河南省南陽市鄧州市2024屆九年級上學期1月期末考試數學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一,單選題

1.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.V14B，7O5C.D.A/12

2.下列計算正確的是（）

A.2百+40=6&B.強=4后C.后+6=3D.=-3

3.在一個不透明的盒子里裝有機個球，其中紅球6個，這些球除顏色外都相同，每

次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復試驗后發現，摸到

紅球的頻率穩定到0.2附近，那么可以估算出機的值為（）

A.16B.20C.24D.30

4.關于方程x（3x+2）=6（3x+2）的描述，下列說法錯誤的是（）

A.它是一元二次方程B.解方程時，方程兩邊先同時除以（3x+2）

C.它有兩個不相等的實數根D.用因式分解法解此方程最適宜

5.如圖，比例規是伽利略發明的一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定的比例伸長

或縮短.它是由長度相等的兩腳A。和交叉構成的.如果把比例規的兩腳合上，使螺

絲釘固定在刻度3的地方（即同時使。L=3OD,05=300,然后張開兩腳，使

A,5兩個尖端分別在線段/的兩個端點上，若量得CD的長度，便可知的長度.本

題依據的主要數學原理是（）

A.三邊成比例的兩個三角形相似

B.兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等

C.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

D.平行線分線段成比例

6.在RtZVlBC中，ZC=90°,AB=娓,BC=6則ZB的度數（）

A.30°B.45°C.60°D.無法確定

7.下列關于二次函數y=（x+2）2-3的說法正確的是（）

A.圖象是一條開口向下的拋物線B.圖象與x軸沒有交點

C.當x<0時，y隨x增大而增大D.圖象的頂點坐標是（-2,-3）

8.如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的道路，余下部分種植草

坪，要使小路的面積為100平方米，設道路的寬為x米，則可列方程為（）

A.32x20-32x-20x=100B.（32-x）（20-%）+^2=100

C.32x+20x=100+x2D.（32-x）（20-x）=100

9.如圖，小明家的客廳有一張高0.8米的圓桌，直徑5C為1米，在距地面2米的A

處有一盞燈，圓桌的影子最外側兩點分別為。、E,依據題意建立如圖所示的平面直角

坐標系，其中點。的坐標為（2,0）,則點E的坐標是（）

B.（3,0）C.（3.6,0）D.（4,0）

10.如圖①，在RtZVLBC中，NACB=90。，ZA=30°,動點。從點A出發，沿

AfCf5以lcm/s的速度勻速運動到點3,過點。作。石，于點E,圖②是點。

運動時，△AOE的面積Men?）隨時間x（s）變化的關系圖象，其中圖象最高點的縱坐

標是126，則的長為（）

卜y/cm2

AEBO

圖①圖②

A.4cmB.4j^cmC.8cmD.80cm

二、填空題

ii.已知色女=3,則3的值為.

b5b

12.請在橫線上填寫一個恰當的整數，使方程2f-5x+=0有兩個不相等的實

數根.

13.新高考“3+1+2”選科模式是指除，語文、數學、外語”3門科目以外，學生應在2

門首選科目“歷史和物理”中選擇1科，然后在4門再選科目“思想政治、地理、化學、

生物”中選擇2科.小剛同學從4門再選科目中隨機選擇2科，則恰好選中“思想政治和

生物”的概率為.

14.在平面直角坐標系中，將拋物線>=必—2x+6向右平移2個單位，再向上平移3

個單位，所得平移后的拋物線（如圖），點A在平移后的拋物線上運動，過點A作

47，%軸于點。，以AC為對角線作矩形連接3。，則對角線5。的最小值為

15.在菱形ABCD中，AB=4,NA=120。，點”是對角線5。的中點，點P從點A

出發沿著邊按由AfOfC的路徑運動，到達終點C停止，當以點P、M、。為頂點

的三角形與△相￡>相似時，則線段AP的長為.

三、解答題

16.(1)計算：A/5xV15+3tan300-2sin45°；

(2)解方程：％2一8尤—2=0.

17.如圖，AC為菱形ABCD的對角線，點E在AC的延長線上，且NE=/4BC.

(1)求證：△ACDs^ABE；

(2)若點C是AE的中點，AC=4,求菱形ABCD的邊長.

18.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在網格的格點上，按要求解決下列

(2)以原點。為位似中心，在第一象限內出畫出△△52c2，使得△A^C］與△4與。2

位似，且相似比為1:3.并寫出AABC與△4鳥。2的面積之比為；

(3)在(1)、(2)的條件下，設△ABC內一點P的坐標為(口力)，則△4員。2內與

點P的對應點P2的坐標為.

19.某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制

了一個簡易測角儀，如圖1所示.

（1）如圖2,在P點觀察所測物體最高點C,當量角器零刻度線上A,3兩點均在視

線PC上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為a,設仰角為/3,請直接用含a的代

數式表示（3-

（2）如圖3,為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在

點3,C分別測得氣球A的仰角NABD為37。，ZACD為45。，地面上點3,C,。在

同一水平直線上，BC=26m,求氣球A離地面的高度AD.（參考數據：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

20.某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的

頂端A處安裝一個噴頭向外噴水.柱子在水面以上部分的高度。4為3m.水流在各個方

向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m

處達到最大高度為4m,如圖所示.

（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求在第一象限部分的拋物線解析式（不必寫出

自變量取值范圍）；

（2）張師傅在噴水池維修設備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離

為2.5m處，通過計算說明身高1.8m的張師傅是否被淋濕？

（3）如果不計其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的直徑至少為多少時，

才能使噴出的水流都落在水池內？

21.“直播帶貨”已經成為信息社會中商家的一種新型促銷手段.某主播小紅在直播間銷

售一種進價為每件20元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷

售單價x（元）滿足一次函數關系y=-lOx+400（注：在計算利潤時，不考慮快遞費

用等其他因素）.

（1）設小紅每天的銷售利潤為攻元，求攻與x之間的函數關系式（要求函數關系式

化為一般式，并寫出自變量x的取值范圍）；

（2）若小紅每天想獲得的銷售利潤攻為750元，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單

價定為多少元？

（3）當銷售單價定為多少元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，并求出最大銷售利潤

22.請仔細閱讀下面的材料，并完成相應的任務.

利用圖象法解一元二次方程

數學活動課上，王老師提出這樣一個問題：我們曾經利用一次函數的圖象解一元一

次方程，類比前面的學習經驗，我們能否利用二次函數的圖象解一元二次方程呢？

例如，解方程：X2-2X-3^-3.

王老師倡導同學們以小組為單位進行合作探究，同學們經過幾分鐘熱烈的討論交流，

智慧小組率先展示了他們的方法：將方程進一步變形為好一2%=0,如圖1,畫出二次

函數丁=》2一2》的圖象，發現拋物線與x軸的相交于（0,0）和（2,0）兩點，當％=0或

%=2時，止匕時y=0,所以必―2x=0,即％2_2%_3=_3,所以此方程的解為西=0,

x2=2.

善思小組受智慧小組的啟發，展示了他們的方法：畫出二次函數y2x-3的圖象

和直線y=-3.如圖2所示，它們相交于（0,-3）和（2,-3）兩點，當x=0或x=2時，此時

丁=—3,即％2_2%—3=—3,所以此方程的解為±=0,々=2.

任務：

(1)利用圖象法解上述材料中的方程，下列敘述錯誤的是()

A.利用圖象法解方程體現了數形結合思想

B.畫出拋物線>=必和直線y=2x,觀察圖象交點的橫坐標，也可得出該方程的根

C.畫出拋物線丁=必-3和直線y=-2x+3,觀察圖象交點的橫坐標，也可得出該方程

的根

D.畫出拋物線y=f+3和直線y=2x+3,觀察圖象交點的橫坐標，也可得出該方程的

根

(2)請你利用圖象法解方程必一4%=-3,把函數圖象畫在圖3的平面直角坐標系

中，并寫出解方程的分析過程.

(3)若方程f—4x=a無實數根，從圖形的角度看就是拋物線丁=必一以與直線

無交點，此時。的取值范圍是;

(4)拓展遷移：方程4x=|x-2|的根的情況是.

23.綜合與實踐：

(1)問題發現：如圖，在△ABC中，AB^AC,是外角NC4E的平分線，則AD

與的位置關系如何，并加以證明.

E

AA_____D

/\2

B

(2)問題解決：如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=8,點E是的中點，將

△ABE沿直線AE翻折，點3落在點R處，連結。尸，求cosNECF和線段的值.

(3)拓展遷移：如圖，正方形ABCD的邊長為10,E是邊AZ)上一動點，將正方形沿

CE翻折，點。的對應點為。，過點。作折痕CE的平行線，分別交正方形ABCD的

邊于點M、N(點〃在點N上方)，若2AM=CN,請直接寫出OE的長為.

參考答案

1.答案：A

解析：A、是最簡二次根式，本選項符合題意；

B、屈=變，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；

2

c、不是最簡二次根式，本選項不符合題意；

D、712=273,不是最簡二次根式，本選項不符合題意.

故選：A.

2.答案：C

解析：A、2石與4&不是同類二次根式，不能合并，本選項不符合題意;

B、m=2垃/4拒,本選項不符合題意；

C、厲十百=，27+3=囪=3,本選項符合題意；

D、J（-3）2=3—3,本選項不符合題意；

故選：C.

3.答案：D

解析：大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定到0.2附近，

二任意摸出一個球，摸到紅球的概率為0.2,

—=0.2,

m

解得m=30,

經檢驗：加=30是原方程的解，

故選：D.

4.答案：B

解析：A、方程x（3x+2）=6（3x+2）整理得為3/一I6x—12=0,

故方程是一元二次方程，該說法正確，不合題意；

B、解方程時，方程兩邊先同時除以（3x+2）,會漏解，

故該說法錯誤，符合題意；

C、由31—1612=0得：

A=(-16)2-4x3x(-12)=412>0,

故方程有兩個不相等的實數根，該說法正確，不合題意；

D、用因式分解法解此方程最適宜，該說法正確，不合題意;

故選：B.

5.答案：C

解析：OA=3OD,OB=3OC,

OAOB.

---=---=3,

ODOC

ZAOB=ZCOD,

:.AAOBSADOC(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似).

ABOB

AB=3CD,

~CD~~OC

二若量得。的長度，便可知A3的長度.

故選：C.

6.答案：B

解析：ZC=90°,ABM,BC=6

3於變=半=也,

AB屈2

.?.4=45。.

故選：B.

7.答案：D

解析：已知二次函數y=(x+2)2-3,

二圖象的開口向上，故A選項錯誤，不符合題意；

圖象的頂點坐標為(-2,-3),故D選項正確，符合題意;

.,圖象開口向上，頂點坐標在第三象限，

二圖象與x軸有交點，故B選項錯誤，不符合題意；

圖象的對稱軸為X=-2,開口向上，

二當x<0時，y先隨x的增大而減少，再隨x的增大而增大，故C選項錯誤，不符合

題意；

故選：D.

8.答案：C

解析：根據題意，小路的長為（32+20）米、寬為x米，

故所列方程為（32+20）x-d=100,

即32x+20x=100+f,

故選：C.

9.答案：A

解析：如圖所示：

由題意得：軸，BCIIDE,

:.ZXADOs八BDF,AABC^AADE,

49=2,BF=0.S,

.-.BD:AD^BF:AO^2:5,

:.AB:AD=3:5,

BCDE=AB:AD=3:5,

BC=\,

:,DE=-,

3

D（2,0）,

?4+>],

即：哈。）

故選：A.

10.答案：B

解析：根據題意，設AD=x,,

DE上AB,ZA=30°,

:.DE=-AD=-x,AE^yl3DE^—x,

222

°__14-麗_1石1_A/32

■■S^ADE=y=~AE-DE=-X—XX-X^—X,

根據圖示，當點。與點C重合時，y的值最大，最大值為126,

:.—x2=12A/3,

8

解得，%=4^/6,

AC=4而，

ZACB=90°,ZA=30°,AC=476,

.?.在RtzXABC中，tanZA=tan30°=—=—,

AC3

3C=#AC=#x4痛=4?cm),

故選：B.

11.答案：|

解析：f

:.5a-5b-3b,

則5a=8b,

,a_8

.?—*

b5

故答案為：|.

12.答案：0（答案不唯一，小于生的整數均可）

8

解析：設常數項為c,

關于X的方程有兩個不相等的實數根,

.-.A=(-5)2-4X2O0,

解得c<^,

8

。為整數，

二c可取0.

故答案為：0(答案不唯一，小于竺的整數均可).

8

13.答案：」

6

解析：在4門科目“思想政治、地理、化學、生物”中選擇2科的所有等可能結果有：

“思想政治和地理、思想政治和化學、思想政治和生物、地理和化學、地理和生物、化

學和生物，，共6種結果，

其中選中思想政治和生物的結果數為1,

,則恰好選中“思想政治和生物”的概率為L

6

故答案為：

6

14.答案:8

解析：y=%2-2x+6=+5>

???將拋物線y=2x+6=(x—17+5向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得

平移后的拋物線y=(x-37+8,

拋物線的頂點坐標為(3,8),

四邊形ABC。為矩形，

BD=AC>

而軸，

二.AC的長等于點A的縱坐標，

當點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為8,

二對角線的最小值為8.

故答案為：8.

15.答案：2或2石

解析：根據題意，作圖如下，連接AM,

C

四邊形ABC。是菱形，ZBAD=12Q°,

:.AB=BC^CD^AD^4,ZABC=ZADC60°,

ZABD=ZABD=30°,

點舷是的中點，

.-.AM±BD,即NAMB=/4"D=90°,

在Rt^AD暇中，AM=-AD=-x4=2,DM=0M=26,則

22

BD=2MD=2x26=4班,

①如圖所示，當點P在上時，當時，

二型=絲，則W=濘=2,

ADBDBD473

,AP=A《=4。一《。=4—2=2；

②如圖所示，當點尸在上時，當時，

連接AC,根據菱形的性質，ABAC=12Q°,可得△的）（?是等邊三角形,

,根據上述證明可得，點［是A。的中點，且NAZ）5=NCDB=30。，

當MMDSAABD時，點鳥關于點片對稱，

/.P?D=2,

二點鳥為的中點，且/ADC=60。，

AP21CD,即乙叫。=90。，

ZDAP,=30°,

.-.AP=AP,=y/3P,D=2s/3；

綜上所述，AP的長為2或26，

故答案為：2或2幣.

16.答案：（1）4V3--V2

4

（2）Xy=4+3A/2,x,=4—3A/2

解析：（1）原式=5鳳正一6一0,

4

=4-\/3——V2；

4

（2）移項得：X2-8X=2,

配方得：x2-8x+42=2+16,

即：（%—盯=18,

直接開平方得x-4=±30,

石=4+3*\/2,%=4—3^/2.

17.答案：（1）證明詳見解析

⑵4亞

ArAD

解析：（I）根據△ACDS2XABE,得出”=絲，代入數據進行計算，即可得出

ABAE

AB的值.

四邊形ABCD是菱形，

:.ZABC=ZD,

又NE=ZABC,

:.ZD=NE,

AC為菱形ABCD的對角線，

ABAC=ADAC,

:.Z\ACD^Z\ABE.

(2)C是AE的中點，AC=4,

.-.AC=CE=4,

四邊形ABC。是菱形，

AB=AD,

△ACD^Z\ABE,

ACAD

'^B~AE，

:.ABAD=ACAE,

AB2=4x8=32,

AB=4y/2,即菱形ABC。的邊長為4a.

18.答案：(1)作圖見解析

(2)作圖見解析，1:9

(3)(~3a,3b)

解析：(1)ZVIBC關于y軸的軸對稱圖形△A4G，作圖如下,

I和

.?.△4與G即為所求圖形；

(2)以原點。為位似中心，在第一象限內出畫出2c2，使得△4片和與

位似，且相似比為1:3,作圖如下，

.-.△AB2C2即為所求圖形,

與△4員。2位似，且相似比為1:3,

q

q

△ABC與△AB?關于y軸對稱,

?q=q

v1

-------------------------——9

VQ

□△A232c2

故答案為：1:9；

（3）根據題意，△ABC與2c2的相似比為上3,

ZXABC內一點P的坐標為51）在第二象限,

：.a<Q,b>0,

?「△4打。2在第一象限，

P2(~3a,3b),

故答案為：（-3a,3b）.

19.答案：(1)j3=900-a

(2)78m

解析：（1）如圖所示:

由題意知在Rt^PO。中，ODVPD,則No+N，=90。，即力=90。—0.

故答案為，=90。-

(2)設AD=jon,

ZACD=45°,ZADB=90°,

:.CD-AD-xm，

BC=20m,

/.BD=(20+%)m,

AH

在中，tanZABD=—,

BD

tan37°=—即0.75=—

26+x26+%

解得：x=78,

/.AD=78m.

答：氣球A離地面的高度是78m.

20.答案：(1)y=-f+2x+3

(2)2.5m

(3)6米

解析：(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標為(1,4),

,設拋物線的解析式為：y=a(x-爐+4,

將(0,3)代入得，?(0-1)2+4=3,解得a=-1,

拋物線的解析式為：y=—(%—+4=—/+2%+3；

(2)當x=2.5時，y=-(2.5-l)2+4=1.75<1.8

所以，張師傅站在與池中心水平距離為2.5m處，能被淋濕.

(3)令y=0,得，0=-(%-1)2+4,

解得X]=3,x2=-1(舍)，

.,.2x3=6(m),

答：水池的直徑至少要6米，才能使噴出的水流都落在水池內.

21.答案：(1)w=-10x2+600x-8000(20<x<40)

(2)25

(3)銷售單價定為30元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大銷售利潤為1000元

解析：(1)由題意得：y=(x-20)(-10%+400)=-10x2+600%-800.

當0=—10x+400時，x=40,

.-.20<%<40,

W=-10X2+600X-8000(20<X<40)；

(2)由題意，令w=750,

.-.-10x2+600x-8000=750,

解得：%=25,々=35.

又盡可能地減少庫存，

,?x-25.

答：應將銷售單價定為25元；

(3)w=-10x2+600%-8000=-10(x-30)2+1000(20<x<40),

—10<0,

.?.當x=30時，W有最大值，最大值為1000,

.??當銷售單價定為30元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大銷售利潤為1000元.

22.答案：(1)C

(2)圖見解析，分析過程詳見解析

(3)y=a；a<—4

(4)有兩個不相等的實數根.

解析：(1)A選項，圖象法是畫出函數圖象，通過交點的情況研究方程的解的情況，

滿足數形結合思想，因此A正確；

B選項，聯立拋物線丁=k和直線y=2x,可得方程整理得V—2X=0,符合

題目的方程，因此B正確；

C選項，聯立拋物線y=3和直線y=—2x+3,可得方程V一3=—2x+3,整理得

X2+2X=0,不符合題目的方程，因此C錯誤；

D選項，聯立拋物線丁=_?+3和直線y=2x+3,可得方程f+3=2x+3,整理得

/一2%=0,符合題目得方程，因此D正確；

故答案為：C；

(2)將方程變形為％2_4%+3=0,如圖，畫出二次函數y=￡—4x+3的圖象，發現拋

物線與x軸交于(1,0)和(3,0)兩點，則當x=l或％=3時，y=0,

所以4%+3=0,即V—4%=—3,

所以方程的解是％i=l,x2-3；

(3)如圖，畫出二次函數y=f-4x的圖象,

通過圖象可得若方程x2-4x^a無實數根，得拋物線y=f—4x與直線y=a無交點，

由圖象可知直線y=T與拋物線有一個交點，得若方程必一以=。無實數根，即直線

y=a在直線y=-4的下方，此時a的范圍是a<-4；

故答案為：y=a-,a<—4；

(4)當M2時，|x-2|=x-2,當尤<2時，\x-2\=-x+2,

x-2（x>2）

則卜-2|=<

-x+2（x<2）

即當xN2時，y-x-2,當x<2,時，y=-x+2,

如圖，畫出丁=爐-4x和y=|x—2|得圖象，

由圖象可得y=爐—4x和y=k—2|有兩個交點,

即——以=忖-2|有兩個不相等的實數根.

故答案為：有兩個不相等的實數根.

23.答案：（1）AD//BC,證明詳見解析

275166

55

（3）4或20-100

解析：（1）AD//BC,理由如下：

AB=AC,

;.NB=NC,

2。也是△ABC的外角，

:.ZCAE=ZB+ZC=2ZB,

是外角NC4E的平分線,

Z1=Z2=-ZCAE=ZB,

2

ADHBC；

(2)點E是5C的中點，

:.BE=CE=-BC=4,

2

四邊形ABC。是矩形，

:.ZB=90°,

AE=VAB2+BE2=A/22+42=2A/5,

?將△ABE沿直線AE翻折，點3落在點R處,