§2數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的極限一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.推理與證明推理方法有：合情推理與演繹推理.合情推理有：類比，不完全歸納，猜想等.演繹推理：嚴(yán)格的邏輯證明.2.數(shù)學(xué)歸納法：是證明有關(guān)自然數(shù)的命題的一種方法，屬于完全歸納法，其證明步驟如下：第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)允許值時(shí)命題成立；第二步：假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立（歸納假設(shè)），證明當(dāng)時(shí)命題也成立.完成以上兩步，就能斷言：對(duì)一切，命題都成立.3.歸納猜想問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論，在解答過程中需要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、試驗(yàn)、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解（1）學(xué)會(huì)探索與發(fā)現(xiàn)的規(guī)律方法：演繹——從一般到一般（結(jié)論一定正確）；類比——從特殊到特殊（結(jié)論不一定正確）；歸納——從特殊到一般（結(jié)論不一定正確）.（2）歸納猜想得到的結(jié)論不一定正確，必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明，而與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論的證明，常用數(shù)學(xué)歸納法.4.數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是歸納的基礎(chǔ)，這是一個(gè)成立的實(shí)事；第二步是證明的關(guān)鍵，在歸納假設(shè)的前提下完成證明.如果不用歸納假設(shè)而完成了證明過程，那不叫數(shù)學(xué)歸納法證明.多米諾骨牌.5.數(shù)學(xué)歸納法的原理：（1）；（2）；（3）6.歸納猜想證明的一般步驟：①計(jì)算命題取特殊值時(shí)的結(jié)論；②對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析，探索數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，并猜想命題的一般結(jié)論；③證明所猜想的結(jié)論.7.數(shù)列極限（1）定義：一般地，在n無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的項(xiàng)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列的極限，或稱作數(shù)列收斂于A，記作.數(shù)列極限存在的條件：①無限數(shù)列；②當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，無限趨近于某一常數(shù).（2）數(shù)列極限的運(yùn)算法則：若，則①；②；③；④.特別，若C為常數(shù)，則.（3）三個(gè)常用的極限：①（C為常數(shù)）；②；③（4）無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和：若無窮等比數(shù)列的公比，則其各項(xiàng)的和為.8.關(guān)于數(shù)列極限概念的理解：①極限是一種變化趨勢(shì)，并不一定有=A；②“無窮大”的意思是要有多大就有多大；③若，則.9.常見數(shù)列極限類型：①、型：極限不存在；②、、型：極限均為0；③、、、型：極限不確定，有的存在，有的不存在.④有理分式型：二、基礎(chǔ)自測(cè)1.一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于(B)A．一切正整數(shù)命題成立B．一切正奇數(shù)命題成立C．一切正偶數(shù)命題成立D．以上都不對(duì)2.設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(C)A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，任取其中1條直線，記為l，則除l外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k)，因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交(有k個(gè)交點(diǎn))；又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn)，所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的f(k)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f(k)＋k＝f(k＋1)．3.已知某個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，那么可得當(dāng)時(shí)命題也成立.①寫出當(dāng)n=4時(shí)命題成立的所有充分條件：；②寫出當(dāng)n=4時(shí)命題成立的一個(gè)必要條件：；③現(xiàn)在已知當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立，則下列說法正確的是：A．當(dāng)n=3時(shí)該命題不成立；B．當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立；C．當(dāng)n=1時(shí)該命題可能成立；D．當(dāng)n=5時(shí)，該命題可能成立，如果n=5時(shí)命題成立，那么對(duì)于任意自然數(shù)，該命題都成立.解：①是找到推出“n=4”成立的條件；②是找到由“n=4”能推出什么；③可用等價(jià)于逆否命題來判斷：“”“”.①n=1成立、n=2成立、n=3成立；②n=5或n=6或n=7…③A、D均正確4.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝eq\f(1,3)，且對(duì)任意正整數(shù)m、n，都有am＋n＝aman，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2【解析】a1＝eq\f(1,3)，a2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，a3＝eq\f(1,3)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,27)，a4＝eq\f(1,81)∴{an}是首項(xiàng)為eq\f(1,3)公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\f(\f(1,3),1－\f(1,3))＝eq\f(1,2).【答案】A5.若eq\f((a＋2b)n2＋2n＋1,bn＋3)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＋b為()A．－2B．2C．－4D．4【解析】極限值為eq\f(1,2)，分母是n的一次式，分子是n的二次式，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝0，,\f(2,b)＝\f(1,2).))得b＝4，a＝－8，∴a＋b＝－4.【答案】C6.已知數(shù)列{log2(an－1)}(n∈N*)為等差數(shù)列，且a1＝3，a3＝5，則等于()A．2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)【解析】令bn＝log2(an－1)，則{bn}成等差數(shù)列，b1＝log22＝1，b2＝log24＝2，可知數(shù)列bn＝log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝2n＋1.則an＋1－an＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n.即求lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(\f(1,2),1－\f(1,2))＝1.【答案】C7.=2.8.=.三、典例解析【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(n,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)＋n(n∈N*)．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋eq\f(1,2)，右邊＝eq\f(1,2)＋1，∴eq\f(3,2)≤1＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，即命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，即1＋eq\f(k,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)≤eq\f(1,2)＋k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)>1＋eq\f(k,2)＋2k·eq\f(1,2k＋2k)＝1＋eq\f(k＋1,2).又1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)<eq\f(1,2)＋k＋2k·eq\f(1,2k)＝eq\f(1,2)＋(k＋1)，即n＝k＋1時(shí)，命題成立．由（1）（2）可知，命題對(duì)所有n∈N*都成立．【例2】是否存在常數(shù)a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由．解析假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立．當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6；當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19.解方程組解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝2，,c＝1.))證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(1,3)k(2k2＋1)；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(1,3)k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝eq\f(1,3)k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝eq\f(1,3)(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．即n＝k＋1時(shí)，等式成立．因此存在a＝eq\f(1,3)，b＝2，c＝1使等式對(duì)一切n∈N*都成立．【例3】用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，42k＋1＋3k＋2能被13整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，方法一42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．方法二因?yàn)閇42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13，∵42k＋1·13能被13整除，∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，由（1）（2）知，當(dāng)n∈N＋時(shí)，42n＋1＋3n＋2能被13整除．【例4】在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝eq\f(1,2).（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．解：（1）S1＝a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))得aeq\o\al(2,1)＝1.∵an>0，∴a1＝1，由S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，得aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0，∴a2＝eq\r(2)－1.又由S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))得aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，∴a3＝eq\r(3)－eq\r(2).（2）猜想an＝eq\r(n)－eq\r(n－1)(n∈N*)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝eq\r(1)－eq\r(0)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)猜想成立，即ak＝eq\r(k)－eq\r(k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))，即ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\r(k)，∴aeq\o\al(2,k＋1)＋2eq\r(k)ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝eq\r(k＋1)－eq\r(k).即n＝k＋1時(shí)猜想成立．由①②知，an＝eq\r(n)－eq\r(n－1)(n∈N*)．【例5】已知數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(2,3)，其前n項(xiàng)和Sn滿足an＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2.∴Sn＝－eq\f(1,Sn－1＋2)(n≥2)．則有S1＝a1＝－eq\f(2,3)，S2＝－eq\f(1,S1＋2)＝－eq\f(3,4)，S3＝－eq\f(1,S2＋2)＝－eq\f(4,5)，S4＝－eq\f(1,S3＋2)＝－eq\f(5,6).由此猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)(n∈N*)．用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝－eq\f(2,3)＝a1，猜想成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－eq\f(k＋1,k＋2)成立，那么n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝－eq\f(1,Sk＋2)＝－eq\f(1,－\f(k＋1,k＋2)＋2)＝－eq\f(k＋2,k＋3)＝－eq\f((k＋1)＋1,(k＋1)＋2).即n＝k＋1時(shí)猜想成立．由①②可知，對(duì)任意自然數(shù)n，猜想結(jié)論均成立．【例6】（1）.解：（2）等差數(shù)列項(xiàng)和分別為，若等于（C） A．1 B． C． D．【例7】設(shè)數(shù)列中，，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等差數(shù)列. （1）求，并猜想Sn的表達(dá)式，用數(shù)學(xué)歸納法證明； （2）求Sn。解：（1），證明略。（2） 【例8】設(shè)，若數(shù)列中， （1）寫出的前四項(xiàng)，并猜想的表達(dá)式，用數(shù)學(xué)歸納法證明； （2）求； （3），求的前n項(xiàng)之和。解：（1），，用數(shù)學(xué)歸納法證明略； （2）； （3） 【例9】已知數(shù)列：N*（Ⅰ）歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）求證：解：（Ⅰ）∵,…，猜測(cè)，數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.（Ⅱ）∵∴【例10】設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有的自然數(shù)，與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng)。 （1）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（寫出推證過程）； （3）令解：（1）當(dāng) ， 故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10。 （2）由（1）猜想數(shù)列。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是。 ①當(dāng)，又在（1）中已求出，所以上述結(jié)論成立。 ②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即有，由題意有將代入上式，得。 由題意有，代入，得整理得 由，解得，所以 這就是說，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論成立。 根據(jù)①、②上述結(jié)論對(duì)任意成立。 （3）令，則 四、鞏固練習(xí)（一）基礎(chǔ)練習(xí)1.已知整數(shù)對(duì)的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是________．解析本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對(duì)為(n－1)對(duì)．設(shè)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴eq\f((n－1)n,2)＝60，∴n＝11時(shí)還多5對(duì)數(shù)，且這5對(duì)數(shù)和都為12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60個(gè)數(shù)對(duì)為(5,7)．2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，而，通過計(jì)算猜想（A） A． B． C． D．3.等比數(shù)列的首項(xiàng)等于（A） A． B． C．－2 D．24.已知數(shù)列滿足的值是（） A． B． C． D．1解：由已知先確定, 由 ∴ 得是公比為的等比數(shù)