第05講三角函數的圖象與性質

目錄

第一部分：基礎知識..................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點一遍過............................................5

高頻考點一：三角函數的定義域.....................................5

高頻考點二：三角函數的值域.......................................6

高頻考點三：三角函數的周期性....................................7

高頻考點四：三角函數的奇偶性....................................8

高頻考點五：三角函數的對稱性....................................9

高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間）............11

高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小）.......12

高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數）.....13

高頻考點九：三角函數中。的求解（。的取值范圍與單調性相結合）…..…54

高頻考點十：三角函數中。的求解（。的取值范圍與對稱性相結合）..……14

高頻考點十一:三角函數中。的求解（。的取值范圍與三角函數的最值相結合）

................................................................................................................................15

第四部分：新定義題.................................................16

第一部分：基礎知識

1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中ZeZ）

函數y=sinxy=cosxy-tanx

4K

八

圖象-VKi5r

2c12

jl

定義域RR{x\xk7i+—,kEZ}

值域[-1,1]RR

周期性2萬27n

奇偶性奇函數偶函數奇函數

jr仔,0)

對稱中心（左肛0）(^+-,0)

.71

對稱軸方程X-K7l-\——x-kn無

2

[2k7r--.2k7i+—].keQai-Ti,2k7i],k’也兀一%,k兀+§,keZ

遞增區間22

H—,2k兀-\----],ks[2左2k兀+7i\kr7

遞減區間22無

2、三角函數的周期性

函數y=Asin(a)x+(p)y=Acos(a)x+(p)y=Atan(a)x+(p)

周期TT_2萬T_2兀T_2〃

r=Mr=Mr=M

函數y二|Asin(?x+0)|y二|Acos(s+°)|y=|Atan(s+0)|

周期T

T=—T=—T=—

函數y二|Asin(a)x+(p)+b\y二|Acos(^x+0)+〃|y二|Atan(a)x+(p)+b\

(Z?wO)(Z?wO)(bwO)

周期TT_2兀T_2兀

丁=說，=而T=—

其它特殊函數，可通過畫圖直觀判斷周期

27r7t

（1）函數丁=Asin（s+。）的最小正周期T=；-.應特別注意函數y=|Asin（〃四+。）|的周期為T=^-,

27r

函數丁=1Asin（〃沈+。）+川（bwO）的最小正周期7=一;.

㈤

e27r

（2）函數y=Acos（s+。）的最小正周期T=；-.應特別注意函數y=|Acos（〃式+。）|的周期為

712萬

T=-一-.函數y=|Acos（@x+0）+勿（bwO）的最小正周期均為T=;一:.

⑷\a）\

71

（3）函數y=Atan（s+。）的最小正周期7=；—-.應特別注意函數y=|Atan（?x+。）||的周期為

717t

T=-一-,函數y=|Atan（s+0）+〃|（bwO）的最小正周期均為7一;.

3、三角函數的奇偶性

三角函數。取何值為奇函數。取何值為偶函數

y=Asin(s+0)。=左不（氏GZ）JI

(p=k兀+—(左wZ)

2

y=Acos(s+0)71(p=k7ikkeZ)

(p=kn+—(ZeZ)

y=Atan(s+o)夕=左"（氏eZ）

（1）函數y=Asin（@x+。）是奇函數=左》（左EZ）,是偶函數=夕=左乃+耳（左EZ）；

JI

（2）函數y=Acos（（ax+e）是奇函數=夕=左乃+5（左eZ）,是偶函數Q0=左不（左eZ）；

（3）函數，=Atan（（ax+9）是奇函數。0=左乃（ZeZ）.

4,三角函數的對稱性

7T

（1）函數y=Asin（ox+e）的圖象的對稱軸由cox+（p=k7i+—（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

a>x+(p=kn(左eZ)解得;

（2）函數y=Acos（tox+。）的圖象的對稱軸由。x+。=左左（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

JI

a>x+(p=k7i+—[k^Z)解得;

k兀

（3）函數y=Atan（ox+0）的圖象的對稱中心由。*+夕=萬-左eZ）解得.

第二部分：高考真題回顧

7T2兀

1.（2023?全國?乙卷理）已知函數/（X）=5皿3：+0），3>0）在區間單調遞增，直線％=2和x=——

63

1

為函數y=〃x）的圖像的兩條相鄰對稱軸，貝2r（）

A.qB-c-ID-T

2.（2023?天津?高考真題）已知函數^=〃力的圖象關于直線x=2對稱，且“X）的一個周期為4,則

的解析式可以是（）

3.（2023?全國?新課標I卷）已知函數〃x）=cosox-1（0>0）在區間［0,2兀］有且僅有3個零點，則。的取

值范圍是.

4.（2023,全國,新課標n卷）已知函數〃x）=sin（aM：+0）,如圖A,8是直線y=g與曲線y=〃x）的兩個

5.（2023?北京?高考真題）設函數/（%）=sinGXCOS(p+cosoxsin>0,|夕|<^

（1）若/（0）=-等，求。的值.

⑵己知/（X）在區間-孑與上單調遞增，/[g）=l，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

一個作為己知，使函數/（X）存在，求6y，。的值.

條件①：

條件②：；

條件③：“X）在區間-與-三上單調遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：三角函數的定義域

典型例題

例題1.（2024高三上?河南?專題練習）函數/（%）=M（4；x）的定義域為（）

sinx?，x-l

A.B.(l,7t)u(7t,4)C.D.[l,7l）u（7l,4]

例題2.（23-24高一上,江蘇南通?期中）在[0,2無]內函數=五嬴+Insinx-的定義域是（）

兀713兀5兀兀3兀）713兀

A.B.D.

453T5Tc.

例題3.（23-24高一上?新疆烏魯木齊?期末）求函數/（x）=tangC）的定義域__________.

26

例題4.（23-24高三上?河南新鄉?階段練習）函數/（x）=Ig（sinx）+J2cosx—1+tan2x的定義域為.（用

區間表示結果）

練透核心考點

1.（23-24高一下?湖南長沙?開學考試）已知的定義域是,則〃sin2x）的定義域為（）

71,7T.

A.4+2日「+2E(keZ)B.---FrC7l,FrC7t優wZ)

_636----------3

2兀八，兀小

C.---+2^71,—+25(攵GZ)D.—+k7l,—+k7t(kGZ)

3636v7

2.（2024高三?全國,專題練習）函數y=-2的定義域為.

sinx-cosx

3.（23-24高一下?陜西渭南?階段練習）函數/（x）=tan（2x+3的定義域為,

4.（23-24高一上?湖北孝感?期末）函數y=tan1x+￡1-2的定義域為.

高頻考點二：三角函數的值域

典型例題

例題1.(2024?湖北?二模)已知函數/(x)=2sinxcos(x+3+2|

xe0微，則函數/（X）的值域是（）

66V3

----,一B.-------,1

7T1

例題2.（23-24高一下?河北承德?階段練習）已知函數/（x）=sin（2'7的定義域為防，川（“<〃），值域

62

3

為[-7，。],則〃-加的取值范圍是（）

2

7l「71271..

A.r[§,兀]B.[―,^-]

兀2兀兀

c.[-,y]D.

例題3.（23-24高一下?北京?階段練習）設函數〃x）=2cos2x+sin2x-4cosx.則;函數””

的最小值為.

例題4.（23-24高一上?山西陽泉?期末）已知函數/（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

⑴求〃龍）的最小正周期及單調遞減區間；

TT37T

⑵求函數/（X）在:，手上的最大值和最小值，并求出取得最值時X的值.

練透核心考點

函數〃(

1.（23-24高一下?江西?階段練習）x)=3tan2x+'J,喝的值域為（）

字30

A.B.C.[V3,3A/3]D.

2.（23-24高一下?上海?階段練習）函數y=sin，-sinx+1的值域為.

71

3.（23-24高三下?浙江?開學考試）函數/(x)=2cosx--+sin2x(xeR)的值域為.

:金的值域為

4.（23-24高一下,福建莆田?期中）函數y=tan2x+4tanx-l,xG

高頻考點三：三角函數的周期性

典型例題

例題1.（23-24高一下?北京?期中）函數”x）=cos2；-sin冶的最小正周期是（）

-44

兀

A.4nB.2nC.nD.—

2

例題2.（23-24高一上?福建廈門?階段練習）以下函數中最小正周期為兀的個數是（）

%

y=|sinx\y=sin|x|y—cos|x|y=tan—

A.1B.2C.3D.4

例題3.（23-24高一下?湖北?開學考試）下列四個函數中以兀為最小正周期且為奇函數的是（）

A./（x）=sin|x|B./（x）=cos|x|

C./（x）=|cosx|D.〃x）=tan（-九）

例題4.（23-24高一下?北京順義,階段練習）已知函數〃x）=cos尤-（6sinAcosx）+g,那么函數〃x）最

小正周期為;對稱軸方程為.

練透核心考點

1.（23-24高一上?山東聊城?期末）下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（）

A.y=tanxB.y=|tanx|

(x兀、

C.y=sin|x|D-y=cosU+?J

71

2.（多選）（23-24高一上?湖北武漢?期末）已知下列函數中，最小正周期為三的是（）

2

A.y=|cos2x|B.j=sin^2x+

C.y=tan〔2x-：］D.y=cos|2x|

3.（23-24高一上?四川成都?期末）下列四個函數中，以兀為最小正周期，且為奇函數的是（）

A.y=tanxB.y=sinx

C.y=cos2xD.y=sin2x

4.（23-24高三下?北京順義?階段練習）已知關于x的函數〃元）=4112犬+4852%（〃￡1<）的圖象關于犬對

6

稱，則“X）的周期為,實數”.

高頻考點四：三角函數的奇偶性

典型例題

例題1.（23-24高三下?安徽?階段練習）已知函數/■（元）=35苗（2.》+。）（|0<5）的圖象向右平移9個單位長度

26

后，得到函數g（x）的圖象.若g（x）是偶函數，則。為（）

TT

例題2.(2024?陜西西安?一模)將函數/(x)=2sin(2x-§)的圖象向左平移機(m>0)個單位，所得圖象

關于原點對稱，則根的值可以是().

714兀5兀

A.—B.JiC.—D.—

333

例題3.(23-24高一上?河北邢臺?階段練習)已知函數f(x)=tan(x+0X9>。)的圖象關于原點中心對稱，則

夕的最小值為.

練透核心考點

1.(23-24高一下?安徽?階段練習)將函數小)=呵2了+熱的圖象向右平移“0〈。苦J個單位長度后，

所得函數為奇函數，則。的值為()

兀57r兀兀

A.—B.—C.—D.一

121263

2.(2024?全國?模擬預測)若函數/(x)=Atan(5+0)(4yw0)為奇函數，則。=()

A.kji(kGZ)B.2AJI(^GZ)C.GD.(2k+l^kji(kGZ)

3.(23-24高三下?北京?開學考試)將函數/(x)=cos[3x-：)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,,縱

坐標不變，再將所得圖象向左平移。個單位長度，得到函數g(元)的圖象，若g(r)-g(x)=0,則寫出a的

一個可能值為.

高頻考點五：三角函數的對稱性

典型例題

例題1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習)若函數"x)=sin[8-：](0>O)的最小正周期為6兀，則/⑺

的圖象的一條對稱軸方程為()

712兀c

A.x=—B.x=—C.x=D.X—2兀

23

例題2.(2024?陜西渭南?模擬預測)將函數，(x)=3cos[2x-；]的圖象向左平移個個單位長度后得到函數

g(x)的圖象，則g(x)的圖象的一條對稱軸為()

十八、3兀

A.直線》=囚B.直線工=火C.直線YD.直線x=—

634

例題3.（23-24高一上?山西長治?期末）函數/（%）=tan（3x-]J的圖象的一個對稱中心是（

A.B.C.小。D.

例題（多選）（高一下?河南南陽,階段練習）下列關于函數的說法不正確的是（

4.23-24yutanQx+^J)

A.定義域為卜卜2￡+也,左€2

B.最小正周期是兀

c.圖象關于成中心對稱D.在定義域上單調遞增

練透核心考點

1.（23-24高一下?云南?階段練習）下列函數中，以點此Z）為對稱中心的函數是（）

A.y=sin-xB.y=sin2x

2

C.y=cos2xD.y=tan2x

2.（2024?陜西榆林?二模）若函數〃x）=cos（兀*+0）（0＜。＜兀）的圖象關于直線x對稱，則。=（）

71712兀5兀

A.一B.一C.—D.—

3636

2x71

（2024?河南?模擬預測）已知函數/（x）=3cos滿足了（"%）+/（%）=（〃＞）則的最小值為

3.T-600,a

)

3兀兀

A.2兀B.—C.兀D.-

22

（2024?河北邯鄲?三模）寫出一個。（。＞0）,使得函數/（x）=sin[28+gj的圖象關于點（1,0）對稱，則。

4.

可以為

高頻考點六：三角函數的單調性(求三角函數的單調區間)

典型例題

例題1.(23-24高一下?重慶銅梁?階段練習)已知函數/(x)=JIsin]2x+E)-1.

⑴求函數了。)的最小值，并求出函數/(x)取得最小值的龍的集合.

(2)求函數〃元)在[0,可上的單調遞增區間.

例題2.(23-24高一上?廣東陽江?期末)已知函數〃力=25M[8+曰+1(。＞0)的最小正周期為兀.

(1)求的值；

⑵求函數〃力的單調遞增區間；

例題3.(22-23高一?全國?課時練習)已知函數y=〃x),其中〃x)=Atan(ox+0),(o＞0,|同＜。)，

y=的部分圖像如下圖.

(1)求A,。，夕的值；

(2)求y=/(x)的單調增區間,

練透核心考點

1.（21-22高一上嘿龍江佳木斯?期末）已知函數/（x）=2cos12x-11-l

IT

（1）求函數/（X）的最小正周期及/（X）在xe0,-上的最大值和最小值

⑵求函數/W的單調遞增區間和單調遞減區間

2.（23-24高一上?湖北荊州?期末）已知函數"x）=tan（2x+0）（O<e<5）的圖象關于點§,01寸稱.

（1）求Ax）的單調遞增區間；

⑵求不等式T4，（無）4省的解集.

71X

3.（2023高一上?全國?專題練習）已知函數〃x）=3tan6~4

（1）求它的最小正周期和單調遞減區間;

（2）試比較/㈤與/的大小.

高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小）

典型例題

6

例題1.（23-24高一上?湖南張家界?期末）若°=8$5。。<：05128。+￡：0$40。0?38。,b=^-（sin56。-cos56。）,

,

l-tan-40030；“=_1卜0$80。-2cos?50。+1）,則a,b,c,d的大小關系為（）

l+tan240°30'2V'

A.a>b>d>cB.b>a>d>c

C.d>a>b>cD.c>a>d>b

例題2.⑵-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習）設八彘M，底晨*'c=嘿;,則有

（）

A.b<a<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

例題3.（多選）（2024高三?全國?專題練習）（多選）下列各式正確的是（）

3?71

A.tan——<tan—

55

B.tan2>tan3

C.cos(-)>cos)

D.sin(———)<sin(———)

1810

練透核心考點

1.（多選）（2024?全國?模擬預測）下列不等式成立的是（）

A.tan2023>tan2024B.sinl<sin2

C.cos2023>cos2024D.cos1<cos2

2.（多選）（23-24高一上?全國?期末）下列不等式成立的是（）

A.tan2023°>tan2024°B.sinl<sin2

C.cos2024°>cos2023°D.cosl>sin3

3.（23-24高一下?北京順義?階段練習）tan的大小關系是.（填："〉，＜或="中的一

個）.

高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數）

典型例題

例題1.（23-24高一下?河北張家口?階段練習）已知函數〃x）=sinxcosx-若cos?》，若〃無）在區間

上是單調函數，則實數。的取值范圍是（）

兀兀

D.

例題2.（23-24高一下?江西宜春?階段練習）已知函數/（x）=3sin|j-2x）在（一九㈤上單調遞減，則小的

最大值為（）

例題3.（2024?安徽蕪湖?二模）已知偶函數〃x）=sin（w+翅。>0）的圖像關于點（加中心對稱，且在

IT

區間0,-上單調,則

練透核心考點

1.（多選）（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知/'（x）=sinw+限os&r3>0）在區間上單調遞增，則。

的取值可能在（）

2.（多選）（2024?遼寧?一模）已知函數/（x）=2cos［0X+.J+2（0>O）在區間JT1T

-2=上單調遞減，且在

o5_

區間［0,可上有且僅有一個零點，則①的值可以為（）

251113

A.-B.-C.—D.—

361212

-7TV

3.（23-24高三上■江西南昌?開學考試）已知函數/（x）=cos（ox-z）（0>O）在區間（丁,2兀］上有且只有2個零

66a）

點，則。的取值范圍是.

高頻考點十：三角函數中。的求解（。的取值范圍與對稱性相結合）

典型例題

例題1.（2024?吉林延邊?一模）將函數十）=548+臥0>0）的圖象向左平移方個單位長度后得到曲線

C,若c關于y軸對稱，則。的最小值是（）

例題2.（23-24高三上?河北承德?期中）將函數〃到=5可8+力（0>0）的圖像向左平移宙個單位長度后

得到曲線C,若C關于y軸對稱，則。的最小值是（）

例題3.（2023,湖南永州?一模）已知函數〃x）=3cos（ox+e）（o>0）,若一:卜=0,在區間

［卜二上沒有零點，則0的取值共有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

練透核心考點

兀+兀

1.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=cosCD%--（。>0）的圖像關于原點中心對稱，則。的最

小值為（）

13951

A.——B.一C.一D.-

4444

2.（23-24高一下,上海?階段練習）已知函數〃幻=2$皿8+9）（0>0）的初始相位為：，若/5）在區間［0,1］

6

上有且只有三條對稱軸，則①的取值范圍是（）

1771237117式23兀

A.B.

6666

7兀10717兀10K

C.亍D.

［］的圖象關于點（）對稱，則。

3.（2024?河北邯鄲?三模）寫出一個雙口>0）,使得函數/（%）=sin2s+m1,0

可以為一

高頻考點十一：三角函數中口的求解（包的取值范圍與三角函數的最值相結合）

典型例題

?7T571

例題1.（23-24高一下?重慶?階段練習）已知函數/（x）=sins（0>O）在區間［-二,上是增函數，且在區

36

間［0,7t］上恰好取得一次最大值1,則。的取值范圍是（）

小3、l3、13、l5、

Arr

-（叼弓曰C.D.

2兀

例題2.（23-24高二下?浙江杭州?期中）若函數y=2coss在區間0,—單調遞減，且最小值為負值，則①

的值可以是（）

11

A.1B.-C.2D.-

23

例題3.(23-24高三下?廣東?階段練習)已知函數/(x)=cos(@x-0)的圖象關于原點對稱，其中0>0,

jrjr

(-兀,0),且在區間一§%上有且只有一個最大值和一個最小值，則。的取值范圍為

練透核心考點

JTJT

1.(23-24高三上?廣東深圳?期末)若函數〃x)=cos(8+z)3>。)在(0,二)有最小值，沒有最大值，則。的

64

取值范圍是()

-

(n41(4161(10161(1022

I3」(33J(33J133J

TTTT

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(%)=2sins3>0)在區間-上的最小值為一2,則①的取值

范圍是.

3.(2024?全國?模擬預測)已知函數〃X)=2COS]S-3,其中。為常數，且oe(0,6),將函數/(x)的圖

象向左平移看個單位所得的圖象對應的函數g(x)在x=0取得極大值，則。的值為.

第四部分：新定義題

1.(23-24高一下?四川涼山?階段練習)設。為坐標原點，定義非零向量麗'=,/)的"相伴函數"為

/(x)=6zsinx+/?cosA:(XGR),OM=(a,8)稱為函數/(尤)=々5近％+/?85%的〃相伴向量〃.

(1)設函數g(x)=2sin]；-j-cos]+j,求函數g(x)的相伴向量.；

UUUL.—

(2)記OM=(0,2)的"相伴函數"為了(元)，若方程/(力=左+1-2向sinx|在區間彳?0,2可上有且僅有四個不同

的實數解，求實數左的取值范圍.

第05講三角函數的圖象與性質

目錄

第一部分：基礎知識..................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點一遍過............................................5

高頻考點一：三角函數的定義域.....................................5

高頻考點二：三角函數的值域.......................................6

高頻考點三：三角函數的周期性....................................7

高頻考點四：三角函數的奇偶性....................................8

高頻考點五：三角函數的對稱性....................................9

高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間）............11

高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小）.......12

高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數）.....13

高頻考點九：三角函數中。的求解（。的取值范圍與單調性相結合）…..…54

高頻考點十：三角函數中。的求解（。的取值范圍與對稱性相結合）..……14

高頻考點十一:三角函數中。的求解（。的取值范圍與三角函數的最值相結合）

................................................................................................................................15

第四部分：新定義題................................................16

第一部分：基礎知識

1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中ZeZ）

函數y=sinxy=cosxy-tanx

4K

八

圖象-VKi5r

2c12

jl

定義域RR{x\xk7i+—,kEZ}

值域[-1,1]RR

周期性2萬