第七節(jié)函數(shù)的圖象

考試要求：1.會(huì)畫一些函數(shù)的圖象，理解圖象的作用.

2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解集的問題.

-------------必備知識(shí)落實(shí)“四基”--------

自查自測(cè)

知識(shí)點(diǎn)一利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

畫函數(shù)力，x<°'的圖象.

解：畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示.

核心回扣

利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟

N確定函數(shù)的定義域）

--（化簡(jiǎn)函數(shù)解析式）

T討論函數(shù)的性質(zhì)注調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性））

［除考慮點(diǎn)的一般性外，尤其要注意特殊點(diǎn)，如:

看）—與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)、端點(diǎn)、最（極）值點(diǎn)、

［對(duì)稱點(diǎn)等，

（W）~~［畫出宜角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確描出表中的點(diǎn)）

~（用光滑的曲線連接所描點(diǎn)）

自查自測(cè)

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)圖象的變換

1.函數(shù)y=—e，的圖象（）

A.與>=6*的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.與〉=己的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.與〉=「工的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D.與〉=葭，的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

D解析：由點(diǎn)（x,y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（一無，一y）,可知D正確.

2.將函數(shù)/（x）的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=log2X的

圖象，則〃尤）=lot（x—1）—1.

核心回扣

（1）函數(shù)圖象平移變換八字方針

①“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

②“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

(2)對(duì)稱變換

①/1(X)與/(—x)的圖象關(guān)于二軸對(duì)稱.

②/1(X)與一/(X)的圖象關(guān)于工軸對(duì)稱.

(3)翻折變換

①|(zhì)/(x)|的圖象是將/(x)的圖象中x軸下方的圖象對(duì)稱翻折到x軸上方,x軸上方的圖象丕變.

②/1(|x|)的圖象是將/(x)的圖象中y軸右側(cè)的圖象不變，再對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸的左側(cè).

【常用結(jié)論】

(1)函數(shù)圖象自身的對(duì)稱軸

若函數(shù)y=/(元)的定義域?yàn)镽,且有y(a+x)=/(b—%),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線尤=手

對(duì)稱.

⑵函數(shù)圖象自身的對(duì)稱中心

函數(shù)＞=/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。，6)成中心對(duì)稱=/(a+x)=2b—f(a—x)=/(尤)=26—f(2a—x).

(3)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

①函數(shù)y=/(a+x)與x)的圖象關(guān)于直線％=一對(duì)稱(由a+x=8—x得對(duì)稱軸方程);

②函數(shù)y=/Q)與y=2b—/(2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(°,6)對(duì)稱.

應(yīng)用1設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=/(龍一3)與y=/(l—x)的圖象關(guān)于(D)

A.直線y=l對(duì)稱B.直線x=l對(duì)稱

C.直線y=2對(duì)稱D.直線x=2對(duì)稱

應(yīng)用2將函數(shù)/(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線＞=d關(guān)于y軸對(duì)稱，

則“X)的解析式為(D)

A./(x)=ex+1B./(x)=erI

C.y(x)=e-Jc+1D./(了)=晨k1

核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

作出下列函數(shù)的圖象：

⑴尸(/

(2)y=|log2(x+l)|;

(3)y=x2—2|A:|—1.

解：(1)先作出y=(J的圖象，保留圖象中x20的部分，再作出y=@'的圖象中x＞0部分

關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得的圖象，如圖1實(shí)線部分.

（2）將函數(shù)y=log2%的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再將了軸下方的部分沿x軸翻折上去，即

可得到函數(shù)y=|log2（x+l）l的圖象，如圖2.

￡_—1X>0

'/'函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8）上的圖象，再根據(jù)偶函

{x2+2x~1,x<0,

數(shù)的對(duì)稱性作出（一8,0）上的圖象，如圖3.

1：/1+^X

A反思感悟

圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、露函

數(shù)、形如y=%+：的函數(shù).

⑵若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱和伸縮得到，可利用圖象變

換作出，但要注意變換的順序.

考點(diǎn)二

【例1】⑴（2024.臨沂模擬）函數(shù)y=（2，-2r）sinx在區(qū)間［―e利上的圖象大致為（）

B解析：因?yàn)榱耍üな埔?F）sinx的定義域?yàn)镽,/（—x）=Qr—2*）sin（―x）=（2*—sin尤

_71

=/（x）,故/（x）為偶函數(shù)，排除AC.當(dāng)時(shí)，y=^~2~^>0,排除。.故選B.

（2）（2023?天津卷）函數(shù)/（尤）的圖象如下圖所示，則/（無）的解析式可能為（）

y

5(6T-e

A./(x)=

x2+2

5(ex+e-x)

C.”無)=

D解析：由題圖可知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)/(%)是偶函數(shù).對(duì)于A,/(%)

5卜一e)5fe-x_eA5(e-e')

='a2,定義域?yàn)镽,/(_兀)=’/+2=—f⑼所以函數(shù)/(%)='.+2,是奇函數(shù),所

以排除A；對(duì)于B,/(無)=誓，定義域?yàn)镽,/(—X)=5"n(：x)=—曰=一/(幻,所以函數(shù)

/(x)=答是奇函數(shù)，所以排除B;對(duì)于C,/(X)="：：」,定義域?yàn)镽,7(一無)="、，+：)=

5(e*+ex)

/(%),所以函數(shù)/(無)=:+，/是偶函數(shù),又X2+2>0,eA+e^>0,所以/(x)>0恒成立，不

符合題意，所以排除C;分析知，選項(xiàng)D符合題意.故選D.

??反思感悟

辨識(shí)函數(shù)圖象的技巧

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

⑸從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不符合要求的圖象.

多維訓(xùn)練

1.(2024.貴陽(yáng)模擬)函數(shù)/(x)=J的圖象大致為()

Y2—1

2所以/(x)=L/為偶函數(shù)，排除AB;又x趨

C解析：因?yàn)閥=x—1與y=e園都是偶函數(shù),eixi

向于+8時(shí)，/⑴趨向于0,尤趨向于一8時(shí)，/(X)趨向于0,排除D.故選C.

2.曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的審美感受，某數(shù)學(xué)興

趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示的雙，型曲線LOGO,以下4個(gè)函數(shù)中最能擬合該曲線的是()

A.y=x\n|x|B.y=x1\n\x\

C.y=(x+ln|x|D.y=(x—：)ln|x|

解析：為偶函數(shù)，排除設(shè)則；

Ay=fln|x|B;g(x)=(x+g)ln|x|,g()=—(e+!)<—1,

排除C;設(shè)/z(x)=(x—：)ln|x|,當(dāng)x[0,1)時(shí)，x—：VO且ln|x|V0,則/i(x)>0,排除D.故

選A.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

考向1研究函數(shù)的性質(zhì)

【例2】(多選題)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,=a'^-b,若?V)=2—g(x)

Ib,a>b.

=f,下列關(guān)于函數(shù)R(x)=min{?x),g(x)}的說法正確的是()

A.函數(shù)網(wǎng)x)是偶函數(shù)

B.方程F(x)=0有3個(gè)解

C.函數(shù)尸(功在區(qū)間［—1,1］上單調(diào)遞增

D.函數(shù)F(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間

ABD解析：根據(jù)函數(shù)/'(為二？一%2與g(無)=f,畫出函數(shù)網(wǎng)尤)=min{/(x),gO)}的圖象，如

圖所示.

由圖可知，函數(shù)尸(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故尸(x)為偶函數(shù)，所以A項(xiàng)正確；函數(shù)5(x)的圖

象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程P(x)=0有3個(gè)解，所以B項(xiàng)正確；函數(shù)網(wǎng)尤)在(一8,-

1］上單調(diào)遞增，在［―1,0］上單調(diào)遞減，在［0,1］上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減，所

以C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.

A反思感悟

利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)的分析技巧

(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)分析函數(shù)的最值、極值.

(2)從圖象的對(duì)稱性分析函數(shù)的奇偶性.

(3)從圖象的走向趨勢(shì)分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.

考向2解不等式一—

【例3】(2024?商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)”尤)在[0,+8)上的圖象如圖所示，則不

等式/(尤)>4(x)的解集為()

A.(-V2,0)U(V2,2)

B.(—8,-2)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(-V2,0)U(V2,2)

D.(-2,-V2)U(0,V2)U(2,+8)

C解析：根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出/(x)在(一8,0)上的圖象如圖所示.

,1

72

P2\x

由(x)>4(x),得(x2—2?(x)>0,等價(jià)于卜2>。，或jx2<0,結(jié)合圖象解得x<—2或

IZW>0l/(x)<o,

V5<x<2或一V5<x<0.故不等式的解集為(一8,—2)U(―V2,0)U(V2,2),

A反思感悟

利用函數(shù)的圖象解不等式的基本思路

當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位

置關(guān)系問題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

考向3求參數(shù)的取值范圍

Q[nTTY八Y1

【例4】(2024?濱州模擬)已知函數(shù)/(無尸’、、，若實(shí)數(shù)如乩。互不相等，且了⑷

x>l.

=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是.

(2,2023)解析：函數(shù)/(x)=''"，的圖象如圖所示.不妨設(shè)a<b<c,由正

log.》，x>]

弦曲線的對(duì)稱性，可知a+6=l,而lVc<2022,所以2<a+b+c<2023.

2022x

A反思感悟

求解函數(shù)圖象應(yīng)用問題的思維流程

畫圖］■｛作函數(shù)的圖象

H

分析:

4準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特征點(diǎn)，定性分析、定量分析j

《借助函數(shù)圖象,把原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系較明確的問題1

結(jié)論1《解決問題，并回歸題目的要求，得出正確結(jié)論

多維訓(xùn)練.

1.(多選題)某同學(xué)在研究函數(shù)〃x)=T3(xGR)時(shí)，給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

1十|%|

A./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對(duì)稱

B./(無)是單調(diào)函數(shù)

C.“X)的值域?yàn)?-1,1)

D.函數(shù)g(x)=/(尤)一x有且只有一個(gè)零點(diǎn)

BCD解析：作出y=/(x)的圖象，如圖所示.

1

對(duì)于A,/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,7(尤)是

R上的增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C,由圖象知，/(尤)的值域?yàn)?一1,1),故C正確；對(duì)于D,

令g(x)=/(x)—x=0,得即三號(hào)=°，解得x=0,從而函數(shù)g(x)=/(x)—x

有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

2.函數(shù)/⑴是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)無口0,2］時(shí)，/(尤)=%—1,則不等式獷(無)>0在(-1,

3)上的解集為()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(-1,0)U(l,3)D.(-1,0)U(0,1)

C解析：作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示.

由圖知當(dāng)尤6(—1,3)時(shí)，由對(duì)'(x)>0,得不等式的解集為(-1,0)U(l,3).

3.已知函數(shù)f(x)=13J龍,°'若/(x)-a=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

一1—4x,x<0.

(0,1］解析：作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示.方程/(%)—〃=0的根的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=/

(x)的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖知當(dāng)0<aWl時(shí)，函數(shù)y=/(尤)的圖象與直線y=a有

3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1].

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十二)

*考點(diǎn)鞏固

1.函數(shù)/(尤)=爐一xe”的圖象大致是()

B角星析：由/(2)=32—2e2=2(16—e2)>0,可聿E除A,D;由/(—2)=—32+2e-2=2(e-2—16)<0,

可排除C.故選B.

2.(2024?重慶聯(lián)考)函數(shù)/(x)=?言cos6+x)的部分圖象大致形狀是()

c解析：因?yàn)?(%)=1^Jcos6+%)=*廣由1的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

-XX

f(—x)=-_Q^--sm(―x)=1^-sinx=/(x),所以/(%)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除5,

。選項(xiàng).當(dāng)0vx〈兀時(shí)，--長(zhǎng)。,sinx>0,所以/(x)=、~jsinx<0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C

e^+le^+l

正確.故選c.

3.(2024?豐臺(tái)模擬)將函數(shù)y=log2(2x+2)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單

位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，貝Ug(無)=()

A.Iog2(2x+1)—1

B.log2（2x+l）+l

C.10g2X--1

D.Iog2尤

D解析：將函數(shù)y=log2（2尤+2）的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得g（x）=log2[2（x—1）+2]-1=log2（2x）-l=log2x的圖象.

4.（多選題）已知函數(shù)/（元）=一右，則函數(shù)具有下列性質(zhì)（）

A.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)

B.函數(shù)/（x）的值域?yàn)椋ㄒ?,-l）u（-l,+8）

C.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱

D.函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1,—1）對(duì)稱

BD解析：因?yàn)?（x）=_I=_]+」-,所以該函數(shù)圖象由y=L的圖象向左平移

x+1x+ix+lX

1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，如圖所示.

由圖可知，函數(shù)/（X）在（一8,—1）和（一I,+8）上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；函數(shù)/（無）

的值域?yàn)椋?00,—1）U（—1,+°o）,所以選項(xiàng)B正確；函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一1,—1）

對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選BD.

5.已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）,在（-8,0]上單調(diào)遞減，且/（3）=0,則不等式（尤+3）/（尤）＜0

的解集是（）

A.{x|無＜—3或x＞3}

B.{x|x＜—3或0＜x＜3}

C.{尤3＜尤＜3且xWO}

D.{x|無＜3且xW—3}

D解析：由題意，畫出了（x）的示意圖如圖所示.

（x+3N（x）＜0等價(jià)于卜+3＜。，或卜+3＞0’結(jié)合圖可得解集為{#＜3且無不一3}.故選D.

l/（x）＞0l/（x）＜0,

6.如圖所示可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象（）

A.y=2x—x2—l

C.y=(x2-2x)exD.丁=高

C解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽,排除D;對(duì)于A,當(dāng)尤=-1時(shí)，j=2-1-l-l=-|<0,排

除A;對(duì)于B,當(dāng)sinx=O時(shí)，y=0,所以y=今普有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，排除B.故選C.

7.函數(shù)的圖象與函數(shù)j=2|sin依|(一2WxW4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

()

A.8B.10

C.12D.14

C解析：函數(shù)^與y=2卜in的圖象有公共對(duì)稱軸x=l,分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖

象如圖所示.

由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)共有12個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

6X2=12.故選C.

8.在同一平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)y=2〃與y=|x——1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則〃的

值為.

一；解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=2〃與y=|x—Q|—1的大致圖象，如圖

所示.由題意，可知2〃=-1,則〃=一；.

(aa2b,

9.(2024?松原模擬)對(duì)q,記max{〃，8}=，9函數(shù)/(x)=max{|x+l|,\x-

a<b9

2|}(x￡R)的最小值是.

；解析：函數(shù)加)=max{|x+l|,僅一2|}(x￡R)的圖象如圖所示，由圖象可得，其最小值為|.

*高考培優(yōu)

10.(新定義)對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“◎"：設(shè)函數(shù)2)?(x

(b,a-b>\,

—d),x￡R.若函數(shù)y=/(x)—c的圖象與x軸恰有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()

A.(一2,—1]

B.(-oo,-2)U(-1,一：)

D.(-1,+8)

A解析：因?yàn)?(無)=(_?—2)?(x—x2),xGR,所以當(dāng)/—2—(尤一f)Wl,即一IWXW：時(shí),

/(x)=x2—2;當(dāng)％2—2—(x—/)>1,即尤<一1或時(shí)，f(x)—x—j^,作出了(尤)的圖象，如圖

所示.

函數(shù)y—f(x)~c的圖象與x軸恰有3個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與y—c恰有三個(gè)交點(diǎn),

由圖象可得一2<cW—1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(一2,—1].故選A.

2x2+4x+l,x<0,

11.已知函數(shù)/(X)=「、則丫=/(無)。611)的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0對(duì)稱的點(diǎn)

一,x?-?-0,

共有()

A.0對(duì)B.1對(duì)

C.2對(duì)D.3對(duì)

2x2+4x+l,x<0,

C解析：作出函數(shù)/(尤)=2的圖象，如圖所示,

x20,

則y=/(%)(x￡R)的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，即當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=2f+4x+l的圖象關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱產(chǎn)生的新曲線與)=:的圖象的交點(diǎn).

2x2+4x+Lx<0,

由圖象可知，函數(shù)，(x)=12的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)共有2對(duì).故

一，x20,

1cx

選c.

12.如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象是圓/+;/=2上的兩段弧，則不等式/(尤)才(一x)—2x的解

集是.

{x|-1<^<0>或解析：由圖象可知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故/(x)>/(一x)—

++y=2,解得f=—1,

2x0于(x)—f(—x)>—2x<^2f(x)>—2x,即f(x)>一%.聯(lián)立或

<y=