2021年山東省日照市高考數學適應性試卷（二模）

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|-5<x<l},B={x\x2,,4},則A0|B=（）

A.（2,3）B.[2,3）C.[-2,1）D.（-2,1）

2.（5分）已知i為虛數單位，復數ZMsin^-icos?,則z在復平面內對應的點位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）已知|?=&,|6|=4,當6,（44—5）時，向量1與5的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

6434

4.（5分）攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四

角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分

的輪廓可近似看作-個正六棱錐，設正六棱錐的側面等腰三角形的頂角為2，，則側棱與底

面內切圓半徑的比為（）

3sin63cos夕2sin。2cos。

5.（5分）已知數列伍“}是等比數列，7；是其前〃項之積，若%?4=%，則T,的值是（

）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）若實數x、y滿足條件f+y2=l,則上心的范圍是（）

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-co,-1]D.（-8,--J

4

7.（5分）地鐵某換乘站設有編號為町，機2，機3，的四個安全出口，若同時開放其中的

兩個安全出口，疏散1000名乘客所需的時間如表:

安全出口編號

機］,m27n2，機3m3，m4，m3

疏散乘客時間⑸120140190160

則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是（）

A.呵B.m2C.m3D.

8.（5分）已知函數是定義域為R的偶函數，且，。-1）是奇函數，當Oi!k1時，有

/（x）=Vl-x2,若函數y=/（x）-攵5-2021）的零點個數為5,則實數左取值范圍是（）

A.1<^<1B.-<A;<-

5263

（紅或k=-圓D.顯或瓜<k<2

C.

12412312123

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分。

r22

9.（5分）已知曲線C的方程為±+二v^=1（加€氏），則（）

m+\3-in

A.當加=1時，曲線C為圓

B.當帆=5時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為'=±年》

C.當機＞1時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓

D.存在實數〃?使得曲線C為雙曲線，其離心率為四

10.（5分）某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理

財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保

險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統計圖例:

專保人數比例小網年然段人均參保費用春保險腫比例

用該樣本估計總體,以下四個選項正確的是（）

A.54周歲以上參保人數最少

B.18~29周歲人群參保總費用最少

C.丁險種更受參保人青睞

D.30周歲以上的人群約占參保人群20%

11.（5分）已知棱長為1的正方體A8CO-ASCQ，過對角線8R作平面a交棱相，于點￡，

交棱CG于點尸，以下結論正確的是（）

A.四邊形8尸〃E不一定是平行四邊形

B.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

C.平面a與平面可以垂直

D.四邊形8F4E面積的最大值為夜

12.（5分）若實數A.2,則下列不等式中一定成立的是（）

A.Q+3）/〃（r+2）>（r+2）/〃Q+3）

B.（r+l）,t2>（r+2）,+l

C.1+->log,（r+1）

D-log?+i）（/+2）>log（f+2）（'+3）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）某校機器人興趣小組有男生3名，女生2名，現從中隨機選出3名參加一個機

器人大賽，則選出的人員中恰好有一名女生的選法有一種.

14.（5分）若不等式（x-a）2<l成立的充分不必要條件是l<x<2,則實數“的取值范圍

是—.

15.（5分）球面幾何是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛星定位等方面都有廣泛

的應用.如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓上的三點，經過這三點中任意兩點的大

圓的劣弧分別為AB,BC,CA,由這三條劣弧組成的圖形稱為球面A45C.己知地球半徑

為R,北極為點N,P,Q是地球表面上的兩點.若P,。在赤道上，且經度分別為東經20。

和東經60。，則球面&VPQ的面積為.

16.（5分）如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為。，在平行光線的照射下,

其投影的邊緣軌跡為橢圓C.如圖，橢圓中心為O,球與地面的接觸點為E,OE=4.若

光線與地面所成角為6,橢圓的離心率e=.

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（10分）在人48。中，°",＜：分別為內角4,B,C的對邊，且2c8sC=acos3+6cosA.

（1）求C的大小；

（2）若〃=3a,c=S,求AA8C的面積.

18.（12分）已知正項數列｛%｝,其前〃項和為5,,,%=l-2S“（〃eN*）.

（1）求數列伍“｝的通項公式：

（2）設2=（-1）"（'+2〃），求數列｛"｝的前〃項和

4,

19.（12分）如圖，在三棱錐A—38中，ZBCD=90°,BC=CD=\,ZACB=ZACD=0.

（I）證明：ACA.BD；

（II）有三個條件：

①，=60。；

②直線AC與平面3CD所成的角為45。；

③二面角A-CD-8的余弦值為且.

3

請你從中選擇一個作為條件，求直線BC與平面ACD所成的角的正弦值.

A

20.（12分）近年來，隨著豬肉價格的上漲，作為飼料原材料之一的玉米，價格也出現了波

動.為保證玉米銷售市場穩定，相關部門某年9月份開始采取宏觀調控措施.該部門調查研

究發現，這一年某地各月份玉米的銷售均價（元/斤）走勢如圖所示:

（1）該部門發現，3月到7月，各月玉米銷售均價y（元/斤）與月份x之間具有較強的線

性相關關系，試建立y關于x的回歸方程（系數精確到0.01）,若不調控，依據相關關系預

測12月份玉米的銷售均價；

（2）該部門在這一年的12個月份中，隨機抽取3個月份的數據作樣本分析，若關注所抽三

個月份的所屬季度，記不同季度的個數為X,求X的分布列和數學期望.

777

參考數據：苫七=25,Z%=5.36,-/（%-》）=0.64.

i=3i=3/=3

回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

工七為-rixy一￡）（%一切

b=得---------=------------,a=y-bx.

*=11=1

21.（12分）已知拋物線by?=2px,過拋物線￡上一點C（l,3）作直線C4,CS交拋物線

于A,8兩點，交x軸于。，f兩點，且CD=CF.

（1）求E的方程：

（2）求AA8c的面積，并判斷是否存在最大值，若存在請求出最大值，不存在請說明理由.

22.（12分）已知/'（x）=acosx-巴竺，其中〃>0且axl.

a

(1)若a=2,(p(x)=f'(x),曲線y=e(x)在點Q,以。)處的切線為/,求直線/斜率的取

值范圍：

(2)若尸(x)在區間(0,2%)有唯一極值點飛,

①求a的取值范圍；

②用加,b,c｝表示a,b,c的最小值.證明：/'(入。)＜加"｛2初，(1-。)乃｝.

2021年山東省日照市高考數學適應性試卷（二模）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={x[—5<x<l},B={x|x2,,4},則）

A.（2,3）B.[2,3）C.[-2,1）D.（-2,1）

【解答】解：?.?A={x|—5<x<l},8={x]—2數*2},

故選：C.

2.（5分）已知i為虛數單位，復數z=sin￡-iS則z在復平面內對應的點位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：z=sin--icos—=-sin—+/cos—=--+—z,

666622

??二在復平面內對應的點的坐標為J?弓），位于第二象限.

故選：B.

3.（5分）已知修|=0,|5|=4,當楊時，向量日與5的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

6434

【解答】解：根據題意，設向量。與5的夾角為夕，

若5_L（4d-b）,則尻（44-5）=4萬啰一目。=16&cos，-16=0,

變形可得：cos0=—,

2

又由噫舊萬，則8=工，

4

故選：B.

4.（5分）攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四

角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分

的輪廓可近似看作-個正六棱錐，設正六棱錐的側面等腰三角形的頂角為2。，則側棱與底

面內切圓半徑的比為（）

,UKL.

A.—B.C.D.—?—

3sin63cos。2sin62cos0

【解答】解：設O為正六棱錐S-MC。跖底面內切圓的圓心，

連接。4,OB,如圖所示：

JTJT

由題意可知4403=—，ZSAB=一一6,

32

711

/.OA=AB,SA-cos(8)=S4?sin。=—AB,

22

SA="-,設內切圓半徑為r,貝那11乙=丁」=6,r^AB,

2sin193^AB2

2

AB

???側棱與底面內切圓的半徑的比為2=筆邊=/一.

r733sin。

—AB

2

故選：A.

5.(5分)已知數列｛〃〃｝是等比數列，7；是其前〃項之積，若4?4=出，則(的值是(

)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：?.?數列｛q｝是等比數列，7；是其前〃項之積，4?&=%，

=a",解得%q3=1,

7；=q?a2a3?4?%?4?%=a；q”=(^,^3)7=1.

故選：A.

6.（5分）若實數x、y滿足條件V+y2=i,則上心的范圍是（）

X+1

A.[0,V2]B.[-3,5]C.(-co,-1]D.(-oo,

【解答】解：令1=cosa,y=sina,則2~2_sinj7―2

x+1cosa+1

令s'""一-=t,得，cosc-sina=-2-r,有\/t2+1sin(^-a)=-2-t,(tan(p-J-——).

cosa+l

則sin(0-a)=―'=,由?二31"],解得一3,

所以看的范圍是（-8,

故選：D.

7.（5分）地鐵某換乘站設有編號為網，牡，叫，叫的四個安全出口，若同時開放其中的

兩個安全出口，疏散1000名乘客所需的時間如表:

安全出口編號

加1,m2tn2，m3m3，m4

疏散乘客時間⑸120140190160

則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是（）

A.機?B.m2C.叫D.m4

【解答】解：由同時開放牡，外疏散1000名乘客所需的時間為140s,同時開放機3,，叫疏

散1000名乘客所需的時間為190s,所以，叫比叫疏散乘客快，

由同時開放嗎，砥疏散100。名乘客所需的時間為190s,同時開放叫，叫疏散1000名乘

客所需的時間為1605,所以叫比叫疏散乘客快，

由同時開放m2,m3疏散1000名乘客所需的時間為140s,同時開放mx,nt,疏散1000名乘

客所需的時間為160’,所以叫比叫疏散乘客快，

由同時開放叫，，丐疏散1000名乘客所需的時間為120s,同時開放m2,my疏散1000名乘

客所需的時間為140s,所以叫比外疏散乘客快，

綜上所述：，巧>班，，%>，4,>m4,m2>m3,

所以疏散乘客最快的一個安全出的編號是根,，

故選：B.

8.(5分)已知函數/(x)是定義域為R的偶函數，且/*-1)是奇函數，當嶗!k1時，有

/(x)=Vl-x2,若函數y=/(x)—A(x—2021)的零點個數為5,則實數％取值范圍是()

A.-<k<-B.

5263

C.—<k<—或攵=----D.----<k<----或一<k<—

12412312123

【解答】解：???/(X-1)是奇函數，

/(x)的圖象關于(-1,0)對稱,

又/(幻為偶函數，

.?./。)的周期為4><|一1一0|=4,

又噴上1時，有=故可作出函數/(x)的圖象如下圖所示，

令f=x-2020,則y=/?+2020)-k(t-1)=f(t)-k(t-1),

依題意，函數y=f(r)的圖象與直線y=Z(f-l)有5個交點，顯然

當%>0時，由圖可知，直線y=AQ-1)應介于藍色線與綠色線之間，

設藍色線直線方程為y=K(f-l),則(8,0)到直線產左("1)的距離為1,即=解

得人=正，

設綠色直線方程為y=1),則(40)到直線y=匕。—1)的距離為1,即獸L=l,解

得匕=旦,

4

故此時k的取值范圍為(趙，①)；

124

當左＜0時，由圖可知，直線y=&Q-l）應恰為紅色直線，則（6,0）到直線y=&（f—l）的距離

為1,即普L=i,解得％=_巫；

ViTF12

綜上，實數k的取值范圍為（奈￥）|』用｝?

故選：C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分。

22

9.（5分）已知曲線C的方程為‘一+-^—=l（〃?eR）,則（）

m+l3—m

A.當帆=1時，曲線C為圓

B.當〃?=5時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±日x

C.當〃?＞1時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓

D.存在實數，”使得曲線C為雙曲線，其離心率為近

22

【解答】解：曲線C的方程為二二+上一=1（%CR）,

m+l3-m

當機=1時，曲線C為幺+,2=2,是圓，所以A正確；

當機=5時，曲線C為三-$=1是雙曲線，其漸近線方程為？=土且x,所以3正確；

623

當機＞1時，曲線C為焦點在無軸上的橢圓，結合選項8可知，C不正確；

存在實數〃?使得曲線C為雙曲線，其離心率為3,則必須6+1=3,

因為此方程無解，所以。不正確.

故選：AB.

10.（5分）某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理

財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保

險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統計圖例：

牟保人數比例小網年黯段人均參保費M?保險抑比例

用該樣本估計總體，以下四個選項正確的是（）

A.54周歲以上參保人數最少

B.18~29周歲人群參保總費用最少

C.丁險種更受參保人青睞

D.30周歲以上的人群約占參保人群20%

【解答】由扇形圖可得，54周歲以上參保人數最少，30周歲以上的人群約占參保人群的

39%+33%+8=80%,故A對。錯；

由折線圖可知，18~29周歲人群參保費用最少，但是因為參保人數并不是最少的，故其總

費用不是最少，故3錯誤；

由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故C正確；

故選：AC.

11.（5分）已知棱長為1的正方體,過對角線作平面a交棱A4，于點E,

交棱CG于點尸，以下結論正確的是（）

A.四邊形BFRE不一定是平行四邊形

B.平面，分正方體所得兩部分的體積相等

C.平面c與平面￡>8片可以垂直

D.四邊形BFRE面積的最大值為近

【解答】解：如圖所示：

對于A,因為平面平面CCQO,平面BFREC平面ABB/=8￡，平面

BFREC平面CCRD=D.F,

所以BE//RF,同理可證所以四邊形BFRE是平行四邊形，故A不正確;

對于B，由正方體的對稱性可知，平面a分正方體所得兩部分的體積相等，故8正確;

對于C,當E、尸為棱中點時，EF上平面BBQ,又因為￡Fu平面5尸&E,

所以平面BFRE_L平面8耳。，故C正確；

對于D,平行四邊形BED、F的面積取最大值時，即三角形EBR的面積取得最大值，

因為這個三角形的面積的兩倍是該平行四邊形的面積.

而8R位置固定，只需點E到8%的距離最大，即可取得面積的最大值，

當點尸與A重合時，點尸與￡重合時，四邊形8尸RE面積的最大，且最大值為值為

V2xl=V2,故3正確.

故選：BCD.

12.(5分)若實數f..2,則下列不等式中一定成立的是()

A.Q+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)

B.(r+l)-2>?+2)川

C.1+->log,(r+1)

D.log”叫(f+2)>log“+2)(f+3)

【解答】解：^/(%)=—,則/8)=上空，

XX

易得，當x>e時，r(x)<0,函數單調遞減，當0<x<e時，f'(x)>0,函數單調遞增,

因為f..2,t+3>t+3>e,

所以/〃(r+3)</〃C+2),

f+3f+2

所以?+2)加。+3)v?+3)加?+2)

同理/〃(/+1)>/〃(/+2),

/+11+2

所以(f+2)/n(z+!)>(/+r)ln(t+2),

所以0+1)-2>?+2嚴,8正確；

所以Q+2)ln(t+l)>(r+l)/n(r+2),A正確；

令g0)=四里2,x..3,

Inx

則g，⑶=2(x+,l)/〃(x+l)<0,

In-x

故g(x)在[3,+8)上單調遞減，g(f+l)>g(f+2),

所以生空④)/〃(f+3)

//(f+1)ln(t+2)

故1。8,+1。+2)>108,+2。+3)，D正確;

對于C,1+1>log,(f+l)>/“('+D。也>/〃《+1),結合選項A的討論，r與e的

ttInttt+\

大小不確定，故C錯誤.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)某校機器人興趣小組有男生3名，女生2名，現從中隨機選出3名參加一個機

器人大賽，則選出的人員中恰好有一名女生的選法有_￡_種.

【解答】解：根據題意，選出的3人中恰好有一名女生，即2男1女，

2名男生的選法有C；=3種，1名女生的選法有C；=2種，

則有3x2=6種不同的選法，

故答案為：6.

14.(5分)若不等式(x-〃)2<l成立的充分不必要條件是l<x<2,則實數。的取值范圍是

口-2]一

【解答】解：由(x-a)2<l得a-l<x<4+l,

?.T<x<2是不等式(x-a)2<1成立的充分不必要條件，

二滿足1，且等號不能同時取得，

即

\a..\

解得掇W2,

故答案為：[1,2].

15.（5分）球面幾何是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛星定位等方面都有廣泛

的應用.如圖，A,5,C是球面上不在同一大圓上的三點，經過這三點中任意兩點的大

圓的劣弧分別為AB,BC,CA,由這三條劣弧組成的圖形稱為球面AABC.已知地球半徑

為A,北極為點N,P,。是地球表面上的兩點.若P,。在赤道上，且經度分別為東經20。

和東經60。，則球面&VPQ的面積為—亥弦

【解答】解：P。在赤道上，且經度分別為20。和60。，

...上半球面面積為=2TTR2,

2

球面APNQ面積為--------x24R-=-----.

360°9

故答案為：—.

9

16.（5分）如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為O',在平行光線的照射下,

其投影的邊緣軌跡為橢圓C.如圖，橢圓中心為O,球與地面的接觸點為E,OE=4.若

光線與地面所成角為，，橢圓的離心率e=-.

一5一

【解答】解：在照射過程中，橢圓的短半軸長是球的半徑，即6=4,

由圖Z.O'AB+ZO'BA=1（ZA'AB+ZB'BA）=；x180°=90°,

可得N/U7B=90。，由O是中點，故有球心到橢圓中心的距離是橢圓的長半軸長,

連接O'E,在構成的直角三角形O'OE中，OO2=OE2+(7E2=32+42=52,

_c3

即Rn。=5,e=—=—

a59

故答案為：

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)在AABC中，a,Z?,c分別為內角A,8,C的對邊，且2c8sC=acos3+6cosA.

(1)求C的大小；

(2)若b=3a,c=g,求AABC的面積.

【解答】解：(D由正弦定理知，—=—=

sinAsinBsinC

2ccosC=tzcosB+b8sA,

2sinCeosC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+8)=sinC,

?/sinC^O,

/.cosC=—,

2

VCG(0,^),

.\C=-.

3

(2)由余弦定理知,c2=er+b2-labcosC,

.-.l=a2+9a2-2a-3a--,即/-1=0,

2

解得a=l或—1(舍)，

b=3a=3,

ii/a3/3

/./SABC的面積S=—absinC=—xlx3x^-=-----.

2224

18.(12分)已知正項數列{4},其前〃項和為S“，4,=1-2S〃5￡N*).

(1)求數列｛%｝的通項公式:

(2)設2=(-1)"(—+2〃)，求數列｛2｝的前1項和北.

【解答】解：(1)正項數列｛4｝,其前〃項和為S〃,

a”=1—2S〃(〃cN)f可得q=1—2sl=1—24,

解得q=g,

當〃..2時，々I=1—2S〃T，又4=1—25〃，

兩式相減可得an-an_y=1-2Sn-1+=-2an，

化為4=?"一i’

則是首項和公比均為g的等比數列，

可得4,=(：)"；

(2)2=(-1)"('+2〃)=(-1)"(3"+2〃)，

4

所以7；=[(-3)+9+(-27)+...+(-3)"]+[-2+4-6+8+(-1)"-2M],

n3(-3)"+"

當〃為偶數時,JU-EM.—=n--------

1-(-3)244

-3[l-(-3y]7(-3)n+l

當“為奇數時,4-(n-1)-2n=-n----------

1-(-3)44

7(一3尸

—n--，-“-為--奇--數-

44

綜上可得，Tn

〃二為偶數

44

19.(12分)如圖，在三棱錐A-3C￡＞中，ZBCD=90。，BC=CD=1,ZACB=NACD=6.

(I)證明：AC±BD-

(n)有三個條件：

①，=60。；

②直線AC與平面3C￡＞所成的角為45。；

③二面角人一8-8的余弦值為且.

3

請你從中選擇一個作為條件，求直線BC與平面A8所成的角的正弦值.

A

【解答】解：(I)證明：取的中點O,連結AO,CO,

如圖所示，則CO_L8￡>,又BC=CD=1,ZACB=ZACD=e,

所以A43C三AADC,則AB=4),所以AOJ_3O,

又因為AO「|CO=O,AO,COu平面AOC,

所以8D_L平面AOC,又ACu平面AOC,所以AC_L8￡>;

(II)在C4上取點P,使得OPJ_OC,連結PB,PD,由于OC和比)是平面88中的

相交直線，所以OP_L平面88,

故以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

在RtABCD中，BC=CD=1,故80=0,

所以CO=BO=DO=出,

2

則5(0,-,0),C(^,0,0),D(0,,0),

222

所以阮=(*,',0),

22

若選①：因為6=60。，則APCD為等邊三角形，搜易PD=C￡)=PC=1,

所以OP=正，故P(0,0,也)

22

所以無=g,o,-爭麗=(0,孚-爭，

設平面PC￡>的一個法向量為n=(%,y,z),

變&

-

Xz-o

2-2

n-PC=0

板

則有《即上

O

n-PD=0-zv--Z-

2?2

令x=l,則y=z=l,故"(LU)，

,72^72

----1----1-_旦

所以|cos<BC,ri>|=［吧22

15cli則73x1_3

所以直線3c與平面PCD(即平面ACD)所成的角的正弦值為亞：

3

若選②：由POJL平面可得NPCO即為直線PC(即AC)與平面38所成的角,

所以NPCO=45。，故Rf△為等腰直角三角形，

所以PO=CO=立，故P(O,O,E),

22

所以定=(￥，o,-弓)，而=(0,當,-孝)，

設平面PCD的一個法向量為為=(x,y,z),

2后

一

反_

開=o22z=0

貝Hm

u而

p?l2夜

方=O

2

-2z=0

令X=l,則y=z=l,故方=(1,1,1),

也心

所以|cos<阮，為>1=I","I=22=逅，

13cli則V3xl3

所以直線8C與平面PCD(即平面ACD)所成的角的正弦值為逅:

3

若選③：作PM_L8,垂足為M,連結

由尸OJ■平面BCD,C￡>u平面BCD,所以PO_LCE),

又「。門。M=尸，PO,PMu平POM,

又OMu平面POM,所以C￡)J_QM,

則NPMO即為二面角P-CE>—8即二面角A-CQ-B的平面角,

因為NPMO的余弦值為走，

3

故它的正弦值為如，所以正切值為夜，

3

V2&

虧x于?J2

所以OM=-^——2_=-,解得0尸=J=OC,

122

故P(0,0,烏，

2

所以定=(,0,-爭麗=(0,孚-爭，

設平面PCO的一個法向量為為=(x,y,z),

與

應

o

-一z-

則有卜,吧=°,BP-22

旦

拒

一Z-O

2-2

令x=l,則y=z=l,故萬=(1,1,1),

|也+也

LV6

所以|cos<BC,n>\=/“=2

18cli”|73x1一3

所以直線8c與平面PQ（即平面口所成的角的正弦值為華

20.（12分）近年來，隨著豬肉價格的上漲，作為飼料原材料之一的玉米，價格也出現了波

動.為保證玉米銷售市場穩定，相關部門某年9月份開始采取宏觀調控措施.該部門調查研

究發現，這一年某地各月份玉米的銷售均價（元/斤）走勢如圖所示:

（1）該部門發現，3月到7月，各月玉米銷售均價y（元/斤）與月份x之間具有較強的線

性相關關系，試建立y關于x的回歸方程（系數精確到0.01）,若不調控，依據相關關系預

測12月份玉米的銷售均價；

（2）該部門在這一年的12個月份中，隨機抽取3個月份的數據作樣本分析，若關注所抽三

個月份的所屬季度，記不同季度的個數為X,求X的分布列和數學期望.

777

參考數據：2升=25,Z%=5.36,Z（±-元）（％-刃=0.64.

?=3i=3i=3

回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

.麗-耳（必一切

i=l

b=xn,a=y-bx.

-n(x)2￡(%-元f

;=i

【解答】解：（1）由題意得:

月份X34567

均值y0.950.981.111.121.20

x=1(3+4+5+6+7)=5,

y=1(0.95+0.98+1.11+1.12+1.20)=1.072,

7

Z(%-T)2=10,

1=3

7

2(%-幻(%一刃

b=-----------=0.064,a=y-bx=0.152,

i=3

.?.從3月至U7月，y關于x的回歸方程為y=0.06x+0.75.

當x=12時，代入回歸方程得y=1.47,即可預測12月份玉米銷售均價為1.47元/斤.

（2）X的可能取值為1,2,3,

27

尸(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=—,

.?.X的分布列為:

X123

P12727

555555

E(X)=lx±+2x||+3x|Z=^

21.（12分）已知拋物線E:/=2℃，過拋物線E上一點C（l,3）作直線C4,交拋物線

于A,B兩點、,交x軸于。，F兩點，且CD=CF.

(1)求￡的方程：

(2)求AABC的面積，并判斷是否存在最大值，若存在請求出最大值，不存在請說明理由.

【解答】解：(1)將C(l,3)代入拋物線的方程V=2px,

可得2P=9,即有p=g,

可得拋物線的方程為V=9x；

(2)設A(X|,%),B(X2,y2),

由8=C尸，可得直線AC,8c的傾斜角互補，

可得“AC+"8c=。，

即有星二2+&z2=o,

%—1%—]

與坦+與^=0,即為，-+，_=0,

”五_1X+3必+3

99

化為y+為=-6，

則30=牛4=?=[，

再-々蘆+%2

99

設直線AB的方程為X=-2y+機，

3

代入拋物線的方程9x,可得丁+6>_9m=0,

則4=36+36m>0,即機>—1,

,+必=-6,y}y2=-9m,

可得IAB|=J1+；J(-6y+4x9"?=2而-，1+川,

C(l,3)到直線AB的距離為d=叫2-"=/=|加-31,

R屈

則AABC的面積為5=,必|A5|=3"i與|加-3|,

2

令/=Jl+zn,z>0,S=3,|產=41=31/一4/1,

由于「一4/在，>0上，當/f+oo時，t3-4/^-Foo,

所以AABC的面積不