學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、基本事件的概念和概率在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件.如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件的概率為。一次試驗中，只可能出現一種結果,即產生一個基本事件,任何兩個基本事件是互斥的（不可能同時發生的），如擲骰子試驗中，一次試驗只能出現一個點數，任何兩個點數不可能在一次試驗中同時發生.且任何隨機事件都可以表示成基本事件的和(至少有一個發生）,在擲骰子試驗中，隨機事件“出現偶數點"由基本事件出現“2點”“4點”“6點”共同組成.誤區警示在計算基本事件的概率時要明確基本事件與基本事件的總數之間的關系，如擲骰子的試驗中,P（“1點")=P（“2點”)=…=P（“6點”)=。而如果將事件看成是偶數點或奇數點,則事件的總數就不再是6而是2,P(偶數點）=P（奇數點)=.二、古典概型的特點我們將滿足下述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型。（1）所有的基本事件只有有限個；(2）每個基本事件的發生都是等可能的;一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性.誤區警示并不是所有的試驗都符合古典概型.例如，在適宜的條件下“種下一粒種子觀察它是否發芽”，這個試驗的基本事件只有兩個:發芽、不發芽。而“發芽”或“不發芽”這兩種結果出現的機會一般是不均等的。又如,從規格直徑為300mm±0.6mm的一批合格產品中任意抽一根，測量其直徑d，測量值可能是從299.4mm到300。6mm之間的任何一個值,所有可能的結果有無限多個，這兩個試驗都不屬于古典概型。只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型，生活中還有許多這樣的例子.三、古典概型的概率公式如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，某個事件A包含了其中為m個等可能基本事件，那么事件A發生的概率為，即在古典概型中,P(A）=。這個公式只適應于計算古典概率，而古典概型中的“等可能性”的判斷是很重要的，如先后拋擲兩枚硬幣,求“一枚出現正面，另一枚出現反面”的概率.因為先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可出現“正，正”“正,反"“反，正”“反，反”這4種等可能的結果,而“一枚出現正面，另一枚出現反面”這一事件包括“正，反”“反，正”兩種結果，因此“一枚出現正面，另一枚出現反面”的概率是P==，但答本題時，有時錯誤地認為先后拋擲2枚質地均勻的硬幣，只會出現“2個正面”、“2個反面”、“1正1反”這3種情況，從而得到P=的結論，實際上上述3種情況不是等可能的。深化升華在一次試驗中，等可能出現的n個結果組成一個集合I，這n個結果就是集合I的n個元素，各基本事件均對應于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結果的事件A對應于I的含有m個元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個數〔記作：card（A)〕與集合I元素個數〔記作：card(I）〕的比值即P（A）=。方法歸納用這個式子計算概率時,關鍵是求出m、n,其中n為一次試驗中等可能出現的結果數，m為某個事件所包含的結果數.求n時應注意這n種結果必須是等可能的，且要注意這m個結果一定是這n個結果的一部分。四、求等可能性事件的概率的步驟首先反復閱讀題目，收集整理題目中各種信息；其次判斷本試驗是否是等可能的，利用列舉法等知識計算本試驗的基本事件有多少個；然后指出事件A是什么，它包含多少個基本事件；最后利用古典概型的計算公式計算事件A的概率。典題·熱題知識點古典概型的概率計算例1兩個完全相同的均勻的正方體玩具，各個面上分別刻有1,2,3，4，5，6六個數字，將這兩個玩具同時擲一次。兩個玩具的數字之和共有多少種不同的結果？其中數字之和為12的有多少種情況?數字之和為6的共有多少種情況？分別計算這兩種情況的概率。思路分析：擲骰子有36個基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.可利用圖表法求解基本事件總數和事件A包含的基本事件數。解：兩個玩具同時擲的結果可能出現的情況如下表：第一枚數字和123456723456783456789456789105678910116789101112第二枚123456其中共有36種不同情況，但數字之和卻只有2,3,4，5，6,7,8,9,10,11,12共11種不同結果，從中可以看出，出現2的只有1種情況，而出現12的也只有1種情況，它們的概率均為,因為只有甲、乙均為1或均為6時才有結果。出現數字之和為6的共有(1,5），（2，4）,(3,3）,（4,2）,（5,1)5種情況，所以其概率為。誤區警示數字之和實際上只有2,3，4,5，6，7，8,9,10，11，12共11種不同結果，但它們出現的可能性卻不相等,會出現“兩端小，中間大”的情況，所以并不能簡單地認為n=11,直接利用古典概型的計算公式.例2在箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個整數，從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數x,然后再放回箱子中；第二次再從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數y，試求x+y是10的倍數概率.思路分析：可用逐一列舉的方法求古典概型基本事件個數.解：先后兩次抽取卡片時，每次都有10種結果，故有序實數對（x，y)共有10×10=100個.x+y是10的倍數，它包含下列數對：(1，9)，（2,8),(3，7)，(4，6),(5,5),(6，4），(7，3），(8，2），（9,1),（10,10)共10個.故x+y是10的倍數概率P（A）=。誤區警示利用古典概型的計算公式時應注意兩點：（1）所有的基本事件必須是互斥的；（2）m為事件A所包含的基本事件數,求m值時,要做到不重不漏。問題·探究思想方法探究問題運用古典概型來求解概率問題，可以構建不同的古典概型嗎？探究過程：可以從不同的角度來構建古典概型，求解古典概型概率問題,關鍵是把什么看作是一個基本事件（即一個試驗結果）,一般說來，在建概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個試驗結果)是人為規定的，我們只要求：每次試驗有一個且只有一個基本事件出現，例如：擲一粒均勻的骰子時，根據問題的需要，可以認為有6個結果（向上的點數是1，向上的點數是2,…，向上的點數是6),