2023-2024學年九年級數學下冊常考點微專題提分精練期末難點特訓

二(與圓綜合有關的壓軸題)

1.拋物線與x軸交于力(-1,0)、8兩點，與y軸交于點C(0,3),點。朋，3)

在拋物線上.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接AC、4Q,點尸在對稱軸左側的拋物線上，若田尸4c=團。4。，求點夕的坐標；

⑶如圖2,點。為第四象限拋物線上一點，經過C、D、0三點作(W,EL/的弦。質，軸，求證：點

尸在定直線上.

2.如圖，已知二次函數產f+bx+c與x軸交于4(-1,o)和8(3,0)與)，軸交于C,頂點為O.

⑵若圓W過力、B、C,求圓心W的坐標.

⑶P為圓W上一動點，求PC+半產。的最小值.

3.如圖1,/"CO是邊長為4的正方形，以〃為圓心的E1〃與Z?C,44分別交于點E,F,還按￡巴

且七尸=4.

⑴求BE的長;

⑵在平面內將圖1中魴夕'繞點8順時針旋轉360°,在旋轉的過程中，

①求回CQE的取值范圍；

②如圖2,取。E的中點G,連接CG并延長交直線OE于點〃，點P為正方形內一動點，試求

尸〃+以+P8的最小值.

4.如圖，團。是m8C的外接圓，48為直徑，弦力。平分團84C,過點。作射線4C的垂線，垂足為

M,點E為線段上的動點.

⑴求證：是回。的切線；

(2)若團8=30。，AB=8,在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若

不存在，說明理由；

⑶若點石恰好運動到的角平分線上，連接CE并延長，交用0于點F,交力。于點P,連接力凡

CP=3,EF=4,求/廠的長.

5.如圖，四邊形ABCD內接7回0,AC為直徑，AC和BD交于點E,AB=BC.

(1)求團ADB的度數；

(2)過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關系，并說明理由；

(3)在(2)條件下過E,F分別作AB,BC的垂線，垂足分別為G,H,連接GH,交B0于M,若

AG=3,S四邊形AGMO：S四邊形CHMD=8：9,求團。的半徑.

BRB

Ei

CAC

o0O

DDD

管用圖1備用圖2

6.已知內接于用O,團。4c的平分線交團。于點。，連接。4,DC.

(1)如圖①，當回C=120。時，請直接寫出線段/K,4C,4Z)之間滿足的等量關系式:

(2)如圖②，當她力。=90。時，試探究線段/氏AC,力。之間滿足的等量關系，并證明你的結論;

(2)如圖2,弦AB交BC于點F,點G在EC上，NBAF=NGAF,求證：FB=FG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，弦BH分別交AF,AG于P,Q兩點，PO=DH=6,AC=3出，

求QG的長.

8.定義：若拋物線小尸ad+bx+c的圖象恒過定點”(如.%),則稱加(%,%)為拋物線上的“不動

點”.已知：若拋物線￡:y=仆2-3+工+1(〃<0).

（1）求拋物線人的不動點坐標;

（2）如圖1,已知平面直角坐標系中A（—1,0）、8（1,0）、C（3,0）,以點8為圓心，。8為半徑作助,

點P為姐上一點，將點C繞點P逆時針旋轉90。得到點C,當點P在團8上運動時，求線段AC長

度的最大值；

（3）在（2）的條件下，若拋物線心的對稱軸是直線x=2；

①求拋物線￡的解析式；

②如圖2,若直線PC交拋物線乙于點鳳內,8）、F（x2,y2）,交y軸于點0,平面內一點4坐標為

”（4夜,&）,記4=1玉-當1,當點P在團8上運動時，求（當f的取值范圍.

9.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于4、B兩點,與y軸交于點。（0.6）,拋

物線的頂點坐標為￡（2,8）,連結8C、BE、CE.

（1）求拋物線的表達式；

（2）判斷（3BCE的形狀，并說明理由；

（3）如圖2,以。為圓心，血為半徑作E1C,在團。上是否存在點P,使得的值最小，若

存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

10.如圖，/W是0。的直徑，弦CZ）_LA3于點“，連接AC,過上一點E作EG//AC交CD的

延長線于點G,連接4上交CO于點凡且GE=GF,連接C石.

A

（1）求證：EG是。的切線；

（2）延長A4交GE于點例，若攔?=］，DC=86，求的值.

HG4

11.有一組鄰邊相等目對角互補的四邊形叫做等鄰邊互補四邊形.

⑴如圖1,在等鄰邊互補四邊形48C。中，AD=CD,且力DS8C,BC=2AD,求國8的度數：

（2）如圖2,四邊形488內接于團0,連接。。交4c于點E（不與點。重合），若E是4c的中點,

求證：四邊形48。是等鄰邊互補四邊形；

24

⑶在（2）的條件下，延長。。交8c于點尸，交團0于點G,若8G=A8,tanZA8C=>y,AC=12,

求尸G的長；

⑷如圖3,四邊形力4CO內接于團。，AB=BCt4。為回。的直徑，連接力。并延長交4c于點E,交

FF

團。于點八連接"C，設tanM彳"=x,—-=y,求y與；v之間的函數關系式.

AE

12.如圖1,已知回0的內接四邊形ABCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,808.

DD

E

E,

⑴求證：四邊形ABCD為矩形.

⑵如圖2,E是4。上一點，連接CE交AD于點F,連接AC.

①當點D是CE中點時，求線段DF的長度.

②當16sZk。。/=3S-時，試證明點E為AD的中點.

⑶如圖3,點E是回。上一點(點E不與4、C重合)，連接EA、EC、0E,點、/是△力EC的內

心，點M在線段OE上，且ME=2M0,則線段Ml的最小值為.

13.如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-2,2),8是“軸正半軸上一動點，以為直徑

畫OC交x軸于點。，連結A。，過點A作AE_LAO交。。于點E,連結的，DE.

(1)求NO8E的度數

(2)求證：

(3)如圖2,連結CE,過點。作CE_L8E于點尸，過點尸作/G〃CE交DE的延長線于點G,設

點3的橫坐標為1.

①用含/的代數式表示。爐.

②記S=OE?EG,求S關于/的函數表達式.

14.如圖，，。是四邊形A3。的外接圓，宜徑為10,過點。作￡>P_LA4,交84的延長線于點尸,

4。平分N尸AC.

（1）如圖1,若4。是；。的直徑，求證：〃。與《。相切;

（2）在（1）的條件下，若PA+PD=4,求線段8C的長;

（3）如圖2,若BC=CD,求AB+/U）的最大值.

15.【提出問題】

如圖1,直徑人4垂直弦CD于點E,AB=IO,8=8,點尸是CD延長線上異于點。的一個動點,

連結補交。于點。，連結。。交人8于點尸，則點尸的位置隨著點尸位置的改變而改變.

【特殊位置探究】

（1）當。。=2時，求〔an/P和線段AQ的長：

【一般規律探究】

AF

（2）如圖2,連結AC,DQ.在點。運動過程中，設OP=x,—=y.

nF

①求證：ZACQ=ZCPA；

②求｝'與x之間的函數關系式：

【解決問題】

（3）當O/=1時，求二ACQ天口-CQQ的面積之比.（直接寫出答案）

期末難點特訓二（與圓綜合有關的壓軸題）

1.拋物線與x軸交于力（?1,0）、8兩點，與y軸交于點C（0,3）,點。［用，3）

在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接AC、4。，點P在對稱軸左側的拋物線上，若團PBC=^DBC,求點P的坐標；

（3）如圖2,點。為第四象限拋物線上一點，經過C、。、。三點作用團.”的弦軸，求證：點

廠在定直線上.

【答案】（l）y=-1+2x+3

''39

⑶證明見解析

【分析】（1）把小。坐標代入可得關于。、C的二元一次方程組，解方程組求出4、C的值即可得

答案；

（2）如圖，設8P與y軸交于點E,直線解析式為y=H+b,根據（1）中解析式可知。、8兩點坐

標，可得CD//AB,利用4S力可證明皿）C8雷氏方，可得CE=CD,即可得出點E坐標，利用待定系

數法可得直線4P的解析式，聯立直線8P與拋物線解析式求出交點坐標即可得答案；

（3）如圖，連接MQ,加封，設。（〃?，-蘇+2"+3）,尸（〃?，（）,根據C。、0尸為團M的弦可得圓心

M是C。、。尸的垂直平分線的交點，即可表示出點M坐標，根據利用兩點間距離公式可

得（-〃1+2/〃+3+'一3）（々a）2=（.i）2（-nr+2in4-3+/

2+w+-/）2,整理可得/=2,即可?得答

22

案.

(1)

(-1,0)、C(0,3)在拋物線y=a?+2x+c圖象上,

a-2+c=0

c=3

a=-1

解得：、，

c—3

回拋物線解析式為：＞=-f+2x+3.

(2)

如圖，設8P與y軸交于點E,直線解析式為)，=依+"

回點。(/〃，3)在拋物線尸4+2x+3上，

0-nr+2m+3=3，

解得：班=2,=。(與點C重合，舍去)，

團。(2,3),

⑦CD〃AB,CD=2,

當戶0時，一f+2x+3=(),

解得：$=T,々=3,

回8⑶0),

回O8=OC,

團13OC8=(3O8C=0Z)C8=45°,

在(3OC5和(3EC8中，

NDCB=NECB=45。

中BC=BC,

NDBC=NEBC

^\DCB^ECB,

團C￡=CQ=2,

^OE=OC-CE=1,

0E(0,1),

[3k+b=0

解得：f=-3,

b=\

團直線BP的解析式為y=1,

y=-x2+2x+3

聯立直線8P與拋物線解析式得：）1

y=-x+1

13

2

fx=3/一

解得：n（舍去），「，

如圖，連接MO,MF,設。(〃?，-〃/+2〃?+3),F(w,/),

團CQ、。尸為團W的弦，

回圓心M是C。、。歹的垂直平分線的交點，

0C(0,3),D(2,3),。/75軸，

□M(1,--------------),

2

^MD=MF,

c/一〃?十2〃?+3+rc、■>/—“、■),.、■)/-in+2/n+3+r、,

0(---------------3)2+(2-1)2=(zn-1)2+(---------------1)2,

22

整理得：/=2,

回點戶在定直線產2I：.

【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式、全等三角形的判定與性質、二次函數與一次函數

的交點問題及圓的性質，綜合性強，熟練掌握相關知識及定理是解題關鍵.

2.如圖，已知二次函數片f+bx+c與x軸交于力(-1,0)和8(3,0)與)，軸交于C,頂點為O.

⑴求二次函數解析式.

⑵若圓W過力、B、C,求圓心W的坐標.

⑶。為圓W上一動點，求PC+率PO的最小值.

【答案】⑴二次函數解析式為產己入-3；

(2)圓心W的坐標為(1,-1)；

⑶亞

2

【分析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)設圓心W的坐標為(1,〃[),利用半徑相等，列方程求解即可；

(3)連接取?并延長至點。，使瞿二黑，求得。。=還，證明團湖]郎。尸，從而得到?￡>=—

WPWO22

PO,當。、尸、。三點共線時，尸C+叵PO=PC+PQ=CQ,比時最小，據此即可求解.

2

(1)

解：回二次函數y=f+6x+c與x軸交于/I(-1,0)和3(3,0),

1-b+c=0

聯，

9+3b+c=0

(b=-2

解得：’,

c=-3

田二次函數解析式為y=x2-2x-3：

(2)

解:團二次函數解析式為產=fQv-3=(x⑴二4,

令x=0,則片?3,

團C(0,-3),

團二次函數尸12x3的對稱軸為x=l,

團圓W過4、B、C,

團圓心VV一定在二次函數尸F2x-3的對稱軸上，

團設圓心W的坐標為(1,小)，

由半徑相等得：(3-1產+/=12+卜3加)2,

解得：m=-l,

團圓心W的坐標為(1,-1)；

(3)

解：連接力。并延長至點。，使簽=瞿，連接P。、WP、CQ、WC,

團％點的坐標為(1,-1),

回。%x/FTFM，ow=O,

團比尸=5

WQWP河

1?1-------=---------=---------

WPW02

團憶述，

團。。=乎，

醐1。。=45°,

33

團。點的坐標為（-y,

WQWP

WPWO^PWQ,-=——，

WPwo

團麗7。畫用QP,

絲_匕麗

團--------，

POWO2

團~。=羋尸。，

當C、P、0三點共線時，PC+浮PO=PC+PQ=CQ,此時最小,

33

團點。的坐標為(0,-3),。點的坐標為；),

團。。=槨2+(3+尹=乎.

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要有二次函數的圖像和性質，相似三角形的性質與判定，銳角

三角函數的定義，坐標與圖形的性質，兩點之間，線段最短等基礎知識，構造母子型相似是解第3

問的關鍵.

3.如圖1,4?。。是邊長為4的正方形，以8為圓心的回8與8C,84分別交于點E,F,還接EV,

且￡尸=4.

⑴求4K的長；

⑵在平面內將圖1中a8E尸繞點3順時針旋轉360°,在旋轉的過程中，

①求回CQE的取值范圍；

②如圖2,取QE的中點G,連接CG并延長交直線。尸于點〃，點尸為正方形內一動點，試求

7W+%+P8的最小值.

【答案】(1)2&

⑵①15°<(?1CZ)E<75。②2#+2

【分析】(1)由圖8加?是等腰直角三角形及勾股定理得8K的長；

(2)①當OE分別為魴的切線時，13CQE最大或最小，由8。=28吃即可求得團?。8為30度，從

而解決；

②延長。。到以，使CQ'=CQ,連接A。，BU,首先可以證明BDFwBDE,則可看成

是她ZW繞點4順時針旋轉90度得到的，則/7EJ.OF；再證明回。〃。=90°,取CO中點O,連接

OH,將西玄繞點X順時針旋轉60。得到連接尸上89。用，當點〃、P、PL8'四點

共線時，R4+PB+PII=HR',再求出的長度即可解決.

(1)

團四邊形/出。。是正方形

005=90°

EBE=BF

團團8所是等腰直角三角形

由勾股定理得：EF2=2BE2

SP2BE2=16

^BE=242

(2)

①如圖，連接8。

當。石分別為mB的切線時，團CDE最大或最小

回8。為正方形的對角線

團4￡>=0AB=4x/2

當點E移動到弱位置時，(3C0E最小

在肋一跳出中，BD=2BEi

團NA/*；=30。

0ZCD￡；=NCDB-NBDJ=45°-30°=15°

當點E移動至I」E2位置時，^CDE最大

同理可計算得NCZ)G=75°

01504團。￡>代75°

②延長。C到ZX,使CQ'=CO,連接80,BO,如圖

Q￡____________?'

B'

則△BDU是等腰直角三角形

^BD-Diy.ZDBE/=90°

釀BE尸是等腰直角三角形

0BF=BE,?FBE=90°

⑦QBF="BE

^,BDF^BD'E

回可看成是團尸繞點B順時針旋轉90度得到的

團G、。分別為。E、。。的中點

0GC為ADED的中位線

0CG//Z7E

國CG3DF

即團。HC=90°

取CO的中點O,連接O",則O，=gc力=2

將出繞點A順時針旋轉60°得到AA。&,連接PP、B&Q&,

⑦PB'=PB,PA=PA.N內產=60。

團APP是等邊三角形，故有以=/"=PP

PH+PA+P/3+OH=PH+PP1￥Pff+OH>Off

^PHiPA\PB^OB'OH

當點〃、P、P\8'四點共線時，P〃+B4+尸8取得最小值，且最小值為O8'-O〃

(348=AB',N848'=60。

比.848是等邊三角形

國AB'=B9,//WB=NA88'=60°

連接04、OB,則可得CM=OB

0OAH-OBB

團ZA9O=N88'O=300

[3夕0_148

設08交44于點M,在冊“'M"中，MB'=BB'cosZABB'=—x4=2>/3

2

ao*=OM+M/T=4+26

團O9-OH=4+275-2=26+2

即PH+PA+P3最小值為26十2

【點睛】本題是一個綜合題，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，直線與圓的位置關系，等腰

三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識，找到臨界狀態及旋轉0/1尸8是問題的

關鍵與難點.

4.如圖，團。是酎8C的外接圓，為直徑，弦力。平分團歷TC,過點力作射線力C的垂線，垂足為

M,點E為線段力〃上的動點.

⑴求證：是00的切線；

(2)若姐=30。，AB=8,在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若

不存在，說明理由；

⑶若點E恰好運動到a4cB的角平分線上，連接CE并延長，交回O于點凡交AD于點、P,連接

CP=3,EF=4,求/少的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)存在，EC+EA/的最小值為2M,理由見解析

(3)6

【分析】(1)連接。。，交.BC于點、N,通過證明四邊形CNDW為矩形得出C〃)_L/W。，利用切線的

判定定理即可得出結論.

(2)過點C作C/工A8,并延長交團。「點E連接M凡交AB于點E,連接￡C,利用將軍飲馬

模型可知此時EC+EM的值域小，由題意可得尸。為圓的直徑，在RrAFDM中,利用勾股定理即可

求得結論.

(3)利用角平分線的定義和三角形的外角的性質可以判定尸為等腰三角形，證明AMEAFCt,

利用相似三角形的性質得出比例式，解關于AF的方程即可得出結論.

(1)

解：如圖，連接OQ,交8c于點N,

AB為直徑

.-.ZAC^=90°.

NBCM=90：

弦/。平分魴力C,

CD=BD

:.ON工BC.

?/DM±AC,

「?四邊形CNDW為矩形

:.OD1MD.

0。為圓的半徑

.??/。是團O的切線

解:在點七運動過程中，EC+EA/存在最小值，理由如下：

過點。作blAB,并延長交回。于點立連接ME交力8于點￡,連接EC,則此時的值

最小

ZB=30,ZACB=90\

ZC4B=60\

弦/。平分向8/1C,

ZCAD=ZDAS=3()\

二?CO與AQ的度數為60。

AB是直徑

AC=CD=BD

AB±CD,48是直徑

AC=AF.

AF+AC+CD=\SO°

：.六A。為半圓

???尸。為圓的直行

由（1）知：MO是團0的切線

:.FDA.MD.

由題意得：力8垂直平分/C

:.EC=EF.

/.EC+EM=EF+EM=FM

Z.CFD=ZDAB,ZDAB=30'

ZCFD=30\

/W=8,

/.77）=8.

由（1）知：四邊形CNDW為矩形

:.MD=NC.

ONLHC

:.CN=-BC.

2

在R9CB中

BC

sinZ.CAB=,

AB

5c=八8.sin60°=8x—=A瓜

2

:.MD=CN=-BC=2y/3.

2

在Rt\FDM中

MF=〃＞尸+山=也+（2揚2=2M

??.EC+EW的最小值為例/=2M.

解：如圖

廠。2f分/4C8,ZACB=90\

ACF—乙BCF=45

/BAF=NBCF=45

力。平分N84C,

:.ZCAD=ZBAD

NPAF=NBAD+NBAF,NAPF=ZACF+NCAD,

/.NPAF=NAPF,

/.AF=FP.

:.FC=FP+CP=AF+3.

NFAB=ZACF=45°,NF=￡F,

：.^FAEAFCA

.FAFE

"~FC~~FA'

：.FAi=FEFC=4(AF+3).

AF2-4AF-12=0.

解得4尸=6或A/=一2(不合題意，舍去)

.\AF=6.

M

【點睛】本題是一道圓的綜合題，此題考查了圓的切線的判定與性質，圓周角定理及其推論，軸對

稱的性質，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，特殊角的三角函數值，連

接半徑。。和利用軸對稱中的將軍飲馬模型找出EC+EM存在最小值是解題的關鍵.

5.如圖，四功形ABCD內接二回O,AC為直徑.AC和BD交干點E.AB=BC.

（1）求團ADB的度數；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關系，并說明理由；

（3）在（2）條件下過E,F分別作AB,BC的垂線，垂足分別為G,H,連接GH,交B0于M,若

AG=3,S四邊形AGMO：S四邊形CHMD=8：9,求團。的半徑.

BRB

DDD

備用圖1備用圖2

【答案】(1)45°：(2)EA2+CF』EF2,理由見解析；(3)672

【分析】(1)由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質和互余關系可得答案：

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關系為：EA?+CF2=EF2.如圖2,設團ABE=a,回CBF呻，先證明

a+B=45°,再過B作BN團BE,使BN=BE,連接NC,判定4AE暄回CNB(SAS)、△BFEE0BFN(SAS),然

后在Rt^NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,將相關線段代入即可得出結論；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,變形推得S》BC=S矩形BGKH，S》GM=S四邊

杉COMH，SABMH=S四邊形AGM。,結合已知條件S內邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9?設BG=9k?BH=8k＞則CH=3+k,

求得AE的長，用含k的式子表示出CF和EF,將它們代入EA2+CF2=EF2,解得k的值，則可求得答

0AC為直徑,

團團ABC=90°,

團團ACB+13BAC=9O°,

0AB=BC,

00ACB=0BAC=45°,

團圓ADB=MCB=45°；

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關系為：EA2+CF2=EF2.理由如下:

如圖2,設SABE=a,0CBF=p,

0AD0BF,

00FRF=(?IADR=45O,

又用ABC=90°,

0a+p=45°,

過B作BNE1BE,使BN=BE,連接NC,

團AB=CB,SABE=[3CBN,BE=BN,

00AEB00CNB(SAS),

□AE=CN,0BCN=0BAE=45\

00FCN=9O°.

00FBN=a+P=0FBE,BE=BN,BF=BF,

00BFE00BFN(SAS),

0EF=FN,

團在RtSNFC中，CF2+CN2=NF2,

0EA2+CF2=EF2；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,

B

Fh(2)EA2+CF2=EF2,

0^EA2+^-CF2=yEF2,

0SAAGE+SACFH—SAEFK，

0SAAGE+SACFH+S八邊形BGEFH=SAEFK+Sh邊形BGEFH，

即SAABC-Sm形BGKH'

HSAABC=yS電形BGKH，

HSAGBH—SAABO-SACBO?

團SABGM=S四邊形COMH，SABMH=S四邊形AGMO，

團S四邊形AGMO：S四邊影CHMO=8：9,

團SA8MH：SABGM=8：9,

0BM平分用GBH,

團BG：BH=9：8,

設BG=9k,BH=8k,

團CH=3+k,

團AG=3,

0AE=3V2，

0CF=V2(k+3),EF=72(8k-3),

0EA2+CF2=EF2,

回(3&)2+[五伏+3)『=[V2(8K-3)]2,

整理得：7k2-6k-1=0,

解得：ki=-y(舍去)，k2=l.

0AB=12,

團AO=￥AB=6夜，

團團。的半徑為6&.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓的相關性質及定理、全等三角形的判定與性質、多邊形的

面積公式、勾股定理及解一元二次方程等知識點，熟練運用相關性質及定理是解題的關鍵.

6.已知./18C內接于?回O,團口C的平分線交回。于點。，連接。8,DC.

(1)如圖①，當財力C=120°時，請直接寫出線段力3,4C,4)之間滿足的等量關系式；

(2)如圖②，當勖力C=90。時，試探究線段/出，AC,力。之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

(3)如圖③，若BC=m,BD=n,求的值(用含加，〃的式子表示).

AB+AC

14

【答案】(1)AB+AC=AD；(2)AB+4C=&AD,理由見解析?：(3)—

m

【分析】(1)在力。上截取力￡=力&連接4E,由條件可知QL48E和團8c。都是等邊三角形，可證明

^BED^BAC,可得QE=/C,則48+/C=/1Q；

(2)延長力8至點M,使連接。M,證明團MBQamCQ,可得必。=4。，證得48+/C=

無AD；

(3)延長至點N,使用V=4C,連接ON,證明帆80皿CQ,可得ND=AD,W=^CAD,證

WAD^CBD,可得把=把，可由4N=4?+4C,求出的值.

ANBCABA-AC

【詳解】解：(1)如圖①，在力。上截取力石=/&連接8E,

圖①

能1歷1C=12O°,OA4c的平分線交回。于點Q,

團團。8。=團。力。=60°,團。。8=團胡。=60°,

的485和魴CQ都是等邊三角形，

團財8￡=團。8C=60°,

團團。5七=曲〃。，

又出18=4E,BC=BD,

WED^BAC(SAS),

WE=AC,

^AD=AE+DE=AB+ACi

故答案為：AB+AC=AD.

(2)AB+AC=y{2AD.理由如下：

如圖②，延長力〃至點.”，使連接DW,

團四邊形ABDC內接于團O,

團團M4Q=0JCO,

團團84Q=回。0=45°,

田BD=CD,

00MBD0a4CD(SAS),

^1MD=AD,(3M=0C4O=45°，

^AM=42AD,B|JAB+BM=42ADt

BAB+AC=42ADI

(3)如圖③，延長44至點M使,BN=4C,連接。M

A

團四邊形/4。。內接于mO,

豳NBQ=0JCQ,

^BAD=XAD,

?BD=CD,

WNBD?8(SAS),

國ND=AD,mN=0。。,

^mN=^NAD=mDBC=^DCB,

豳Ml。函C8。，

ANAD

團---=---,

BCBD

ADBD

0-----=------，

ANBC

乂AN=AB+BN=AB+AC,BC=m,BD=n,

ADBDn

0--------------------=—.

AB+ACBCm

【點睛】本題屬于圓的綜合題，考杳了圓周角定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定

和性質，等邊三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線解決問題.

7.A3C內接于O,CA=CB,BD為，O的直徑，NDBC=30。.

（2）如圖2,弦AB交BC于點F,點G在EC上，/BAF=/GAF,求證：FB=FG；

（3）如圖3,在（2）的條件下，弦BH分別交AF,AG于P,Q兩點，PO=DH=&,AC=3出，

求QG的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）QG=V7.

【分析】（1）連接CD,根據直徑所對的圓周角是90度，解得NAOC=60。，繼而證明人8C為等邊

三角形；

（2）由（1）中結論，結合等邊三角形與圓周角定理，可證明NAGC=NACG,冉由等角對等邊性

質，得到AG=AC,進一步證明△BAF且△GARSAS）,即可解題；

（3）過點0作OL_LP〃，點L為垂足，由中位線性質得到=根據正弦定義，解得

NOPL=3。。,連接AH,延長P。交AH于點M,構造等邊三角形△〃步,然后，連接AD,通過解

直角三角形△A8。，得到用）=2，五，在直角三角形△8D”，利用勾股定理得BH=9,繼而根據垂

徑定理可證明BL=LH=j,再通過解直角三角形一。“得到P/.=■!，由圖中線段的和差關系得到PH=6.

BP=3,在等邊三角形△4〃＞中，得到AP=PH=6,最后連接BE,DPE,根據等邊三角

形的性質和平行線的判定定理推知PQ//EG,結合平行線截線段成比例求得QG=".

【詳解】（1）證明：連接CD

0BD為的直徑，

0ZBCD=9O°

0ZD^C=30°,

團Z.BDC=90°-NDBC=60°

0ZR4C=ZBDC=60°

0C4=CB,

團A8C為等邊三角形

（2）團,ABC為等邊三角形

0Z/1BC=Z4CB,

0ZE=ZABC,

0zS4CB=Z￡

0ZBAF=ZGAF,/BAF=/BCE,

⑦/GAF=ZBCE

0ZACB+/BCE=NE+4GAF

團NAGC=NE+NGV,

0ZAGC=ZACG,

回AG=AC

（3.58。為等邊三角形，

^AC=AB,

^\AB=AG

^\ZBAF=ZGAF,AF=AF

0FB—FG

A

(3)過點。作。L_LPH,點L為垂足

團點0為圓心，

國BL=LH

0BO=OD,

^OL=-DH

2

中PO=DH,

^OL=-PO

2

在RgPOL內,sinZOPL=-^=l,

回NOPL=30。

連接AH,延長PO交AH于點M,

團ABC為等邊三角形，0Z4CB=6O°,

(3NA”8=NAC8=60。

04PMH=180-ZAHB-ZOPL=90,

A.AH

^AM=MHt

PA=PH

回NA"尸=60。，

團△AHP為等邊三角形

連接AD,

田BD為。的直徑，

(3/840=90。

團./3。為等邊三角形,

HAB-AC-3x/7

0ZAT>B=Z4CB=6O°

團在心A3。內，sinZ/1DB=—,BD=~^—=25

BDsin60°

0BD為（。的直徑，

田NBHD=90。

在RBDH內,BD2=BH2+DH2,

^BH=9

田OLtPH,

9

⑦BL=LH=—

2

pj

在RiPOL內,cosZOPL=-^

0ZOPL=3OO,

0PL=V3x—=-,

22

團P”=6,BP=3

團△AH尸為等邊三角形，

團AP=P”=6,ZAPH=60°

連接BE,

圖NBEA=NACB=go/BPE=NAPH=

0ZPBE=6O°,

0NPBE=/BPE=NBEA，

⑦ABPE為等邊三角形

?PE=PB=3,

團A￡=9

0ZAEC=ZABC=ZBPE=60°,

"Q〃EG,

網QGPE

AGAE

13AG=AC=3?,

團QG=V7

A

5VF

【點睛】本題考查圓的綜合題，解題過程中涉及圓周角、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質、平

行線的判定與性質以及平行線截線段成比例等知識點，難度較大，注意作輔助線是解題關鍵.

8.定義：若拋物線廣），=加+法+。的圖象恒過定點”（如%）,則稱Ma。,為）為拋物線上的“不動

點”.已知：若拋物線￡:y=加一*+x+l（a<0）.

AO

（1）求拋物線L的不動點坐標；

（2）如圖1,已知平面直角坐標系中A（TO）、8（10）、C（3,0）,以點8為圓心，OB為半徑作財，

點P為骷上一點，將點C繞點P逆時針旋轉90。得到點C,當點P在08上運動時，求線段AC長

度的最大值；

（3）在（2）的條件下，若拋物線L的對稱軸是直線》=2：

①求拋物線人的解析式；

②如圖2,若直線PC交拋物線L千點石（司,乂）、尸。”3交v軸干點Q，平面內一點”坐標為

”（4夜,&）,記"=1七-占1,當點尸在回8上運動時，求（野■產的取值范圍.

【答案】（1）（0,1）和（2,3）；（2）34；⑶@y=-l（A-2）*2+3@-<f^'f

22\d）1396

【分析】（1）將函數關系式變形即可得出當爐-21=。時，？值不受。影響，求出定點坐標即可；

（2）用相似三角形得出c的軌跡，然后分析得出最大值即可；

（3）①利用對稱軸公式求解出〃的值，即可得出函數關系式；②根據點到直線的距離求出女的取

值范圍,用女表示出艮J可求解出取值范圍;

【詳解】解：(1)y=ax2-2ax+x+\=a(x2-2x)+x+\

當Y—2x=0時，＞值不受。影響

解得％=o,再=2

當x=0時，J=1

當x=2時，y=3

國恒過定點(0,1)和(2,3)

即拋物線L的不動點坐標是(0,1)和(2,3)

故答案為(0,1)和(2,3)

(2)如圖所示，過點〃作8建工軸，使BQ=BC=2

在《B取一點P,作RPCC

則是直角三角形

Q叵PC=CC'，\[2BC=QC

又團N8"=NQCC

?..PBCs.CQC

?CQ=&PB=&

同點C是以。為圓心，行為半徑的圓，

如圖所示，A、Q、C'共線時，4c最大

0A(2=2A/2,AC=AQ+OC=3y/2

故答案為3五；

(3)①y=or?-2ax+x+1=ax~+(1-2a)x+1

團對稱軸為x=2

c1-2a.

0------=2

2a

Ria=—

2

回y=-;*-2)2+3

故答案為y=_g（x—2）2+3

②團律過點C（3,0）

ia設所函數關系式為y=Hx-3）,則。（o,-34）

y-)

11CI

y=一一x"+2x+l

2

B-^x2+(2-k)x+3k+\=0

bA.

x^+x2=——=4-2k

當EF與'B相切時，點8到直線痔的距離為1

a-t==i,解得k=±立

y/k2+13

回攵的取值范圍是-立@

33

d~=(|x-動~=(4]-4-工2=4/+8A+24

QH2=(4V2)2+(2+3攵)2=9/+12々+36

當A-0時，d-=24,Q〃2=36,(空)=|

(QH^=9公+12&+36二932k+6

當女工0時,[~d~)~4k2+Sk+24_4_4F+2A+6

令!=/,貝lj/之后或/K一石

K

2k+611

k2+2k+6~~i?-1-

-----+1------+1

2左+6*6/+2)

團或fW-JJ

0r(6r+2)>18-2N/3

11,165+75

團ni1<------+1<-----產+1=-------

f⑹+2)18-2V3156

目]:2k+6之1562x(165-73)

>7+2攵+6-16573=349-

⑸33,2k+6、,3x(165-73)

回---<----(-------------)<-----------------

44r+2后+6698

393,2k+6.93x(165-6)2151+66

5<廠加+2八6y__-

1396

2151+675

1396

綜上所述H陰“筆^

故答案為3d型］、詠述

2yd)1396

【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、旋轉、函數的最值、動點問題等，其

中用韋達定理處理復雜數據，數形結合是此類題目的一種基本方法.

9.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于力、B兩點,與y軸交于點C(0.6),拋

物線的頂點坐標為石(2,8),連結AC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達式;

(2)判斷團5CE的形狀，并說明理由:

(3)如圖2,以C為圓心，桓為半徑作用。，在團。上是否存在點尸，使得的值最小，若

【答案】(1)片-：/+〃+6；(2)直角三角形，見解析；(3)存在，R型

【分析】(1)用待定系數法求函數解析式；

(2)分別求出三角形三邊的平方，然后運用勾股定理逆定理即可證明；

(3)在C￡1上截取。尸=立(即CT等于半徑的一半)，連接8尸交回。于點P,連接￡7\則8尸的長

2

即為所求.

【詳解】解：(1)團拋物線的頂點坐標為石(2,8),

團設該拋物線的表達式為片a(x-2)2+8,

團與y軸交于點C(0,6),

團把點C(0,6)代入得：。=-；，

因該拋物線的表達式為產-39+入+6：

(2)(38CE是直角三角形.理由如下：

團拋物線與x軸分別交于力、E兩點，

0當.y=0時，-g(x-2)7+8=0,解得：xi=-2,x/=G,

BA(-2,0),B(6,0),

團8c2=62+62=72,CE2=(8-6)2+22=8,BE2=(6-2)2+82=80,

^BE2=BC2+CE2,

005CE=9O0,

宛厲CE是直角三角形;

(3)如圖，在CE上截取CG正(即C五等于半徑的一半)，連接外'交班'于點P,連接石P,

2

CFCP\

回=—=—，

CPCE2

CFFP1

0——==—?FP=；EP,

CPPE2

gBF=BP+；EP,

由“兩點之間，線段最短”可得：4戶的長即8P為最小值.

1?1CF=-CE,E(2,8),

4

22、兩

國BF==-----

2七2

【點睛】本題考查二次函數綜合，待定系數法，二次函數圖象和性質，勾股定理及其逆定理，圓的

性質,相似三角形的判定和性質等，撅目綜合性較強，屬F中考壓軸撅，熟練掌握二次函數圖象和

性質，圓的性質，相似三角形的判定和性質等相關知識是解題關鍵.

10.如圖，是0。的直徑，弦CD_LAB于點H,連接AC,過8D上一點E作EG//AC交C。的

延長線于點G,連接人七交C。于點尸，且GE=GF,連接C￡

A

（1）求證：EG是。的切線；

（2）延長A4交GE于點例，若喘=：，DC=86，求的值.

HG4

【答案】（1）證明見解析；（2）”也