1、歐拉（Euler）線:同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，這條直線稱為三角形的歐拉線；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半證明：利用向量，簡單明了設(shè)H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心.，D為BC邊上的中點(diǎn)。v向量0H=向量0A+向量AH=向量0A+2向量OD （1）=向量0A+向量0B+向量BD+向量OC+向量CD=向量0A+向量0B+向量0C；而向量0G=向量OA+向量AG=向量0A+1/3（向量AB+向量AC） （2）=1/3［向量OA+（向量0A+向量AB）+（向量0A+向量AC）］=1/3（向量0A+向量0B+向量0C）.???向量0G=1/3向量0H,???0、G、H三點(diǎn)共線且0G=1/30H。2、九點(diǎn)圓:任意三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足及三頂點(diǎn)與垂心間線段的中點(diǎn)，共九個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為三角形的九點(diǎn)圓；其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，其半徑等于三角形外接圓半徑的一半。

證明：如右圖所示位似變換。,△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點(diǎn)為L。證法為以垂心H為位似中心，1/2為證明：如右圖所示位似變換。連結(jié)HL并延長至L',使LL'=HL；做H關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'。顯然，zBHC=zFHE=180°-zA,所以/BD'C=zBHC=180°-zA,連結(jié)HL并延長至L',使LL'=HL；做H關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'。又因?yàn)锽C和HL'互相平分于L,所以四邊形BL'CH為平行四邊形。故zBL'C=zBHC=180°-zA,從而A，B，L'，C四點(diǎn)共圓。綜上，A，B，C，D'，L'五點(diǎn)共圓。顯然，對于另外兩邊AB，AC邊上的F，N，E，M也有同樣的結(jié)論成立，故A，B，C，D'，L'，F(xiàn)'，N'，E'，M'九點(diǎn)共圓。此圓即厶ABC的外接圓。0。接下來做位似變換，做法是所有的點(diǎn)（。0上的九個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)0本身）都以H為位似中心進(jìn)行位似比為1/2的位似變換。那么，L'變到了L（因?yàn)镠L'=2HL）,D'變到了D（因?yàn)镈'是H關(guān)于BC的對稱點(diǎn)），B變到了Q,C變到了R（即垂心與頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)）。其它各點(diǎn)也類似變換。0點(diǎn)變成了0H中點(diǎn)V。位似變換將圓仍映射為圓（容易用向量證明），因此原來在。0上的九個(gè)點(diǎn)變成了在OV上的九個(gè)點(diǎn)，且OV的半徑是。0的一半。這就證明了三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)都在一個(gè)圓上。3、費(fèi)爾馬點(diǎn)：SE=183匠米CE=2.75礫AE-擔(dān)米BP=273厘米CP=3.45哩來巳亠CP椚F713匡杲宰馬點(diǎn))ZBPC=12QSE=183匠米CE=2.75礫AE-擔(dān)米BP=273厘米CP=3.45哩來巳亠CP椚F713匡杲宰馬點(diǎn))ZBPC=12QnZCPA=120°A ^APB-120^rr證明：如圖，以△ABC三邊為邊向外作等邊△ABD、△BCE、△ACF,連接CD、BF、AE交于點(diǎn)O,試證：O是費(fèi)馬點(diǎn)。證明：在厶ACD、△ABF中，AD=AB,zDAC=zBAF,AC=AF△ACD竺△ABF(SAS)zADC=zABF???A、B、0、D四點(diǎn)共圓zAOB=120°。同理可得，zA0B=zA0C=zBOC=120。。過點(diǎn)A、B、C作0A、OB、OC的垂線交于三點(diǎn)R、S、T,易知△RST是正三角形在厶ABC內(nèi)作異于O—點(diǎn)G,作RS、ST、RT的垂線GX、GY、GZ,連接GA、GB、GC。易用面積法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。???點(diǎn)到線之間，垂線段最短，.OA+OB+OC=GX+GY+GZ<GA+GB+GC???點(diǎn)O是費(fèi)馬點(diǎn)。4、塞瓦（Ceva）定理:在厶ABC中，過AABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直線，分別交邊BC、CA、AB與點(diǎn)D、E、F,則BDCEAF =1;其逆亦真證明:（韻信）（詁"證明:BDS2.7S酬EA=2.33厘米AF=2.31迴煮汩-■^,4?.'5^:^DHHirwhDDAOdifXa；—L, U-J同理以上三式相乘，得5、密格爾（Miquel）點(diǎn):若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是△ABF、AAED、△bce、Adcf，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)。證明：我們可以反過來思考這個(gè)問題，設(shè)M證明：我們可以反過來思考這個(gè)問題，設(shè)M是厶ABC外接圓上任意一點(diǎn)，D、E、F分別是AB、BC、CA直線上的點(diǎn)，如果使得D、B、M、E四點(diǎn)共圓，C、F、M、E四點(diǎn)共圓，A、F、M、D四點(diǎn)共圓，那么D、E、F三點(diǎn)必然共線。證明起來也很簡單。只需要證明/DEB=ZCEF即可。???A、B、M、C四點(diǎn)共圓zDBM=zFCM???A、F、M、D四點(diǎn)共圓zBDM=zCFM即厶MBD-△MCF，zBMD=zCMF；???D、B、M、E四點(diǎn)共圓zDEB=zBMD???C、F、M、E四點(diǎn)共圓.zCEF=zCMF.zDEB=zCEF,即卩D、E、F三點(diǎn)共線。6、葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)。

證明：???AF=AE,BF=BD,DC=DE(切線長定理???(AF/BF)x(BD/CD)x(CE/AE)=1???AD、BE、CF三線共點(diǎn)(賽瓦定理的逆定理)7、西摩松(Simson)線：已知P為AABC夕卜接圓周上任意一點(diǎn)，PD丄BC,PE丄ACPF丄AB,D、E、F為垂足，貝VD、E、F三點(diǎn)共線,這條直線叫做西摩松線。證明：已知：AABC外接圓上有一點(diǎn)P,過P向三邊所在直線作垂線，垂足分別是X、Y、乙求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線。證明：如圖，連接PB、PCvzAYP=zBXP=90°A、Y、P、X四點(diǎn)共圓，zAYX=zAPX同理C、Z、Y、P四點(diǎn)也共圓zZYC=zCPZ在AAXP和ACZP中zBXP=90°=zCZP，zPAX=zPCZzAPX=zZPC，zAYX=zZYCvzAYX+zXYC=180°zZYC+zXYC=180°?X、Y、Z三點(diǎn)在同一條直線上

10^帕普斯(Pappus)定理$已知點(diǎn)A2.Aa在直線h上，已知點(diǎn)在直線b上，且A1B2與AzBi交于點(diǎn)X,幾民與AsBq交于點(diǎn)Y, 于AaB?交于點(diǎn)乙則X、Y.Z三點(diǎn)共線&杞普斯定埋.乩乩c.D杞普斯定埋.乩乩c.D、.E、F■分別是兩條直捷上的0,AE.田。交于石、EF、匚或于H-AF.CD立二幾則-G.人肝共蓋中田1〉訐注：i^AF^GH于F〔如圖小-匸Q交于J”〔如國』)英迪比例花理得.GI1Hr^AFGSACDff * — ■HrGr^AFHSACDGSAAFGS^CFHShCDHSA^JJG ? 9 VS￡..1DGS^AFHSAGFHSACDGEFBCAEABDEABEFBCGJGI'"HIr~HV：.i\ra臺；.AF^<?6GH共直,工點(diǎn)^F、t'D的交點(diǎn)J璉亙繞療H上SfCsI-H菇堆Q.E.D9、笛沙格(Desargues)定理:已知在△ABC與厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點(diǎn)0,BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn)X、Y、Z則X、Y、Z三點(diǎn)共線；其逆亦真。OQ已知i^A|B|C|AlAAjBjCi中.A|A].B|B;,<?|G三OQ已知i^A|B|C|AlAAjBjCi中.A|A].B|B;,<?|G三銭妹直TO.若B,CnB：口交于XAiC]iA]C；3K于ifA|B|,a:b；3K于衛(wèi)最誑』XsY、￡三點(diǎn)典戰(zhàn)證明：JSH中除了直毬就是直踐，顯搟翌用到禪涅勞哥定理的建定理.現(xiàn)在戲力觀蠱總V、Z^^AnUiCi-起r曲祐口兒憶Blxc'v、要■證明的是 X * rZBtXCj丫街注tMZA^ftAOA^p得到OAjA(Z場比AiA：ZB,'Bi()_L同理OB2B|XC|CjUzUjKXC|"QO~LCjYA,A：yala2o三賞相舉，得到磐故：S、Y\比三點(diǎn)拄注B,XC.Y10、摩萊（Morley）三角形:在已知△ABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BC、是正三角形，這個(gè)正三角形稱為摩萊三角形。CA、AB相鄰的每兩線相交于點(diǎn)D、E、F,則三角形DDEA〔托動(dòng)）DE=1.05厘米A〔托動(dòng)）DE=1.05厘米EF=1一西厘米FD=1.05厘米摩萊三幅形為a,b,c,三內(nèi)角為3a,3B，3丫，則證明：設(shè)厶ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為a,b,c,三內(nèi)角為3a,3B，3丫，則在厶ABC中，由正弦定理，得AF=csinB/sin(a+B)。不失一般性，△ABC外接圓直徑為1則由正弦定理，知c=sin3丫，所以AF=(sin3Y*sinB)/sin(60°-y)=[sinB*siny(3-4sin2Y)]/[1/2(^3cosY-siny)]=2sinBsiny(73cosy+siny)=4sinBsinysin(60°+y).同理,AE=4sinpsinysin(60°+B)AF:AE=[4sinpsinysin(60°+y)]：[4sinBsinysin(60°+B)]=sin(60°+Y)：sin(60°+B)=sinzAEF:sinzAFE???zAEF=60°+y,zAFE=60°+B.同理得，CED=60°+aFED=180°-CED-(AEF-a-Y)=180°-60°-a-60°+a=60?△FED為正三角形。[1]11、帕斯卡（Paskal）定理:

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點(diǎn)G,邊BC、EF延長線交于點(diǎn)H,邊CD、FA延長線交于點(diǎn)K,則H、G、K三點(diǎn)共線證明：面積法：設(shè)AB交DE于G,BC交EF于I，CD交AF于H連接GI,設(shè)AF交GI于H'（如圖1），CD交GI于H''（如圖2）要證G、I、H共線，只需證AF、CD、GI交于一點(diǎn)現(xiàn)在只需證：GHGH"廠-亍，即證:GH'1屮共邊定理+共角定理可得：GHJH" SACfn嚀止乂 。SACfF ADx C.JxCT)CFxIFTTF^gTF二SAAll-XSACGi'^"SACH-XSAAnXSA/\J)GXSAC'GJj"(：Jx(J-X i'.DxDG命題得證12、托勒密(Ptolemy)定理：在圓內(nèi)接四邊形中，AB?CD+AD?BC=AC?BD/<R.rn-nA.Rc=iR4n厘米?AC-DB二10.49厘米2證明：（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）在任意凸四邊形ABCD中（如右圖），作厶ABE使/BAE=ZCAD乙ABE=ZACD,連接DE.貝仏ABE~△ACD所以BE/CD=AB/AC,即卩BE?AC=AB?CD(1)由厶ABE-△ACD得AD/AC=AE/AB,又/BAC=ZEAD,A§所以△ABC-△AED.A§BC/ED=AC/AD,卩卩ED?AC=BC?AD(2)

(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB?CD+AD?BC又因?yàn)锽E+EDnBD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立，即“托勒密定理”)13、阿波羅尼斯(Apollonius)圓一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m：n,則點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”證明：令B為坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(a,0).則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)PA滿足=k(為實(shí)數(shù)，且不為±1滿足=k(為實(shí)數(shù)，且不為±1)整理得(k2-1)(x2+y2)+2ax-a2=0當(dāng)k不為±1時(shí)，它的圖形是圓.當(dāng)k為±1時(shí)，軌跡是兩點(diǎn)連線的中垂線.16,梅內(nèi)勞斯定理：在AA巳C中，茗在BC、CA.AB或其延長線上就同一拓直線? - .BXCYAZ截于點(diǎn)x-y.乙m—~~=1

.U 的.U 的三個(gè)］皿蟲作直紺。的垂銭，則有 ￡AFAA1BDBBfCECC百一麗’芮一苛‘二式相乘得AFBDCEAA!BBrCC一y…M — ->-.'-X