一階微分方程第七章11可分離變量的微分方程分離變量法2齊次方程233一階線性微分方程4高階微分方程1、可降階的高階微分方程的解法型接連積分n次，得通解．型代入原方程,得5型代入原方程,得62、線性微分方程解的結構（1）二階齊次線性方程解的結構:（2）二階非齊次線性方程的解的結構:7解的疊加原理8特征方程為3、二階常系數齊次線性方程解法二階常系數齊次線性方程9特征方程為推廣：

階常系數齊次線性方程解法特征方程的根通解中的對應項104、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程解法

待定系數法.1112向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量的坐標：1、向量的坐標表示法（一）向量代數第八章空間解析幾何與向量代數13向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式14向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式15它們距離為兩點間距離公式:162、數量積(點積、內積)數量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐標表示式173、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式18方程特點:1.旋轉曲面（二）空間解析幾何19旋轉單葉雙曲面旋轉雙葉雙曲面20xyz旋轉拋物面oyzx21旋轉橢球面ozyx22（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面232.柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.24從柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸25拋物柱面xyzxyz橢圓柱面雙曲柱面xyz263.二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面27特殊地：當時，方程變為旋轉拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉而成的）28（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面294.空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數方程30CCC關于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設曲線則C關于xoy面的投影柱面方程應為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：[3]空間曲線在坐標面上的投影315.平面[1]平面的點法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程32[4]平面的夾角[5]兩平面位置特征：//重合336.空間直線[1]空間直線的一般方程34[3]空間直線的參數方程[2]空間直線的對稱式方程35直線直線^兩直線的夾角公式[4]兩直線的夾角36[5]兩直線的位置關系：//[6]直線與平面的夾角//37直線與平面的夾角公式[7]直線與平面的位置關系//38[8]點到平面距離公式比較中學所學的點到直線的距離公式:396.平面束定義:通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個平面確定的平面束.設平面401、偏導數概念第九章多元函數微分法及其應用41422、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法可微不可微43多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數連續偏導數連續函數可導有極限3、關系444、多元復合函數求導法則定理1

若函數在點處偏導連續,在點t可導,則復合函數且有鏈式法則中間變量均為一元函數的情形在點t處可導，公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.455、全微分形式不變性無論是自變量的函數或中間變量的函數，它的全微分形式是一樣的.46定理1設函數單值連續函數y=f(x),并有連續(隱函數求導公式)①具有連續的偏導數;的某鄰域內可唯一確定一個的某一鄰域內滿足②③滿足條件導數在點則方程在點6、隱函數的求導法則47定理2的某鄰域內具有連續偏導數;則方程在點并有連續偏導數定一個單值連續函數z=f(x,y),滿足①在點若函數滿足:②③某一鄰域內可唯一確48定理3的某一鄰域內具有連續偏導數設函數則方程組③的單值連續函數計算偏導數按直接法求解.①在點②的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件滿足:在點497、微分法在幾何上的應用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面(關鍵:抓住切向量)501）空間曲線方程為法平面方程為特殊地：(取為參數)512）空間曲線方程為(取為參數)切線方程為法平面方程為52(２)曲面的切平面與法線

切平面方程為法線方程為(關鍵:抓住法向量)53曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令則（特殊情形）548、方向導數記為（1）方向導數的定義及存在的充分條件55三元函數方向導數的定義方向導數的存在性及其計算方法:定理那么函數在該點沿任一方向的方向導數存在,且有56說明:可微沿任一方向的方向導數存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念記為

57梯度與方向導數的關系58則稱函數在該點取得極大值極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的(極小值).定義:若函數在點的某鄰域內有（1)二元函數極值的定義點稱為極值點.9、多元函數的極值59定理1

(必要條件)偏導數,且在該點取得極值,則有（2）多元函數取得極值的條件函數在點存在說明:駐點極值點(可導函數)注意：使偏導數都為0的點稱為駐點.

1.駐點2.偏導中至少有一個不存在的點.所以,可疑極值點是:60時,具有極值定理2(充分條件)一階和二階連續偏導數,且令則:(1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.(2)當(3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數點的某鄰域內具有(按極值定義來判定)61第四步求出極值.62(3)多元函數的最值a.最值的存在性：如函數b.有界閉區域D上連續函數的最值的求法與步驟：（1）找最值可疑點D內的駐點及不可導點邊界上的可能極值點（2）比較以上各點處的函數值，最大（小）者即為所求的最大（小）值.（假定函數在D有有限個可疑點）定理：若f(P)在有界閉域D上連續,則在D上可取得最大值M及最小值m.63特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)

求二元函數在閉區域D上的最值,往往比較復雜.但如果根據問題的實際意義,知道函數在D內存在最值,又知函數在D內可微,且只有唯一駐點,則該點處的函數值就是所求的最值.★函數的最值應用問題的解題步驟：第二步判別?比較駐點及邊界點上函數值的大小?根據問題的實際意義確定最值第一步找目標函數,確定定義域(及約束條件)64（4）條件極值：對自變量有附加條件的極值．65則（）處連續；例設處的兩個偏導數都存在，(3)66２、二重積分的幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．當被積函數有正有負時，二重積分是柱體體積的代數和.1、二重積分的定義第十章673、二重積分的計算［X－型］

X-型區域的特點：

穿過區域且平行于y軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.（１）直角坐標系下68

Y型區域的特點：穿過區域且平行于x軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］69求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點；2.選擇積分次序；4.計算.(先內積分后外積分;計算內積分時把在累次積分不易積或不能積時,應考慮交換積分次序.(把D寫成不等式形式)；外積分變量看成常數)3.確定積分限701、選擇積分次序(1)首先被積函數要易積分，能積分；(2)積分區域D盡量少分塊.2、確定積分限計算二重積分的兩個關鍵：內限—平行線穿越法.外限—投影法；71（2）極坐標系下722、定限方法內限（的限）——射線穿越法.外限（的限）——看夾在那兩條射線之間；利用極坐標計算二重積分應注意：積分次序——先ρ后1、何時用極坐標？1、當積分區域為圓域或其一部分時；2、被積函數中含有或時.3、用直角坐標求不出的積分.734、二重積分的應用(1)體積設S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積設上連續，曲頂柱體頂——被積函數；底——積分區域.(3)求質量746、三重積分的幾何意義7、三重積分的性質類似于二重積分的性質．5、三重積分的定義758、三重積分的計算(１)直角坐標（截面法）（先一后二法）76(２)柱面坐標77積分次序：定限方法內限—平行線穿越法；外積分區域—投影法.（可用極坐標計算時的定限法）789、三重積分的應用(3)質心(1)求體積(2)求質量79弧微分設L：（1）對弧長（第一類）1.曲線積分的計算——化為定積分計算第十一章曲線、曲面積分80（2）對坐標（第二類）設L：有方向812．曲面積分的計算（化為二重積分）若（1）對面積（第一類）的曲面積分向xoy面的投影為則投影投影82（2）對坐標（第二類）的曲面積分若上側，則若下側，則有方向833.格林公式----平面上曲線積分與二重積分的關系4.曲線積分與路徑無關的條件L取正向.以及等價關系.設有界閉區域D由分段光滑的曲線L圍成,845.高斯公式——曲面積分與三重積分的關系856.兩類積分之間的關系：的法向量L的切向量曲線:曲面:86三.兩類曲線(曲面)積分的典型問題一般曲線積分化成定積分計算，一般曲面積分化成二重積分計算，封閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分.封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分.87第一類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達式求出弧微分元素，定積分定限：下限小于上限.將積分曲線代入被積函數，882.利用積分性質:解3.計算中注意利用對稱性:奇偶性、輪換性89因為積分曲線L關于y軸對稱，函數2xcosy是例設L為橢圓其周長為a，求解原式=x的奇函數，因此有而所以90第二類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達式確定定積分的積分變量，將積分曲線代入被積表達式，定積分定限：起點對應下限，終點對應上限.912.利用格林公式(1)積分曲線為封閉曲線,直接化為二重積分（滿足定理條件）(2)積分曲線為非封閉曲線,添加曲線(較簡單)使之成為封閉曲線,原曲線積分化為一個二重積分減去在添加曲線上的曲線積分.92記L所圍的區域為D，易知