2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，2．設(shè)，則A． B．1 C． D．23．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，A． B． C．1 D．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．7．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為A． B． C． D．8．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A．B． C． D．9．已知，則A． B． C． D．10．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．611．已知、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，．下列四個(gè)命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④12．在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在，上的最大值是14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．15．已知，，則．16．曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）直線為參數(shù)），若與交于、兩點(diǎn)，，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．實(shí)數(shù)，滿足．（1）證明：；（2）證明：．

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，則，2，3，．故選：．2．設(shè)，則A． B．1 C． D．2解法一：，則．故選：．解法二：3．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．【解析】：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示：將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個(gè)交點(diǎn)：，，，由得，則可看作直線在軸上的截距，經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：．故選：．4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，A． B． C．1 D．解法一：，則，解得．故選：．解法二：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，.解法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D解法四：【構(gòu)造法】：設(shè)的公差為，利用結(jié)論是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，則，所以.故選：D解法五：根據(jù)題意，故選：D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有種可能，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有種可能，故．故選：．6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．解法一：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，，，則雙曲線的離心率．故選：．解法二：點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以是通徑的一半即則即，則雙曲線的離心率．故選：．解法三：雙曲線的離心率解法四：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上設(shè)雙曲線方程為，則，則，所以7．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為A． B． C． D．【解析】：因?yàn)椋?，曲線在處的切線斜率，故曲線在處的切線方程為，即，則其與坐標(biāo)軸圍成的面積．故選：．8．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A． B． C． D．解法一：，則，故為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；（1），故錯(cuò)誤，正確．故選：．解法二：函數(shù)為偶函數(shù)。且當(dāng)時(shí)，，因此只有選項(xiàng)符合題意9．已知，則A． B． C． D．解法一：，則，所以，故．故選：．解法二：設(shè)，則，即，因此由得，即，故，即，故選：．10．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6【解析】：直線，即，所以直線恒過點(diǎn)，圓，即，圓心為，半徑，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離應(yīng)最大，即時(shí)，最小，此時(shí)，．故選：．11．已知、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，．下列四個(gè)命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【解析】：①若，因?yàn)?，，則，若，因?yàn)?，，則，若不在也不在內(nèi)，因?yàn)椋?，，所以且，故①正確；②若，則與，不一定垂直，也有可能相交，故②錯(cuò)誤；③過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面相交于直線，所以，同理可得，所以，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋瑒t，故③正確；④與和所成的角相等，則和不一定垂直，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確．故選：．12．在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．解法一：因?yàn)?，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則（賀雷穎添加）．故選：．解法二：不妨設(shè)，根據(jù)題意得，根據(jù)余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在，上的最大值是2【解析】：，，，，，所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值，．故答案為：2．14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．【解析】：因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．故答案為：．15．已知，，則64．解法一：因?yàn)?，所以，而，故，解得．故答案為?4．解法二：根據(jù)題意有，設(shè)，則，解得，所以，所以，所以.16．曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【解析】：令，則，令，則，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?），時(shí)，，若使得有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則的范圍為．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解法一：（1）因?yàn)?，所以，兩式相減可得：，即，所以等比數(shù)列的公比，又因?yàn)椋裕唬?）因?yàn)?，所以．解法二：?）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得.18．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，，有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，，沒有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異．（2）由題意得，，所以，故有優(yōu)化提升．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離．【解答】：（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，，，，因?yàn)?，所以，即，又，所以平面，因?yàn)?，，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，，，故點(diǎn)到平面的距離為．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【解析】：（1），則，，若，，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，令，則，令，則在上遞增，（1），所以在上遞增，（1），故在上遞增，（1），所以當(dāng)時(shí)，恒成立．21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．【解析】：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，則，，由勾股定理可知，，故，解得，，故橢圓的方程為；解法一：（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以， 故，即軸.解法二：（2）證明：設(shè)，，，，，則，即①，又由可得，②，結(jié)合①②可得，，，，，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸．解法三：（2）根據(jù)題意,有,設(shè)，，，，，則即

又由

代入點(diǎn)坐標(biāo)可得

因此,設(shè),則直線的橫截距為

因此,命題得證.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）直線為參數(shù)），若與交于、兩點(diǎn)，，求的值．【解析】：（1