北京海淀區北方交通大學附屬中學2025屆高一數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知且，則為（）A． B． C． D．2．同時擲兩個骰子，向上的點數之和是的概率是（）A． B． C． D．3．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．4．若關于的方程有且只有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知向量，，，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．8．若變量，滿足條件，則的最大值是（）A．-4 B．-2 C．0 D．29．數列，通項公式為，若此數列為遞增數列，則的取值范圍是A． B． C． D．10．向量，，且，則等于（）A． B． C．2 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩圓交于點和，兩圓的圓心都在直線上，則____________；12．角的終邊經過點，則___________________．13．如圖，以為直徑的圓中，，在圓上，，于，于，，記，，的面積和為，則的最大值為______.14．不等式的解集為_________________；15．三階行列式中，元素4的代數余子式的值為________.16．已知函數的部分圖象如圖所示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．18．為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間（單位：h）實驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果來看，哪種藥的效果好？（2）完成莖葉圖，從莖葉圖來看，哪種藥療效更好？19．已知點，，動點滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過坐標原點O的直線l交C于P、Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為H．連結QH并延長交C于點R．（i）設O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時直線l的方程．20．已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規定，A、B兩地之間的公路車速x應限制在60~120km/h，假設汽油的價格是7元/L，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是70元（設汽車為勻速行駛），那么最經濟的車速是多少？如果不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？21．已知圓，過點的直線與圓相交于不同的兩點，．（1）若，求直線的方程．（2）判斷是否為定值．若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由題意得，因為，即，所以，又，又，且，所以，故選B．2、C【解析】

分別計算出所有可能的結果和點數之和為的所有結果，根據古典概型概率公式求得結果.【詳解】同時擲兩個骰子，共有種結果其中點數之和是的共有：，共種結果點數之和是的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查古典概型問題中的概率的計算，關鍵是能夠準確計算出總體基本事件個數和符合題意的基本事件個數，屬于基礎題.3、D【解析】

取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設正三棱柱的各棱長為,則，設直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、B【解析】

方程化為，可轉化為半圓與直線有兩個不同交點，作圖后易得．【詳解】由得由題意半圓與直線有兩個不同交點，直線過定點，作出半圓與直線，如圖，當直線過時，，，當直線與半圓相切（位置）時，由，解得．所以的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查方程根的個數問題，把問題轉化為直線與半圓有兩個交點后利用數形結合思想可以方便求解．5、A【解析】

因式分解求解即可.【詳解】,解得.故選：A【點睛】本題主要考查了二次不等式的求解,屬于基礎題.6、A【解析】

利用坐標表示出，根據垂直關系可知，解方程求得結果.【詳解】，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查向量垂直關系的坐標表示，屬于基礎題.7、A【解析】

，不妨設，,則，選A.8、D【解析】

由約束條件畫出可行域，將問題轉化為在軸截距最小，通過平移可知當過時，取最大值，代入可得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：當取最大值時，在軸截距最小平移直線可知，當過時，在軸截距最小又本題正確選項：【點睛】本題考查線性規劃中的最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過直線平移來進行求解，屬于常考題型.9、B【解析】因為的對稱軸為,因為此數列為遞增數列,所以.10、B【解析】

先由數量積為，得出，求出的坐標，利用模長的坐標公式求解即可.【詳解】由題意可得，則則故選：B【點睛】本題主要考查了向量模的坐標表示以及向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由圓的性質可知，直線與直線垂直，，直線的斜率，，解得.故填：3.【點睛】本題考查了相交圓的幾何性質，和直線垂直的關系，考查數形結合的思想與計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數定義求解.【詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【點睛】設始邊為的非負半軸,終邊經過任意一點,則：13、【解析】

可設，表示出S關于的函數，從而轉化為三角函數的最大值問題.【詳解】設，則，，，當時，.【點睛】本題主要考查函數的實際運用，三角函數最值問題，意在考查學生的劃歸能力，分析能力和數學建模能力.14、【解析】

根據絕對值定義去掉絕對值符號后再解不等式．【詳解】時，原不等式可化為，，∴；時，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【點睛】本題考查解絕對值不等式，解絕對值不等式的常用方法是根據絕對值定義去掉絕對值符號，然后求解．15、6【解析】

利用代數余子式的定義直接求解.【詳解】三階行列式中，元素4的代數余子式的值為：.故答案為：6.【點睛】本題主要考查了三階行列式中元素的代數余子式的求法，屬于中檔題.16、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.18、（4）服用A藥睡眠時間平均增加4.4；服用B藥睡眠時間平均增加4.6；從計算結果來看，服用A藥的效果更好；（4）A藥

B藥

6

4．

89565

45845

4．

794446844

7844567944

4．

46457

4544

4．

4

從莖葉圖來看，A的數據大部分集中在第二、三段，B的數據大部分集中在第一、二段，故A藥的藥效好.【解析】(4)設A藥觀測數據的平均數為，B藥觀測數據的平均數為.由觀測結果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.由以上計算結果可得＞，因此可看出A藥的療效更好．(4)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有的葉集中在莖4,4上，而B藥療效的試驗結果有的葉集中在莖4,4上，由此可看出A藥的療效更好．考點：莖葉圖、平均數.19、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解析】

（1）根據題意列出方程求解即可（2）聯立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點坐標，表示出QH直線方程，采用點到直線距離公式求解；利用圓的幾何關系，表示出三角形的底和高，再結合函數最值問題進行求解【詳解】（1）由及兩點距離公式，有，化簡整理得，．所以曲線C的方程為；（2）（i）設直線l的方程為；將直線l的方程與圓C的方程聯立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線QH的方程為．到直線QH的距離，當時．，所以，（ii）過O作于D，則D為QR中點，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當且僅當時，等號成立，且此時由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當面積最大時直線的方程為.【點睛】直線與圓的綜合類題型常采用點到直線距離公式、圓內構造的直角三角形，將代數問題與幾何問題進行有效結合，可大大降低解題難度.20、80,280【解析】

將總費用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】設總費用為則當時等號成立，滿足條件故最經濟的車速是，總費用為280【點睛】本題考查了函數表達式，均值不等式，意在考查學生解決問題的能力.21、（1）或．（2）是，定值．【解析】

（1）根據題意設出，再聯立直線方程和圓的方程，得