第七講離散型隨機變量的分布列、期望和方差知識知識歸納1.隨機事件、基本事件、隨機試驗在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。試驗的每一個可能的結果稱為基本事件。如果試驗具有下述特點：試驗可以在相同條件下重復進行；每次試驗的所有可能結果都是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。它被稱為一個隨機試驗。簡稱試驗。2．隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，（或隨著試驗結果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機變量．隨機變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。離散型隨機變量在上面的射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。如果隨機變量可能取的值是某個區間的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.3.分布列(1)定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)表示：定義表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.表格表示Xx1x2…xnPp1p2…pn圖形表示(3)性質：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4.求離散型隨機變量的分布列的一般步驟(1)確定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每個取值所表示的意義.(2)利用概率的相關知識，求出每個取值相應的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).(3)寫出分布列.(5)離散型隨機變量有特征：(1)可用數值表示.(2)試驗之前可以判斷其出現的所有值.(3)在試驗之前不能確定取何值.(4)試驗結果能一一列出.作用：離散型隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一個值的概率的大小，從而反映出隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況，是進一步研究隨機試驗數量特征的基礎.5.兩點分布列像上面這樣的分布列稱為兩點分布列。如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱p=P(X=1)為成功概率。X01P1－pp6.離散型隨機變量的期望若離散型隨機變量X的分布列為…………稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．．若，其中為常數，則也是隨機變量，且.若服從兩點分布，則；7，若離散型隨機變量X的分布列為…………則描述了()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機變量的方差，其算術平方根為隨機變量的標準差．若，其中為常數，則也是隨機變量，且．若服從兩點分布，則8，六條性質(1)(為常數)(2)(為常數)(3)(4)如果相互獨立，則(5)(6)考點講解考點講解題型一：寫出簡單離散型隨機變量分布列1．投擲兩枚質地均勻的骰子，記偶數點朝上的骰子的個數為，則的分布列為（

）X01PX12PA．B．X012PC．

X012P

D．

2．袋中裝有一些大小相同的球，其中標號為1號的球1個，標號為2號的球2個，標號為3號的球3個，，標號為號的球個.現從袋中任取一球，所得號數為隨機變量，若，則.3．一袋中裝有4只同樣大小的球，編號分別為1，2，3，4，現從中隨機取出2個球，以X表示取出球的最大號碼，則X的分布列為4．全班有40名學生，某次數學作業的成績如下：分數012345人數01312204現從該班中任選一名學生，用X表示這名學生的數學作業成績，求隨機變量X的分布列．題型二：利用隨機變量分布列的性質解題1．設，隨機變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．2．設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．3．已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．（多選）如果ξ是一個離散型隨機變量，則真命題是（

）A．ξ取每一個可能值的概率都是非負實數B．ξ取所有可能值的概率之和為1C．ξ取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和D．ξ在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和題型三：由隨機變量的分布列求概率1．已知一個離散型隨機變量X的分布列為X1234Pp則p的值為（）A． B． C． D．2．已知隨機變量的分布列如表：則實數（

）A． B． C． D．3．（多選）已知隨機變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實數的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．104．隨機變量Y的概率分布如下：Y123456P0.1x0.350.10.150.2則x＝；＝.題型四：兩點分布1．設隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．（多選）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（

）．A．拋擲一枚骰子，所得點數XB．某射手射擊一次，擊中目標得2分，未擊中目標得0分，射手的得分XC．從裝有5個紅球，3個白球的袋子中取1個球，定義：“取出白球”，“取出紅球”D．某醫生做一次手術，手術成功的次數X3．已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么．4．已知服從兩點分布，且，則．題型五：求離散型隨機變量的均值1．（2024·湖南長沙·一模）已知隨機變量的分布列如下：1230.10.70.2則數學期望.2．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預測）已知，隨機變量X的分布列為Ｘ1234Pab的最小值為，此時X的數學期望為．3．（2025·陜西咸陽·一模）小明和小王進行乒乓球比賽，其中小明每局贏的概率為，小王每局贏的概率為，且每局比賽之間互不影響．(1)若采用3局2勝制，求小王最終贏得比賽的概率；(2)若采用5局3勝制，在小明贏得比賽的條件下，求比賽需要的局數的期望．4．（2024·重慶·一模）近年來，開盲盒深受年輕人的喜愛.甲商店推出一款售價為1元/個且外觀相同的盲盒，每開一個盲盒，會等可能地開出3款玩偶（分別記為款?款?款）中的某一款.乙商店出售與甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售價為3元/個.(1)若小明一次性購買了甲商店的3個盲盒，求他至少開出2個款玩偶的概率；(2)若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店購買；方案二：在甲商店以開盲盒的方式購買，并與老板協商一致，每次開一個盲盒，如果開出款玩偶則停止，否則再開一個盲盒，若連續四次均未開出款玩偶，老板就贈送一個款玩偶給他.為了得到款玩偶，你認為小明應該選擇去哪家商店購買更劃算，請說明理由.題型六：均值的性質1．（2024·四川南充·一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n2．（2024·上海·模擬預測）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數學期望，則.123450.10.20.30.13．（2024·江蘇鹽城·一模）某學習平臺中“挑戰答題”積分規則如下：選手每天可參加一局“挑戰答題”活動.每局中選手需依次回答若干問題，當累計回答正確3道題時，答題活動停止，選手獲得10個積分；或者當累計回答錯誤2道題時，答題活動停止，選手獲得8個積分.已知選手甲正確回答每一道題的概率均為.(1)記X為“甲完成一局‘挑戰答題’活動時回答的題數”，求的概率；(2)記Y為“甲連續9天參加‘挑戰答題’活動獲得的積分”，求.4．（2024·重慶·三模）已知是二維離散型隨機變量，其中X、Y是兩個相互獨立的離散型隨機變量，的分布列用表格表示如下：X03605(1)求和；(2)“”表示在條件下的的取值，求“”的分布列；(3)為的數學期望，為“”的分布的期望，證明：.題型七：兩點分布的均值1．已知隨機變量服從兩點分布，，則其成功概率為（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.62．拋擲一枚硬幣，記，則（

）A．0 B． C．1 D．13．若隨機變量服從兩點分布，其中，則以下正確的是（

）A． B．C． D．4．已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么．題型八：由離散型隨機變的均值求參數1．（2024·陜西寶雞·二模）已知隨機變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：X01Pab則a，b的值分別為（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知隨機變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機變量X的期望為，則當取得最小值時，．3．（2024·江西·模擬預測）某數學興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區印有從10個數字1，2，3，……，10中隨機抽取的3個不同數字，刮開涂層即可兌獎，中獎規則為：每張彩票只能中獎一次（按照最高獎勵算）若3個數的積為2的倍數且不為3的倍數時，中三等獎；若3個數的積為5的倍數且不為3的倍數時，中二等獎；若3個數的積既為3的倍數，又為4的倍數，又為7的倍數時，中一等獎；其他情況不中獎．(1)在一張彩票中獎的前提下，求這張彩票是一等獎的概率；(2)假設每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．4．（2024·安徽·一模）高三聯考數學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數學期望為3，求p；(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？題型九：離散型隨機變量的方差與標準差1．（2024·四川成都·模擬預測）若隨機變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）隨機變量的分布列如下：012若，則．3．（2024·上海徐匯·二模）同時拋擲三枚相同的均勻硬幣，設隨機變量表示結果中有正面朝上，表示結果中沒有正面朝上，則.4．（2025·河南洛陽·模擬預測）為慶祝新中國成立75周年，國慶長假期間，某小型景區對游客開展抽獎免門票活動．活動規則如下：盒子里有5個一模一樣的小球，只有一個小球上寫著免門票．游客從盒子里摸出一個小球，若該小球上寫有免門票，則景區免掉該游客的門票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽獎．(1)小王家一共有4口人來到該景區旅游，記這4人中免門票的人數為，求隨機變量的分布列、數學期望和方差；(2)當小王選好一個小球后（此時小王還不知道小球上是否寫著免門票），景區工作人員（他知道小球上是否寫著免門票）會從盒子里取出一個沒有寫著免門票的小球給小王看，此后小王選擇是否重新從盒子里余下的球中摸出一個球換取開始選好的球，再看是否能免門票．請問小王作出哪種選擇更容易免門票？請說明理由．題型十：方差的性質1．（多選）（2024·安徽阜陽·模擬預測）設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，2．（多選）（2024·遼寧沈陽·一模）下圖是離散型隨機變量的概率分布直觀圖，其中，則（

）

A． B．C． D．3．（2024·吉林·模擬預測）已知隨機變量，滿足，則.4．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.題型十一：方差的期望表示1．（2024·浙江溫州·三模）已知隨機變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江寧波·模擬預測）隨機變量的分布列如表所示，則當在內增大時，滿足（

）01A．先增大后減小 B．先減小后增大 C．增大 D．減小3．（多選）（2024·山東·三模）中華人民共和國第十四屆運動會將于2021年9月在陜西省舉辦．為了組建一支朝氣蓬勃、訓練有素的賽會志愿者隊伍，向全國人民奉獻一場精彩圓滿的體育盛會，第十四屆全國運動會組織委員會欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長．下列說法正確的有（

）A．設事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則B．設事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，則C．用表示抽取的三人中女志愿者的人數，則D．用表示抽取的三人中男志愿者的人數，則4．（2024·江西南昌·模擬預測）某機構要對某職業的月收入水平做一個調研，選擇了，，三個城市，三個城市從業人數分別為10萬，20萬，20萬，該機構決定用分層抽樣的方法從三個城市中抽取1000個樣本進行調查，并分析、城市的樣本數據后得到以下頻率分布直方圖：

（1），，三個城市應各抽取多少個樣本？并估計城市從業人員月收入的平均值；（2）用頻率估計概率，，城市從業人數視為無限大，若從，兩城市從業人員中各隨機抽取2人，表示這抽取的4人中月收入在3000元以上的人數，求的分布列和期望．（用分數作答）鞏固提升鞏固提升1．隨機變量的分布列如下表所示，且，則（

）01230.10.1A．0.2 B．0.4 C．0.2 D．02．若隨機變量的分布列如下表，表中數列為等差數列，則的取值是（

）34567A． B． C． D．3．已知隨機變量的分布列如表：02其中成等差數列，則的值是（

）A． B． C． D．4．設，則隨機變量的分布列如下表，則當在內增大時（

）12A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大5．已知在所有礦石中含有某種稀有元素的概率約為0.1，小郅與小祥同學有一把探測器可識別該稀有元素且準確率高達0.9（即有0.1的概率對不含有該稀土元素的礦石作出反應）.在某次探索實踐任務中，他們共同發現了一堆由探測器檢驗含有該元素的礦石，但是否真的含有該元素則需進一步檢驗，再回實驗室途中，小祥提出用2000元向小郅賣出所有礦石，若礦石中真實含有該元素，則價值約10000元，否則將一文不值.若小郅同學出錢購買，則他獲得利潤的均值約為：（

）元.A．2200 B．1100 C．2200 D．70006．盒中裝有3個黃球和1個紅球，現從盒中每次隨機取出1個球且不放回，直至取出紅球．設在此過程中，取到黃球的個數為，則（

）A．1 B． C． D．27．若某科技小制作課的模型制作規則是：每位學生最多制作3次，一旦制作成功，則停止制作，否則可制作3次.設某學生一次制作成功的概率為，制作次數為，若的數學期望，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．體育課的排球發球項目考試的規則是每名學生最多可發球3次，一旦發球成功，則停止發球，否則一直發到3次為止．設學生一次發球成功的概率為，發球次數為X，若X的均值，則p的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選）某學校舉行文藝比賽，比賽現場有5名專家教師評委給每位參賽選手評分，每位選手的最終得分由專家教師評分和觀看學生評分確定.某選手參與比賽后，現場專家教師評分情況如下表.觀看學生全部參與評分，所有評分均在7～10之間，將評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖，則下列說法正確的是（

）現場專家教師評分表專家教師ABCDE評分9.69.59.68.99.7A．B．用頻率估計概率，估計觀看學生評分不小于9分的概率為C．從5名專家教師中隨機選取3人，X表示評分不小于9分的人數，則D．從5名專家教師中隨機選取3人，X表示評分不小于9分的人數，則10．（多選）某地質考察隊在一片區域內發現了五處具有研究價值的地質構造點，依照初步判斷的研究價值高低，分別標記為1，2，3，4，5號點位，每次考察時，隨機選擇一處地質構造點進行深入研究，選擇各點位的概率與該點標記的序號成正比，比例系數為k，設隨機變量G表示選擇的地質構造點編號，則（

）A． B．C． D．11．（多選）下列說法正確的有（

）A．的展開式中，的系數是B．的展開式中，各二項式系數和為C．從名男生，名女生中選名學生參加志愿者服務，表示參加志愿服務的男生人數，則D．有個不同的正因數12．已知離散型隨機變量的分布列為012則.13．某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5，0.6，0.7，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內領到資格證書的概率為；他在一年內參加考試次數的數學期望為.14．已知一組數據1，1，2，3，5，2，1的第60百分位數為，且隨機變量的分布列為0.50.40.30.3則，．15．某趣味運動設置了“謎語競猜”活動，在活動中設置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對當前謎語才能繼續競猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎金．每次猜謎的結果相互獨立．猜對三道謎語的概率及獲得的相應獎金如下表：謎語①②③猜對的概率0.80.5獲得的獎金（元）102030(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎金至少為30元的概率；(2)假設只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎金的數學期望為決策依據，按哪種順序猜謎所獲獎金更多？16．已知正四棱錐的體積為，高為.(1)現有一螞蟻從點處等可能地沿各條棱向底面勻速移動，已知該螞蟻每秒移動個單位，求秒后該螞蟻與點的距離的分布列及期望.(2)假設有若干只螞蟻，據統計，其中的螞蟻計劃只可能從點出發，另外的螞蟻計劃既可能從點出發，又可能從點出發.

若螞蟻只可能從點出發，則記分；若既既可能從點出發，又可能從點出發，則記分.

假設每只螞蟻計劃從哪個點出發相互獨立，視頻率為概率.（i）從螞蟻中隨機抽取只螞蟻，記這只螞蟻的合計得分恰為分的概率為，求；（ii）從若干螞蟻中隨機抽取一些螞蟻，記這些螞蟻的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取螞蟻的無限增加，是否趨近于某個常數？若是，求出這個常數；若不是，請說明理由.走進高考走進高考1．（2013·湖北·高考真題）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值E（X）=（）A． B． C． D．2．（2017·浙江·高考真題）已知隨機變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>3．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.4．（2022·浙江·高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則，．5．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，.6．（2013·天津·高考真題）一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設取到任何一張卡片的可能性相同）.（1）求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率.（2）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列.7．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）8．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？9．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．10．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．11．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）12．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(I