榆次區2025年九年級第一次模擬測試題（卷）數學注意事項：1．本試卷共8頁，滿分120分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷相應的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1.下表中記錄了大洋洲、歐洲、亞洲和南美洲的陸地海拔的最低海拔：大洲大洋洲歐洲亞洲南美洲最低海拔其中這四大洲中陸地海拔最低海拔最小的大洲是（）A.大洋洲 B.歐洲 C.亞洲 D.南美洲2.2025年第十二屆世界運動會（簡稱成都世運會）將在四川成都舉行．在此之前進行了成都世運會會徽的征集活動，以下是部分參選作品，其除文字以外的圖案部分既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列運算中，正確的是（）A. B. C. D.4.右圖是亮亮制作的一個幾何體的展開圖，將其經過折疊可以圍成的幾何體是（）A. B. C. D.5.一副三角板如圖放置，，，則的度數為（）A. B. C. D.6.不等式組的解集是（）A. B. C. D.7.某物理興趣小組調查了解到：聲音在干燥空氣中傳播的速度是空氣溫度的一次函數，部分數據如下表所示，則v與t之間的關系式為（）溫度聲速A B.C D.8.如圖，與相切于點，連接并延長交于點，連接．若，則的度數為（）A. B. C. D.9.如圖，將一個圓柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小質地完全相同的棋子，在水面的高度到達杯口邊緣之前，每枚棋子都浸沒水中．從投放第一枚棋子開始記數，杯中的水面高度與投入的棋子個數之間滿足的函數關系是（）A.正比例函數關系 B.一次函數關系C.二次函數關系 D.反比例函數關系10.如圖，菱形的邊長為，，點是邊的中點，以點為圓心，的長為半徑作弧，交邊于點，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.計算_________．12.如圖，小明設計了一個“蝴蝶”的平面圖案，整體為軸對稱圖形．將其放在平面直角坐標系中，點的坐標依次為，則點的坐標為______．13.某校準備舉辦“聲動青春韻誦中華”朗誦活動，要求各班申報兩個節目．九年級（1）班準備從《紅船》《我喜歡紅色》《我有一個夢想》三個文本素材中隨機選取兩個進行排練，則他們選擇《紅船》和《我喜歡紅色》的概率是______．14.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸（圖1）頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強是汽缸內氣體的體積的反比例函數，p關于V的函數圖象如圖2所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了______．15.如圖，在中，，點E為邊的中點，且，延長到點F，使，連接并延長，交的延長線于點N．若，則線段的長為______．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計算：；（2）化簡：．17.春節期間，電影《哪吒之魔童鬧海》在某影院推出了和三種放映版式．小穎調查了解到多數人選擇版或版，在該影院購買某時段的《哪吒之魔童鬧海》電影票，5張電影票的費用和4張電影票的費用一樣；2張電影票和1張電影票共需130元．請你幫助小穎求出該影院《哪吒之魔童鬧海》該時段的版和版的電影票單價．18.4月23日是“世界讀書日”，今年是聯合國教科文組織確定“世界讀書日”三十周年．某校以此為契機開展了主題教育活動．九年級（1）班班主任王老師對本班學生寒假至今的課外閱讀情況進行了調查．首先制作調查問卷，對每位同學寒假至今閱讀的課外書籍數量進行調查；然后將所有問卷全部收回，整理數據并繪制成如下統計圖（不完整）．課外讀書量條形統計圖課外讀書量扇形統計圖請你根據以上提供的信息，解答下列問題：（1）九年級（1）班共有______名學生；（2）補全條形統計圖；（3）九年級（1）班學生寒假至今的課外讀書量的中位數是______本，眾數是______本；（4）為了鼓勵學生們主動閱讀，班主任王老師給寒假至今課外讀書量高于全班平均數的學生頒發了“閱讀之星”獎章．學生小華找到王老師說：“全班有一半以上的同學課外讀書量小于或等于2本，所以全班平均數肯定小于2本．我的課外讀書數量為2本，為什么我沒拿到獎章？”假如你是王老師，請給出合理解釋．19.樂樂家距離學校2880米，他每天騎自行車上學．這學期為了提高中考體育項目中1000米跑（男）的成績，他決定跑步上學．他跑步的速度是騎自行車速度的，若要保證與之前的到校時間一樣，需要提前4分鐘出發．請你計算樂樂跑步上學的平均速度．20.“怡然見晉中歡樂過大年”主題活動中，某校綜合實踐小組開展了數學實踐活動．同學們注意到學校附近的小區高層住宅樓側面的電子屏（顯示“晉中歡迎您”）格外醒目，決定測量該電子屏的高度，并利用課余時間完成了實踐調查．如圖所示，為住宅樓，為電子屏，為地面．利用無人機在空中點P處測得電子屏頂端點B的俯角，同時測得地面點C的俯角，米，米，米（圖中各點均在同一豎直平面內，點A，B，M，N在同一條直線上）．請根據上述數據，求電子屏的高度．（結果精確到1米．參考數據：）21.閱讀與思考下面是小華同學的一篇數學反思，請仔細閱讀，并完成相應的任務．巧用“對稱”作圖問題：已知：如圖1，點E是的邊上的一點．求作：矩形，使點F，G，H在的邊上，且對角線交點與的對角線交點重合．分析：所求作的矩形的一個頂點E是已知的，且在的邊上，并且矩形對角線交點與的對角線交點重合．矩形與平行四邊形都是中心對稱圖形，所以點E與點G一定關于對角線交點中心對稱，這樣就可以確定點G了，對角線也隨之確定，然后根據矩形對角線的性質可以確定頂點F，H．作法：1．連接，交于點O．2．連接并延長交邊于點G．3．以點O為圓心，以的長為半徑作弧，交邊于點F．4．連接并延長交邊于點H．5．依次連接點E，F，G，H．四邊形就是所求作的矩形（如圖2）．反思：以上作圖中關鍵利用了圖形的對稱性．由此想到這種方法可以遷移到其它對稱圖形的作圖中．任務：（1）根據以上作法，求證：四邊形是矩形，（2）若將上面材料中所求作的矩形改為菱形，其它條件不變，請用尺規在圖3中作出符合條件的菱形；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（3）圖2中，若的邊，則線段的長為______．22.綜合與實踐項目主題：愛心發卡溫暖傳遞項目背景：寒假期間，王老師計劃制作、兩款手工發卡，并將售賣后的全部利潤捐贈給福利院．為助力王老師確定最優加工方案，實現利潤最大化，從而給予福利院兒童更多幫助，小輝開展了以“探究愛心發卡最佳加工方案”為主題的項目化學習．驅動任務：探究能獲取最大日利潤的發卡加工方案．收集信息：（1）受制作條件限制，王老師每日最多可制作、兩款發卡共只，（2）經市場調查，兩款手工發卡市場需求旺盛，預期每日制作的發卡均可售罄．扣除各項成本后，具體獲利情況如下：款：當每天加工只時，每只獲利元，如果每天多加工只，那么平均每只獲利將減少元；款：每只獲利元．解決問題：（1）設王老師每天加工款發卡只，每只款發卡獲利元，則與函數關系式為______；（2）設每日的銷售總利潤為元，求關于的函數表達式；（3）通過計算說明使日銷售利潤最大的加工方案．23綜合與探究問題情境：數學活動課上，老師帶領同學們以正方形為背景探索幾何圖形變化中的數學結論．如圖1，將邊長為4的正方形繞邊的中點O順時針旋轉，得到正方形，點A，B，C，D的對應點分別為點E，F，G，H，直線與直線交于點M．猜想證明：（1）如圖2，在正方形旋轉過程中，當點A的對應點E恰好落在對角線上時，試判斷此時四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（2）在圖1中，猜想線段與的數量關系，并說明理由；（3）“善思”小組在認真分析正方形旋轉到不同位置時的情形后，提出問題：在正方形旋轉過程中，當點A，D，F三點共線時，請直接寫出線段的長．

榆次區2025年九年級第一次模擬測試題（卷）數學注意事項：1．本試卷共8頁，滿分120分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷相應的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1.下表中記錄了大洋洲、歐洲、亞洲和南美洲的陸地海拔的最低海拔：大洲大洋洲歐洲亞洲南美洲最低海拔其中這四大洲中陸地海拔的最低海拔最小的大洲是（）A.大洋洲 B.歐洲 C.亞洲 D.南美洲【答案】C【解析】【分析】本題考查了有理數大小比較的方法，解題的關鍵是要明確比較方法．幾個負數，絕對值越大，其值反而越小，據此判斷即可．【詳解】解：，，，，∵，∴，∴最低海拔最小的大洲是亞洲．

故選：C

．2.2025年第十二屆世界運動會（簡稱成都世運會）將在四川成都舉行．在此之前進行了成都世運會會徽的征集活動，以下是部分參選作品，其除文字以外的圖案部分既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關鍵．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故不符合題意；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故不符合題意；D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；故選：D．3.下列運算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項可判斷A，根據完全平方公式可判斷B，根據單項式除以單項式可判斷C，根據積的乘方與冪的乘方運算可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：，不是同類項，不能合并，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D符合題意；故選D【點睛】本題考查的是合并同類項，完全平方公式的應用，單項式除以單項式，積的乘方與冪的乘方運算的含義，熟記基礎運算法則是解本題的關鍵．4.右圖是亮亮制作的一個幾何體的展開圖，將其經過折疊可以圍成的幾何體是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖確定立體圖形是解題的關鍵；根據幾何體的展開圖確定立體圖形，即可求解；【詳解】解：根據亮亮制作的一個幾何體的展開圖，可以看到底面為三角形，側面為長方形，可以圍成的幾何體為三棱柱；故選：B5.一副三角板如圖放置，，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線性質，三角板中角度計算，外角和定理等．根據題意【詳解】解：將和交點命名為，∵，，∴，∴，故選：B．6.不等式組的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，該不等式組的解集為，故選：A．7.某物理興趣小組調查了解到：聲音在干燥空氣中傳播的速度是空氣溫度的一次函數，部分數據如下表所示，則v與t之間的關系式為（）溫度聲速A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一次函數關系式的知識，掌握以上知識是解題的關鍵；分析表格中的數據可得溫度每升高，聲音的傳播速度增快，然后設一次函數關系式為：，分別把，和，代入由此即可得到答案．【詳解】解：分析表格中的數據可得溫度每升高，聲音的傳播速度增快，即可設一次函數關系式為：，分別把，和，代入，得到：，解得：，∴，故選：A．8.如圖，與相切于點，連接并延長交于點，連接．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質．連接，根據與相切于點，可知，所以可得，根據三角形外角的性質可得：．【詳解】解：如圖所示，連接，與相切于點，，又，，又，，，．故選：C

．9.如圖，將一個圓柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小質地完全相同的棋子，在水面的高度到達杯口邊緣之前，每枚棋子都浸沒水中．從投放第一枚棋子開始記數，杯中的水面高度與投入的棋子個數之間滿足的函數關系是（）A.正比例函數關系 B.一次函數關系C.二次函數關系 D.反比例函數關系【答案】B【解析】【分析】根據函數的解析式判斷即可；【詳解】解：設水面原來高度為b，每枚棋子可以使水面上升高度為k，投放x枚棋子后水面高度為y，則y=kx+b，符合一次函數解析式，故選：B．【點睛】本題考查了函數關系的識別，掌握一次函數的解析式y=kx+b，k、b為常數，k≠0是解題關鍵．10.如圖，菱形的邊長為，，點是邊的中點，以點為圓心，的長為半徑作弧，交邊于點，則圖中陰影部分的面積為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，根據菱形的性質易得到是等邊三角形，利用等邊三角形的性質求出，同理求出，進而得到的度數，用勾股定理求出，再根據三角形的面積和扇形的面積求出即可．【詳解】解：連接，，如下圖∵四邊形是菱形，邊長為，，，，∴是等邊三角形，∵點是的中點，∴，，∴．同理可得，，∴，∴．由勾股定理得，∴．故選：D．【點晴】本題考查了等邊三角形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理，扇形的面積計算等知識點，作輔助線求出的度數，的長度是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.計算_________．【答案】6【解析】【分析】利用二次根式的乘法法則進行求解即可．【詳解】解：．故答案為：6．【點睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則和二次根式的性質是解題的關鍵．12.如圖，小明設計了一個“蝴蝶”的平面圖案，整體為軸對稱圖形．將其放在平面直角坐標系中，點的坐標依次為，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質，關于軸對稱的點的坐標特征，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據題意得到點關于軸對稱，點關于軸對稱，根據關于軸對稱的點的坐標特征：橫坐標互為相反數，縱坐標相同，即可得到答案．【詳解】解：“蝴蝶”的平面圖案，整體為軸對稱圖形，點的坐標依次為，點關于軸對稱，點關于軸對稱，點坐標為，點的坐標為，故答案為：．13.某校準備舉辦“聲動青春韻誦中華”朗誦活動，要求各班申報兩個節目．九年級（1）班準備從《紅船》《我喜歡紅色》《我有一個夢想》三個文本素材中隨機選取兩個進行排練，則他們選擇《紅船》和《我喜歡紅色》的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查概率計算．根據題意設《紅船》《我喜歡紅色》《我有一個夢想》為，再根據題意列出符合題意的情況，繼而得到本題答案．【詳解】解：設《紅船》《我喜歡紅色》《我有一個夢想》為，列表如下：ABCAB，AC，ABA，BC，BCA，CB，C共有6種等可能情況，其中選擇《紅船》和《我喜歡紅色》的有兩種可能，∴選擇《紅船》和《我喜歡紅色》的概率是：，故答案為：．14.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸（圖1）頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強是汽缸內氣體的體積的反比例函數，p關于V的函數圖象如圖2所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了______．【答案】90【解析】【分析】本題考查待定系數法求反比例函數解析式，已知函數值求自變量值等．根據題意先設解析式為，代入得出反比例解析式，再將壓強和分別代入求出自變量值再做減法即可．【詳解】解：設反比例函數解析式為：，將代入中得：，∴反比例解析式為：，∴當壓強為時，，當壓強為時，，∴壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了：，故答案為：90．15.如圖，在中，，點E為邊的中點，且，延長到點F，使，連接并延長，交的延長線于點N．若，則線段的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質和線段中點的知識，掌握以上知識且作出正確的輔助線，是解題的關鍵；本題先求得，再根據特殊的直角三角形和勾股定理求得，然后根據三角形相似的判定和性質即可求解的長．【詳解】解：如圖：過點作的垂線，垂足為，即，過點作，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，，∴，，在中，，∵，，∴，∵，即解得：，在中，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∵點E為邊的中點，∴，∵，∴．故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查實數混合計算，整式混合計算，平方差公式等．（1）先將每項計算出，再計算除法和乘法，最后計算加法減法即可；（2）先計算括號內的，再計算減法，最后算除法即可．【詳解】解：（1），，，；（2），，，，．17.春節期間，電影《哪吒之魔童鬧海》在某影院推出了和三種放映版式．小穎調查了解到多數人選擇版或版，在該影院購買某時段的《哪吒之魔童鬧海》電影票，5張電影票的費用和4張電影票的費用一樣；2張電影票和1張電影票共需130元．請你幫助小穎求出該影院《哪吒之魔童鬧海》該時段的版和版的電影票單價．【答案】3D版電影票單價為40元，IMAX版電影票單價為50元【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的應用．根據題意設該影院《哪吒之魔童鬧海》該時段版電影票單價為x元，版電影票單價為y元，再列式計算即可．【詳解】解：設該影院《哪吒之魔童鬧海》該時段版電影票單價為x元，版電影票單價為y元，根據題意，得：解得：答：設該影院《哪吒之魔童鬧海》該時段版電影票單價為40元，版電影票單價為50元．18.4月23日是“世界讀書日”，今年是聯合國教科文組織確定“世界讀書日”三十周年．某校以此為契機開展了主題教育活動．九年級（1）班班主任王老師對本班學生寒假至今的課外閱讀情況進行了調查．首先制作調查問卷，對每位同學寒假至今閱讀的課外書籍數量進行調查；然后將所有問卷全部收回，整理數據并繪制成如下統計圖（不完整）．課外讀書量條形統計圖課外讀書量扇形統計圖請你根據以上提供的信息，解答下列問題：（1）九年級（1）班共有______名學生；（2）補全條形統計圖；（3）九年級（1）班學生寒假至今的課外讀書量的中位數是______本，眾數是______本；（4）為了鼓勵學生們主動閱讀，班主任王老師給寒假至今課外讀書量高于全班平均數的學生頒發了“閱讀之星”獎章．學生小華找到王老師說：“全班有一半以上的同學課外讀書量小于或等于2本，所以全班平均數肯定小于2本．我的課外讀書數量為2本，為什么我沒拿到獎章？”假如你是王老師，請給出合理解釋．【答案】（1）50（2）見解析（3）2，2（4）見解析【解析】【分析】本題考查扇形統計圖和條形統計圖的綜合應用，求總人數，補全條形統計圖，中位數和眾數定義，平均數定義等．（1）利用扇形統計圖和條形統計圖中均有得已知信息，做除法即可得到；（2）再用（1）問計算出的結果減去其余幾組數據即可；（3）利用中位數和眾數定義即可求出；（4）利用平均數定義解釋即可．【小問1詳解】解：九年級（1）班共有：（人），故答案為：；【小問2詳解】解：由條形統計圖可得：（人），畫圖如下：；【小問3詳解】解：∵九年級（1）班共有人，∴中位數為第和的平均值，∴中位數為：，∵閱讀本的人數最多，∴眾數為：，故答案為：2，2；【小問4詳解】解：全班平均數為本，全班有一半以上同學的課外讀書量小于或等于2本，但平均數不一定比2小，平均數會受到極端值的影響，你的讀書量2本小于平均數本，所以未拿到獎．19.樂樂家距離學校2880米，他每天騎自行車上學．這學期為了提高中考體育項目中1000米跑（男）的成績，他決定跑步上學．他跑步的速度是騎自行車速度的，若要保證與之前的到校時間一樣，需要提前4分鐘出發．請你計算樂樂跑步上學的平均速度．【答案】180米/分【解析】【分析】本題考查分式方程應用．根據題意設樂樂騎自行車的速度為x米/分，則樂樂跑步的速度為米/分，再列式計算即可．【詳解】解：設樂樂騎自行車的速度為x米/分，則樂樂跑步的速度為米/分，根據題意，得，解得：．經檢驗，是原方程的根．．答：樂樂跑步上學的平均速度為180米/分．20.“怡然見晉中歡樂過大年”主題活動中，某校綜合實踐小組開展了數學實踐活動．同學們注意到學校附近小區高層住宅樓側面的電子屏（顯示“晉中歡迎您”）格外醒目，決定測量該電子屏的高度，并利用課余時間完成了實踐調查．如圖所示，為住宅樓，為電子屏，為地面．利用無人機在空中點P處測得電子屏頂端點B的俯角，同時測得地面點C的俯角，米，米，米（圖中各點均在同一豎直平面內，點A，B，M，N在同一條直線上）．請根據上述數據，求電子屏的高度．（結果精確到1米．參考數據：）【答案】78米【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數是解題的關鍵；延長交直線于點G，過點C作于點H，由題意易得四邊形為矩形，則有，然后根據解直角三角形可進行求解【詳解】解：延長交直線于點G，過點C作于點H，由題意得，四邊形為矩形，（米）．在中，，．（米）．米．．（米）．（米）．在中，，．（米）．（米）．答：電子屏的高度為78米．21.閱讀與思考下面是小華同學的一篇數學反思，請仔細閱讀，并完成相應的任務．巧用“對稱”作圖問題：已知：如圖1，點E是的邊上的一點．求作：矩形，使點F，G，H在邊上，且對角線交點與的對角線交點重合．分析：所求作的矩形的一個頂點E是已知的，且在的邊上，并且矩形對角線交點與的對角線交點重合．矩形與平行四邊形都是中心對稱圖形，所以點E與點G一定關于對角線交點中心對稱，這樣就可以確定點G了，對角線也隨之確定，然后根據矩形對角線的性質可以確定頂點F，H．作法：1．連接，交于點O．2．連接并延長交邊于點G．3．以點O為圓心，以的長為半徑作弧，交邊于點F．4．連接并延長交邊于點H．5．依次連接點E，F，G，H．四邊形就是所求作的矩形（如圖2）．反思：以上作圖中關鍵利用了圖形對稱性．由此想到這種方法可以遷移到其它對稱圖形的作圖中．任務：（1）根據以上作法，求證：四邊形是矩形，（2）若將上面材料中所求作的矩形改為菱形，其它條件不變，請用尺規在圖3中作出符合條件的菱形；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（3）圖2中，若的邊，則線段的長為______．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查矩形判定及性質，平行四邊形性質及判定，垂直平分線畫法，三角函數解直角三角形，勾股定理，相似三角形判定及性質等．（1）先證明出，繼而得到四邊形為平行四邊形，再加上對角線相等的平行四邊形是矩形即可得到答案；（2）利用垂直平分線畫法即可畫出菱形；（3）利用勾股定理求出再證明出，利用相似性質求出，繼而求出本題答案．【小問1詳解】解：在中，，∵，，，，同理：，∴四邊形為平行四邊形，，∴四邊形為矩形；【小問2詳解】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴以點為圓心，大于長為半徑作圓，并以點為圓心，大于長為半徑作圓，兩圓交于兩點，連接兩點，得到菱形，如圖即為所求：；【小問3詳解】解：過點C作，交于點N，，∵，是平行四邊形，∴，，∴，∴在中：由勾股定理，得：∵，，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，∵四邊形為矩形，，故答案為：．22.綜合與實踐項目主題：愛心發卡溫暖傳遞項目背景：寒假期間，王老師計劃制作、兩款手工發卡，并將售賣后的全部利潤捐贈給福利院．為助力王老師確定最優加工方案，實現利潤最大化，從而給予福利院兒童更多幫助，小輝開展了以“探究愛心發卡最佳加工方案”為主題的項目化學習．驅動任務：探究能獲取最大日利潤的發卡加工方案．收集信息：（1）受制作條件限制，王老師每日最多可制作、兩款發卡共只，（2）經市場調查，兩款手工發卡市場需求旺盛，預期每日制作的發卡均可售罄．扣除各項成本后，具體獲利情況如下：款：當每天加工只時，每只獲利元，如果每天多加工只，那么平均每只獲利將減少元；款：每只獲利元