第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市浦東新區華東師大二附中高二（上）月考數學試卷（9月份）一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α=60°，則β為(

)A.60° B.120° C.30° D.60°或120°2.若直線l不垂直于平面α，那么平面α內(

)A.不存在與l垂直的直線 B.只存在一條與l垂直的直線

C.存在無數條直線與l垂直 D.以上都不對3.若直線l與平面α所成角為π3，直線a在平面α內，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是(

)A.[0,23π] B.[π3,4.正方體ABCD?A1B1A.24對 B.30對 C.32對 D.64對二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.直線與平面所成角的范圍是______．6.“平面α經過直線AB”用集合符號語言可表示為______．7.若兩直線a、b與面α所成的角相等，則a與b的位置關系是______．8.已知斜線段長是它在平面上的射影長的2倍，則斜線與平面所成的角為______．9.在空間四邊形P?ABC的邊與對角線六條邊所在的直線中，異面直線共有______對.10.如圖所示，正四面體ABCD的棱長為1，則點A到平面BCD的距離為______．11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，若E角的大小為______．12.如圖，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，∠PBA=θ1，∠PBC=θ2，∠ABC=θ3.則角θ13.已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=8，若EC⊥平面ABC，且EC=4，則E到斜邊AB的距離為______．14.如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是______.(寫出所有正確說法的序號)

①不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN/?/平面DEC；

②不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN⊥AE；

③不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN//AB；

④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD．15.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，對角線AC1與棱AB，AD，AA1所成的角分別為α1，α2，α3，與平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A16.空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面α：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到α的距離是前三個點到α的距離的2倍，這樣的平面α的個數是______個．三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．

(Ⅰ)求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(Ⅱ18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD⊥平面PDC，AD//BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．

(Ⅰ)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求證：PD⊥平面PBC；

(Ⅲ)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．

(1)求證：DC⊥平面PAC；

(2)若PC=AB=AC=1，求PB與平面PAC成角的正弦值；

(3)設點E為AB的中點，過點C，E的平面與棱PB交于點F，且PA//平面CEF，求PFPB的值．

參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.[0,π6.AB?平面α

7.平行或相交或異面

8.60°

9.3

10.611.arctan12.cosθ13.414.①②④

15.②③④

16.32

17.解：(Ⅰ)如圖(a)，取AA1的中點M，連接EM，BM，

因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，

所以EM/?/AD．

又在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥面ABB1A1，

從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，

∠EBM是直線BE與平面ABB1A1所成的角．

設正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=22+22+12=3，

于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=23，

即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為23．

(Ⅱ)在棱C1D1上存在點F，使B1F/?/平面A1BE，

事實上，如圖(b)所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，FG，

因A1D1/?/B1C1/?/BC，且A1D1=BC，

所以四邊形A18.(Ⅰ)解：由已知AD//BC，

故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，

因為AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，

所以AD⊥PD，

在Rt△PDA中，由已知，得AP=AD2+PD2=5，

故cos∠DAP=ADAP=55，

所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為55；

(Ⅱ)證明：因為AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，

所以AD⊥PD，

又因為BC/?/AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC均在平面PBC上，

所以PD⊥平面PBC；

(Ⅲ)解：過點D作AB的平行線交BC于點F，連接PF，如圖，

則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，

因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，

所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，

由于AD//BC，DF/?/AB，

所以四邊形ABFD為平行四邊形，

故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC?BF=2，

因為AD⊥平面PDC，DC在平面PDC上，

∴AD⊥DC，又AD//BC，

故BC⊥DC，19.(1)證明：因為PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PC⊥CD，

又DC⊥AC，AC∩PC=C，AC，PC?平面PAC，

所以DC⊥平面PAC．

(2)解：因為AB//DC，DC⊥平面P