專題8.3動能和動能定理

【人教版】

嶺四叔

【題型1恒力作用下動能定理的應用】

【題型2圓周運動中動能定理的應用】

【題型3多過程問題中動能定理的應用】

【題型4涉及彈簧問題中動能定理的應用】

【題型5對比問題】

【題型6聯系實際】

【題型7與圖像綜合】

【題型8臨界問題】

【題型1恒力作用下動能定理的應用】

【例1】某幼兒園要在空地上做一個滑梯，由于空地大小限制，滑梯的水平跨度確定為尤=6

mo設計時，考慮兒童褲料與滑板間的動摩擦因數〃=0.4,為使兒童在滑梯上恰能滑下，重

力加速度g=10m/s2o

(1)求滑梯的高度加

⑵若小明褲料與滑板間的動摩擦因數〃i=；,求他從滑梯上由靜止滑到底端的瞬時速度大

??；

⑶若體重比小明重、穿相同褲料的小華，從滑梯上由靜止滑到底端，有人認為小華滑行的

時間比小明長。這種說法是否正確？簡要說明理由。

[解析](1)兒童恰能滑下，重力的下滑分力等于摩擦力，設滑梯與水平面的夾角為夕,

則mgsin加geos3

h

根據幾何關系：tan9=~

聯立解得：h=0Ax=2Amo

(2)設滑板長為"由動能定理得：

1

mgh—jLi[mgLcos8=嚴。9，x=Lcos0

聯立解得：0=2y[2m/s?

(3)這種說法不正確，小華下滑的時間與小明相等。

根據位移時間關系：L-^at2

根據牛頓第二定律，下滑的加速度

q=g(sin//icos9)

聯立解得：t='l

\1g(sin”產一〃——icosU)

可見，下滑時間與體重無關。

［答案］⑴2.4m(2)2小m/s⑶見解析

【變式1-1］(多選)如圖所示，質量為加的木塊靜止在光滑的水平面上，質量為小的子彈以

速度。。沿水平方向射入木塊，并最終留在木塊中與木塊一起以速度。運動。己知當子彈相

對木塊靜止時，木塊前進的距離為L子彈進入木塊的深度為s。若木塊對子彈的阻力尸視

為恒定，則下列關系式中正確的是()

A.FL^Mv2

B.Fs=^mv2

C.Fs=^mvo,—^(M+rri)v2

D.F(L+s)=^mvo1-^mv2

解析：選ACD根據動能定理，對子彈，有一尸(Z+s)=3加2一m”如2,D正確；對木塊，有

FL=-^Mv2,A正確；由以上二式可得尸產品加一3(知+%)。2,C正確，B錯誤。

【變式1-2］如圖所示，用長為L的輕繩把一個小鐵球掛在離水平地面高為3乙的。點，小

鐵球以。為圓心在豎直面內做圓周運動且恰好能到達最高點A處，不計空氣阻力，重力加

速度為g,若運動到最高點時輕繩被切斷，則小鐵球落到地面時速度的大小為()

A.yj3gLB.q6gL

C.4版D.3而

答案D

解析小球剛好能在豎直平面做圓周運動且恰好到達最高點時，繩的拉力為零，只有重力提

2

供向心力，有書，在最高點剪斷繩后，小球做平拋運動落地，對這一過程由動能定理

mg-4L,聯立可得落地速度=故A、B、C錯誤，D正確。

【變式1-3］(多選)如圖所示，一塊長木板2放在光滑的水平面上，在B上放一物體A,4

B間接觸面不光滑。現以恒定的外力拉8,A在8上發生了滑動，以地面為參考系，A、B

都向前移動了一段距離。在此過程中()

A.外力產做的功等于A和8動能的增量

B.8對A的摩擦力所做的功等于A的動能的增量

C.A對B的摩擦力所做的功等于2對A的摩擦力所做的功

D.外力廠對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和

答案BD

解析A物體所受的合力等于8對A的摩擦力，根據動能定理，有8對A的摩擦力所做的

功等于A的動能的增量，B正確；A對8的摩擦力與8對A的摩擦力是一對作用力與反作

用力，大小相等，方向相反，但是由于4在8上滑動，4、8相對地的位移不相等，故二者

做功不相等，C錯誤；對8應用動能定理，有WF—%=AEkB,解得WF=AEKB+陟即外力

產對8做的功等于8的動能的增量與8克服摩擦力所做的功之和，D正確；根據功能關系

可知，外力F做的功等于A和2動能的增量與產生的內能之和，故A錯誤。

【題型2圓周運動中動能定理的應用】

【例2】如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為工的輕質細桿，一端可繞豎直

光滑軸。轉動，另一端與質量為根的小木塊相連。木塊以水平初速度比出發，恰好能完成

一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為（）

A-2^TB-4^L

:woo?

08MD，i6兀心

YYW^x"

解析：選B對木塊由動能定理得：一居2立=0—］解得摩擦力大小為：K=初，

故B正確，A、C、D錯誤。

【變式2-1］（多選）如圖所示，長為L=0.4m的輕桿一端連著質量為機=lkg的小球，另一

端用錢鏈固接于水平地面上的。點，初始時小球靜止于地面上。現在桿中點處施加一大小

不變、方向始終垂直于桿的力凡輕桿轉動30。時撤去凡則小球恰好能到達最高點。忽略

一切摩擦，重力加速度g=10m/sZ,7i^3o下列說法正確的是（）

A.力F所做的功為4J

B.力廠的大小約為40N

C.小球到達最高點時，輕桿對小球的作用力大小為5N

D.撤去斤瞬間，小球的速度大小為2m/s

［解析］小球恰好能到達最高點，小球到達最高點的速度為0,在整個運動過程中，根據動能

TTT

定理得WF-mgL=Q-0,解得WF=mgL=^J,A正確；施加的力始終垂直于桿，則WF=F-^,

解得尸=7f=40N,B正確；小球恰好能到達最高點，小球到達最高點的速度為0,根據平

12

衡條件得輕桿對小球的作用力為PN=：咫=10N,C錯誤；在力/作用過程中，根據動能定

mf1o左〃。/2WF—2mgLsin30°.

理仔Wp—mgLsin30°=力廬，角牛仔v=\-------m-------=1m/s,D正確。

［答案］ABD

【變式2-2】在學校組織的趣味運動會上，某科技小組為大家提供了一個游戲。如圖所示，

將一質量為01kg的鋼球放在。點，用彈射裝置將其彈出，鋼球沿著光滑的半圓形軌道OX

和AB運動。8C段為一段長為L=2.0m的粗糙平面，OE/G為接球槽。半圓形軌道OA和

的半徑分別為r=0.2m、R=0.4m,小球與BC段的動摩擦因數為〃=0.7,C點離接球槽

的高度為〃=1.25m,水平距離為x=0.5m,接球槽足夠大，g取lOm/s?。求：

(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在4點的速度大小；

(2)鋼球恰好不脫離軌道時，在B位置對半圓形軌道的壓力大?。?/p>

(3)要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度。°至少多大。

“2

解析：(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在最高點A時，對鋼球分析有7咫=/葉丁，

解得0A=2m/So

(2)鋼球從A到B的過程由動能定理得mg-2R=^mvB1—^mv^,在B點有F^—mg=nr^-,解

得/N=6N,根據牛頓第三定律，知鋼球在B位置對半圓形軌道的壓力大小為6N。

(3)從C到D鋼球做平拋運動,要使鋼球恰好能落入槽中,則/?=%匕解得vc=1m/s,

假設鋼球在A點的速度恰為⑸=2m/s時，鋼球可運動到C點，且速度為vc1,從A至IC

由動能定理得=2一品0A2,解得oc'2<0,故當鋼球在A點的速度恰為

0A=2m/s時，鋼球不可能到達C點，更不可能入槽，要使鋼球最終能落入槽中，需要更大

的彈射速度，才能使鋼球既不脫離軌道，又能落入槽中。當鋼球到達C點速度為。c時，Vo

有最小值，從。到C由動能定理得mgR—1.imgL=^mvc1—~^invo,解得Vo=y[21m/s。

答案：(l)2m/s(2)6N(3)V^m/s

【變式2-3](多選)如圖所示，半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道A8固定在豎直面內，軌

道最低點2與水平面平滑連接，圓心。與A在同一水平面內，質量為根的物塊從A點由靜

止釋放，物塊沿圓弧軌道下滑，最終靜止在水平面上的C點，B,C間的距離為2R,重力

加速度為g。若物塊滑到8C的中點時，給物塊施加一個水平向左的恒力R當物塊再次運

動到B點時，撤去力P,結果物塊恰好能運動到A點，則()

A.物塊與水平面間的動摩擦因數為0.25

B.物塊與水平面間的動摩擦因數為0.5

C.水平推力的大小等于耳

D.水平推力的大小等于今咫

解析：選BC對整個運動過程，根據動能定理得"zgR—〃mg-2R=0,解得〃=0.5,A錯誤，

B正確；設推力作用后，物塊還能向右滑行的距離為x,根據動能定理得/"gR—w?g(R+x)

~Fx=O,{F—).img)(R+x)~mgR=0,解得尸="^+'mg,C正確，D錯誤。

【題型3多過程問題中動能定理的應用】

【例3］［多選］如圖所示為一滑草場。某條滑道由上下兩段高均為h,與水平面傾角分別為

45。和37。的滑道組成，滑草車與草地之間的動摩擦因數為〃。質量為機的載人滑草車從坡頂

由靜止開始自由下滑，經過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計滑草車在

兩段滑道交接處的能量損失，sin37o=0.6,cos37o=0.8)。則()

A.動摩擦因數〃=專

B.載人滑草車最大速度為、將

C.載人滑草車克服摩擦力做功為加g/z

D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為再

［解析］由題意知，上、下兩段斜坡的長分別為

_h_h

si=sin45。、52=sin37°

由動能定理知:2mgh—/imgsicos45°—2cos37°—0

解得動摩擦因數〃=*選項A正確；

載人滑草車在上下兩段的加速度分別為

啦

?i=g(sin45。一“cos45°)=右'g,

a2=g(sin37°—//cos37°)=一荻，

則在下落〃時的速度最大，由動能定理知：

1,

mgh—/imgs\cos45°—

解得選項B正確，D錯誤；

載人滑草車克服摩擦力做的功與重力做功相等，即W=2mg/i,選項C錯誤。

［答案］AB

【變式3-1】如圖所示，豎直固定放置的斜面。E與一光滑的圓弧軌道ABC相切，C為切點,

圓弧軌道的半徑為R,斜面的傾角為凡現有一質量為機的滑塊從。點無初速下滑，滑塊可

在斜面和圓弧軌道之間做往復運動，已知圓弧軌道的圓心。與4。在同一水平面上，滑

塊與斜面間的動摩擦因數為〃，求：

(1)滑塊第一次滑至左側圓弧上時距A點的最小高度差力；

(2)滑塊在斜面上能通過的最大路程s。

解析：(1)滑塊從。到達左側最高點廠經歷OC、CB、5廠三個過程，現以。尸整個過程為研

究過程，運用動能定理得：mgh—jumgcos解得卜="心；：￡。

10tan(7tanu

(2)通過分析可知，滑塊最終至C點的速度為0時對應在斜面上的總路程最大，由動能定理

得：

R

mgRcos0—］umgcos3-s=0f解得：s=—。

答案：⑴等￥(2心

【變式3-2］如圖甲所示，在水平面上固定一傾角0=37。、底端帶有擋板的足夠長的斜面，

斜面體底端靜止一質量根=1kg的物塊(可視為質點)，從某時刻起，物塊受到一個沿斜面向

上的拉力F作用，拉力F隨物塊從初始位置第一次沿斜面向上的位移尤變化的關系如圖乙

所示，隨后不再施加外力作用，物塊與固定擋板碰撞前后速率不變，不計空氣阻力，已知物

塊與斜面之間的動摩擦因數〃=0.5,5皿37。=0.6,cos37o=0.8,重力加速度g取：10m/s2,

求：

(1)物塊在上滑過程中的最大速度的大小；(計算結果可保留根式)

(2)物塊沿斜面上滑的最大位移的大小和物塊在斜面上運動的總路程。

［解析］(1)物塊上滑過程中受拉力、摩擦力、重力、支持力的作用，先做加速運動后做減速運

動，則有FN=%gcos37。

f=/zFN

F—f—mgsin37°=ma

當加速度為零時，速度最大，此時尸=/+mgsin37°=10N

由圖乙可得出尸=20-10x

則尸=10N時，可得出x=lm

2

由動能定理可得WF+Wf+WG=|mym-0

?20+101,rer—

即一5-XIJ—0.5XIX10X1X0.8J—1X10X1X0.6J=5,7Wm2-0,可得/=回m/So

(2)由動能定理可得匹'+W{'+WG'=0-0

n_________w___________

X'"geos37°+wgsin37°2m

撤去尸后，因為mgsin37°>//mgcos37°,所以物塊最后停在斜面的底端，則有Wpr+〃加gscos

37°=0-0

解得5=5m。

［答案］(1m/s(2)2m5m

【變式3-3】如圖所示，兩傾角均為。的光滑斜面對接后固定水平地面上，O點為斜面的最

低點。一個小物塊從右側斜面上高為A處由靜止滑下，在兩個斜面上做往復運動。小物塊

每次通過。點時都會有動能損失，損失的動能為小物塊當次到達。點時動能的5%。小物塊

從開始下滑到停止的過程中運動的總路程為()

49H39H

A赤B赤

「29H門20H

答案B

解析由題意知，小物塊第一次到達。點由動能定理可得wg"=Ek,此時小物塊所走路程

H

S1=而彳，第一次通過。點后動能￡ki=95%Ek=95%mg?,此時利用動能定理知小物塊上升

高度M=95%H,第二次到達0點滑下的路程S2=普=95%區，同理第二次離開。點到

olllCzbillC/

第三次到達。點所走路程S3=(95%)]磊，…，故小物塊下滑的總路程SE.=S1+S2+…即=

《力~95%；^+(95%)之瑞+…(95%)"-i[^,"無窮大時，可得s總=焉5(等比數列求和)，

dill\JOlliDillCzdillolllIz

故B正確。

【題型4涉及彈簧問題中動能定理的應用】

【例4】如圖所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為機的小球A,若將小球A從彈簧的原長

位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為限若將小球A換為質量為3%的小球8,

仍從彈簧原長位置由靜止釋放，則小球B下降場時的速度為(重力加速度為g,不計空氣阻

力X)

A.\[2ghB.y^-

C麗

解析：選B設小球A下降//的過程中克服彈簧彈力做功為知,根據動能定理，有mgfi一

Wi=0;小球8下降過程，由動能定理，有3〃琢//一用加一0。聯立以上兩式解得。=

故B正確。

【變式4-1】如圖所示，輕彈簧一端系在墻上的。點，自由伸長到B點?，F將小物體靠著彈

簧(不拴接)并將彈簧壓縮到A點，然后由靜止釋放，小物體在粗糙水平面上運動到C點靜止,

則()

A.小物體從A到B過程速度一直增加

B.小物體從A到B過程加速度一直減小

C.小物體從B到C過程中動能變化量大小小于克服摩擦力做功

D.小物體從A到C過程中彈簧的彈性勢能變化量大小等于小物體克服摩擦力做功

解析：選D在A、2間某處物體受到的彈力等于摩擦力，合力為0,速度最大，而在2點

只受摩擦力，合力不為零，因此小物體從A到8過程加速度先減小再增大，速度先增大后

減小，故A、B錯誤；小物體從8到C過程中，由動能定理得一Wf=AEk,故C錯誤；小物

體從A到C過程中，由動能定理得W理一Wfi=0,故D正確。

【變式4-2］（多選）如圖甲所示，輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質量為m的

小球從離彈簧上端高h處由靜止釋放。某同學研究小球落到彈簧上后繼續向下運動到最低點

的過程，他以小球開始下落的位置為原點，沿豎直向下方向建立坐標軸Ox,作出小球所受

彈力F的大小隨小球下落的位置坐標尤的變化關系如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速

度為g。以下判斷正確的是（）

A.當時，小球的速度開始減小，而加速度先減小后增大，直至最低點

B.最低點的坐標尤=〃+尤1+）尤12+2/?1

C.當x=/i+2xi時，小球的加速度為一g,彈力為且為小球下落的最低點

D.小球動能的最大值為7咫/7+等

［解析］小球下落到x=a時，小球剛接觸彈簧，直到x=/z+xi前，彈力小于重力，小球一直

做加速度減小的加速運動，之后彈力大于重力，加速度反向逐漸增大，直至到達最低點，A

錯誤；由題圖乙知根g=fcn,解得為=等，由Rx圖線與橫軸所圍圖形的面積表示克服彈力

所做的功，從開始下落到最低點過程，W克產；依一〃）2,由動能定理得峻一加X—/z）2=0,

解得最低點的坐標x=/7+xi+、尤12+2/.］,B正確；由對稱性可知，當尤=/?+2尤1時，小球

的加速度為一g,且彈力為2:咫，但還未到最低點，C錯誤；小球在x=/z+xi處時，動能有

最大值，根據動能定理得mg（〃+xi）+W彈'=Ekm—0,由題知，W=一；點/=一

解得最大動能Ekm=/ng〃+爸”，D正確。

［答案］BD

【變式4-3】如圖所示，質量均為優=4kg的兩個小物塊A、8（均可視為質點）放置在水平地

面上，豎直平面內半徑R=0.4m的光滑半圓形軌道與水平地面相切于C,彈簧左端固定。

移動物塊A壓縮彈簧到某一位置（彈簧在彈性限度內），由靜止釋放物塊A,物塊A離開彈簧

后與物塊8碰撞并粘在一起以共同速度o=5m/s向右運動，運動過程中經過一段長為s,動

摩擦因數〃=0.2的水平面后，沖上半圓軌道，除s段外的其他水平面摩擦力不計。求：（g

取10m/s2）

（1）若s=lm,兩物塊剛過C點時對軌道的壓力大??；

（2）若兩物塊能沖上半圓形軌道，且不脫離軌道，s應滿足什么條件。

［解析］⑴設物塊經過C點時速度為VC,物塊受到軌道支持力為FNC,由動能定理得：-2/zwgs

XImvd1—\y.2mv2,又PNC—27Mg=2而￡~,代入解得FNC=500N,由牛頓第三定律知，

物塊對軌道壓力大小也為500N?

(2)物塊不脫離軌道有兩種情況：

①能過軌道最高點，設物塊經過半圓形軌道最高點最小速度為vi,則2?7g=2〃今,得v尸^^

=2m/s,物塊從碰撞后到經過最高點的過程中，由動能定理有一2卬叫5—4?吆7?=3乂2小療

一；X2根"，代入解得s滿足條件sW1.25m。

②物塊上滑最大高度不超過;圓弧，設物塊剛好到達(圓弧處速度為。2=0,物塊從碰撞后到

最高點，由動能定理有一2?7gR—2〃7Mgs=0-］X2/“o2,同時依題意，物塊能滑出粗糙水平面，

由動能定理可知Tx2?w2>2〃〃?gs,代入解得s滿足條件4.25mWs<6.25m。

［答案］(1)500N(2)sW1.25m或4.25mWs<6.25m

【題型5對比問題】

［例5］質量為m的物體從高為h的斜面頂端靜止下滑，最后停在平面上，若該物體以內

的初速度從頂端下滑，最后仍停在平面上，如圖甲所示。圖乙為物體兩次在平面上運動的

v-t圖像，則物體在斜面上運動過程中克服摩擦力的功為()

A.^mvoi—3mghB.3mgh—^mv<f

C.^mv^—mghD.mgh—^mv(?

［解析］若物體靜止開始下滑，由動能定理得Wf=3而J,若該物體以oo的初速度從頂

端下滑，由動能定理得mg/?—Wf=57022—；形的2,由題圖乙可知，物體兩次滑到平面的速度

關系為。2=2。1,由以上三式解Wf=7"g/?一，0o2。

［答案］D

【變式5-1］(多選)質量相等的A、8兩物體放在同一水平面上，分別受到水平拉力Q、尸2

的作用從靜止開始做勻加速直線運動。經過時間fo和4擊速度分別達到2%和。0時，分別撤

去長和6，以后物體繼續做勻減速直線運動直至停止，兩物體速度隨時間變化的圖線如圖

所示。則下列結論正確的是()

A.4、2物體所受摩擦力Ffi:曲=2：1

B.4、2物體所受摩擦力股：Fn=l：1

C.Fl和F2對A、B做的功：W2=6：5

D.B和巳對A、B做的功M：肌=12：5

解析：選BC從圖像可知，兩物體勻減速運動的加速度大小都為a=詈，根據牛頓第二定

律，勻減速運動中有居=初。，則兩物體所受摩擦力相同，故A錯誤，B正確；圖線與時間

軸所圍成的面積表示運動的位移，則A、B的位移之比為6：5,對全過程運用動能定理得，

Wi-F{Xl=0,W2-FfX2=Q,解得叼=尸的，W2=FfX2,所以整個運動過程中介和西做功

之比為6：5,故C正確，D錯誤。

【變式5-2］從地面豎直向上拋出一物體，物體在運動過程中除受到重力外，還受到一大小

不變、方向始終與運動方向相反的外力作用。距地面高度丸在3m以內時，物體上升、下

落過程中動能反隨〃的變化如圖所示。重力加速度取10m/s2?該物體的質量為（）

A.2kgB.1.5kg

C.1kgD.0.5kg

解析：選C畫出物體運動示意圖，設阻力為f,據動能定理知，A-B（上升過程）：~{mg

+f）h=Ew-Eu,C-。（下落過程）：（mg-7）/z=Ek?—Ekc,整理以上兩式得：mgh=30J,解

得物體的質量m=1kg。C正確。

【變式5-3］（多選）如圖所示，一彈性輕繩（彈力與其伸長量成正比）左端固定在墻上A點，右

端穿過一固定的光滑圓環B連接一個質量為機的小球p,小球p在8點時，彈性輕繩處在

自然伸長狀態。小球p穿過豎直固定桿在C處時，彈性輕繩的彈力為mg,將小球p從C點

由靜止釋放，到達。點時速度恰好為0。已知小球與桿間的動摩擦因數為0.2,A、8、C在

一條水平直線上，。=/7；重力加速度為g,彈性繩始終處在彈性限度內。下列說法正確的

是（）

A.小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為Q.3mgh

B.小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為0.2mgh

C.若僅把小球質量變為2m，則小球到達。點時的速度大小為由

D.若僅把小球質量變為2"z,則小球到達D點時的速度大小為寸麗

解析：選BC設BC的長度為"根據胡克定律有mg=H,設8。與豎直方向的夾角為a,

則伸長量為苴=故彈力為歹=依，7，對小球受力分析，受重力、彈性繩的彈力、摩擦力、

3111CXbill

支持力，水平方向平衡，故N=Fsina=kL=tng,由此可知，下降過程中，水平方向的支持

力保持不變，且摩擦力/=〃N=0.2mg,故小球從C點運動到。點的過程中克服摩擦力做功

為Wf=#i=02wg/i,故A錯誤，B正確；對小球從C點運動到D點的過程，根據動能定理

有機g/z—力—W彈=0,解得W彈=0.8，咫兒若僅把小球的質量變成2根，小球從C點運動到

。點的過程，根據動能定理，有2"2g/z-/7z—W岸=；X2能of,解得勿=兩，故c正確，D

錯誤。

【題型6聯系實際】

［例6］如圖所示，為某運動員(可視為質點)參加跳板跳水比賽時，其豎直方向的速度隨時

間變化的。一/圖像以他離開跳板時為計時起點，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是()

A./3時刻達到最高點

B./2時刻的位移最大

C.A時刻的加速度為負

D.在人?玄時間內，重力做功WG大于克服阻力做功Wf

答案D

解析運動員起跳時的速度方向向上，可知，力時刻達到最高點，故A錯誤；。一f圖像為直

線，加速度不變，所以在0?攵時間內人在空中，玄時刻開始進入水面，之后進入水中，此

時人的位移不是最大，。時刻的加速度為正值，故B、C錯誤；在大?攵時間內，由動能定

理可知WG—叼=；加。2,即重力做功WG大于克服阻力做功叼，故D正確。

【變式6-1】螺旋千斤頂由帶手柄的螺桿和底座組成，螺紋與水平面夾角為a,如圖所示。

水平轉動手柄，使螺桿沿底座的螺紋槽(相當于螺母)緩慢旋進而頂起質量為他的重物，如果

重物和螺桿可在任意位置保持平衡，稱為摩擦自鎖。能實現自鎖的千斤頂，a的最大值為制。

現用一個傾角為ao的千斤頂將重物緩慢頂起高度h后，向螺紋槽滴入潤滑油使其動摩擦因

數〃減小，重物回落到起點。假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計螺桿和手柄的質量及

螺桿與重物間的摩擦力，轉動手柄不改變螺紋槽和螺桿之間的壓力。下列說法正確的是()

A.實現摩擦自鎖的條件為tana三〃

B.下落過程中重物對螺桿的壓力等于“g

C.從重物開始升起到最高點摩擦力做功為mgh

D.從重物開始升起到最高點轉動手柄做功為2mgh

解析:選D實現自鎖的條件是重物重力沿斜面下滑的分力小于等于最大靜摩擦力，即mgsin

aW〃加gcosa,解得〃2tana,A錯誤；重物對螺桿壓力FN=〃?gcosa,B錯誤；重物緩慢上

升的過程中，對螺桿和重物整體受力分析如圖所示，

h

則摩擦力做功為Wf=—〃mgcosa2=—tanaiwgcosa?而元=—wig/?,C錯誤；從重物開始升

起到最高點，轉動手柄做的功用于克服摩擦力做功和轉化為重物上升增加的重力勢能mgh,

所以根據動能定理得W+Wf—〃zg/z=O,解得W=2mg/z,D正確。

【變式6-2］我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一。如圖

所示，質量m=60kg的運動員從長直助滑道A8的A處由靜止開始以加速度a=3.6m/s?勻

加速滑下，到達助滑道末端8時速度VB=24m/s,A與8的豎直高度差H=48m。為了改變

運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C處附近是

一段以。為圓心的圓弧。助滑道末端8與滑道最低點C的高度差/i=5m,運動員在8、C

間運動時阻力做功W=-l530J,取g=10m/s2。

⑴求運動員在AB段下滑時受到阻力4的大??；

(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點所在圓弧的半徑R至少應為

多大。

解析：(1)運動員在A8段做初速度為零的勻加速運動，設的長度為x,則有正2=2依

①

由牛頓第二定律有

H

'"4—ma?

聯立①②式，代入數據解得

Ff=144N?③

(2)設運動員到達C點時的速度為oc,在由2到達C的過程中，由動能定理有

mgh+W=^mvc

設運動員在C點所受的支持力為入，由牛頓第二定律有

由運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，聯立④⑤式，代入數據解得R=12.5mo

⑥

答案：(1)144N(2)12.5m

【變式6-3](多選)冰滑梯是東北地區體驗冰雪運動樂趣的設施之一，某冰滑梯的示意圖如

圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數〃相同,

因滑板不同〃滿足〃oW〃WL2〃o。在設計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑,

且滑行結束時停在水平滑道上，以下心、心的組合符合設計要求的是()

h

，__h_rn.4/z?

AA-￡i=w心一弧

4h2hrT3hTh

C.LJ\O,QD.Li=^—,L2=—

3/20卬o〃o

解析：選CD設傾斜滑道傾角為e,游客在傾斜滑道上勻減速下滑，則需滿足Mgsin0<

hh、

〃加geos9,可得〃>tane=j-,即有乙1>一，因〃oW〃W1.2〃o,所有游客在傾斜滑道上勻減速

林

hT,

下滑，可得L[>—,滑行結束時停在水平滑道上，對全程由動能定理有mg-2h—jLimgcos

4。costz

2h2h5h

—jLimgx=0—0f其中OVxWLz,可得LIV1,L\+LT^—,代入〃OW〃W1.2〃O,可得LV%,

2/zh5/z2/z

￡1十七22一,綜合需滿足一VLiV^—和￡1+￡22一,故C、D正確。

【題型7與圖像綜合】

【例7】如圖甲所示，視為質點的小球用不可伸長的輕繩連接，繞定點。在豎直面內做圓周

運動，小球經過最高點的速度大小為。，此時繩子的拉力大小為瓦。拉力FT與速度的平方

的關系如圖乙所示，重力加速度大小為g,不計空氣阻力。則小球從最高點運動到最低點的

過程中動能的變化量為()

、T)THtnh

解析：選A小球在最高點時有尸r+Mg=m：,即國=72一根g,由題圖乙可知：=左=￡,

b/7

mg=b,解得m=-,r=-，小球從最高點運動到最低點的過程中重力所做的功等于其動能

8g

的變化量，即AEk=2mgr=2"。

g

【變式7-1］(多選)“彈跳小人”(如圖甲所示)是一種深受兒童喜愛的玩具，其原理如圖乙所

示。豎直光滑長桿固定在地面不動，套在桿上的輕質彈簧下端不固定，上端與滑塊拴接，滑

塊的質量為0.80kg?，F在向下壓滑塊，直到彈簧上端離地面高度/z=0.40m時停止，然后由

靜止釋放滑塊?；瑝K的動能所隨離地高度/z變化的圖像如圖丙所示。其中高度從0.80m到

1.40m范圍內的圖線為直線，其余部分為曲線。若以地面為重力勢能的參考平面，空氣阻

力為恒力，g取lOm/s?。則結合圖像可知()

A.彈簧原長為0.72m

B.空氣阻力大小為LOON

C.彈簧的最大彈性勢能為9.00J

D.在彈簧落回地面的瞬間滑塊的動能為5.40J

［解析］由題圖丙可知，從/?=0.80m開始，彈簧下端與地面分離，則知彈簧的原長為0.80m,

故A錯誤；從0.80m上升到1.40m過程，在反-人圖像中，根據動能定理知：圖線的斜率

大小表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.80m上升到1.40m范圍內圖像為直線，其余部

分為曲線，說明滑塊從0.80m上升到1.40m范圍內所受作用力為恒力，根據動能定理得一

(mg+f)Ah=0-Ek,由題圖知△/z=0.60m,Ek=5.40J,解得空氣阻力/=LOON,故B正確；

根據能的轉化與守恒可知，當滑塊上升至最大高度時，整個過程中，增加的重力勢能和克服

空氣阻力做功之和等于彈簧的最大彈性勢能，所以Epm=(sg+/)A/i'=9.00J,故C正確；

滑塊由最大高度到彈簧落回地面的瞬間，根據動能定理得(;wg-7)A/i=Ek'-0,得EJ=4.2

J,故D錯誤。

［答案］BC

【變式7-2］如圖(a)所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30。的固定斜面上滑，運動過程中

摩擦力大小/恒定，物塊動能Ek與運動路程s的關系如圖(b)所示。重力加速度大小取10m/s2,

物塊質量m和所受摩擦力大小/分別為()

A.m=0.7kg,/=0.5N

B.根=0.7kg,/=1.0N

C.機=0.8kg,/=0.5N

D.加=0.8kg,/=1.0N

解析：選AO?10m內物塊上滑，由動能定理得一機外由30。?5一力=&一及0,整理得及=瓦。

—(mgsin30°+y)5,結合0?10m內的圖像得mgsin300+/=4N;10?20m內物塊下滑，由

動能定理得Ongsin300—/)(s—si)=Ek,整理得Ek=(mgsin30°—y)5,-(mgsin30。一/)si,結合

10?20m內的圖像得Mgsin300-/、=3N,聯立解得了=0.5N,m=0.7kgo故A正確。

【變式7-3］如圖甲所示，質量為0.1kg的小球從最低點A沖入豎直放置在水平地面上、半

徑為0.4m的半圓形軌道，小球速度的平方與其高度的關系圖像如圖乙所示。已知小球恰能

到達最高點C軌道粗糙程度處處相同，空氣阻力不計。gmlOm/s2,B為軌道AC中點。

下列說法中不正確的是O

A.圖乙中x=4m2.s-2

B.小球從3到C損失了0.125J的機械能

C.小球從A到C合外力對其做的功為-1.05J

D.小球從。拋出后，落地點到A的距離為0.8m

解析：選B當％=0.8m時，小球恰在C點，由于小球恰好通過最高點C,由加且=療7~,

可得。(？=且r=4rr^s—2,A正確；小球從A到。的過程中，動能減少量AEk=Vi2—義弘/

=1.05J,故合外力對其做的功為-1.05J,重力勢能增加量AEp=mg?2r=0.8J,故機械能減

少0.25J,由于小球在A-5段所受摩擦力大于在3-C段的摩擦力，故小球從5到C損失

的機械能小于0.125J,B錯誤，C正確；小球離開C點后做平拋運動，由2r=&P,x=vct,

可解得x=0.8m,故D正確。

【題型8臨界問題】

【例8】如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小球以速度

。從軌道下端滑入軌道，并保證從軌道上端水平飛出，則關于小球落地點到軌道下端的水平

距離尤與軌道半徑R的關系，下列說法正確的是()

A.R越大，則無越大

B.R越小，則x越大

C.當R為某一定值時，尤才有最大值

D.當R為某一定值時，尤才有最小值

答案c

解析設半圓的半徑為R,根據動能定理得

—mg-2R=^mv'2—^mv2,離開最高點做平拋運動，有2R=：g產，x=v't,聯立解得

I

x.《4R4gR)。JT6g(R-募)—私

濟

可知當R=菰時，水平位移最大。

&g

【變式8-1】彈珠游戲在孩子們中間很受歡迎，有很多種玩法，其中一種玩法就是比距離，

模型如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形APB(圓半徑比細管的內徑大得多)

和光滑直管BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知AP8部分的半徑R=1.0m,段長人

=1.5mo彈射裝置將一個質量機=100g小球(可視為質點)以oo=8m/s的水平初速度從A

點彈入軌道，小球從C點離開軌道隨即進入長b=2m,〃=0」的粗糙水平地面(圖上對應為

CD),最后通過光滑軌道。E,從E點水平射出，已知E距離地面的高度為/i=1m,不計空

氣阻力。求：

(1)小球在半圓軌道上運動時的角速度。和到達C點時對圓管的壓力大小；

(2)若小球能從A點運動到E點，則小球進入A點的速度至少為多大；

(3)若E點的高度場可以調節，小球仍以oo=8m/s從A點進入，當力多高時，水平射程尤最

大，并求出這個最大值。

答案(1)8rad/slN(2)2班nVs(3)1.5m3m

解析(1)角速度0=%=8rad/s,小球在段做勻速直線運動，合力為0,根據牛頓運動

定律，小球處于平衡狀態，E