專題05垂美四邊形模型與378、578模型模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半。【變形1】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023春·浙江八年級課時練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25例2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．例3．（2023·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的最大面積是（

）A．64 B．32 C．16 D．以上都不對例4．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．例5．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．(2)如圖（1），已知格點（小正方形的頂點），，，請你直接寫出一個以格點為頂點，，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點M的坐標(biāo)為________；(3)如圖（2），將繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；(4)若將圖（2）中繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．例6．（2022秋·江西撫州·九年級校考階段練習(xí)）(1)【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對角線交于點，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結(jié)論：①這兩個三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·山東八年級課時練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點D并求出CD的長度．例4．（2023·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28例5．（2023·廣西柳州·校考一模）已知△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個三角形全等，則x=__．例6．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．課后專項訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點E是矩形內(nèi)任意一點，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．2．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．643．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c24、當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．5．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．6．（2023·河北·八年級專題練習(xí)）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則AB為．7．（2023·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）模型介紹（1）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形稱為垂美四邊形．性質(zhì)：垂美四邊形對邊的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，請結(jié)合圖1證明這個結(jié)論．（2）如圖2，在長方形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的長．8．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期中）小明學(xué)習(xí)了平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形．(1)【理解定義】在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四邊形的是．(2)【探究性質(zhì)】如圖1，在垂美四邊形中，對角線相交于點O，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)【綜合運用】如圖2，在中，，分別以為腰向外側(cè)作等腰和等腰，且，連接．①圖中哪個四邊形是垂美四邊形？并證明你的結(jié)論．②求的長（直接寫出答案）．9．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習(xí)）規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形探究：如圖1，四邊形是垂美四邊形．(1)若，，則四邊形的面積為_______．(2)求證：(3)如圖2，在外側(cè)，分別以為直角邊構(gòu)造等腰和等腰，連接，點F為中點，連接，若，，，求的長．10．（2023春·廣東·八年級專題練習(xí)）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形是垂美四邊形，試探究兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應(yīng)用】如圖2，Rt中，，分別以和為直角邊向外作等腰Rt和等腰Rt，連接，若，，求的長．11．（2023·福建·模擬預(yù)測）【知識感知】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(2)【性質(zhì)探究】如圖1，試探索垂美四邊形兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接已知，求長．12．如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．13．如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．14．（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．(1)下面四邊形是垂等四邊形的是______；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形(2)如圖，在四邊形中，，，過點D作垂線交的延長線于點E，且，證明：四邊形是垂等四邊形．

15．（2023·山西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)寫出兩個是勾股四邊形的特殊四邊形：____________，____________．(2)如圖1，已知格點（小正方形的頂點），，，請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB．(3)如圖2，將繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接AD，DC，，那么線段DC，AC，BC的數(shù)量關(guān)系為_______________．16．（2023秋·湖南長沙·八年級校考期末）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)如圖，已知格點(小正方形的頂點)：、、，若為格點，請直接畫出所有以、為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形；(2)如圖，將繞頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)、，，求證：，即四邊形是勾股四邊形；(3)如圖，在四邊形中，為等邊三角形，，，，求長．17．（2023春·廣西南寧·八年級校考期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：在下列四邊形中，正方形；矩形；菱形；平行四邊形．是垂美四邊形的是：______（填寫序號）；(2)性質(zhì)探究：如圖，垂美四邊形中，，垂足為，試猜想：兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，且與相交于點，已知，，求長．專題05垂美四邊形模型與378、578模型模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半。【變形1】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023春·浙江八年級課時練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【分析】連接AC，與BD交于點O，根據(jù)題意可得，在在與中，利用勾股定理可得，在在與中，繼續(xù)利用勾股定理可得，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點O，∵對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】在中，，在中，，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：在中，，在中，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的最大面積是（

）A．64 B．32 C．16 D．以上都不對【答案】B【分析】設(shè)，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，求最值即可．【詳解】解：∵，∴四邊形的面積；設(shè)，∵，∴，∴四邊形的面積，當(dāng)時，四邊形的面積最大：32，∴四邊形的最大面積是：32；故選B．【點睛】本題考查配方求最大值和幾何的綜合應(yīng)用．根據(jù)題意，列出正確的表達式是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．【答案】4﹣2【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，根據(jù)題意可得，即可求出CE的長度，當(dāng)C、D、E三點共線時，AB的值最小，且為CE與CD長度之差，故AB最小值可求．【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，如圖所示：則AB＝DE，由題意得：，即，解得：CE＝，當(dāng)C、D、E三點共線時，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案為：-2．【點睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于通過題目中已給的新知推斷CD、CE、CA、CB之間的長度關(guān)系，并應(yīng)用兩點之間線段最短的定理，求出對應(yīng)的最值．例5．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．(2)如圖（1），已知格點（小正方形的頂點），，，請你直接寫出一個以格點為頂點，，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點M的坐標(biāo)為________；(3)如圖（2），將繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；(4)若將圖（2）中繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義，可知矩形和正方形都是勾股四邊形；（2）如圖（1）中，以O(shè)A、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標(biāo)為（3，4）或（4，3）；（3）如圖（2），連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題；（4）如圖（3），當(dāng)°，四邊形ABCD是勾股四邊形．連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．【詳解】（1）解：∵矩形和正方形的四個角都是直角，∴相鄰兩邊的平方和等于對角線的平方，∴矩形、正方形都是勾股四邊形；故答案為矩形、正方形；（2）解：如圖（1）所示，∴M的坐標(biāo)為：（3，4）或（4，3）；故答案為（3，4）或（4，3）；（3）證明：如圖（2），連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：≌，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；（4）解：如圖（3），°，四邊形是勾股四邊形．理由如下：連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：≌，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；故答案為．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．例6．（2022秋·江西撫州·九年級校考階段練習(xí)）(1)【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對角線交于點，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．【答案】(1)③④(2)四邊形ABCD是垂美四邊形；理由見解析(3)；理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計算，得到答案；（4）證明△GAB≌△CAE，進而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結(jié)論計算即可．（1）解：∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）解：四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖2，∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（3）解：，證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；（4）解：如圖3，連接BE、CG，設(shè)AB與CE交于點M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴，∵AB＝10，AC＝8，∴，，，∴，則GE＝．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結(jié)論：①這兩個三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·山東八年級課時練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠C為等邊三角形的一個內(nèi)角，所以∠C=60°.故選C.法2：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，∴AB2?BD2＝AC2?CD2，即：72?（5?x）2＝82?x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°?30°＝60°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作交BC延長線于點D，設(shè)CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為3，7，8，∴其可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠B為等邊三角形的一個內(nèi)角，所以∠B=60°.故選C.法2：如圖，過點A作交BC延長線于點D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設(shè)CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點D并求出CD的長度．解：如圖所示，作AD⊥BC于點D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，則在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD長度為1．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例4．（2023·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28【答案】C【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列方程得到BD，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，∵AB=5，AC=7，BC=8，過A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面積=10，故選C．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·廣西柳州·校考一模）已知△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個三角形全等，則x=__．【答案】4【詳解】∵兩個三角形全等，∴或，解得：無解或x=4.故答案為4.另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例6．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設(shè)BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當(dāng)x1＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝6；當(dāng)x2＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝10．故答案為6或10．課后專項訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點E是矩形內(nèi)任意一點，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M，由題意可證四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根據(jù)勾股定理可得：．【詳解】如圖：過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵．2．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．64【答案】B【分析】利用對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：設(shè)，四邊形面積為S，則，則：當(dāng)時，S最大為：32﹔故選：B．【點睛】本題主要考查配方求最大值，能夠正確利用面積計算公式結(jié)合方程思想是解題關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c2【解答】解：連接DE，如圖，設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴＝＝＝，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．4、當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．解：∵邊長為3，7，8的三角形，可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，∴拼成的等邊三角形的高為43，∴這兩個三角形的面積之和為12×8×43=1635．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．解：過A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，則CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案為：7．6．（2023·河北·八年級專題練習(xí)）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則AB為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設(shè)BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當(dāng)x＝時，AB＝2x＝3；當(dāng)x＝時，AB＝2x＝5．故AB為3或5．故答案為：3或5．7．（2023·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）模型介紹（1）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形稱為垂美四邊形．性質(zhì)：垂美四邊形對邊的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，請結(jié)合圖1證明這個結(jié)論．（2）如圖2，在長方形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義和勾股定理得出AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，即可得出結(jié)論；（2）連接BP，設(shè)PD=x，則AP=2x，AD=BC=3x，根據(jù)勾股定理以及垂美四邊形的性質(zhì)列方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵AC⊥BD，∴Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，Rt△COB中，OC2+OB2=CB2，Rt△AOD中，OD2+OC2=DC2，∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2；（2）連接BP，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC，設(shè)PD=x，則AP=2x，AD=BC=3x，BP2=AB2+AP2=62+(2x)2=36+4x2，∵PC⊥BD，∴BP2+CD2=BC2+PD2，∴36+4x2+62=(3x)2+x2，化簡得x2=12，解得x=2或x=?2(舍)．∴AD=6．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握矩形的性質(zhì)，理解新定義，靈活運用勾股定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期中）小明學(xué)習(xí)了平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形．(1)【理解定義】在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四邊形的是．(2)【探究性質(zhì)】如圖1，在垂美四邊形中，對角線相交于點O，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)【綜合運用】如圖2，在中，，分別以為腰向外側(cè)作等腰和等腰，且，連接．①圖中哪個四邊形是垂美四邊形？并證明你的結(jié)論．②求的長（直接寫出答案）．【答案】(1)菱形、正方形(2)，見解析(3)①四邊形是垂美四邊形，見解析；②【分析】（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用勾股定理即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)證明，得，再由三角形內(nèi)角和定理得，從而可得結(jié)論；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再代入計算即可【詳解】（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四邊形，故答案為：菱形、正方形；（2）∵，垂足為點E，∴，由勾股定理得，，，∴；故答案為：，（3）①連接與交于點O，與交于點N，如圖，∵，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴∴，∴，∵∴，∴，即CE⊥BG，∴四邊形是垂美四邊形；②∵在中，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵四邊形是垂美四邊形，∴，即解得，【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習(xí)）規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形探究：如圖1，四邊形是垂美四邊形．(1)若，，則四邊形的面積為_______．(2)求證：(3)如圖2，在外側(cè)，分別以為直角邊構(gòu)造等腰和等腰，連接，點F為中點，連接，若，，，求的長．【答案】(1)30(2)見解析(3)【分析】（1）由四邊形是垂美四邊形可知，從而依據(jù)，代入相關(guān)數(shù)據(jù)進行計算即可；（2）由勾股定理列出等式可求解；（3）連接，證出，由證明，得出，，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理求出，得出，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算即可．【詳解】（1）∵四邊形是垂美四邊形，∴（2）∵四邊形是垂美四邊形，在中，在中，在中，在中，，∴（3）連接，交于點，交于點，如圖，均為等腰直角三角形，即在和中，，，，，即∴四邊形是垂美四邊形；在等腰和中，由勾股定理得，延長到點，使，連接為的中點，又過點作于點，設(shè)則由勾股定理得，，解得，即∵四邊形是垂美四邊形；,（負值舍去）過點作，則有：即：,解得，過點作交于，同理可得，；（負值舍去）【點睛】本題主要考查四邊形的綜合應(yīng)用，掌握垂美四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣東·八年級專題練習(xí)）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形是垂美四邊形，試探究兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應(yīng)用】如圖2，Rt中，，分別以和為直角邊向外作等腰Rt和等腰Rt，連接，若，，求的長．【答案】(1)，見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題中給出的垂美四邊形的定義，得知對角線互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可；（2）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理結(jié)合（1）的結(jié)論計算即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．（或：．）證明：設(shè)與相交于點E．，，由勾股定理得，，，．（2）連接，相交于點N，交于點M．，，即，又，，≌，，又，，即，四邊形是垂美四邊形，由（1）得，，，，，，，，．【點睛】本題考查了新定義、勾股定理以及全等三角形的判定的知識點，利用給出的垂美四邊形定義求解是解題的關(guān)鍵．11．（2023·福建·模擬預(yù)測）【知識感知】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(2)【性質(zhì)探究】如圖1，試探索垂美四邊形兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接已知，求長．【答案】(1)是，見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算．【詳解】（1）如圖2，四邊形是垂美四邊形．證明：連接交于點E，∵，∴點A在線段的垂直平分線上，∵，∴點C在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論．如圖1，已知四邊形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）如圖3，連接，∵，∴，即，在B和中，，∴，∴，又，∴，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．【解答】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）如圖1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．13．如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．【解答】解：（1）證明：如圖1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①方法一：連接PC、AQ交于點D，如圖2，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，∴∠PBC＝∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，∴∠PDA＝90°，∴PC⊥AQ，利用（1）中的結(jié)論：AP2+CQ2＝AC2+PQ2即（5）2+（4）2＝32+PQ2；∴PQ＝．②連接PC、AQ交于點D，如圖3，同①可證△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，∵M、N分別是AC、AP中點，∴MN＝PC，∵MN＝2，∴AQ＝PC＝4．延長QB作AE⊥QE，則有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，∵EQ＝4+BE，∴（4+BE）2﹣BE2＝23，解得BE＝，∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．方法二：連接PC，AQ，PQ，延長PB使BH＝AB，由①得，△BPC≌△BAQ，∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，∴∠PBM＝∠QBC＝90°，∴∠PBQ+∠ABC＝180°，即∠QBH＝∠CBA，∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，∴△BQH≌△BCA（SAS），∴S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，∴S△ABC＝＝＝．故答案為：．14．（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．(1)下面四邊形是垂等四邊形的是______；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形(2)如圖，在四邊形中，，，過點D作垂線交的延長線于點E，且，證明：四邊形是垂等四邊形．

【答案】(1)④(2)見解析【分析】（1）根據(jù)正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)，以及題意進行判斷作答即可；（2）由，，可得，證明四邊形是平行四邊形，則，由，可得是等腰直角三角形，則，進而結(jié)論得證．【詳解】（1）解：由題意知，正方形的對角線互相垂直且相等，是垂等四邊形，故答案為：④；（2）證明：∵，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴四邊形是垂等四邊形．【點睛】本題考查了正方形、矩形、菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．15．（2023·山西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)寫出兩個是勾股四邊形的特殊四邊形：____________，____________．(2)如圖1，已知格點（小正方形的頂點），，，請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的