中同理可得的值；（2）依據(jù)②中的規(guī)律就可以得出當作正n邊形的時候就可以求出圖4中的值．【詳解】解：①證明：如圖1，∵和是等邊三角，∴，∴，即．在和中，，∴．②∵，∴．∵，∴，∴，∴；如圖2，連接，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，即．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴，∴；如圖3，連接，，∵五邊形和五邊形是正五邊形，∴，∴∴在和中，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：①②；（2）以此類推，當作正n邊形時，．故答案為：命題點二平行四邊形的性質(zhì)與判定?題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解29．（2025·廣東揭陽·一模）如圖，四邊形為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為和的中點，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股逆定理以及勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先過點作，交于一點，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及中點，得，再證明，得出，，然后證明，得出，運用勾股逆定理得是直角三角形，最后運用勾股定理列式進行計算，即可作答．【詳解】解：過點作，交于一點，如圖所示：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵E，F(xiàn)分別為和的中點，∴∵，∴，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，則，故是直角三角形，∴，∵，∴，∴，故選：A．30．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在中，，點，分別是，的中點，且，則的周長是（

）A．16 B．20 C．22 D．24【答案】C【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行四邊形的周長等知識，求得是解題的關(guān)鍵．由點，分別是，的中點，根據(jù)三角形的中位線定理得，而四邊形是平行四邊形，所以，，即可求得的周長是22，于是得到問題的答案．【詳解】解：點，分別是，的中點，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，的周長是22，故選：C31．（2024·廣東河源·一模）如圖，是平行四邊形邊中點，與交于點，連接，已知，，．下列命題：①點是的重心；②與相似；③；④平行四邊形的面積為．其中正確的命題為（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形中位線定理：①設與交于點，可得到在中，為邊上的中線，為邊上的中線；②在上取一點，使，連接，，，可求得，，進而可求得，，證得為直角三角形，證明可得；③可證得；④先求得，結(jié)合，可求得結(jié)論．【詳解】①設與交于點，如圖1所示．∵四邊形為平行四邊形，∴，．在中，為邊上的中線，∵點是的中點，∴為邊上的中線．∴點是的重心．故命題①正確．②在上取一點，使，連接，，，如圖2所示．∵四邊形為平行四邊形，，，，點是的中點，∴，，，．∴四邊形為平行四邊形．∴，，即．∴為的中位線．∴，．∴，．∴，．∴．在中，，，∴．∴為直角三角形，即．在中，由勾股定理得：．在中，，．∵，∴不是直角三角形．∴與不相似．故命題②不正確．③在中，，，由勾股定理得：，∴．故命題③不正確．④∵，，，∴．∴．故命題④正確．綜上所述：正確的命題是①④．故選：D32．（2024·廣東茂名·二模）如圖，在中，的平分線交于點，的平分線交于點，若，則的長是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當出現(xiàn)角平分線時，一般可利用等腰三角形解題．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，，進而可得和的長，然后可得答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，又∵平分，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，，∴．故選：B．?題型02判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形33．（2024·廣東·模擬預測）如圖，點E是四邊形的邊延長線上的一點，且，則下列條件中能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】選項A，B中的條件都只能證得，不能判定四邊形是平行四邊形．選項C中的條件，不能判定四邊形是平行四邊形．對于選項D提供兩組對邊分別平行，能判定四邊形為平行四邊形，本題考查了平行四邊形的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴選項A不能判定四邊形是平行四邊形．∵∴選項B不能判定四邊形是平行四邊形．∵，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形．選項C不能判定四邊形是平行四邊形．∵，∴．又，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形故選：D34．（2023·廣東梅州·一模）如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在邊上，添加下列條件中的一項，不能保證四邊形是平行四邊形的是（

）

①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，；∴；①，不能保證四邊形是平行四邊形，符合題意；②∵，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；不符合題意；③∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；不符合題意；④∵，∴，∴，同②即可得到四邊形是平行四邊形；不符合題意；故選A．【點睛】本題考查添加條件證明四邊形是平行四邊形．熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．35．（2024·河北滄州·一模）根據(jù)所標數(shù)據(jù)，不能判斷下列四邊形是平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行四邊形的判定、平行線的判定等知識，掌握平行四邊形的判定條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A.根據(jù)對角線互相平分能判斷該四邊形是平行四邊形，故不符合題意；B.根據(jù)兩組對邊分別相等能判斷該四邊形是平行四邊形，故不符合題意；C.根據(jù)圖可判斷出，一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判斷該四邊形是平行四邊形，符合題意；D.根據(jù)圖可判斷出，，根據(jù)兩組對邊分別平行能判斷四邊形是平行四邊形，故不符合題意．故選：C．36．（2023·河北保定·模擬預測）圖中每個四邊形上所做的標記中，線段上的劃記數(shù)量相同的表示線段相等，角的標記弧線數(shù)量相同的表示角相等，則下列一定為平行四邊形的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由第四個圖形中的兩組內(nèi)錯角分別相等，得到的只有一組對邊平行，故不能判斷該四邊形是平行四邊形，其他三個圖形均可判斷為平行四邊形．【詳解】解：∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，∴第1個圖是平行四邊形，∵兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，∴第2個圖是平行四邊形，∵兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴第3個圖是平行四邊形；第4個圖只能得到一組對邊平行，∴第4個圖不一定是平行四邊形；∴一定為平行四邊形的有3個；故選C．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．?題型03添加一個條件使四邊形成為平行四邊形37．（2023·廣東·一模）如圖，在四邊形中，．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到，結(jié)合一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，選擇條件即可．【詳解】∵，∴，∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴添加，故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．38．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，添加選項中的條件后不能判定四邊形AECF是平行四邊形的是（）.A．BE=DF B．AECF C．AF=EC D．AE=EC【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AD=BC，添加條件BE=DF，則AD-DF=BC-BE，即AF=CE，再由可以證明四邊形AECF是平行四邊形，故A不符合題意；添加條件AECF，再由可以證明四邊形AECF是平行四邊形，故B不符合題意；添加條件AF=EC，再由可以證明四邊形AECF是平行四邊形，故C不符合題意；添加條件AE=EC，再由不可以證明四邊形AECF是平行四邊形，故D符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．39．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，使四邊形為平行四邊形，則下列正確的是（

）A． B．AB＝AD C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、由，不能判定四邊形為平行四邊形，還有可能是等腰梯形，故本選項不符合題意；B、由，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項不符合題意；C、∵，，∴不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項不符合題意；D．∵，，，，，又，∴四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；故選：D．40．（2024·河北邯鄲·三模）在四邊形中，，其中部分線段的長已標記在圖中，要使四邊形為平行四邊形，有如下三種添加條件的方案：甲：應添加條件“”；乙：應添加條件“”；丙：應添加條件“”．其中正確的是（

）．A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．首先根據(jù)得到，然后分別利用全等三角形的性質(zhì)和判定以及平行四邊形的判定定理求解即可．【詳解】∵∴若添加條件“”∴∵∴∴∵∴四邊形是平行四邊形，故甲正確；若添加條件“”∴∵∴∴∵∴四邊形是平行四邊形，故乙正確；若添加條件“”∴∵∴四邊形是平行四邊形，故丙正確；綜上所述，其中正確的是甲、乙和丙．故選：D．?題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解41．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，在中，，，，，分別是，的中點，連接．以點為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交，于點，；以點為圓心，長為半徑作弧交于點；以點為圓心，長為半徑作弧，交前面的弧于點；作射線交于點．則的長為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，基本作圖，根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合基本作圖可證得四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，根據(jù)三角形中位線定理得到，，結(jié)合基本作圖可證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：在中，，，，，，分別是，的中點，，，，由作圖可知，，，，四邊形是平行四邊形，，故選：A42．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，，，D，E分別是的中點，連接．以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N；以點D為圓心，長為半徑畫弧，交于點P；以點P為圓心，長為半徑畫弧，交前面的弧于點Q；作射線交于點F，則的長為（

）A． B．7 C．8 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，基本作圖，根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合基本作圖可證得四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，根據(jù)三角形中位線定理得到，，結(jié)合基本作圖可證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：在中，，，，，，分別是，的中點，，，，由作圖可知，，，，四邊形是平行四邊形，，故選：A43．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知中，點，，，分別為，，，上的點，且，，分別與，相交于點，，若，則的面積一定可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作于點，過點作于點，過作于，設，設，，，由，得，，再證，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊性質(zhì)，得，，，，，進而利用面積公式即可得解．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，過作于，設，設，，，

∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，，∴，，∴，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊性質(zhì)，∴，，，，∴，∵于，，∴，，∴．∵，∴，，∴，∴，即，．∵，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，相似形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在矩形中，，．若E是邊上的一個動點，過點E作，交對角線于點O，交直線于點F，在點E移動的過程中，的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】B【分析】過點D作交于M，過點A作，使，連接，可得是平行四邊形，則：，當N、E、C三點共線時，的值最小，即為的長度，求出的長度即可得解．【詳解】

過點D作交于M，過點A作，使，連接，四邊形是平行四邊形，，∴當N、E、C三點共線時，最小，四邊形是矩形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，即，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即：的最小值為；故選：B．【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．?題型05利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明45．（2024·山西呂梁·三模）如圖，在平行四邊形中，，垂足為點．(1)過點作，垂足為點，連接和．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)，理由見詳解【分析】本題考查了作垂線；平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形解決問題．（1）根據(jù)題意，過點作，垂足為點，連接和；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，證明，，即可得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）解：如圖，，，為所求；（2）；理由：，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，四邊形是平行四邊形，．46．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線上的兩點（點E在點F左側(cè)），且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當，，時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）證，運用平行四邊形的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出，，再證，則，得，求出，進而得出答案．【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：在中，，設，則，由勾股定理得：，解得：或（舍去），，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，設，則，，解得：或,（舍去），即，由（1）得：，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．47．（2024·廣東江門·一模）如圖，，E、F分別是邊上一點，且，直線分別交延長線、延長線于O、H、G．(1)求證：．(2)分別連接，試判斷與的關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，理由見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，利用即可證明；（2）由（1）知，得到，根據(jù)，即可得到四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，；（2）證明：如圖，連接，，，，四邊形是平行四邊形，，．48．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)①見解析；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點，不符合題意．【詳解】（1）解：，為的中點，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，，；又，，；設，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點，，，，，，，即，為的中點；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故為的中點；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接，則為的中點，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照圖1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過P作于H，則，，，，，，；,，，，即

∴若按照圖2作圖，延長、交于點，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．命題點三三角形中位線?題型01三角形中位線有關(guān)的計算49．（2024·廣東·模擬預測）如圖，D，E分別是的邊，的中點，若的周長為6，則的周長為（

）A． B．3 C．12 D．36【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)三角形的周長公式求解即可得．【詳解】解：∵點分別是的邊，的中點，∴，即，∵的周長為6，∴，∴的周長為，故選：C．50．（2024·廣東江門·模擬預測）如圖，為的中位線，的角平分線交于點，若，，則的長為（

）．A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，先證明，，，可得，再證明，從而可得答案．【詳解】解：∵為的中位線，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵的角平分線交于點F，∴，∴，∴，∴，故選：C．51．（2024·廣東佛山·三模）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是各邊的中點，連接．若的周長為10，則的周長為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】本題考查三角形的中位線定理，根據(jù)題意，得到為的中位線，根據(jù)中位線定理，進行求解即可．【詳解】解：∵點D，E，F(xiàn)分別是各邊的中點，∴為的中位線，∴，∵的周長為10，∴，∴的周長為；故選A．52．（2024·廣東廣州·二模）如圖，為的中位線，的角平分線交于點F，若，則的長為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，先證明，，，可得，再證明，從而可得答案．【詳解】解：∵為的中位線，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵的角平分線交于點F，∴，∴，∴，∴，故選B．?題型02三角形中位線的實際應用53．（2024·廣東潮州·一模）如圖所示，某數(shù)學小組為測量池塘兩側(cè)，兩點之間的距離，在空地上另取一點，并找到，的中點，，通過測量得，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：點，分別為，的中點，是的中位線，，故選：D．54．（2024·廣東東莞·模擬預測）為了倡導全民健身，某小區(qū)在公共活動區(qū)域安裝了健身器材，其中蹺蹺板很受歡迎．如圖，點O為蹺蹺板的中點，支柱垂直于地面，垂足為C，．當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．過點B作垂直底面于點D，判斷出是的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得．【詳解】解：如圖，過點B作垂直底面于點D，，，點O為蹺蹺板的中點，是的中位線，，，故選：B．55．（2021·廣東陽江·二模）如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在線段AB的一側(cè)取一點C，連接CA并延長至點D，連接CB并延長至點E，使A、B分別是CD、CE的中點，若DE＝16m，則線段AB的長度是（）A．12m B．10m C．9m D．8m【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，解答即可．【詳解】解：∵點A、點B分別是CD、DE的中點，∴AB是△CDE的中位線，∴AB=DE=8(m)，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．56．（2024·廣西·模擬預測）如圖，在一次數(shù)學實踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點的距離，同學們在外選擇一點C，測得兩邊中點的距離為，則A，B兩點的距離是（

）．A．12 B．14 C．16 D．24【答案】C【分析】本題考查三角形中位線定理，利用三角形中位線定理解決問題即可．【詳解】解：，是的中位線，，，，故選：C．?題型03與三角形中位線有關(guān)的證明57．（2023·廣東中山·一模）如圖，在中，于點D，E，F(xiàn)分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連接．(1)證明：(2)若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)中位線定理得到，，則，由中點的定義得到，即可利用證明即可；（2）先證明四邊形是平行四邊形，由直角三角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到，由中位線定理得到，已知，則，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∵O是的中點，∴，在和中，∴；（2）∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵E是AC的中點，∴，又∵，，∴，∴平行四邊形是菱形．【點睛】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握中位線定理和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．58．（2023·廣東梅州·二模）在菱形中，點，，，分別為，，，的中點．

(1)如圖所示，求證：四邊形為矩形；(2)已知，，作的角平分線交于點，作，的中點，連接交與點，交于點，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，與的交點為點，可證，，，，，從而可證四邊形是平行四邊形，可證，即可求證；（2）過點作，垂足為，可求，，可證，從而可得，設，則，由，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，與的交點為點，

點，，，分別為，，，的中點，是的中位線，是的中位線，是中位線，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，，四邊形是矩形．（2）解：如圖，過點作，垂足為，

，四邊形是矩形，，，，，，，、是、的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，；是的角平分線，，設，則，，解得，，．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，一般角的三角函數(shù)等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．59．（2023·廣東佛山·三模）在學習三角形中位線定理時，小麗發(fā)現(xiàn)作以下輔助線能夠證明三角形中位線定理．

已知：如圖1，在中，點D，E分別是邊的中點，連接．求證：，．證明：（小麗的輔助線作法）延長到F，使，連接…(1)請在圖1中畫出小麗所說的輔助線，并補全三角形中位線定理的證明過程；(2)三角形中位線定理應用：如圖2，在梯形中，，點E，F(xiàn)分別是的中點，則線段之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）延長到F，使，連接，先，得出，，再證明四邊形是平行四邊形，即可證明，；（2）連接并延長交延長線于點，先證明得到，，從而得出是的中位線，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：延長到F，使，連接，

∵點D，E分別是邊的中點，∴，．在和中，，∴．∴，．∴，即，．∴四邊形是平行四邊形．∴，．∵，∴，．（2）如圖，連接并延長交延長線于點，

∵，∴，．∵點F是的中點，∴．在和中，∴．∴，，即點是的中點．又∵點E是的中點，∴是的中位線．∴．【點睛】本題主要考查了三角形中位線的證明和應用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．60．（2024·廣東汕頭·一模）【閱讀材料】我們把一組對邊平行，另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．【問題解決】已知在等腰梯形中，，，對角線相交于點T．(1)如題圖1，若，以點T為圓心，長為半徑作圓，求證：直線是的切線；(2)如題圖2，若點F，G分別為線段的中點，求證：；(3)如題圖3，若點M是的中點，交AC于點P，若，直接寫出的長．（用含字母a的代數(shù)式表示）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）過點T作于點，證明是的平分線，利用角平分線的性質(zhì)證得，據(jù)此可證明直線是的切線；（2）連接并延長交于點，證明，推出，，得到是的中位線，利用三角形中位線定理即可證明；（3）利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合，，求得，，設，則，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點T作于點，∵，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線，又，，∴，∴直線是的切線；（2）證明：連接并延長交于點，∵，∴，，∵點F為線段的中點，∴，∴，∴，，∵點G為線段的中點，∴是的中位線，∴；（3）解：連接，，設，∵在等腰梯形，，，，∴，，，∴，∵點M是的中點，，∴是線段的垂直平分線，∴，，∴，，解得，∴，，設，則，，∴，∴，即，整理得，解得（負值舍去），∴．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，第3問求得，是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東·模擬預測）若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的8倍，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．19 B．18 C．17 D．16【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合，先設多邊形的邊數(shù)為條，因為一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的8倍，所以，解出值，即可作答．【詳解】解：設該多邊形的邊數(shù)為條，則列方程為，解得：，故選B．2．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，足球的表面是由黑皮的正五邊形和白皮的正六邊形拼接而成，其中黑皮的有12塊，白皮有20塊．圖片中足球的一塊白色皮塊的內(nèi)角和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式計算即可．【詳解】解：．故選：D．3．（2024·四川成都·三模）半徑為2的圓的一個內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角為，則這個內(nèi)接正多邊形的邊長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：如圖，∵半徑為2的圓的一個內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角為，∴，∴，∴的內(nèi)接正多邊形是六邊形，，，∴是正三角形，，∴正六邊形的邊長為2，故選：B．4．（2024·廣東清遠·二模）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，中位線定理，弧長公式，連接，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線定理，弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長為，故選：C．二、填空題5．（2024·廣東·模擬預測）如果一個正n邊形的一個外角是，那么．【答案】8【分析】本題考查正多邊形的外角問題，根據(jù)正多邊形的外角和為360度，進行求解即可．【詳解】解：；故答案為：8．6．（2024·廣東佛山·三模）如圖，中國古建筑中的亭臺樓閣塔很多都采用六邊形結(jié)構(gòu)．六邊形的內(nèi)角和為．【答案】【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和，根據(jù)內(nèi)角和公式（其中n表示多邊形的邊數(shù)），即可完成求解．【詳解】解：六邊形的內(nèi)角和為，故答案為：．7．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，點在的延長線上，，若平分，則．【答案】5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，，，進而得出，再由等角對等邊的性質(zhì)，得到，即可求出的長．【詳解】解：在中，，，，，平分，，，，，故答案為：5．8．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點C，D分別是的中點，若，則該工件內(nèi)槽寬的長為cm．【答案】6【分析】本題考查了三角形中位線定理的應用．利用三角形中位線定理“三角形的中位線是第三邊的一半”即可求解．【詳解】解：∵點分別是的中點，∴，∴，故答案為：6．三、解答題9．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，、分別是的角平分線，證明四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．先證四邊形是平行四邊形，得，再證，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，，又∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．10．（2024·廣東佛山·三模）如圖，在中，點E在上，連接．(1)尺規(guī)作圖：過點B作的平行線，交于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）中，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺柜作圖-作一個角等于已知角和平行四邊形的性質(zhì)，（1）以B點為頂點，以為邊，作一個角與相等即可；（2）證明四邊形是平行四邊形即可．【詳解】（1）如下圖所示，（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．11．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，將沿對角線對折得，與相交于點F，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)推出，進一步證明，即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴．能力提升一、單選題1．（2024·廣東·二模）如圖，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，與交于點G，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形和菱形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握菱形的對角線平分一組對角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，又∵為平行四邊形，∴，∴，故選A．2．（2023·浙江金華·一模）如圖，在中，，，以為一邊向三角形外作正方形，正方形對角線的交點為O，且，那么的長等于（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，，，并通過四邊形內(nèi)角和得到三點共線，利用等腰直角三角形性質(zhì)求得，最終由求出長即可得到答案．【詳解】解：將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖所示：，，，，是正方形的對角線，，即，在中，，在四邊形中，由四邊形內(nèi)角和可知，，三點共線，，，在等腰中，，，，故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、正方形性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是(

)A．4 B． C．2 D．0【答案】B【分析】由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴，∴經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點A處，黑跳棋落在點E處，連接AE，過點F作FG⊥AE于點G，如圖所示：在正六邊形中，，∴，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東深圳·三模）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，交于點，若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由作圖知，平分，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，由作圖知，平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2024·江蘇淮安·模擬預測）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，并且、兩點的坐標分別為和，邊的長為5，若固定邊，“推”矩形得到平行四邊形，并使點落在軸正半軸上的點處，則點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、坐標與圖形等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．首先利用勾股定理解得，即，根據(jù)矩形的邊在軸上，且四邊形是平行四邊形，易得，與的縱坐標相等，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴，根據(jù)題意，可得，∴由勾股定理，可得，即，∵矩形的邊在軸上，且四邊形是平行四邊形，∴，，∴與的縱坐標相等，∴．故選：A．6．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，動點P、Q在平行四邊形的邊和對角線上運動，動點P的運動軌跡為折線，動點Q的運動軌跡為折線，兩動點同時開始運動，且運動速度均為．設動點運動時間為x秒，兩動點間距離為，x與y的函數(shù)關(guān)系式如圖所示．當點P在平行四邊形的邊上運動時，兩動點間的最短距離為m，此時運動時間為（）秒，則m的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查函數(shù)圖象，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)圖象可得，當點P在上，點Q在上運動時，過點O作于點E，交于點F，則的長為，間的距離．通過“”證明，得到，從而當點P運動至點E時，點Q運動至點F，此時，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得到，從而解答．【詳解】解：由圖可知，當點P從點O向點A，點Q從點O向點C運動時，間距離y逐漸增大，當點P運動到點A，點Q運動到點C時，由圖象可知，∴，∵四邊形四邊形是平行四邊形，∴，此時它們運動了，當點P在上，點Q在上運動時，過點O作于點E，交于點F，則的長為，間的距離∵在平行四邊形中，，，∴，∵，∴，∴，∵點P，Q的運動速度相同，∴當點P運動至點E時，點Q運動至點F，此時，根據(jù)圖象可知點P從點A運動至點E，需要，∴，∵，∴中，，∵，∴，∴，即．故選：B二、填空題7．（2024·廣東陽江·二模）如圖，在中，，，平分，交邊于點，連接，若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證，則，過點作于點，則，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，即可解決問題．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，，，如圖，過點作于點，則，，，，，．故答案為：．8．（2025·廣東廣州·一模）如圖，是的邊上的兩點，連接交于點的面積為，的面積為，四邊形的面積為，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題為相似三角形和平行四邊形的綜合題，利用平移的性質(zhì)做出輔助線是解題的關(guān)鍵．將向左平移，使邊與邊重合，已知，且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)