2025屆學易數學高一下期末監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列說法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．兩直角邊分別為1,的直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周，得到的幾何體的表面積是()A． B．3π C． D．3．在數列中，已知，，則該數列前2019項的和（）A．2019 B．2020 C．4038 D．40404．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A．4 B． C． D．5．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品7．若直線被圓截得弦長為4，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．8．設在中,角所對的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定9．某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．10．無論取何實數，直線恒過一定點，則該定點坐標為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線與間的距離為________．12．已知函數．利用課本中推導等差數列的前項和的公式的方法，可求得的值為_____．13．在數列中，，，則__________．14．已知數列的前n項和為，，且（），記（），若對恒成立，則的最小值為__．15．與終邊相同的最小正角是______.16．如圖，在水平放置的邊長為1的正方形中隨機撤1000粒豆子，有400粒落到心形陰影部分上，據此估計心形陰影部分的面積為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線和．（1）若與互相垂直，求實數的值；（2）若與互相平行，求與與間的距離，18．年北京市進行人口抽樣調查，隨機抽取了某區居民人，記錄他們的年齡，將數據分成組：，，，…，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該區中隨機抽取一人，估計其年齡不小于的概率；（Ⅱ）估計該區居民年齡的中位數（精確到）；（Ⅲ）假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，估計該區居民的平均年齡.19．已知．（1）化簡；（2）若，且，求的值．20．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在區間上的值域.21．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，.（1）若，求△ABC的周長；（2）若CD為AB邊上的中線，且，求△ABC的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：選項A中，條件應為；選項B中當時不成立；選項D中，結論應為；C正確．考點：不等式的性質．2、A【解析】

由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據圓錐的側面積計算公式可得．【詳解】由題得直角三角形的斜邊為2，則斜邊上的高為.由題知該幾何體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，其中，故選．【點睛】本題考查旋轉體的定義，圓錐的表面積的計算，屬于基礎題.3、A【解析】

根據條件判斷出為等差數列，利用等差數列的性質得到和之間的關系，得到答案.【詳解】為等差數列【點睛】本題考查等差中項，等差數列的基本性質，屬于簡單題.4、B【解析】

由正弦定理可得，，代入即可求解．【詳解】∵，，∴由正弦定理可得，，則.故選：B．【點睛】本題考查正弦定理的簡單應用，考查函數與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎題．5、A【解析】

對分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出.【詳解】由題意，當時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線相互垂直；當時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線不垂直，舍去；當且時，由兩條直線相互垂直，則，即，解得或；綜上可得：或，兩條直線相互垂直，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、兩條直線相互垂直的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.6、B【解析】

根據對立事件的概念，選出正確選項.【詳解】從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，“至少有一件次品”的對立事件為兩件全是正品.故選：B【點睛】本小題主要考查對立事件的理解，屬于基礎題.7、A【解析】

圓方程配方后求出圓心坐標和半徑，知圓心在已知直線上，代入圓心坐標得滿足的關系，用“1”的代換結合基本不等式求得的最小值．【詳解】圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線被圓截得弦長為4，則圓心在直線上，∴，，又，∴，當且僅當，即時等號成立．∴的最小值是1．故選：A．【點睛】本題考查用基本不等式求最值，解題時需根據直線與圓的位置關系求得的關系，然后用“1”的代換法把湊配出可用基本不等式的形式，從而可求得最值．8、B【解析】

利用正弦定理可得，結合三角形內角和定理與誘導公式可得，從而可得結果.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9、A【解析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關于三角函數在幾何中的應用的題目，掌握正余弦定理是解題的關鍵；首先根據三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進而得到正方形的面積，最后得到答案.10、A【解析】

通過整理直線的形式，可求得所過的定點.【詳解】直線可整理為，當，解得，無論為何值，直線總過定點.故選A.【點睛】本題考查了直線過定點問題，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據兩平行線間的距離，，代入相應的數據，整理計算得到答案.【詳解】因為直線與互相平行，所以根據平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【點睛】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡單題.12、1．【解析】

由題意可知：可以計算出的值，最后求出的值.【詳解】設,，所以有，因為,因此【點睛】本題考查了數學閱讀能力、知識遷移能力，考查了倒序相加法.13、16【解析】

依次代入即可求得結果.【詳解】令，則；令，則；令，則；令，則本題正確結果：【點睛】本題考查根據數列的遞推公式求解數列中的項，屬于基礎題.14、【解析】

,即為首項為，公差為的等差數列，，，，由得，因為或時，有最大值，，即的最小值為，故答案為.【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.15、【解析】

根據終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.16、0.4【解析】

根據幾何概型的計算，反求陰影部分的面積即可.【詳解】設陰影部分的面積為，根據幾何概型的概率計算公式：，解得.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)根據直線垂直的公式求解即可.(2)根據直線平行的公式求解,再利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】解（1）∵與互相垂直,∴,解得．（2）由與互相平行,∴,解得．直線化為：,∴與間的距離．【點睛】本題主要考查了直線平行與垂直以及平行線間的距離公式.屬于基礎題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（I）計算之間的頻率和，由此估計出年齡不小于的概率.（II）從左往右，計算出頻率之和為的位置，由此估計中中位數.（III）用各組中點值乘以頻率人后相加，求得居民平均年齡的估計值.【詳解】解：（Ⅰ）設從該區中隨機抽取一人，估計其年齡不小于60為事件,所以該區中隨機抽取一人，估計其年齡不小于60的概率為.（Ⅱ）年齡在的累計頻率為,,所以估計中位數為.（Ⅲ）平均年齡為【點睛】本小題主要考查頻率分布直方圖的識別與應用，考查頻率分布直方圖估計中位數和平均數，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用誘導公式化簡即得；（2）利用同角的平方關系求出的值，即得解.【詳解】解：（1）．（2）因為，且，所以，所以．【點睛】本題主要考查誘導公式和同角的三角函數求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由二倍角公式，并結合輔助角公式可得，再利用周期可求出答案；（2）由的范圍，可求得的范圍，進而可求出的范圍，從而可求得的值域.【詳解】（1），∴函數的最小正周期為.（2）∵，∴，∴，∴，∴函數在區間的值域為.【點睛】本題考查三角函數的恒等變換