專題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及角度的計算（內角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質呢？又將怎樣應用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進去的四邊形，其性質有：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結論，你有自己的方法嗎？任務：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大小．例2．（2023·成都市·七年級專題練習）如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°例3．（2023·湖北·八年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內任意一點，連結AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.例5．（2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號——箭號．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；應用：（2）請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．模型2、風箏模型（鷹爪模型）或角內翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內部時，結論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）例2．（2022秋·重慶渝北·八年級校考階段練習）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°例3．（2022秋·河北廊坊·八年級校考期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，當點A落在四邊形的外部時，測量得，，則為（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·甘肅天水·七年級校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個不相鄰的外角．

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請直接寫出、與的數(shù)量關系．例5．（2022春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）中，，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令，，．初探：(1)如圖1，若點P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點P在線段AB上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；(3)如圖3，若點P在線段AB的延長線上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；再探：(4)如圖4，若點P運動到的內部，寫出此時∠1，∠2，之間的關系，并說明理由．例6．（2022秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）（1）如圖，將沿折疊，使點A落在的內部的點M處，當，時，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點A落在的外部的點M處．求圖中，，之間的數(shù)量關系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點A、點B的對應點M、N分別落在射線的左右兩側，，，、的數(shù)量關系．(直接寫結果，不需要過程）課后專項訓練1．（2023.廣東八年級期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當A落在四邊形BCDE內時，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）2．（2023·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，將CDE沿CE翻折，得到，則∠BC的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在中，，沿圖中虛線翻折，使得點B落在上的點D處，則等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°4．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處．如果，那么的度數(shù)為．5．（2023春·寧夏吳忠·九年級校考期中）將△ABC沿著DE翻折，使點A落到點A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．6.（2023·湖北·七年級期末）三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說明為什么．（2）說明為什么．（3）與，哪一個更大？證明你的答案；（4）與，哪一個更大？證明你的答案．7．（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個頂點重合于點．這時，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個頂點并不重合于同一點，如圖，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關系：_______；8．（2023春·江蘇連云港·七年級校聯(lián)考階段練習）我們在小學已經(jīng)學習了“三角形內角和等于”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊上，將沿折疊，點C落在點的位置．(1)如圖1，當點C落在邊上時，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關系是；(2)如圖2，當點C落在內部時，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當點C落在外部時，若設的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請求出與x，y之間的數(shù)量關系．9．（2022春·江蘇揚州·七年級校考期末）如圖①，把紙片沿折疊，使點A落在四邊形內部點的位置，通過計算我們知道：.請你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點A落在四邊形的外部點的位置，如圖②，此時與之間存在什么樣的關系？(2)如果把四邊形沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關系嗎？（直接寫出關系式即可）10．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在和中，．點F與A位于線段所在直線的兩側，分別延長、至點、．

【特殊化思考】若時，請嘗試探究：（1）當在內部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為__________；（2）當在外部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為__________；（3）若平分，平分．無論點在內部（如圖③）還是外部（如圖④）時，都有，請選擇一幅圖進行證明；

【一般化探究】若時，請嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線（為大于2的正整數(shù)），且，．當時，直接寫出與需滿足的條件：__________．10．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD=40°，請直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關系式；（3）如圖2，若α=β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．11．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，將紙片沿折疊，使點落在四邊形內點的位置，(1)探索與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如果點落在四邊形外點的位置，與、之間的數(shù)量關系有何變化，請說明理由．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并證明；（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數(shù)．13．（2023·重慶·八年級專題練習）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若，求的度數(shù)．14．（2023·廣西·八年級專題練習）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點、，請用表示、；(2)若、的等分線交于點、（、依次從下到上），請用表示，．15．（2023·云南保山·八年級校考期中）已知：點D是△ABC所在平面內一點，連接AD、CD．（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如圖2，若存在一點P，使得PB平分∠ABC，同時PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的關系并證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，將點D移至∠ABC的外部，其它條件不變，探究∠A，∠P，∠C的關系并證明．16．（2023·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）【概念學習】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個角相加等于，那么稱這兩個角互為組角，簡稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運用】習慣上，我們把有一個內角大于的四邊形俗稱為鏢形．（2）如圖①，在鏢形中，優(yōu)角與鈍角互為組角，試探索內角、、與鈍角之間的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖②，________；（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③，已知四邊形中，延長、交于點，延長、交于，、的平分線交于點，；①寫出圖中一對互組的角________（兩個平角除外）；②直接運用（2）中的結論，試說明：；（5）如圖④，、分別為，的2019等分線（）．它們的交點從上到下依次為，，，…，．已知，，則_______．（用含、的代數(shù)式表示）

專題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及角度的計算（內角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質呢？又將怎樣應用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進去的四邊形，其性質有：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結論，你有自己的方法嗎？任務：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大小．【答案】(1)三角形內角和定理（或三角形的內角和等于180°）；(2)見解析；(3)70°【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求證；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．【詳解】（1）解：三角形內角和定理（或三角形的內角和等于180°）（2）證明：連接CD并延長至F，∵∠1和∠2分別是△ACD和△BCD的一個外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，有關角平分線的計算，熟練掌握三角形內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．例2．（2023·成都市·七年級專題練習）如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】連接先求解再求解可得再利用角平分線的定義可得：從而可得：再利用三角形的內角和定理可得的大小.【詳解】解：連接平分，平分，故選：【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內角和定理求解與之相關的角的大小是解題的關鍵.例3．（2023·湖北·八年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內角和定理求出再利用鄰補角的性質求出，再根據(jù)四邊形的內角和求出，根據(jù)鄰補角的性質即可求出的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內任意一點，連結AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即（幾何證明中后一問常常要用到前一問的結論）例5．（2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號——箭號．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；應用：（2）請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見詳解；（2）①30；②95°；（3）【分析】（1）連接AD并延長至點E，利用三角形外角的性質得出左右兩邊相加即可得出結論；（2）①直接利用（1）中的結論有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根據(jù)求出，然后結合角平分線的定義再利用即可求解；（3）先根據(jù)求出，再求出的度數(shù)，最后利用求解即可．【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點E

∵又∵∴（2）①由（1）可知∵，∴②由（1）可知∵，∴平分，CF平分（3）由（1）可知∵，∴∵，分別是、的2020等分線（）∴∴【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質和角平分線的定義是解題的關鍵．模型2、風箏模型（鷹爪模型）或角內翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內部時，結論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點睛】本題主要考查多邊形的內角和定理、外角和性質，掌握以上知識，能正確添加輔助線構成三角形是解題的關鍵．例2．（2022秋·重慶渝北·八年級校考階段練習）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進而利用三角形內角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質可知∵∴∴故選C【點睛】本題考查折疊的性質及三角形內角和定理，掌握折疊的性質及三角形內角和定理是解題的關鍵.例3．（2022秋·河北廊坊·八年級校考期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，當點A落在四邊形的外部時，測量得，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用四邊形的內角和定理求出，再利用三角形的內角和定理求出，根據(jù)對頂角相等得出，根據(jù)三角形內角和定理可得結果．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和定理及三角形的內角和定理，解題的關鍵是運用多邊形的內角和定理求出的度數(shù)．例4．（2023春·甘肅天水·七年級校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個不相鄰的外角．

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請直接寫出、與的數(shù)量關系．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)多邊形內角和與外角即可說明與、的數(shù)量關系；（2）結合(1)的結論，根據(jù)與的平分線，，，即可求的度數(shù)；（3）結合(1)的結論，根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線.進而可以寫出、與的數(shù)量關系．【詳解】（1）猜想：，理由如下：∵，，∴，（2）∵，，，∴，∵、分別平分與，∴，，∴，∴，（3）、與的數(shù)量關系為：，理由如下：∵、分別是四邊形外角、的角平分線，∴，，由(1)可知:，，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了多邊形內角與外角、三角形內角和定理，解決本題的關鍵是掌握多邊形外角．例5．（2022春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）中，，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令，，．初探：(1)如圖1，若點P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點P在線段AB上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；(3)如圖3，若點P在線段AB的延長線上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；再探：(4)如圖4，若點P運動到的內部，寫出此時∠1，∠2，之間的關系，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，見解析．【分析】（1）連接，證明即可；（2）利用（1）中結論解答即可；（3）直接利用三角形的外角性質求解即可；（4）同樣直接利用三角形的外角性質求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，，，，故答案為：；（2）解：由（1）可知，，故答案為：；（3）解：如圖，，，，即，故答案為：；（4）解：，證明如下：如圖，連接，，，，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理和三角形的外角和性質，解題的關鍵是靈活運用所學求解．例6．（2022秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）（1）如圖，將沿折疊，使點A落在的內部的點M處，當，時，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點A落在的外部的點M處．求圖中，，之間的數(shù)量關系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點A、點B的對應點M、N分別落在射線的左右兩側，，，、的數(shù)量關系．(直接寫結果，不需要過程）【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）根據(jù)翻折的性質表示出、，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得，問題隨之得解；（2）先根據(jù)翻折的性質以及平角的定義表示出、，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質表示出、，再根據(jù)四邊形的內角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：（1）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，，，∴，整理得，，∵，，∴，即；（2）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即；故答案為：；（3）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，翻折的性質，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內角和是，是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023.廣東八年級期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當A落在四邊形BCDE內時，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【分析】本題問的是關于角的問題，當然與折疊中的角是有關系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結合△AED的內角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°?∠1)+(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)則2∠A=∠1+∠2，故選擇B項.【點睛】本題考查折疊和三角形內角和的性質，解題的關鍵是掌握折疊的性質.2．（2023·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，將CDE沿CE翻折，得到，則∠BC的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°【答案】B【分析】過點B作BG∥AF，利用平行線的性質求得∠BCD=120°，利用折疊的性質求得∠ECD=∠EC=20°，即可求解．【詳解】解：過點B作BG∥AF，∵AF∥CD，∴AF∥BG∥CD，∵∠A=140°，∠ABC=100°，∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°，∴∠BCD=180°-60°=120°，由折疊的性質得：∠ECD=∠EC=20°，∴∠BC=120°-∠ECD-∠EC=120°-20°-20°=80°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出平行線是解答此題的關鍵．3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在中，，沿圖中虛線翻折，使得點B落在上的點D處，則等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°【答案】C【分析】由得，再根據(jù)翻折知，，即可求出的值．【詳解】解：，，翻折，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了翻折的性質以及三角形內角和定理，熟練運用翻折的性質是解題的關鍵．4．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處．如果，那么的度數(shù)為．【答案】/度【分析】根據(jù)折疊性質，，根據(jù)三角形內角和定理，得到，根據(jù)平角計算即可．【詳解】根據(jù)折疊性質，得，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，平角，熟練掌握折疊的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．5．（2023春·寧夏吳忠·九年級校考期中）將△ABC沿著DE翻折，使點A落到點A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．【答案】126°【分析】利用平行線的性質求出∠DEN＝27°，再利用翻折不變性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根據(jù)平角的性質即可解決問題．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，由翻折不變性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案為126°．【點睛】本題考查翻折變換，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6.（2023·湖北·七年級期末）三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說明為什么．（2）說明為什么．（3）與，哪一個更大？證明你的答案；（4）與，哪一個更大？證明你的答案．（1）由三角形三邊關系，．（2）由三角形三邊關系，．因此，．（3）由三角形三邊關系，，，以及，將三個不等式相加，得．（4）由（2）可知．類似可得，以及．將這三個不等式相加，可得，即．7．（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個頂點重合于點．這時，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個頂點并不重合于同一點，如圖，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關系：_______；【答案】（1）；（2）成立，詳見解析；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)折疊性質和三角形內角和即可；（2）根據(jù)折疊性質和三角形內角和即可；（3）根據(jù)折疊性質和三角形內角和外角性質計算即可；（4）根據(jù)折疊性質和三角形內角和外角性質計算即可．【詳解】（1）由折疊性質可知：，，，∴，，，∵∴，∴，故答案為：，（2）由由折疊性質可知：，，，∴，，，∵，，，，∴，同理：，，∴，（3）根據(jù)(2)可知：，，如圖3，∵，，∴，∴，故答案為：，（4）根據(jù)（2）（3）可知：，，，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了翻折、角的計算，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．8．（2023春·江蘇連云港·七年級校聯(lián)考階段練習）我們在小學已經(jīng)學習了“三角形內角和等于”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊上，將沿折疊，點C落在點的位置．(1)如圖1，當點C落在邊上時，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關系是；(2)如圖2，當點C落在內部時，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當點C落在外部時，若設的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請求出與x，y之間的數(shù)量關系．【答案】(1)，互余(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質即可求出，然后利用三角形內角和進行計算即可；（2）根據(jù)平角定義求出，，然后利用折疊性質可得，然后利用三角形內角和進行計算即可；（3）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質即可求出，然后利用三角形內角和進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，由折疊得：.∴，∵，∴與的數(shù)量關系是互余．（2）解：∵，∴，由折疊得：∴，∴的度數(shù)為；（3）解：如圖：∵，∴，由折疊得：，∴，∴與x，y之間的數(shù)量關系：．【點睛】本題考擦汗折疊性質和三角形內角和，靈活運用所學知識是關鍵．9．（2022春·江蘇揚州·七年級校考期末）如圖①，把紙片沿折疊，使點A落在四邊形內部點的位置，通過計算我們知道：.請你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點A落在四邊形的外部點的位置，如圖②，此時與之間存在什么樣的關系？(2)如果把四邊形沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關系嗎？（直接寫出關系式即可）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由外角的性質得到，做差即可得到答案；（2）由圖形折疊的性質可知，兩式相加變形后即可得到答案．【詳解】（1）連接，∵，，∴；（2）由圖形折疊的性質可知，兩式相加得，，即，∴，即：．【點睛】此題考查了三角形外角的性質、折疊的性質等知識，熟練掌握角之間的關系是解題的關鍵．10．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在和中，．點F與A位于線段所在直線的兩側，分別延長、至點、．

【特殊化思考】若時，請嘗試探究：（1）當在內部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為__________；（2）當在外部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為__________；（3）若平分，平分．無論點在內部（如圖③）還是外部（如圖④）時，都有，請選擇一幅圖進行證明；

【一般化探究】若時，請嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線（為大于2的正整數(shù)），且，．當時，直接寫出與需滿足的條件：__________．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理及平角的定義得到，再根據(jù)，即可得出結論；（2）根據(jù)三角形內角和定理及平角的定義得到，再根據(jù)，即可得出結論；（3）選圖3證明，根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結論得出，再根據(jù)平行線的性質與判定證明即可；（4）先根據(jù)平行公理的推論得到，再根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可得出與的關系．【詳解】解：（1）在中，，在中，，，，，，，，，故答案為：；（2）在中，，在中，，，，，，，，，故答案為：；（3）選擇圖③，證明：如圖，

過點作，，平分，平分，，，由（1）知，，，，，，；選擇圖④，證明：如圖，設與交于點，

平分，平分，，，同（2）可得：，，，，是的一個外角，，即，，；（4）證明：，只能在內部，如圖，過點作，

，，連接，，，又，，又，，，，，又，，，，，，即．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質及角平分線的定義，熟記三角形內角和是是解題的關鍵，同時應熟練掌握平行線的性質與判定及角平分線的定義．10．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD=40°，請直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關系式；（3）如圖2，若α=β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）β﹣α=80°；（3）平行，見解析【分析】（1）連接AC，根據(jù)三角形的外角的性質，即可求解；（2）連接AG，由∠MBC+∠NDC=α+β，得∠MBG+∠NDG=(α+β)，結合∠MBG+∠NDG=α+40°，即可得到結論；（3）延長BC交DF于H，易得∠CBE+∠CDH=（α+β），結合∠CDH=β﹣∠DHB，可得∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），進而得∠CBE=∠DHB，即可得到結論．【詳解】（1）如圖1，連接AC，∵∠MBC=∠BAC+∠BCA，∠NDC=∠CAD+∠ACD，∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD=（∠BAC+∠CAD）+（∠BCA+∠ACD）=∠BAD+∠BCD=α+β=100°；（2）如圖1，連接AG，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠MBG+∠NDG=∠MBC+∠NDC=(α+β)，∵∠MBG=∠BAG+∠BGA，∠NDG=∠DAG+∠DGA，∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=（∠BAG+∠DAG）+（∠DGA++∠BGA）=∠BAD+∠BGD=α+40°，∴(α+β)=α+40°，即：β﹣α=80°；（3）平行，理由如下：如圖2，延長BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（β+β）=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質定理，角平分線的定義，平行線的判定定理，添加合適的輔助線，構造三角形，熟練掌握三角形外角的性質定理，是解題的關鍵．11．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，將紙片沿折疊，使點落在四邊形內點的位置，(1)探索與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如果點落在四邊形外點的位置，與、之間的數(shù)量關系有何變化，請說明理由．【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由見解析(2)∠A=（∠2-∠1），理由見解析【分析】（1）根據(jù)折疊性質得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根據(jù)三角形內角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根據(jù)翻折的性質表示出∠1、∠2，再根據(jù)四邊形的內角和定理列式整理即可得解．【詳解】（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折疊A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A，即∠A=（∠2-∠1）．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理及四邊形內角和的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并證明；（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數(shù)．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【分析】（1）根據(jù)四邊形內角和等于360°列式計算即可得解；（2）延長DE交BF于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長DC交BE于H，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案為180°；（2）解：延長DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，延長DC交BE于H，由三角形的外角性質得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45°【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，四邊形的內角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．13．（2023·重慶·八年級專題練習）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）240°【分析】（1）延長CD交AB于點E，根據(jù)三角形外角性質可證，，運用角的等量轉換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質，運用第（1）題的方法可證，，和是對頂角，可推出的度數(shù)等于2倍的度數(shù)，計算得出答案．【詳解】（1）證明：延長CD交AB于點E，如圖：∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）解：∵和是對頂角，∴．由（1）的結論可知，，∴．【點睛】本題考查了三角形外角性質，靈活運用三角形外角性質是解題關鍵．14．（2023·廣西·八年級專題練習）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點、，請用表示、；(2)若、的等分線交于點、（、依次從下到上），請用表示，．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根據(jù)三角形的內角和定理可得，再由、的三等分線交于點、，可得再根據(jù)三角形的內角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形的內角和定理可得，再由、的等分線交于點、，可得再根據(jù)三角形的內角和定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵、的三等分線交于點、，∴∴，；（2）解：∵，∴，∵、的等分線交于點、，∴∴，．【點睛】本題主要考查了有關角平分線三角形的內角和問題，熟練掌握三角形的內角和定理，并利用類比思想解答是解題的關鍵．15．（2023·云南保山·八年級校考期中）已知：點D是△ABC所在平面內一點，連接AD、CD．（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如圖2，若存在一點P，使得PB平分∠ABC，同時PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的