第二篇力能計算第1頁，課件共89頁，創作于2023年2月解析對象

主要是求解變形力，此外可以求解變形量和變形速度等解析方法

工程法（slab法，主應力法）

滑移線法（slipline）

上限法（upperbound）（下限法）、上限單元法

有限單元法（FEM,FiniteElementMethod）金屬塑性加工時，加工設備通過工具使金屬產生塑性變形所需加的外力稱為變形力。變形力是確定設備能力、正確設計工模具、合理擬訂加工工藝規程和確定毛坯形狀尺寸的必要的基本力學參數。

第2頁，課件共89頁，創作于2023年2月第7章金屬塑性加工變形力的工程法解析§7.1工程法及其要點§7.2直角坐標平面應變問題解析§7.3圓柱坐標軸對稱問題§7.4極坐標平面應變問題解析§7.5球坐標軸對稱問題的解析第3頁，課件共89頁，創作于2023年2月§7.1

工程法及其要點求解原理

——工作應力，一般它在工作面上是不均勻的，常用單位壓力表示S——工作面積，按“工作面投影代替力的投影”法則求解

第4頁，課件共89頁，創作于2023年2月求解要點工程法是一種近似解析法，通過對物體應力狀態作一些簡化假設，建立以主應力表示的簡化平衡微分方程和塑性條件。這些簡化和假設如下：

1．把實際變形過程視具體情況的不同看作是平面應變問題和軸對稱問題。如平板壓縮、寬板軋制、圓柱體鐓粗、棒材擠壓和拉拔等。

2．假設變形體內的應力分布是均勻的，僅是一個坐標的函數。這樣就可獲得近似的應力平衡微分方程，或直接在變形區內截取單元體切面上的正應力假定為主應力且均勻分布，由此建立該單元體的應力平衡微分方程為常微分方程。第5頁，課件共89頁，創作于2023年2月3.采用近似的塑性條件。工程法把接觸面上的正應力假定為主應力，于是對于平面應變問題，塑性條件

可簡化為或對于軸對稱問題，塑性條件可簡化為第6頁，課件共89頁，創作于2023年2月4．簡化接觸面上的摩擦。采用以下二種近似關系庫侖摩擦定律：（滑動摩擦）常摩擦定律：（粘著摩擦）式中：

——摩擦應力k——屈服切應力（）

——正應力f——摩擦系數5．其它。如不考慮工模具彈性變形的影響，材料變形為均質和各向同性等。第7頁，課件共89頁，創作于2023年2月例題一滑動摩擦條件下的薄板平錘壓縮變形（直角坐標平面應變問題）高為b，寬為W，長為l

的薄板，置于平錘下壓縮。如果l比b大得多，則板坯長度方向幾乎沒有延伸，僅在x方向和y

方向有塑性流動，即為

平面應變問題，適用于直角坐標分析。

矩形工件的平錘壓縮§7.2

直角坐標平面應變問題解析第8頁，課件共89頁，創作于2023年2月單元體x方向的力平衡方程為：整理后得：由近似塑性條件或，得：將滑動摩擦時的庫侖摩擦定律代入上式得：上式積分得：第9頁，課件共89頁，創作于2023年2月在接觸邊緣處，即時，，由近似塑性條件得于是因此接觸面上正應力分布規律最后求得板坯單位長度（Z向單位長度）上的變形力P可求得為：第10頁，課件共89頁，創作于2023年2月

下面討論混合摩擦條件下，平錘均勻鐓粗圓柱體時變形力計算。圓柱體鐓粗時，如果鍛件的性能和接觸表面狀態沒有方向性，則內部的應力應變狀態對稱于圓柱體軸線（z軸），即

在同一水平截面上，各點的應力應變狀態與

坐標無關，僅與r坐標有關。因此是一個典型的圓柱體坐標軸對稱問題。

§7.3

圓柱坐標軸對稱問題第11頁，課件共89頁，創作于2023年2月圓柱坐標

軸對稱問題工件的受力情況如右圖所示。分析它的一個分離單元體的靜力平衡條件，得：第12頁，課件共89頁，創作于2023年2月由于很小d

，，忽略高階微分，整理得：對于均勻變形，，上式即為：將近似的塑性條件代入上式得：第13頁，課件共89頁，創作于2023年2月接觸面上正應力的分布規律1．滑動區上式積分得：當r=R時，，將近似塑性條件代入上式，得積分常數C1因此：第14頁，課件共89頁，創作于2023年2月2．粘著區將代入平衡方程得：上式積分得：設滑動區與粘著區分界點為rb。由，得此處利用這一邊界條件，得積分常數因此得：第15頁，課件共89頁，創作于2023年2月3．停滯區一般粘著區與停滯區的分界面可近似取，于是得：積分得：當時，，代入上式得：于是式中第16頁，課件共89頁，創作于2023年2月

4．滑動區與粘著區的分界位置滑動區與粘著區的分界位置可由滑動區在此點的與粘著區在此點的相等這一條件確定，因此在rb點上有：

因此得：第17頁，課件共89頁，創作于2023年2月5．平均單位壓力圓柱體平錘壓縮時的平均單位壓力

式中視接觸面上的分區狀況而異。第18頁，課件共89頁，創作于2023年2月§7.4

極坐標平面應變問題解析

不變薄拉深（極坐標平面應變問題）。不變薄拉深時，由于板厚不變化，變形區主要是在凸緣部分，發生周向的壓縮及徑向延伸的變形，因而凸緣部分的變形是一種適用于極坐標描述的平面應變問題。由于變形的對稱性，、均為主應力。第19頁，課件共89頁，創作于2023年2月因此平衡微分方程為：將塑性條件代入上式得然后利用邊界條件進行拉深力的求解。第20頁，課件共89頁，創作于2023年2月當（凸模半徑）時，得凸緣部分的拉深力為第21頁，課件共89頁，創作于2023年2月

單孔模正擠壓圓棒

（球坐標軸對稱問題）

§7.5

球坐標軸對稱問題的解析擠壓力變化規律第一階段：填充階段。第二階段：穩態擠壓階段。第三階段：擠壓終了階段。擠壓力P填充穩定擠壓擠壓終了擠壓軸行程S圖7-6正擠壓過程壓力變化第22頁，課件共89頁，創作于2023年2月擠壓變形區分四個區：Ⅰ區為定徑區，Ⅱ區為塑性變形區，Ⅲ區與后彈區，Ⅳ區為“死區”或剛性區。圖7-7圓棒正擠壓受力情況第23頁，課件共89頁，創作于2023年2月定徑區

摩擦應力取最大值：

第24頁，課件共89頁，創作于2023年2月三向壓應力狀態，產生兩向壓縮－向拉伸的變形

錐形塑性變形區

m為錐面上的摩擦因子，通常取1。第25頁，課件共89頁，創作于2023年2月近似塑性條件

邊界條件

塑性區內塑性變形的入口界面上徑向應力第26頁，課件共89頁，創作于2023年2月后端彈性區作用在擠壓墊上的平均單位壓力多余功和多余應變

擠壓模錐面或“死區”錐面的約束，使坯料在塑性變形區的入口和出口處受到兩次不同方向的剪切變形，而這種剪切變形對工件的外形變化并沒有直接貢獻。故通常把這種變形叫做多余應變。消耗于多余應變上的能量叫多余功。第27頁，課件共89頁，創作于2023年2月變形區入口處

變形區出口處

實際作用在擠壓墊上的平均單位壓力第28頁，課件共89頁，創作于2023年2月第8章滑移線理論及應用§8.1平面應變問題和滑移線場§8.2漢蓋（Hencky）應力方程——滑移線的沿線力學方程§8.3滑移線的幾何性質§8.4應力邊界條件和滑移線場的繪制§8.5三角形均勻場與簡單扇形場組合問題及實例§8.6雙心扇形場問題及實例第29頁，課件共89頁，創作于2023年2月§8.1

平面應變問題和滑移線場平面應變問題：某一方向上的位移分量為零（設duZ=0），故只有三個應變分量（、、）。根據塑性流動法則，可知根據塑性變形增量理論，平面塑性流動問題獨立的應力分量也只有三個（、、）以為半徑的圓方程，這個圓便稱為一點的應力狀態的莫爾圓

使體素順時針旋轉的切應力為正，反之為負。第30頁，課件共89頁，創作于2023年2月（a）塑性流動平面（物理平面），（b）正交曲線坐標系的應力特點，（c）應力莫爾圓

圖8-1平面應變問題應力狀態的幾何表示第31頁，課件共89頁，創作于2023年2月平面應變問題根據平面流動的塑性條件，（對Tresca塑性條件；對Mises塑性條件）于是，由圖8-1c的幾何關系可知，有式中——靜水壓力為最大切應力方向與坐標軸ox的夾角，通常規定為Ox軸正向為起始軸逆時針旋轉構成的傾角為正，順時針旋轉構成的傾角為負。第32頁，課件共89頁，創作于2023年2月

對于理想剛塑材料，材料的屈服切應力k為常數。因此塑性變形區內各點莫爾圓半徑（即最大切應力）等于材料常數k。如圖8-2所示，在x-y坐標平面上任取一點P1，其的，即方向為，沿方向上取一點P2，其方向為，依此取點a2，其線方向為，依次連續取下去，直至塑性變形區的邊界為止……，最后獲得一條折線P1-P2-P3-P4……，稱為線。按正、負兩最大切應力相互正交的性質，由P點沿與的垂直方向上，即在P點的的，即方向上取點，也可得到一條折線……，稱為線。

繪制滑移線第33頁，課件共89頁，創作于2023年2月由圖8-2可知，滑移線的微分方程為：

對線

對線圖8-2x-y坐標系與滑移經網絡

第34頁，課件共89頁，創作于2023年2月自作用方向順時針旋轉，即為方向；逆時針方向旋轉即為方向。并且的作用方向總是位于構成的右手正交曲線坐標系的第一或第三象限（大拇子朝外）。根據已知的作用方向便可確定和的走向第35頁，課件共89頁，創作于2023年2月

滑移線理論法是一種圖形繪制與數值計算相結合的方法，即根據平面應變問題滑移線場的性質繪出滑移線場，再根據精確平衡微分方程和精確塑性條件建立漢蓋（Hencky）應力方程，求得理想剛塑性材料平面應變問題變形區內應力分布以及變形力的一種方法。

滑移線理論法第36頁，課件共89頁，創作于2023年2月§8.2

漢蓋（Hencky）應力方程——滑移線的沿線力學方程推導：有平面應變問題的微分平衡方程將式（8-3）代入上式，得

第37頁，課件共89頁，創作于2023年2月整理得表達成對線取“-”號對線取“+”號

式中，上式表明，沿滑移線的靜水壓力差（）與滑移線上相應的傾角差（）成正比。故式表明了滑移線的沿線性質。漢蓋應力方程不僅體現了微分平衡方程，同時也滿足了塑性條件方程。第38頁，課件共89頁，創作于2023年2月§8.3

滑移線的幾何性質

一、漢蓋第一定理同族的兩條滑移線（如和線）與另族任意一條滑移線（如或線）相交兩點的傾角差和靜水壓力變化量均保持不變。第39頁，課件共89頁，創作于2023年2月由漢蓋第一定理，知滑移線場有幾種簡單情況：同族滑移線中有一條為直線的話，則這族滑移線的其他各條滑移線必然全是直線。若一族滑移線為直線，則與之正交的另一族滑移線或為直線（見圖8-4a），或為曲線（如圖8-4b、c）。

第40頁，課件共89頁，創作于2023年2月二、漢蓋第二定理一動點沿某族任意一條滑移線移動時，過該動點起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量等于該點所移動的路程。漢蓋第二定理表明，同族滑移線必然具有相同的曲率方向。

第41頁，課件共89頁，創作于2023年2月滑移線的基本性質可歸納如下：（1）滑移線為最大切應力等于材料屈服切應力為k的跡線，與主應力跡線相交成角；（2）滑移線場由兩族彼此正交的滑移線構成，布滿整個塑性變形區；（3）滑移線上任意一點的傾角值與坐標的選擇相關，而靜水壓力p的大小與坐標選擇無關；（4）沿一滑移線上的相鄰兩點間靜水壓力差與相應的傾角差成正比；（5）同族的兩條滑稱線（如和線）與另族任意一條滑稱線（如或線）相交兩點的傾角差和靜水壓力變化量均保持不變；（6）一點沿某族任意一條滑移線移動時，過該動點起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量（如）等于該點所移動的路程（如）；（7）同族滑移線必然有個相同的曲率方向。第42頁，課件共89頁，創作于2023年2月§8.4

應力邊界條件和滑

移線場的繪制應力邊界條件1）自由表面2）光滑（無摩擦）接觸表面3）粘著摩擦接觸表面4）滑動摩擦接觸表面第43頁，課件共89頁，創作于2023年2月自由表面

根據為主應力（即自由表面的外法線方向）確定線、線方向

第44頁，課件共89頁，創作于2023年2月光滑（無摩擦）接觸表面

接觸表面上的正應力一般為代數值最小的主壓應力（即為），為其垂直方向。據此可確定、方向

第45頁，課件共89頁，創作于2023年2月粘著摩擦接觸表面線與線應根據接觸表面切應力的正負指向情況來確定。

第46頁，課件共89頁，創作于2023年2月滑動摩擦接觸表面第47頁，課件共89頁，創作于2023年2月滑移線場繪制的

數值計算方法1）特征線問題

這是給定兩條相交的滑移線為初始線，求作整個滑移線網的邊值問題，即所謂黎曼（Riemann）問題。

2）特征值問題

這是已知一條不為滑移線的邊界AB上任一點的應力分量（、、）的初始值，求作滑移線場的問題，即所謂柯西（Cauchy）問題。

3）混合問題

這是給定一條α線OA，和與之相交的另一條不是滑移線的某曲線OB（可能是接觸邊界線或變形區中的對稱軸線）上傾角值第48頁，課件共89頁，創作于2023年2月金屬塑性加工中，許多平面應變問題的滑移線場是由三角均勻場和簡單扇形場組合而成的，稱為簡單滑移線場問題，如平沖頭壓入半無限體、平沖頭壓入、某些特定擠壓比下的擠壓、剪切乃至切削加工。

例1.平沖壓入半無限體

第49頁，課件共89頁，創作于2023年2月圖8-12板條平面應變正擠壓（f=0，不計死區）例2光滑模面的平面應變擠壓第50頁，課件共89頁，創作于2023年2月§8.6雙心扇形場問題及實例第51頁，課件共89頁，創作于2023年2月第9章功平衡法和上限

法及其應用§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應用§9.5Aviztur上限模式及應用第52頁，課件共89頁，創作于2023年2月§9.1

功平衡法功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（Wp）等于物體塑性變形所消耗的應變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即Wp=Wd+Wf對于變形過程的某一瞬時，上式可寫成功增量形式dWp=dWd+dWf第53頁，課件共89頁，創作于2023年2月（1）外力所作功的增量dWP

外力P沿其作用方向產生的位移增量為duP

dWp=P×duP

（2）塑性變形功增量dWd第54頁，課件共89頁，創作于2023年2月（3）接觸摩擦所消耗功的增量dWf總的變形力P求解的關鍵在于能否利用給定的變形條件，求出和。

第55頁，課件共89頁，創作于2023年2月例1平錘壓縮圓柱體（摩擦因子為m）

dεz=-dh/h

體積不變條件

第56頁，課件共89頁，創作于2023年2月外力所作功為

第57頁，課件共89頁，創作于2023年2月

極值原理包括上限定理和下限定理，它們都是根據虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題的出發點不同。上限定理是按運動學許可速度場（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實載荷，即高估的近似值，故稱上限解；下限定理僅按靜力學許可應力場（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實載荷，即高低的近似解，故稱下限解。§9.2

極值原理及上限法

第58頁，課件共89頁，創作于2023年2月

穩定平穩狀態的變形體中，當給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因為該位移只是幾何約束所許可，實際上并未發生，故稱虛位移）時，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內的應力在虛應變上所作的虛應變功，其表達式為：

實際應用常用功率形式表達

虛功原理第59頁，課件共89頁，創作于2023年2月式中，左邊為外力所作虛功或虛功率，右邊第一項為虛應變功耗或虛應變功率消耗，第二項為接觸摩擦與剛性界面上剪切功耗或功率消耗等。（為所在界面上的相對滑動速度）。第三項為裂紋形成等的功耗或功率消耗。虛功原理對于彈性變形、彈塑性變形或塑性變形力學問題都是適用的。第60頁，課件共89頁，創作于2023年2月

到目前為止，上限法中虛擬的運動學許可速度場模式大體有三種模式：（1）Johnson模式，通常稱為簡化滑移線場的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應變問題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續速度場的上限模式，它既可適用平面應變問題、軸對稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術（UBET），目前比較實用的是圓柱坐標系的圓環單元技術。它可用于解軸對稱問題，以及某些非對稱軸的三維問題。具體實例在碩士階段將詳細分析。

虛擬的運動學許可速度場模式第61頁，課件共89頁，創作于2023年2月§9.3

速度間斷面及其速度特性(1)(2)Av2v1xxABCDφH圖9-4速度間斷面上的速度間斷a）物理平面b）速度圖

第62頁，課件共89頁，創作于2023年2月由于塑性變形必需遵守體積保持不變，即材料在速度間斷面兩側不允許出現間隙或空穴與物質的重迭或堆積，即秒流量相等。

法向速度分量相等，而切向速度分量不相等整個速度間斷量等于切向速度間斷量

所消耗的剪切功率為：

第63頁，課件共89頁，創作于2023年2月速端圖是以代表剛性區內一不動點O為所有速度矢量的起始點（也稱為基點或極點），所作變形區內各質點速度矢量端點的軌跡圖形，它是研究平面應變問題時，確定剛性界面和接觸摩擦界面上相對滑動速度（即速度間斷量）的一個重要工具。

第64頁，課件共89頁，創作于2023年2月§9.4Johnson上限模式及應用

基本思路是設想塑性變形區由若干個剛性三角形構成，塑性變形時完全依靠三角形場間的相對滑動產生，變形過程中每一個剛性塊是一個均勻速度場，塊內不發生塑性變形，于是塊內的應變速度。因此，式（9-6）的能量基本方程中，若不計附加外力及其他功率消耗的話，其塑性變形功率消耗部分也為零，則上限功率表達式變為：

第65頁，課件共89頁，創作于2023年2月Johnson上限模式求解的基本步驟根據變形的具體情況，或參照該問題的滑移線場，確定變形區的幾何位置與形狀，再根據金屬流動的大體趨勢，將變形區劃分為若干個剛性三角形塊；根據變形區劃分剛性三角形塊情況，以及速度邊界條件，繪制速端圖；第66頁，課件共89頁，創作于2023年2月Johnson上限模式求解的基本步驟3.根據所作幾何圖形，計算各剛性三角形邊長及速端圖計算各剛性塊之間的速度間斷量，然后計算其剪切功率消耗；4.求問題的最佳上限解，一般劃分的剛性三角形塊時，幾何形狀上包含若干個待定幾何參數，所以須對待定參數求其極值，確定待定參數的具體數值以及最佳的上限解。第67頁，課件共89頁，創作于2023年2月例一，平沖頭壓入半無限體

p?(W/2)·vo=k(OB·ΔvOB+AB·ΔvAB+BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+CD·ΔvCD)

第68頁，課件共89頁，創作于2023年2月例二板條平面應變擠壓

p·v0·(H/2)=k(BC·ΔvBC+BC·ΔvBC)

p=k(1+λ)(1+λtg2θ)/(λtgθ)nσ=p/2k=(1+λ)/√λnσ=p/2k=(1+λ)/√λnσ=p/2k=(1+λ)/√λnσ=p/2k=(1+λ)/√λ第69頁，課件共89頁，創作于2023年2月隨著變形區內剛性三角形塊布滿程度與實際變形區的接近，其上限解結果的精度也提高。

第70頁，課件共89頁，創作于2023年2月模面粗糙及死區大小的影響

第71頁，課件共89頁，創作于2023年2月§9.5Aviztur上限模式及應用

基本思路：B.Avitzur上限模式為連續速度場模式，其基本思路是把整個變形區內金屬質點的流動用一個連續速度場vi=fi(x,y,z)來描述。同時考慮塑性區與剛性區界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響。因此Avit－zur上限模式的基本能量方程與式（9-4）是一致的，常簡化為

N=Nd+Nt+Nf+Nq第72頁，課件共89頁，創作于2023年2月式中，為塑性變形功率消耗為速度間斷面上剪切功率消耗為接觸面上摩擦功率消耗為附加外力消耗的（取“+”

號）或向系統輸入的附加功率（取“-”號）第73頁，課件共89頁，創作于2023年2月應用范圍一、直角坐標平面應變問題

——考慮側鼓時板坯的平錘壓縮二、極坐標平面應變問題

——寬板的平輥軋制三、圓柱坐標軸對稱問題——圓盤的鐓粗四、球坐標軸對稱問題——圓棒的拉拔或擠壓第74頁，課件共89頁，創作于2023年2月塑性有限元技術離散化處理：即把問題的求解區域劃分成若干單元,如四結點四邊形等參單元(Isoparametricelement)將無限變形體進行離散化。建立單元剛度矩陣建立整體方程解上述方程組求單元節點位移、速度利用幾何方程、物性方程等求其它場量第75頁，課件共89頁，創作于2023年2月幾個關鍵技術1工件與模具接觸邊界的自動識別技術

（1）邊界結點觸模判別及算法

（2）邊界結點脫模判別及算法

2收斂準則及影響