專題18圓壓軸題

以圓為背景的綜合問題是中考壓軸題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線

段分線段成比例（2020年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結合，主要考查學生挖掘信息的

能力，難題分解能力，數學綜合能力

在知識導圖

在重點考向

考點一

定圓結合直角三角形，考察函數關系，圓心距，存在性問題；

考點二

定圓結合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數關系；

考點三

定圓結合直角三角形；考察函數關系，三角形面積比值問題；

考點四

定圓結合平行線，弧中點，考察函數關系，與圓相切問題；

考點五

動圓結合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數關系;

考點六

動圓結合內切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關系；

考點七

動圓結合定圓，考察函數關系，與圓有關的位置關系；

考點八

動圓結合定圓，函數關系，四邊形，正多邊形結合的問題。

典例引登

一/__________________________________?______________L

一、解答題

1.（2022?上海嘉定?統考二模）在半圓。中，A8為直徑，AC,為兩條弦，且NCAO+NDAB=90。.

(1)如圖1,求證：AZ)等于co；

(2)如圖2,點尸在直徑A8上，。歹交AC于點E,若AE=DE,求證：AC=2DF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC,若4尸=2,BC=6,求弦A。的長.

2.(2021春?上海徐匯?九年級統考階段練習)已知：。。的半徑為3,OCL弦A3,垂足為O,點E在。。

上，ZECO=ZBOC,射線CE與射線08相交于點尸.設AB=x,,CE=y,

(D求y與x之間的函數解析式，并寫出函數定義域；

(2)當AO斯為直角三角形時，求A3的長；

(3)如果板=1,求的長.

3.(2023春?上海?九年級專題練習)如圖，等邊△ABC內接于。O,P是A2上任一點(點P與點A、8重合),

連接AP、BP,過點C作尸交B4的延長線于點

⑴求/APC和ZBPC的度數；

(2)求證：△ACAf0ZkBCP；

(3)若B4=l,PB=2,求四邊形P8CM的面積；

(4)在(3)的條件下，求的長度.

4.(2021秋?上海金山?九年級期末)定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.如圖1,

ZA=|ZO.

已知：如圖2,AC是。。的一條弦，點。在。。上(與A、C不重合)，聯結。E交射線A。于點E,聯結

（1）求弦AC的長.

（2）當點E在線段上時，若ADOE與AAEC相似，求/OCA的正切值.

（3）當OE=1時，求點A與點。之間的距離（直接寫出答案）.

5.（2021?上海?統考二模）如圖，已知扇形的半徑OA=4,NA0B=9O。，點C、。分別在半徑Q4、OB

上（點C不與點A重合），聯結CO.點P是弧AB上一點，PC=PD.

（2）當點。與點B重合，點尸為弧A3的中點時，求NOCD的度數；

s

（3）如果OC=2,且四邊形ODPC是梯形，求產2的值.

6.（2021?上海青浦?統考二模）已知：在半徑為2的扇形A03中，/403=機。（0<加4180）,點C是A8上

的一個動點，直線AC與直線08相交于點D

（1）如圖1,當0<〃Z<90,A3CD是等腰三角形時，求/￡>的大?。ㄓ煤瑥U的代數式表示）；

S

（2）如圖2,當m=90,點C是A2的中點時，連接AB,求丁也的值；

（3）將AC沿AC所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與所在的直線相切于點E,且OE=1時，求線段

的長.

7.（2022春.上海.九年級專題練習）已知。。的直徑AB=4,點尸為弧上一點，聯結如、PO,點、C為

劣弧AP上一點（點C不與點A、P重合），聯結8c交出、PO于點D、E.

7

（1）如圖，當cos/CBO=3時，求BC的長；

（2）當點C為劣弧AP的中點，且△即尸與AAOP相似時，求NA8C的度數；

（3）當4。=2。尸，且ABE。為直角三角形時，求四邊形4。即的面積.

8.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=9Q°,以AB為直徑的0。

（2）過點。作0"，竹，垂足為點8，設CW=y,試用/的代數式表示力

（3）設點G為。C的中點，聯結OG、OD,AODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出廠的值；如不

能，試說明理由.

9.（2022?上海?九年級專題練習）如圖，已知AB是半圓。的直徑，AB=6,點C在半圓O上.過點A作

ADXOC,垂足為點D,AD的延長線與弦BC交于點E,與半圓O交于點F（點F不與點B重合）.

cC

EE

AOBAOB

備用圖

(1)當點F為BC的中點時，求弦BC的長；

DF

⑵設。口=刈m=丫，求y與x的函數關系式；

(3)當△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長.

10.(2021?上海?九年級專題練習)如圖，已知半圓。。的直徑AB=10,弦CZ)〃AB,且CD=8,E為弧CD

的中點，點尸在弦C。上，聯結PE,過點E作PE的垂線交弦CD于點G,交射線。2于點?

(1)當點廠與點B重合時，求CP的長；

(2)設CP=x,OF=y,求y與x的函數關系式及定義域；

(3)如果GP=GR求△EPP的面積.

EE

A0FBA0B

備用圖

在模擬檢測

一、解答題

4

1.(2021?上海?九年級專題練習)在RtAABC中，ZACB=90°,AC==15,sinZBAC=y.點D在邊AB

上(不與點A、B重合)，以AD為半徑的。A與射線AC相交于點E,射線DE與射線BC相交于點F,射

線AF與。A交于點G.

(1)如圖，設AD=x,用x的代數式表示DE的長；

(2)如果點E是的中點，求/DFA的余切值；

(3)如果△AFD為直角三角形，求DE的長.

4

2.（2021.上海.九年級專題練習）如圖1,在R3ABC中，90°,AB=5,cos/BAC=《，點。是邊

AC上一個動點（不與A、C重合），以點。為圓心，A。為半徑作。O,。。與射線A8交于點。，以點C為

圓心，C。為半徑作（DC,設。4=x.

（1）如圖2,當點。與點B重合時，求x的值；

（2）當點。在線段A8上，如果。C與A3的另一個交點E在線段上時，設AE=y，試求y與x之間的

函數解析式，并寫出尤的取值范圍；

（3）在點。的運動過程中，如果。C與線段只有一個公共點，請直接寫出x的取值范圍.

3.（2023春?上海?九年級專題練習）在下列正多邊形中，。是中心，定義：AOBC為相應正多邊形的基本三

角形.如圖1,AOBC是正三角形ABC的基本三角形；如圖2,AOBC是正方形ABCD的基本三角形；如圖

3,AO2C為正〃邊形ABCDEF…的基本三角形.將基本AO3C繞點。逆時針旋轉。角度得AOB'C'.

（1）若線段8c與線段B'C'相交點。'，貝I：

圖1中a的取值范圍是;

圖3中a的取值范圍是；

（2）在圖1中，求證30，=。。'

（3）在圖2中，正方形邊長為4,a=135。，邊8c上的一點尸旋轉后的對應點為P,若8'尸+0尸’有最小

值時，求出該最小值及此時的長度；

（4）如圖3,當ECLOC時，直接寫出a的值.

4.（2023春?上海?九年級專題練習）如圖，已知圓。是正六邊形&8。9￡戶外接圓，直徑BE=8,點G、H分

別在射線CD、EF上（點G不與點C、D重合），且/GBH=60。，設CG=尤，EH=y.

（1）如圖①，當直線BG經過弧CZ）的中點。時，求NCBG的度數；

（2）如圖②，當點G在邊CD上時，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出尤的取值范圍；

圖①圖②（備用圖）

5.（2021.上海?九年級專題練習）在圓。中，弦A2與。相交于點E,且弧AC與弧BD相等.點。在劣弧

AB±,聯結CO并延長交線段A3于點足聯結。4、OB.當OA=也,且tan/O48=g.

（1）求弦CD的長；

（2）如果A4?尸是直角三角形，求線段EF的長；

（3）如果SACEF=4SzLB0F,求線段AB的長.

6.（2022春.上海閔行.九年級?？计谥校┘褐喝鐖D，梯形ABCZ）中，AD//BC,4￡>=2,AB=BC^CD=6.動

點尸在射線54上，以8尸為半徑的。尸交邊8C于點￡（點E與點C不重合），聯結PE、PC.設8P=x,

PC=y.

（1）求證：PE//DC；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域;

(3)聯結PZ),當時，以。為圓心半徑為R的。。與。P相交，求R的取值范圍.

3

7.(2021春?上海徐匯?九年級位育中學?？茧A段練習)在放ZkABC中，ZBAC=90°,BC=10,tanZABC=-,

4

點。是AB邊上動點，以。為圓心，為半徑的。。與邊8C的另一交點為。，過點。作42的垂線，交

。。于點E,聯結BE、AE

(1)如圖(1),當AE〃BC時，求。。的半徑長;

(2)設80=無，AE=y,求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

(3)若以A為圓心的。A與。。有公共點。、E,當。A恰好也過點C時，求QE的長.

8.(2021?上海?九年級專題練習)已知：如圖，在半徑為2的扇形AOB中，ZAOB=90?！?點C在半徑OB

(2)若E是弧AB的中點，求證：BE2=BO-BC;

(3)聯結CE,當ADCE是以CD為腰的等腰三角形時，求CD的長.

3

9.(2018?上海金山?統考二模)如圖，已知在梯形ABC。中，AD//BC,AB=DC=AD=5,sinB=~,尸是線

段BC上一點，以尸為圓心，以為半徑的。尸與射線的另一個交點為。，射線P。與射線C。相交于點

E,設x.

備用圖

(1)求證：AABPSAECP；

(2)如果點。在線段上(與點A、。不重合)，設△AP。的面積為》求y關于x的函數關系式，并寫

出定義域；

（3）如果AQE。與AQAP相似，求8P的長.

10.（2017?上海徐匯?統考二模）如圖，已知A48C中，AB=AC=5,BC=6,點。是邊8c上的動點，以點

。為圓心，。2為半徑作圓。，交AB邊于點。，過點D作交邊AC于點P,交圓。與點E.設

（1）當點尸與點C重合時，求尸。的長；

（2）設AP-EP=y,求y關于x的解析式及定義域；

（3）聯結。尸，當。尸，0。時，試判斷以點尸為圓心，PC為半徑的圓尸與圓。的位置關系.

11.（2017?上海長寧?統考二模）如圖，A4BC的邊A8是。。的直徑，點C在。。上，已知AC=6c機，BC

=8c機，點P、。分別在邊AB、8C上，且點尸不與點A、8重合，BQ=k-AP（左＞0）,聯接尸C、PQ.

（1）求。。的半徑長；

（2）當左=2時，設ACP。的面積為》求y關于尤的函數關系式，并寫出定義域；

（3）如果ACP。與AABC相似，且NAC8=/CP。，求上的值.

3

12.（2021?上海?九年級專題練習）AABC中，ZACB=90°,tanB=-,A8=5,點。為邊A8上一動點，以

4

。為圓心，。8為半徑的圓交射線8C于點E,以A為圓心，。8為半徑的圓交射線AC于點G.

（1）如圖1,當點E、G分別在邊8C、AC上，且CE=CG時，請判斷圓A與圓。的位置關系，并證明你的

結論；

（2）當圓。與圓A存在公共弦時（如圖2）,設。B=x,MN=y,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域;

（3）設圓A與邊AB的交點為尸，聯結OE、EF,當△OEF為以OE為腰的等腰三角形時，求圓。的半徑長.

13.（2020.上海.九年級統考專題練習）已知AB是圓。的一條弦，P是圓O上一點，過點。作MNLAP,

垂足為點M,并交射線AB于點N,圓O的半徑為5,AB=8.

（1）當P是優弧AB的中點時（如圖），求弦AP的長；

（2）當點N與點B重合時，試判斷：以圓O為圓心，|■為半徑的圓與直線AP的位置關系，并說明理由;

（3）當/BNO=/BON,且圓N與圓O相切時，求圓N半徑的長.

14.（2020.上海.九年級統考專題練習）如圖，AD//BC,NABC=90。，A￡>=3,AB=4,點尸為射線上

一動點，以P為圓心，8P長為半徑作OP,交射線3C于點Q,聯結3D、相交于點G,。尸與線段8。、

AQ分別相交于點E、F.

（1）如果BE=F。，求。尸的半徑；

（2）設FQ^y,求y關于x的函數關系式，并寫出尤的取值范圍；

（3）聯結PE、PF,如果四邊形EGFP是梯形，求2E的長.

15.（2022?上海?九年級專題練習）如圖，在RdABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點尸在邊AC上（點

P與點A不重合），以點尸為圓心，山為半徑作。P交邊A8于另一點D,EDVDP,交邊BC于點E.

（1）求證：BE=DE；

（2）若BE=x,AD=y,求y關于尤的函數關系式并寫出定義域；

(3)延長交CA的延長線于點「聯結2P,若ABD尸與△D4F相似，求線段AD的長.

備用圖

備用圖

16.(202L上海.九年級專題練習)如圖已知：AB是圓0的直徑，AB=10,點C為圓0上異于點A、B的

一點，點M為弦BC的中點.

(1)如果AM交OC于點E,求OE：CE的值;

(2)如果AMLOC于點E,求/ABC的正弦值;

(3)如果AB：BC=5：4,D為BC上一動點，過D作DFLOC,交OC于點H,與射線8。交于圓內點尸,

請完成下列探究.

探究一：設BD=x,FO=y,求y關于x的函數解析式及其定義域.

與點AC重合)，以上4長為半徑的0尸與邊的另一個交點為O,過點。作DELCB于點E.

B

CA

P各用圖

⑴當0P與邊BC相切時，求。尸的半徑;

（2）聯結成交。E于點/，設AP的長為X,2尸的長為y,求y關于X的函數解析式，并直接寫出X的取值

范圍；

（3）在（2）的條件下，當以尸E長為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長.

18.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，已知AABC,AB=拒，BC=3,NB=45。，點D在邊BC上，聯

結AD,以點A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E,點F在圓A上，且AFLAD.

（1）設BD為x,點D、F之間的距離為y,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（2）如果E是￡＞尸的中點，求的值；

（3）聯結CF,如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長.

19.（2021?上海?九年級專題練習）如圖1,已知AB是。。的直徑，AC是。。的弦，過。點作交。。

于點。，交AC于點E,交BC的延長線于點凡點G是跖的中點，連接CG

（1）判斷CG與。。的位置關系，并說明理由；

（2）求證：2OB2=BC?BF；

（3）如圖2,當/DCE=2/F,CE=3,OG=2.5時，求。E的長.

20.（2021?上海?九年級專題練習）已知。O的直徑AB=2,弦AC與弦BD交于點E.且OD_LAC,垂足為

點F.

D

DC

E.

E

AoBAoBAoB

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,如果AC=BD,求弦AC的長；

(2)如圖2,如果E為弦BD的中點，求NABD的余切值；

(3)聯結BC、CD、DA,如果BC是。。的內接正n邊形的一邊，CD是。。的內接正(n+4)邊形的一邊,

求AACD的面積.

21.(2021.上海.九年級專題練習)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,DC,=5,以CD為半徑的。C

與以AB為半徑的。B相交于點E、F,且點E在BD上，聯結EF交BC于點G.

(1)設BC與。C相交于點M,當BM=AD時，求。B的半徑；

(2)設BC=x,EF=y,求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域；

(3)當BC=10時，點P為平面內一點，若。P與。C相交于點D、E,且以A、E、P、D為頂點的四邊形是

梯形，請直接寫出。P的面積.(結果保留H)

專題18圓壓軸題

I

以圓為背景的綜合問題是中考壓軸題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概

率會和平行線段分線段成比例（2020年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結

合，主要考查學生挖掘信息的能力，難題分解能力，數學綜合能力

在知里導圖

中重點考向

考點一

定圓結合直角三角形，考察函數關系，圓心距，存在性問題；

考點二

定圓結合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數關系；

考點三

定圓結合直角三角形；考察函數關系，三角形面積比值問題；

考點四

定圓結合平行線，弧中點，考察函數關系，與圓相切問題；

考點五

動圓結合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數關系；

考點六

動圓結合內切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關系；

考點七

動圓結合定圓，考察函數關系，與圓有關的位置關系；

考點八

動圓結合定圓，函數關系，四邊形，正多邊形結合的問題。

典例引微

__________?___________________1

一、解答題

1.（2022.上海嘉定?統考二模）在半圓。中，42為直徑,AC,為兩條弦，且NCAO+ND48

=90°.

⑴如圖1,求證：AO等于CO；

（2）如圖2,點歹在直徑42上，DF交AC于點E,若AE=DE,求證：AC^IDF-,

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接8C,若AF=2,BC=6,求弦4。的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)275

【分析】(1)連接2。、CD,先證NOBAn/ZMC,MffiZDCA=ZDAC,可得出AO=CD,即

可推出結論；

(2)連接跳入CD,過點。作。G_LAC于點G,則/OGA=90。，可證得DG垂直平分AC,得

出AC=2AG,再證推出AG=。凡即可得出AC=2OF；

(3)取BC中點”，連接OH、OD,貝UBH=CH=；8C=3,OH±BC,證RtAOEDqRfABHO,

推出。E=BH=3,OD=OA=5,則在MAOED中，求出DE的長，在MAA即中，可求出A。

的長.

(1)

證明：如圖：連接B。、CD

AB為直徑

ZADB=9Q°

：.ZDBA+ZDAB=9Q°

:ZDAC+ZDAB^9Q°

■.ZDAC=ZDBA

又ZDCA=ZDBA

：.ZDAC=ZDCA

：.AD=CD

AD=CD

(2)

證明：如圖：連接8。、CD,過點。作DGJ_AC于點G

ZDGA=90°

由⑴知AO=C￡>

.?.DG垂直平分AC

:.AC=2AG

AE=DE

:.ZADF=ZDAC

???ZDAC+ZDAB=90°

，ZADF+ZDAB=90°

:.ZDFA=ZAGD-90°

又?.?Ar>=ZM

.\AADF^ADAG(AAS)

/.DF=AG

AC=2DF

(3)

解：取5。的中點H,連接0"、0D,則5H=CH=gBC=3,OHIBC

,\ZOHB=90°=ZDFO

?.-OA=OB

.?.O”是△ABC中位線

AC=2OH

由(2)知AC=2DF

:.OH=DF

OD=OB

.../?%△OFD經RtXBHO(HL)

/.OF=BH=3

OD=OA=AF+OF=2+3=5

，在mZkO尸。中，DF2=OD2-OF2=52-32=16

在Rt/^AFD中，AD=^]AF2+DF2=722+16=275

【點睛】本題考查了圓的有關概念及性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等，解題關

鍵是第(2)問能夠證明/AFD=90。，第(3)問能夠通過作適當的輔助線構造全等三角形等.

2.(2021春?上海徐匯?九年級統考階段練習)己知：。。的半徑為3,OC_L弦A3,垂足為

。，點E在(3。上，ZECO=ZBOC,射線CE與射線08相交于點尸.設AB=尤,，CE=y,

(1)求y與％之間的函數解析式，并寫出函數定義域；

⑵當AOE歹為直角三角形時，求A3的長；

(3)如果毋'=1,求的長.

【答案】⑴y=j36-d,函數定義域為(0<x<6)

⑵A3=3應或3

(3)1或：

【分析】(1)過點。作OXLCE,垂足為先利用垂徑定理得到==

EH^-EC=-y,然后利用勾股定理求得。￡)=巫二巨，最后通過證△OABgZkEH。即可

222

得到EH=OD,求得結論；

(2)當△。￡尸為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若/OFE=90。；②若NEO尸=90°分

別求解即可；

⑶分兩種情況①當CF=。尸=。8-8廣=2時，可得：4CFOSMOE；②當CF=OF=

OB+BF=AHt,可得：△CFOs△COE,利用相似三角形的性質即可求解.

(1)

過點。作OHLCE,垂足為反，

:在圓。中，。（?1.弦48,OH■_L弦CE,AB=x,CE=y,

BD=-AB=-x,EH=-EC^-y,

2222

:在RtAODB中，OD-+BD1=BO2,OB=3,

?/OC=OE,

：.ZECO=ZCEO,

,：ZECO^ZBOC,

：.ZCEO=ZBOC,

又,?ZODB=ZOHE=90°,OE=OB

:.△ODB妾XEHO

：.EH=OD,

3=136_尤2函數定義域為(0<x<6)

(2)

當△。所為直角三角形時，存在以下兩種情況:

①若NOFE=90°,則NCOF=NOCF=45°

ZODB=90°,

：.ZABO=45°

5L'：OA=OB

：.ZOAB=ZABO=45°,

/AOB=90°

.?.△(MB是等腰直角三角形

AB=y/2-OB=3y/2

②若/EOB=90。，

則ZOEF=ZCOF=ZOCF=30°

,?/008=90。，

ZABO=60°

5L'：OA=OB

.?.△042是等邊三角形

：.AB=OB=3

(3)

①當CF=OF=OB-BF=2時,

OC29

可得：?CFOsXCOE,CE=^-=',

CF2

95

???EF=CE-CF=——2=-.

22

②當CF=0F=0B+BF=4時，

OC29

可得：bCFOsRCOE,CE=^—=~,

CF4

97

:?EF=CF—CE=4——=-.

44

【點睛】本題考查了有關圓的知識的綜合題，分類討論是解決問題的關鍵.

3.(2023春?上海?九年級專題練習)如圖，等邊△ABC內接于。O,尸是AB上任一點(點P

與點A、8重合)，連接AP、BP,過點C作。交出的延長線于點

(1)求NAPC和N8PC的度數；

(2)求證：

(3)若以=1,PB=2,求四邊形PBCM的面積；

(4)在(3)的條件下，求42的長度.

【答案】(l)NAPC=60。，ZBPC=60°

(2)見解析

⑶,

⑷201萬

9

【分析】(1)根據等邊三角形的性質得到/ABC=/BAC=NACB=60。，根據圓周角定理即可

得至IjZAPC=ZABC=6Q°,NBPC=ZBAC=60°；

(2)根據平行線的性質得到NBPM+NM=180。，ZPCM=ZBPC,求得/M=NBPC=60。，

根據圓周角定理得到/9^+/p。8=180。，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

(3)作PHLCM于“，根據全等三角形的性質得到CM=CP,AM=BP,根據直角三角形的

性質得到PH,根據三角形的面積公式即可得到結論；

(4)過點8作8QLAP,交AP的延長線于點。，過點A作AN_LBC于點M連接。8,求

得NP8Q=30。，得至UP。根據勾股定理得到5。和A7V,根據弧長公式即可得到結論.

【解析】(1)解：???△ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

?：BC=BC，AC=AC^

：.ZAPC=ZABC=60°fZBPC=ZBAC=6Q°；

(2)證明：?:CM〃BP,

：.ZBPM+ZM=1^0,

NPCM=/BPC,

9

：ZBPC=ZBAC=60°9

：.ZPCM=ZBPC=60°,

：.ZM=1SO°-ZBPM=18O°-(NAPC+NBPC)=180°-120°=60°,

???ZM=ZBPC=60°,

又TA、P、B、C四點共圓，

.,.ZB4C+ZPCB=180°,

ZMAC+ZB4C=180°,

NMAC=/PBC,

9

：AC=BC9

在△人。^和4BCP中,

/M=NBPC

</MAC=NPBC,

AC=BC

：.AACM^ABCP(AAS)；

(3)解：,:CM〃BP,

???四邊形尸5cM為梯形，

作PH_LCM于H,

AACM^ABCP,

：.CM=CP,AM=BP,

又NM=60。，

???△PCM為等邊三角形，

???CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,

在放中，ZMPH=30°,

2

:?S四邊形PBCM=\~(PB+CM)xPH=-(2+3)x地=1^1；

2224

（4）解：過點B作BQLAP,交AP的延長線于點0,過點A作ANL8C于點N,連接。2,

ZAPC=ZBPC=60°,

：.ZBPQ=60°,

：.ZPBQ=30°,

：.PQ=^PB=1,

在ROB尸。中，BQ=1*_f=6

在RtAAQB中，AB=JAQ'B。=+1）。+（南=夜，

:△ABC為等邊三角形，

；.AN經過圓心。，

：.BN=-AB=^,

22

AN=《AB?-BN?=—,

2

在Rt&BON中，設BO=x,則ON=叵-x,

2

.?.（爭2+（?_療"

解得：x=叵，

3

'：ZBOA=ZBCA=120°,

on國

/?AB的長度為I2。萬義3=2回兀.

180—-—9~

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，等

邊三角形的判定和性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

4.（2021秋?上海金山?九年級期末）定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的

一半.如圖1,ZA=yZO.

已知：如圖2,AC是。。的一條弦，點。在。。上(與A、C不重合)，聯結。E交射線A。

圖2備用圖

(1)求弦AC的長.

(2)當點E在線段。4上時，若ADOE與AAEC相似，求NZ5C4的正切值.

(3)當OE=1時，求點A與點。之間的距離(直接寫出答案).

【答案】(1)8

*

⑶2^/5或—J145.

【分析】(1)過點。作OHLAC于點由垂徑定理可得A8=CH=gAC,由銳角三角函

數和勾股定理可求解；

(2)分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求AG,EG,CG的長，即可求解；

(3)分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解.

(1)

如圖2,過點。作。HLAC于點

在R/AOAH中，tan/OAC=：^=：,

.,.設O/f=3x,AH—^x,

"JOH^AH^OA2,

(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±l,(x=-1舍去)，

:?0H=3,AH=4,

：.AC=2AH=8；

(2)

如圖2,過點。作。H_LAC于H,過￡作EG_LAC于G,

圖2

,/ZDEO=ZAEC,

：.當XDOE與△AEC相似時可得：ZDOE=ZA或者ZDOE=ZACD；

??,AD=AD

/.ZACD=-ZDOE,

2

：.ZACD^ZDOE

：.當XDOE與AAEC相似時,不存在ZDOE=NACO情況,

???當△DOE與△AE'C相似時，ZZ)OE=ZA,

：.OD//AC,

.OP_OE

*AC-AE

???00=04=5,AC=8,

.55-AE

??一=,

8AE

：.AE=^,

13

ZAGE=NA"O=90。,

J.GE//OH,

圖2

???AAEG^AAOH,

.AEEGAG

**AO-OH-AH

40EGAG

u=亍=丁

5

24

EG=——

13

323272

AG=—CG=8——=

131313

EG1

在RtAC￡G中，tanX.DCA-——；

CG3

(3)

當點E在線段。4上時，如圖3,過點E作口3,4。于6,過點。作OHLAC于H,延長

A0交。。于連接A。，DM,

由（1）可得0H=3,AH=4,AC=8,

OE=\,

：.AE=4,ME=6,

,:EG〃OH,

：.AAEG^AAOH,

.AEAGEG

*AH-OH-5

12

?'?AG——,EG

55

24

：.GC=

22^576144_1275

:.EC=7GC+EG~25+H~5

TAM是直徑,

JZADM=90°=/EGC,

又,.,NM=NC,

AAEGC^AADM,

.ECEG

??而一耘’

12612

5_M，

10~AD

:.AD=2方;

當點E在線段A。的延長線上時，如圖4,延長A。交。。于連接A。，DM,過點E作

EG_LAC于G,

_____....

圖4

同理可求EG=g,AG=g,AE=6,GC=g,

256_2V145

/.EC=7GC2+EG2

255

YAM是直徑，

???ZADM=90°=NEGC,

又,.?NM=NC,

AAEGC^AADM,

.ECEG

??而一罰’

2V14518

?二5二二，

10—AD

._18V145

??4n-----------

29

綜上所述：A。的長是2行或《乒

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性

質與判定，圓周角定理，正切的作出輔助線是解題的關鍵.

5.（2021?上海?統考二模）如圖，已知扇形498的半徑。4=4,NAC?=90。，點C、。分

別在半徑。4、OB上（點C不與點A重合），聯結CO.點P是弧A3上一點，PC=PD.

DB

3

(1)當cotNODC=：,以CO為半徑的圓。與圓。相切時，求CO的長；

(2)當點。與點B重合，點尸為弧的中點時，求NOCD的度數；

(3)如果OC=2,且四邊形ODPC是梯形，求白也的值.

,△OCD

【答案】(1)I；(2)67.5°；(3)#一1或3+指

【分析】(1)由題意NCO￡>=90。，cot/OZ)C=g^=W，可以假設0D=3晨0C—4k,則

0C4

CD=5k,證明AC=OC=4%=2,推出左=3,繼而可得結論.

(2)如圖2中，連接OP,過點P作尸ELO4于E,PFLOB于F.利用全等三角形的性質

證明APCB是等腰直角三角形，可得結論.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當0C〃尸。時，如圖3-2中，當PC〃OD時，分別求解即

可.

【解析】解：(1)如圖1中，

設。。=3匕OC=4k,KOCD=5k,

:以CD為半徑的圓。與圓。相切，

:.CD=DB=5k,

：.OB=OD+DB^3k+5k^4,

(2)如圖2中，連接。尸，過點尸作PE_LO4于PF±OB^F.

圖2

,?*PA=PB，

：.ZAOP=ZPOB,

9：PELOA,PFLOB,

:.PE=PF,

VZPEC=ZPFB=9009PD=PC,

:.RtAPEC義R於PFB(HL),

:?/EPC=NFPB,

/PEO=/EOF=/0FP=9。。,

：.ZEPF=90°,

：.ZEPF=ZCPB=90°f

；./PCB=/PBC=45。,

?：OP=OB,N尸03=45。，

???N08尸=NO尸8=67.5。，

???ZCBO=67.5°-45O=22.5°,

ZOCD=90°-22.5°=67.5°；

(3)如圖3—1中，當。?！ㄊ?。時，過點C作CEJ_PD,連接。尸,

圖3-1

OC//PD,

：.ZPDO=ZAOD=90°,

VCEXPD,

AZC￡D=90°,

四邊形OCE。是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

設PC=PO=無，EC=OD=y,

則有N+y2=i6,x2—y2+(x-2)2,可得x=2?-2,(不合題意的已經舍棄),

:.PD=2瓜-2,

ASAPCDSAOCD=PDOC=^^=M="-I,

>△08℃

如圖3-2中，當EC"。。時，過點。作DELCP,連接OP,

圖3-2

'：PC//OD,

：.ZCOD=NOCE=/CED=90°,

，四邊形OCE。是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

尸=4,0c=2,

PC=y/op2-oc2=V42-22=26'

：.PD=PC=25

PE=JPD2_DE"?2琦-22=2^/2,

:.EC=OD=26-2枝,

qPC2#)

u△尸CD_/—=3+>/6,

S"一而26-2夜

綜上所述，沁4勺值為：指-1或3+".

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關系，解直角三角形，等腰三角形的性質，

梯形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中

考壓軸題.

6.(2021?上海青浦?統考二模)已知：在半徑為2的扇形AO3中，^AOB=m°(0<m<180),

點C是AB上的一個動點，直線AC與直線08相交于點D

（1）如圖1,當0<〃1<90心58是等腰三角形時，求］￡>的大?。ㄓ煤拇鷶凳奖硎荆?

S

（2）如圖2,當機=90,點C是AB的中點時，連接42，求不迺的值；

?AABC

（3）將AC沿AC所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與08所在的直線相切于點E,且OE=1

時，求線段AD的長.

【分析】（1）C在A2弧線上，所以NOBC為銳角，/CBD為鈍角，則ABCO是等腰三角形,

僅有3c=3。這一種情況，扇形493中，OA=OC=OB,BC=BD,由邊相等得對應角相

ryiO

等，三角形內角和為180。，可得"=w；

（2）過。作DMLAB的延長線于M,連接OC,C為中點，可知

AC=BC,NAOC=NCOB=45。,AO=CO=5。,邊相等得對應角相等，即可求得

NACB=135°,NBCD=45°,ZCBO為ABCD的外角，可得NABD=ND,ZCAB=ZCBA,

由角相等可推出AB=m,在RSAOB中，由勾股定理知3M=2,在等腰直角AAC?中

AN=gAB=母,根據等高三角形的面積比等于底的比沁=槳=罌可得結果；

（3）E為弧AEC與08切點，知A、E、C在半徑為2的另一個圓上，在RtvOEO中，由勾

股定理知。0'=石，得四邊形AOCO是菱形，由菱形對角線性質，可以推出AOOESADQP,

得OP=#,在Rt^AP。中，由勾股定理得4尸=且，即可求出AO的長.

2

【解析】解：（1）C在A3弧線上，

O3C為銳角，

CB。為鈍角，

則ABCD是等腰三角形時，僅有BC=Q這一種情況，

:.ND=NBCD,

連接OC則OA=OC=QB,

：./OAC=/OCA,NOCD=NOBC,

NOBC=/D+/BCD=2/D,

在AOCD中，NCOD+2/D+2/D=180°,

/AOC=m°-NCOD=m0+4^D-180°,

ZAOC=1xQ8O°-/AOC)

m°

=180°--------2ND,

2

在△A。。中，rrf+ZOAC+ZD=180°,

加。

180°+一一/。=180。，

2

A

(2)過。作。心，至延長線于〃，連接OC,

?:C為AB中點，

JAC=BC,

：.ZBAC=4BC且AO=CO=BO,

：.ZOAC=ZOCA=NOCB=OBC,

???^ACO+^BCO=gx(360°-90°)=135°,

：.^BCD=45°,

：.45°+^ODA=ZABC+ZABD=45。+/ABC,

???ZABC=ZADO=ZBAC,

:?BD=AB=2框(勾股定理)，

BM=DM=2

'：^MBD=^OBA=45°f

：.BM=DM,

：.AM=AB+BM=242+2,

?**AN=gAB=y/2,

???5_A。=AM二2血+2=？1萬

SAABCACANV2

A

C

OB\/D

M