2021年重慶一中高考數(shù)學三診試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.已知sin（,4--0.）=—.則cosa=（）

23

A11

Rc2衣

A.----D.一D.

3333

2.已知4="|2'<8,x€N},且0WBUA,則滿足條件的集合8有（)

A.6個B.7個C.8個D.15個

3.若向量7=(2k-1,k)與向量(4,1）共線，則m?r）=（)

D,上

A.0B.4c.—

22

4.己知（1-x）5+（1+x）7=ao-aix+ci2X2-avc3+a4^-asx5+a6X6-aix1,則ai+43+05+47的

值為（）

A.24B.-48C.-32D.72

5.2021年寒假，重慶一中書院“云”課堂為了解決孩子們在平時學習中的困惑、遺漏等，

各個學科為孩子們量身定制了各重點章節(jié)的微課.其中高三年級數(shù)學學科安排了A,B,

C三位老師錄制“數(shù)列”、“三角函數(shù)”、“立體幾何”、“概率統(tǒng)計”、“解析幾何”、

“函數(shù)與導數(shù)”6個章節(jié)的微課，每位老師錄制兩個章節(jié)，其中A老師不錄制”函數(shù)與

導數(shù)”，B老師不錄制“三角函數(shù)”，則安排錄制微課的情況一共有（）

A.30種B.36種C.42種D.48種

6.雷達是利用電磁波探測目標的電子設備.電磁波在大氣中大致沿直線傳播.受地球表面

曲率的影響，雷達所能發(fā)現(xiàn)目標的最大直視距離L=q（R+J）2-R2+J（R+h?）2_R2

nJzRhi+hJ+JzRhz+hz2（如圖），其中加為雷達天線架設高度，比為探測目標

高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490h〃，故R遠大

于/n,九2.假設某探測目標高度為25處為保護航母的安全，須在直視距離412km外探

測到目標，并發(fā)出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（）

（參考數(shù)據(jù)：V2X8.49^4.12）

7.已知點A(1,0),B(-1,0),若圓C：N+)2-6x-8y+/n=0上有且僅有一點P,使

得正?麗=0,則實數(shù)，〃的值為()

A.-11B.9C.-9或11D.9或-11

8.已知正實數(shù)小b滿足6(d+及號)>^4+b2,則2a+6的最小值為()

A.2B.4C.2eD.2&

二、選擇題(共4小題).

9.若復數(shù)z=3-i,其共甄復數(shù)為則()

A.z的虛部為-i

B.z?z=10

C.羨復平面上對應的點在第四象限

10.已知mfn是兩條不同的直線，a,p為兩個不同的平面，有下列四個命題，其中所有

正確的命題是()

A.若m_La,〃_L0,則a_L0B.若加〃a,貝ija〃0

C.若機_La,n/7p,貝！Ja〃0D.若“J_a,〃〃由a//p,則

11.已知等比數(shù)列｛〃〃｝首項公比為前〃項和為S,”前〃項積為A,函數(shù)/(x)

=x(x+ai)(x+?2)Cx+ai),若/(0)=1,則()

A.｛/ga“｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

B.0<^<1

a1

C.￡為單調(diào)遞增的等比數(shù)列

n1-q

D.使得了“>1成立的〃的最大值為6

12.已知直線/：2kx-2y-kp=0與拋物線C：y2=2px(p>0)相交于A,8兩點，點M(-

1,-1)是拋物線C的準線與以4B為直徑的圓的公共點，則下列結論正確的是()

A.p—2B.k—-2

C.|AB|=5D.aMAB的面積為&西

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-2x?x>l

13.己知函數(shù)/(x)滿足：Vx€R,/(=0,且當x>0時，/(x)=〈，

log3x,x<1

則”(4)］的值為.

14.袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只紅球，2只黃球，從中一次隨

機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為.

15.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：f(尤)-f(x)=xeS且/(0)=0,則/(x)

的極大值為.

16.在長方體ABC。-A向G。中，底面ABC。是邊長為4的正方形，側棱A4i=r(r>4),

點E是BC的中點，點P是側面AB81A1內(nèi)的動點(包括四條邊上的點)，且滿足tan/

APO=4tan/EP8,則四棱錐P-ABED的體積的最大值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

_*TT

17.在(2X(x)=2sin-\:os--2cos2-^-+l,(2)f(x)=2y/~2^in——)cos-^-+1,(3)f(x)

22222

=(si欄■KOsW)2-2COS2胃?這三個條件中任選一個，填在橫線上，并作出解答.問題：

222

已知函數(shù)/(X)的解析式為.

(1)若在△A8C中，/(A)=&，A8=&,AC=1,。為3c的中點，求A。的長；

(2)若g(x)=f(3>3>0,當x￡［——,~^―］時，g(X)的最大值為J，，

求3的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”滿足上L-」k==,S=1.

n+1n2

(1)求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

na

(2)設d=1n數(shù)列｛5｝的前〃項積為T,”若對任意的”CN*,fW4。恒成立，求

SnF

實數(shù)1的最大值.

19.隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.中

華技術有限公司擬對“麒麟”于機芯片進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技

升級投入X（億元）與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.53837.56666

當。<Z17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y=4.1x+ll.￡模型②:

y=213^-14.4；當x>17時’確定、與、滿足的線性回歸方程為了"。7x+a.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①、②的相關指數(shù)型的大小，并

選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元

時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程

y=4.lx+11.8y=21.3474.4

7-2182.479.2

￡仇7口

1=1

n

￡仇-了。

（附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)R2=1-史----------717^4.1）

士（yx-7）

i=l

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元,

以回歸方程為預測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；

n__

ZXiY--nx^y

i=l

（附:用最小二乘法求線性回歸方程…x+a的系數(shù)公式b

￡x^-nx2

i=l

n__

工（Xj-x）（y「y）

i=l

a=~一）

n_y-bx

2

￡（xi-x）

i=l

（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實際試驗得X大致服從正態(tài)分布

N(0.52,OOI2).公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%,不

予獎勵：若芯片的效率超過50%但不超過53%,每部芯片獎勵2元：若芯片的效率超過

53%,每部芯片獎勵4元，記丫為每部芯片獲得的獎勵，求E(y)(精確到0.01).

(附：若隨機變量X?N⑺，。2)(。>0),則P(R-。<X<p+。)=0.6827,P(林

-2o<X<n+2o)=0.9545)

20.已知四棱柱ABC。-A5C。中，底面ABC。為菱形，AB=2,AA,=4,ZBAD=6Q°,

E為BC中點，C在平面ABCD上的投影”為直線AE與OC的交點.

(1)求證：BD±A'H；

(2)求二面角D'-BB-C的正弦值.

21.已知橢圓C：七■f=1(a>b>0)的左、右焦點分別是Fi(-1,0)，22(1,0),

點A(0,b),若△AFiB的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是1：2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知尸(-1,2)，過P作斜率互為相反數(shù)的兩直線小/2分別與橢圓交于N

兩點(M,N兩點位于x軸下方)，求三角形PMN的面積取得最大值時的直線的方

程.

22.已知函數(shù)/(x)=二二1,g(x)=xbi(x+1).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：%>0時,f(x)?g(x)>x2；

(3)設G(x)=a(#(x)+1)+cosx在區(qū)間(0,TT］內(nèi)有不相等的兩個零點，求〃的范

圍.

參考答案

一、選擇題(共8小題).

1.己知sin()=—,則cosa=()

23

AR1C.2五

-43。?平

解：Vsin(4_a)=-cosa=5，則cosa=--1,

233

故選：4.

2.已知A={x|2'V8,xeN},且0WBUA,則滿足條件的集合B有()

A.6個B.7個C.8個D.15個

解：由己知可得A={0,1,2),

則滿足條件的集合B有23-1=7,

故選：B.

3.若向量n=(.2k-1,k)與向量口=(4,1)共線，則m,n=()

A.0B.45

解：向量\=(2k-l,k)與向量浸(4,1)共線，

貝!J2k-1-42=0,詢吊得k=--y,

(-2,-g),

**1T2

117

i=-2X4+(---)X1=----

,?m*n122

故選：D.

5724561

4.己知(1-x)+(1+x)=ao-rzix+nir-GR+IU-a5X+aex-aixf則ai+s+as+m的

值為()

A.24B.-48C.-32D.72

解：令X=l,可得27=^o-〃1+〃2-〃3+…-…①

令無=-1,貝|J25=ao+41+Q2+…+Q7…②

所以②-①可得:2(0+。3+。5+。7)=25-27=-96,

所以。1+。3+。5+。7=-48,

故選：B.

5.2021年寒假，重慶一中書院“云”課堂為了解決孩子們在平時學習中的困惑、遺漏等，

各個學科為孩子們量身定制了各重點章節(jié)的微課.其中高三年級數(shù)學學科安排了A,B,

C三位老師錄制“數(shù)列”、“三角函數(shù)”、“立體幾何”、“概率統(tǒng)計”、“解析幾何”、

“函數(shù)與導數(shù)”6個章節(jié)的微課，每位老師錄制兩個章節(jié)，其中A老師不錄制“函數(shù)與

導數(shù)”，8老師不錄制“三角函數(shù)”，則安排錄制微課的情況一共有（）

A.30種B.36種C.42種D.48種

解：①A老師錄制三角函數(shù)與另一門微課，則A老師有C；=4種錄課方法，

8老師有C：=6種錄課方法，C老師有C2=l種錄課方法，

則共有4X6X1=24種,

②A老師不錄制三角函數(shù)，則A老師有=6種錄課方法，

B老師有=3種錄課方法，C老師有Cg=1種錄課方法，

則共有6X3X1=18種，

綜上，共有24+18=42種方法，

故選：C.

6.雷達是利用電磁波探測目標的電子設備.電磁波在大氣中大致沿直線傳播.受地球表面

曲率的影響，雷達所能發(fā)現(xiàn)目標的最大直視距離L=｛（R+h1）2-R2（R+h2）2-R2

=標二二”+標商如圖），其中加為雷達天線架設高度，例為探測目標

高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490的?，故R遠大

于/n,h2.假設某探測目標高度為25〃?，為保護航母的安全，須在直視距離412的?外探

測到目標，并發(fā)出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（）

（參考數(shù)據(jù)：.2X8.49ss=4.12）

C.9100"?D.10000/7?

解：根據(jù)題意可知，L=^\2ktn,R=8490切t,力2=0.025加b

2+222Rh+h2+2

因為L=yj(R+hP^R^/(R+h2)-R=7iiV2Rh2+h2>

所以412=J(8490+%)2-84902W(8490+0.025)2-8490

解得/?產(chǎn)10h*=10000〃?，

所以艦載預警機的巡航高度至少約為10000/H.

故選：D.

7.已知點A(1,0),B(-1,0),若圓C：N+y-6x-8y+根=0上有且僅有一點P,使

得正?麗=0,則實數(shù)〃?的值為()

A.-11B.9C.-9或11D.9或-11

解：點A(1,0),B(-1,0),B兩點在x軸上，

由圓C：N+y2-6x-8)，+m=0,可知圓心(3,4),半徑r=也或7，

根據(jù)題意，圓C：x2+y2-6x-8>'+/n=0上有且僅有一點P,向量得而.pg=0,

可得J3?+42=-25-m土1，

解得實數(shù)m=9或-11,

故選：D.

2

8.已知正實數(shù)〃，h滿足〃(7a+l+/n-y)R則2。+〃的最小值為()

A.2B.4C.2eD.2祀

解：由已知可得,@2+1+1na>色/一+1。=J今)十】十】七，

2

令/(X)=y/x+i+lnx(x>0)，

則,⑴《'危向小

因為x>0,所以/'（x）>0,則函數(shù)f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

所以/（〃）>f（Q可得。片，即"22,

所以2a+方>2^^>4，當且僅當2〃=%時取等號，

此時2a+b的最小值為4,

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.若復數(shù)z=3其共施復數(shù)為W則（）

A.z的虛部為-i

B.z?z=10

C.在復平面上對應的點在第四象限

nZ43.

D.――—+—i

Z55

解：；z=3-i,的虛部為-1,故A錯誤；

z-z=|Z|2=（A/32+（-1）2）2=10,故8正確；

W=3+i，次復平面上對應的點的坐標為（3,1），在第一象限，故C錯誤;

1=3+i=(3+i)2=9+6i+j2_43.

z3-i(3-i)(3+i)-j25+51故。正確.

故選：BD.

10.已知m,n是兩條不同的直線，a,P為兩個不同的平面，有下列四個命題，其中所有

正確的命題是（）

A.若m_La,n±p,則a_L0B.若m〃a,〃〃由mA_n,則a〃0

C.若加_La,幾，貝!Ja〃0D.若加_La,〃〃0,a//p,貝ij

解：由小，〃是兩條不同的直線，a,0為兩個不同的平面,

對于A,若機_La,n±p,mA.n,則由面面垂直的判定定理得a_L0,故A正確;

對于3,若〃z〃a,n//p,則a與0相交或平行，故8錯誤;

對于C,若m_La,及〃0,mJLn,則a與0相交或平行，故C錯誤;

對于。，若m_La,幾〃0,a〃0,則由面面平行、線面垂直的性質(zhì)得m_L〃，故。正確.

故選：AZ）.

11.已知等比數(shù)列｛m｝首項公比為q,前〃項和為S”前〃項積為力“函數(shù)f（x）

=x（x+0）（x+Q2）（x+ai）,若，（0）=1,則（）

A.｛/頷〃｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

B.0<^<1

c.（s_芻一｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列

n1-q

D.使得成立的〃的最大值為6

解：函數(shù)/（X）=X（X+〃］）（X+42）…（X+O7）,

則，（X）=（X+4|）（%+?2）…（%+?7）+X［（1+。1）（1+〃2）…（X+〃7）］'，

因為，（0）=1,所以…07=1,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得0。7=。2〃6=。3。5=〃42,

所以…。7=47=1，所以〃4=1,

由0>1,可得OVqVl,故3正確；

因為等比數(shù)列｛““｝首項卬>1,公比為q,所以上工=4，

an

.1

則lgcin+1-lgcin=lg-----=lgq<0,故｛/ga〃｝為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故A錯誤；

an

設i-d=ai（1qn）_d=」〃，

l-q1-ql_qq_l

aln

bq-iq

則——=q為常數(shù)，

b

n-lain_j

~q-7lq

因為OVgVl,所以dvo,,單調(diào)遞減，

q-l

所以｛s-fL｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，故c正確；

n1-q

因為…〃7=1,且〃1>。2>…>〃7>0,

所以4142…。6>1,0<?7<L

所以使得成立的〃的最大值為6,故。正確.

故選：BCD.

12.已知直線/：2fc(■-2廠松=0與拋物線(7：V=2px(p>0)相交于4,8兩點，點M(-

1,-1)是拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的公共點，則下列結論正確的是()

A.p=2B.k=-2

C.|AB|=5D.△MA8的面積為僅西

解：直線Z：2kx-2y-kp=O整理可得％(2x-p)-2y=0,恒過(]■,0),即過拋物線

的焦點F,

所以拋物準線方程為x=■，點M(-1,-1)是拋物線C的準線與以48為直徑的圓

的公共點，M在拋物線的準線上，所以-冷=-1,解得°=2,

所以A正確，焦點坐標為(1,0),直線/整理可得y=k(x-1),

y=k(x-l)

設A(XI,)1),B(X2,”)，聯(lián)立直線與拋物線的方程/9,整理可得：6c2

,y"=4x

-⑵2+4)X+F=O,

2k之+44/-------

xiX2=l,X\+X2=---z-,y\+y2=k(xi+%2-2)=—,y\y2=-4Jx<Xo=-4,

k2k

由題意可得忘?血=0,即(xi+I,yi+1)?(X2+1,”+1)=0

整理可得X1X2+(xi+x2)+l+yi”+(yi+”)+1=0,代入可得1+1-4+&1=0,

k2k

解得:W+&1=0,解得&=-2,所以8正確,

kZk

所以加X2=l，Xl+X2=3,

所以弦長|AB|=4]+卜2,(X]+X2)2-4X[X2=衣*娓=5，所以C正確;

直線AB的方程為：y=-2(x-1),即2x+y-2=0,所以M到直線AB的距離d=

r-

|-2-1-2|_心’

所以S(sMAB—^AB\*d=^-*5所以。不正確,

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-2x2,

13.已知函數(shù)/(%)滿足：VxGR,/(-x)=0,且當x>0時，/(x)=<

log3x,x<1

則川(-4)I的值為-6.

9

解：；函數(shù)f(x)滿足：VxeR,f(-x)+f(x)=0,故/(x)為奇函數(shù).

x-2x2,x>l

且當x>0時，f(x)=<則，(/)-logg-^---2,

log3x,x<1

."(=)]=/1-/(《)]=/(2)=2-2X2』-6,

yy

故答案為：-6.

14.袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只紅球，2只黃球，從中一次隨

機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為A-

一5-

解：袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只紅球，2只黃球，

從中一次隨機摸出2只球，基本事件總數(shù)”=CV=1O,

這2只球顏色不同的對立事件是兩只球顏色不同，

...這2只球顏色不同的概率:

故答案為：士

5

15.已知定義在R上的函數(shù).f(x)滿足：f(x)-f(x)=xex,且/(0)=0,則/(x)

的極大值為2-2.

解：令F(%)=豈2，

則F⑺J'1x);f(x)=x,

e

2

故F(x)=—x+c,

2

所以/(尤)<yx2+c)，

因為f(0)=c=0,

故/(x)=/乂2?巴fy(x)=ex(yx2+x)，

易得，當x>0或xV-2時，，(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當-2VxV0時，/(x)<

0,函數(shù)單調(diào)遞減,

故當x=-2時，f(x)取得極大值2e'2.

故答案為:2e2

16.在長方體ABC￡>-A山Ci。中，底面ABC。是邊長為4的正方形，側棱A4i=r(r>4),

點E是BC的中點，點尸是側面ABBAi內(nèi)的動點(包括四條邊上的點)，且滿足tan/

APD=4tanZEPB,則四棱錐P-ABED的體積的最大值是_至逗_.

解：在長方體ABCD-AiBiCQi中,因為ADi_L平面4BB14,8Cu平面A8814,

所以△APO和均為直角三角形，

又tanZAPD=4tanZEPB,

以AB所在直線為x軸，4B的中點。為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示,

則A(-2,0),B(2,0),設P(x,y),

根據(jù)BP—1AP,則有2\/(x+2)2+y2=V(x-2)2+y2,

2+y2=磐，(其中-2WxW2,歸0),

則當x=-2時，y

所以點P到平面ABED的最大距離為2金,

3

又四邊形ABED的面積為(2+4?X4=]2,

2

所以四棱錐P-ABED的體積的最大值為12X蜉J，.

333

故答案為：變叵.

3

4,4B.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①/*(x)=2sin-^-cos—-2COS2-^H-1,(2)f(x)=2^2§in(———)cos-^-+l,(3)f(x)

22224乙

=(sinW"Kos2")2-2cos22?這三個條件中任選一個，填在橫線上，并作出解答.問題：

222

已知函數(shù)f(X)的解析式為.

(1)若在△ABC中，f(A)=J5,AB=M，AC=1,。為BC的中點，求A。的長；

(2)若g(x)—f(CO>3>0,當x￡時，g(x)的最大值為，5,

求3的取值范圍.

解：若選①:

xxx――JI

f(x)=2sin-^cos^--2cos2-^-+l=sinjc-cosx="^2sin(x_-^_)>

(1)/(A)=5/2sin(A—^~)=V2,所以sin(A-~^")=l，解得

又AB=&,AC=\,由余弦定理可得BC=JAB2+AC2-2AB?AOCOS^=V^，

因為。為8C的中點，設4。=羽則有cosNCD4+cosNBD4=0,

22

(^)+x-l(苧)2+X2-21

所以‘-r=———一/=——=0>解得xj,

2噂x2唔x2

所以AO的長為《；

2

cRTTJT

(2)g(x)=/((0xqn)=V^sin(3---^_)=V2sin(3x+兀)=^\/^sin3x?

因為當xC[4，J]時，g(x)的最大值為我，

o3

所以+2kTT4等L,k€z,解得3>1-6k且3>0,依z.

若選②：

X兀

/(cosy)cosy+l=2sin-|cos-1--2COS2-1H-1

x)2^4

=sior-cosx=Msin(x-9)

(1)/(A)--72sin(A-V2,所以sin(A-7-)=1，解得A=3^—，

又AB=^^,AC—I,由余弦定理可得BC=JAB2+AC2-2AB，AC，cos^~=V5,

因為。為8C的中點，設AO=JG則有COS/CZM+COSN3D4=0,

解得x］，

所以AQ的長為！；

2

cRJTTT

(2)g(x)=/((0=V2sin(3x+,/——)=V2sin(3x+兀)=-x?

因為當x￡［吟TT，子TT］時，g(X)的最大值為、歷，

所以---一葭+2卜兀<---，k€Z,解得3A^~-6k且3>0,kwZ.

若選③：

22

f(%)=(sin-y+cos^-)-2cos—?=l+2sirr^"cos^-2c。s爸=sinxcosx=

乙乙乙乙乙乙

L.冗、

y2sin(x--h

(1)/(A)=^/2sin(A-^-)=V2,所以解得4=，^—，

又AB=企，AC=l,由余弦定理可得BC=JAB2+AC2-2AB?AOCOS^~=V^，

因為力為8c的中點，設AO=x,則有cosNCD4+cosNBD4=0,

所以A。的長為《；

2

c5717T

(2)g(x)=/(3乂7叮)=V2sin(3x+4—)=V2sin(3x+兀)=^>/^sin3x，

因為當［4，:］時，g(X)的最大值為加，

所以」^_<4+2k兀<1。，k€z,解得3>1-6k且3>0,依Z.

cS&

18.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”滿足上L-」k==,S=1.

n+1n2

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式;

na

(2)設d=1n數(shù)列｛5｝的前〃項積為T,”若對任意的”CN*,fW4。恒成立，求

SnF

實數(shù)1的最大值.

解：（I）數(shù)列｛④｝的前“項和為s”滿足」SiL-_Sa=得2，0=1.

n+1n2

所以數(shù)列｛上S｝是以_SL=1為首項，亮Q為公差的等差數(shù)列；

n12

所以優(yōu)=1得（n-1）=-1-n-y,

整理得Sn號n2-/n，

當〃》2時，a”=S〃-S“T=2二:口一3（n-l）"（n-l）=、.2,

當〃=1時，首項符合通項，

故a,i=3n-2.

(2)由于〃”=3〃-2,

nan

所以b=2(3n-2)

nSn^3n+l

所以Tn=bi'b2…％=2%!,搟3n-2二2n

3n+l3n+l

由于TT_2"12n_2n(3n-2)

〉0,

n+1In3(n+i)+i3n+l(3n+l)(3n+4)

故數(shù)列｛T"｝為遞增數(shù)列,

所以對任意的"CN*,W4。恒成立,

只需滿足（北）加”=4力=2,

故實數(shù)t的最大值為2.

19.隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.中

華技術有限公司擬對“麒麟”于機芯片進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技

升級投入x（億元）與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.53837.56666

當0<x<17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：口10：模型②：

y-4.i1x+ii.o

——

y=2134-14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為=_07x+a，

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①、②的相關指數(shù)R2的大小，并

選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元

時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程

y=4.lx+11.8y=21.3474.4

7?2182.479.2

￡七/)

i=l

n

￡^yi-yi^

（附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)R2=i-史----------后心4.1）

n_乙

￡（y-7）

i=l

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元,

以回歸方程為預測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；

Lxdy--nx-y

(附：用最小二乘法求線性回歸方程,上的系數(shù)公式入=以-------------

y-bx+abn_

Ed4

Xj-nx

i=l

n__

Z(x-x)(y--y)

Xd14

（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實際試驗得X大致服從正態(tài)分布

N（0.52,0012）.公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%,不

予獎勵：若芯片的效率超過50%但不超過53%,每部芯片獎勵2元：若芯片的效率超過

53%,每部芯片獎勵4元，記丫為每部芯片獲得的獎勵，求E（Y）（精確到0.01）.

（附：若隨機變量X?N卬，。2）（。>0）,則P（R-。<X<“+。）=0.6827,P（“

-2。<X<p+2。）=0.9545）

解:（1）由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,

182.4________79.2

?丁—Z-

2

(yT-y)E(y-y)

i=li=l

182.479.2

..7_e7_

*2,

X(yx-y)￡(yx-y)

i=li=l

，模型①的相關指數(shù)R/小于模型②的相關指數(shù)&2,

.?.回歸模型②的擬合效果更好，

當X=17億時，科技升級直接收益的預測值為：

y=21.3717-14.4?=72.93(億元).

(2)當x>17時，由已知可得7=21+22+^+24+25=23,

-68.5+68+67.5+66+66

y=-----------------------------=67.2,

5

???a二y+07x=67.2+0.7X23=83.3,

???當尤>17時，y與x滿足的線性回歸方程為=-0.7X+83.3,

y

當x=20億元，實際收益的預測值為：

=-0.7X20+83.3=69.3億元，

y

當元=20億元時，實際收益的預測值為69.3+5=74.3億元>72.93億元，

???技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大.

(3)Vn-2o=0.5,|i+o=0.53,

：.P(0.50<X^0.53)=P(…。VXWp+o)

=P(p-2。VXWR-o)+P(p-oVXW|i+o)

0,9545-0,68271A-

2

=0.8186.

P(X>0.53)=P(X>n+。)詈1,

：.E(7)=0+2義0.8186+4X諛'=2.271物2.27(元).

2

20.己知四棱柱ABCD-AbC。中，底面A8CD為菱形，AB=2,AA'^4,ZBAD=60°,

E為中點，C在