第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年遼寧省朝陽市建平實驗中學高二（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?4x+3<0}，B={x|1<x<a}，且A?B，則實數a的取值范圍為A.{a|1<a<3} B.{a|1<a≤3} C.{a|a≥3} D.{a|a>3}2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，則“x=3”是“a//bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知等差數列{an}的前15項之和為60，則aA.4 B.6 C.8 D.104.統計學中通常認為服從于正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ?3σ,μ+3σ]中的值，簡稱為3σ原則.假設某廠有一條包裝食鹽的生產線，正常情況下食鹽質量服從正態分布N(500,σ2)(單位：g)，某天生產線上的質檢員隨機抽取了一包食鹽，稱得其質量小于488g，他立即判斷生產線出現了異常，要求停產檢修.A.2 B.4 C.6 D.85.故宮的角樓是中國古建筑藝術的巔峰之作，它被譽為故宮最美的建筑，角樓的建造者也將中國古代的陰陽觀和吉數的思想融入在角樓的設計之中.中國古代常把奇數稱為“陽數”，偶數稱為“陰數”，9的整數倍稱為“吉數”.若從1，3，5，7，9這五個陽數，2，4，6，8這四個陰數中各取一個數組成兩位數，則這個兩位數恰好是“吉數”的概率是(

)A.15 B.920 C.3106.若斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+y2A.?1 B.1 C.3 D.?1或37.在三棱錐P?ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，過點P作截面分別交AC，BC于點E，F，且二面角P?EF?C的平面角為60°，則所得截面PEF的面積最小值為(

)A.43 B.83 C.238.已知A，B分別是雙曲線C：x24?y2=1的左右頂點，P是雙曲線C上的一動點，直線PA，PB與x=1交于M，N兩點，△PMN，△PAB的外接圓面積分別為S1，A.316 B.34 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.數據x1，x2，…，xn的平均數為x?，方差為sx2，數據y1，y2，…，yn的平均數為y?，方差為sA.y?=ax?+b

B.若數據sx2=0，則x1=x2=…=xn

C.數據x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均數為(a+1)x10.已知函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期為π，且對A.ω=2

B.φ=π6

C.函數y=f(x)的極大值點的集合是{x|x=kπ?π6,k∈Z}

D.函數y=f(x)11.已知函數f(x)，g(x)在R上可導，若f(4?x)+g(x?2)=2，且f(x)關于x=2對稱，g(x)關于(1,2)對稱，則下列結論正確的是(

)A.f′(2026)=0 B.g(2025)=0

C.f(x)是R上的偶函數 D.g′(x)是R上的偶函數三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數z0滿足i3z0=13.已知(1?2x)5=a0+14.已知拋物線E：y2=4x的焦點為F，其準線與x軸的交點為C，過點C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(A點位于B點右方).若BF為∠AFC的角平分線，則|AF|=______；直線l的斜率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯表(單位：只)：藥物疾病合計未患病患病未服用5040服用合計75200(1)請將上面的列聯表補充完整；

(2)依據α=0.1的獨立性檢驗，能否認為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結論；

(3)為了進一步研究，現按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機抽取4只，設其中未服用藥物的動物數為X，求X的分布列及期望．

附表及公式：χ2=α0.150.100.050.025x2.0722.7063.8415.02416.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點D，E分別在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A117.(本小題15分)

已知函數f(x)=x(a?lnxx)(a>0)．

(1)討論f(x)的最值；

(2)若a=1，且f(x)≤ke18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2，離心率為63．

(1)求C的方程；

(2)直線l：y=kx+m(k>0,m>0)與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B，且AM=λBM,AN=μBN．19.(本小題17分)

對于數列{an}，把a1作為新數列{bn}的第一項，把ai或?ai(i=2,3,4,…,n)作為新數列{bn}的第i項，數列{bn}稱為數列{an}的一個生成數列．例如，數列1，2，3，4，5的一個生成數列是1，?2，?3，4，5.已知數列{bn}為數列{12n}(n∈N?)的生成數列，Sn為數列{bn}答案解析1.C

【解析】解：集合A={x|x2?4x+3<0}={x|1<x<3}，B={x|1<x<a}，且A?B，

則a≥3，

故實數a的取值范圍為{a|a≥3}．

故選：C．

2.A

【解析】解：根據題意，向量a=(3,x)，b=(2x,6)，

當x=3時，a=(3,3)，b=(6,6)，必有a//b，

反之，若a//b，則有2x2=18，解可得x=±3，

故“x=3”是“a//b3.C

【解析】解：因為等差數列{an}的前15項之和為60，

所以15(a1+a15)2=60，

故a1+4.B

【解析】解：由3σ原則可知，500?3σ≥488，

解得σ≤4，

即σ的最大值為4．

故選：B．

根據3σ原則可得500?3σ≥488，進而求出σ的最大值．

本題主要考查了3σ原則的應用，屬于基礎題．5.A

【解析】解：中國古代常把奇數稱為“陽數”，偶數稱為“陰數”，9的整數倍稱為“吉數”，

從1，3，5，7，9這五個陽數，2，4，6，8這四個陰數中各取一個數組成兩位數，

則取到的兩位數為“吉數”的概率為P=2×42C41C51=6.D

【解析】解：設切點為(m,n)，

由y=ln(x+a)，可得y′=1x+a，

則1m+a=1，即m+a=1，

可得n=ln(m+a)=0，

則切線方程為y=x?m，即x?y?m=0，

又圓心坐標為(0,0)，半徑為2，

則|?m|1+1=2，

解得m=±2，

若m=2，則a=?1，

若m=?2，則a=3．

故選：D．7.B

【解析】解：過P做PG⊥EF，垂足為G，連接CG，

則由三垂線定理可得：EF⊥CG，

所以∠PGC即為二面角角P?EF?C的平面角，即∠PGC=60°，

因為PC=2，

所以在三角形PEF中，斜邊EF邊上的高為PG=433，CG=233，

設CE=x，CF=y，則EF=x2+y2，

在三角形CEF中，x?y=233x2+y2≥263xy，可得到xy≥83，8.A

【解析】解：由已知得A(?2,0)，B(2,0)，設雙曲線C：x24?y2=1上動點P(x,y)，

則利用兩點連線的斜率公式可知kPA=y?0x+2，kPB=y?0x?2，

∴kPA?kPB=y?0x+2?y?0x?2=y2x2?4=x24?1x2?4=14，

設直線PA方程為：y=k(x+2)，則直線PB方程為：y=14k(x?2)，

根據對稱性不妨設k>0，令x=1，得yM=3k，yN=?14k，

即M(1,3k)，N(1,?14k)，則|MN|=3k+14k，

設△PMN與△PAB的外接圓的半徑分別為r1，r2，

由正弦定理得：29.ABD

【解析】解：對于A中，由平均數的線性公式，y?=ax?+b，所以A正確；

對于B中，由sx2=1ni=1n(xi?x?)2=0，因為(xi?x?)2≥0，故x1=x2=???=xn=x?，所以B正確；

對于C中，由x1+x2+?+x10.ACD

【解析】解：對于A，由函數f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期為π，得2πω=π，解得ω=2，A正確；

對于B，由?x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，得f(π3)是f(x)的最小值，

則2×π3+φ=π+2nπ,n∈Z，而|φ|<π2，于是n=0,φ=π3，B錯誤；

對于C，f(x)=cos(2x+π3)，由2x+π3=2kπ,k∈Z，得x=kπ?π6,k∈Z，

所以f(x)的極大值點的集合是{x|x=kπ?π6,k∈Z}，C正確；

對于D11.AC

【解析】解：∵f(4?x)+g(x?2)=2，

∴f(x)+g(2?x)=2①，g(x)+f(2?x)=2④，

又f(x)關于x=2對稱，g(x)關于(1,2)對稱，

∴f(x)=f(4?x)②，g(x)+g(2?x)=4③，

由①②可得2?g(2?x)=2?g(x?2)，

∴g(2?x)=g(x?2)，∴g(?x)=g(x)，∴g(x)為偶函數，

∴由③可得g(?x)+g(2?x)=4，

∴g(x)+g(x+2)=4，∴g(x+2)+g(x+4)=4，兩式相減可得：

g(x)=g(x+4)，∴g(x)的周期為4，

又g(?1)+g(1)=4，∴2g(1)=4，∴g(1)=2，

∴g(2025)=g(4×506+1)=g(1)=2，∴B選項錯誤；

由④③可得2?f(2?x)+2?f(x)=4，∴f(2?x)+f(x)=0，

又由②知f(x)=f(4?x)，∴f(2?x)+f(4?x)=0，

∴f(x)+f(x+2)=0，∴f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期為4，

∴由②知f(x)=f(4?x)=f(?x)，∴f(x)為偶函數，∴C選項正確；

對①②③分別關于x求導可得：

f′(x)?g′(2?x)=0⑤，f′(x)=?f′(4?x)⑥，g′(x)?g′(2?x)=0⑦，

∴由⑤可得g′(x)=f′(?x+2)，結合⑦可得：

f′(?x+2)?f′(x)=0，結合⑥可得f′(?x+2)=?f′(4?x)，

∴f′(x+2)=?f′(x)，∴f′(x+4)=?f′(x+2)=f′(x)，∴f′(x)的周期為4，

又由⑥可知f′(2)=?f′(2)，∴f′(2)=0，

∴f′(2026)=f′(4×506+2)=f′(2)=0，∴A選項正確；

由⑤可得f′(x)=g′(?x+2)，結合⑥可得g′(?x+2)=?g(x?2)，

∴g′(?x)=?g(x)，∴g′(x)為奇函數，∴D選項錯誤．

故選：AC．

根據原函數的對稱性及周期性，再利用求導法則可得導函數的對稱性及周期性，從而針對各個選項分別求解即可．

本題考查抽象函數的性質，原函數的對稱性及周期性，導函數的對稱性及周期性，化歸轉化思想，屬難題．12.?4【解析】解：因為i3z0=?2+i1?2i，即?iz0=?2+i1?2i，

可得z0=?2+i?i(1?2i)=2?i13.242

【解析】解：令x=0，得a0=1，

令x=?1，得a0?a1+a2?a3+14.4

±【解析】解：由題意知，F(1,0)，C(?1,0)，直線l的斜率一定存在，且不為0，

設直線l的方程為y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0<x2<x1，

聯立y=k(x+1)y2=4x，得k2x2+(2k2?4)x+k2=0，

則x1+x2=4?2k2k2，x1x2=1，Δ=(2k2?4)2?4k4=16(1?k2)>0，即k2<1，

所以x1?x2=(x1+x2)2?415.解：(1)由題可得如下列聯表：藥物疾病合計未患病患病未服用504090服用7535110合計12575200(2)零假設H0：藥物與患病獨立，即藥物對疾病沒有效果，根據列聯表中的數據，

則χ2=200×(50×35?40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，

所以依據α=0.1的獨立性檢驗，我們可以推斷H0不成立，

即認為藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1；

結論解釋：未服用藥物中未患病和患病的頻率分別為59和49，服用藥物中未患病和患病的頻率分別為1522和722，根據頻率穩定于概率的原理，可以推斷服用藥物不患病的概率更大；

(3)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只，則未服用藥物的動物有4只，

服用藥物的動物有6只，所以X的可能取值為0，1，2，3，4，

則X01234P158090241則E(X)=0×15210【解析】(1)直接根據列聯表的特征即可完成表格；

(2)零假設H0：藥物與患病獨立，先計算出χ2，然后根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗即可得出結論；再從概率的角度解釋結論即可；

(3)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只，則未服用藥物的動物有4只，服用藥物的動物有6只，所以X的可能取值為0，1，2，3，4，然后根據所給數據求出每個取值對于的概率即可求解．16.解：(Ⅰ)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

建立以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系C?xyz，如圖所示：

AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，

則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，

∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,?2,?2)，

∴C1M?B1D=2?2+0=0，

∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；

(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴CC1⊥AC，

又CC1∩BC=C，CC1?【解析】(Ⅰ)由題意建立以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系C?xyz，利用向量法，即可證明結論；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得ED=(2,0,?1)，EB1=(0,2,1)，平面BB1E17.解：(1)因為f(x)=x(a?lnxx)的定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=a?1x=ax?1x，

當a>0時，令f′(x)=0，可得x=1a，

當x∈(0,1a)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

當x∈(1a,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

故當x=1a時，f(x)取得極小值，也是最小值，且最小值為f(1a)=1+lna，無最大值；

(2)當a=1時，由f(x)≤kex?xx，可得x?lnx≤kex?xx，

整理得kex≥x2+x?xlnx，即k≥x2+x?xlnxex，

令?(x)=x2+x?xlnxex，

則?′(x)=(2x+1?lnx?1)【解析】(1)求得f′(x)=ax?1x，結合導數的符號，求得函數f(x)的單調區間，進而求得其最值；

(2)把不等式轉化為k≥x2+x?xlnxex18.解：(1)因為橢圓C的短軸長為2，離心率為63，

所以2b=2ca=a2?b2a2=63，

解得a=3，b=1，

則C的方程為x23+y2=1；

(