八年級上期末復習幾何專題(全等三角形、軸對稱、勾股定理)初二數學幾何總復習專題一.軸對稱圖形的識別和作圖問題1.圖中是由小正方形組成的L形圖，請用三種方法分別在下圖中添畫一個小正方形使它成為軸對稱圖形：2.如圖是2×2的方格，在格點處有一個△ABC，請仿照圖例在備用圖中畫出三種與△ABC成軸對稱的“格點三角形”。3.下列圖形中，為軸對稱圖形的是（C）：4.下列幾何圖形中，是軸對稱圖形的有（C）：5.點P（3，-4），則點P關于y軸對稱的點的坐標是（-3，-4）。6.如圖，把一個長方形ABCD沿AE對折點B落在F點，EF交AD于點G，如果∠BEA=38°，則∠EGA的度數為（142）度。7.如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示。若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數為（25）°。8.如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在點O處。若∠1=129°，則∠2的度數為（51）°。9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3，則點D到AB的距離是（4）。10.如圖，AO、OB是互相垂直的墻壁，墻角O處是一個老鼠洞，一只貓在A處發現了B處的一只老鼠正在向洞口逃竄。若貓以與老鼠同樣的速度去追捕老鼠，請在圖中作出最快能截住老鼠的位置C。（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）11.如圖，已知A（-2，3），B（-3,1），C（1，-2）。（1）請畫出△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分別是A，B，C的對應點，不寫畫法）；（2）B'的坐標為（3，1）；（3）△ABC的面積是8.5。12.已知：如圖，∠ABC及兩點M，N。求作：點P，使得PM=PN，且P點到∠ABC兩邊的距離相等。（不寫畫法，保留作圖痕跡）答：P點為∠ABC的平分線與MN的交點。專題二．利用等腰三角形的性質求角的問題及分類思想1.等腰三角形有一個角為40°，則另外兩個角分別為70°。2.在一個等腰三角形中，如果一個角度是50度，那么與底邊相鄰的高和底邊的夾角是多少？選項：A.12B.15C.16D.18。4.已知：如圖1，P和Q是△ABC邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ。求∠BAC的度數。圖13.一個等腰三角形的一條邊長為6，一個外角為120度，那么這個三角形的周長是多少？5.如圖2，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158度，則∠EDF等于什么？選項：A.EB.DC.F6.如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90度，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E。已知∠BAE=10度，則∠C的度數是多少？7.如圖4，AB=AC，AD=AE，∠BAD=40度，則∠CDE等于多少度？8.如圖5，△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，則∠A等于多少度？選項：A.30度B.36度C.45度D.54度。9.如圖6，△ABC中，AB=AC=BD，那么∠1和∠2之間的關系是什么？選項：A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180度C.∠1+3∠2=180度D.3∠1-∠2=180度。10.如圖7，AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，則圖中有多少個等腰三角形？選項：A.1個B.2個C.5個D.4個。11.如圖8，∠A=90度，E是BC上的一個點，A點和E點關于BD對稱，B點和C點關于DE對稱，求∠ABC和∠C的度數。專題三.利用等腰三角形的性質求線段的問題1.已知：在△ABC中，AB＜AC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AC=8cm，△ABE的周長是14cm，求AB的長。2.在一個等腰三角形中，兩條邊的長分別為4和9，那么這個三角形的周長是多少？3.如果一個等腰三角形的底邊長為5，一條腰上的中線把它的周長分成兩部分的差為3，那么這個等腰三角形的腰長是多少？4.已知：在△ABC中，AB＜AC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AC=8cm，△ABE的周長是14cm，求AB的長。5.如圖，DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則△EBC的周長是多少厘米？6.已知：如圖，角度1為12度，角度2為36度，角度3為48度，角度4為24度。求角度ADB的度數。7.在三角形ABC中，AB=AC，角度A為80度，D為內部點，且角度DAB=角度DBA=10度。求角度ACD的度數。8.已知等腰三角形ABC中，角度BAC為30度，AB=AC，角度PAB為α，點B關于直線AP的對稱點為點D。連接AD，連接BD交AP于點G，連接CD交AP于點E，交AB于點F。（1）如圖（1）當α=15時，①按要求畫出圖形，②求出角度ACD的度數，③探究DE與BF的倍數關系并加以證明；（2）在直線AP繞點A順時針旋轉的過程中（15度<α<75度），當三角形AEF為等腰三角形時，利用備用圖直接求出α的值。1.以下四條線段不能組成直角三角形的是（）A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=5，b=3，c=2D.a:b:c=2:3:42.有一塊邊長為24米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材，BC=7，由于居住在A處的居民為走近路（AB）踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個標牌“少走▇米，踏之何忍？”請你計算后幫小明在標牌的▇填上適當的數字為：__7__。3.邊長為4的等邊三角形的高為（）。A.2B.4C.3D.2√34.如圖所示的一塊地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求這塊地的面積。專題五．等腰三角形中的有關角或線段的證明問題1.如圖，已知三角形ABC中，角度1=角度2，AB=AC=BC，ED=EB。試證明：CE=CD。2.已知：如圖三角形ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE。求證：AH=2BD。3.已知：如圖，在三角形ABC中，AD平分角度BAC，DC垂直于AC，AD=BD。求證：AB=2AC。4.圖①所示在三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點P，則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF。1.若點P在BC的延長線上，那么猜想PD、PE和CF之間存在等式關系。證明如下：由相似三角形可得，PD/BC=BD/AB，PE/BC=CE/AC，CF/AB=BD/AC。將三式相加得PD/BC+PE/BC+CF/AB=BD/AB+CE/AC+BD/AC，化簡可得PD+PE=CF。5.在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分線，求證：BC=AC+AD。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為∠A=2∠B，所以AB/AC=2sinB/sinA=4sinB/2sinA=4cosB，代入上式得BD/DC=4cosB，即BD=4cosBDC。又因為AD=AB-BD=ACcosB-4cosBDC，所以BC=AC+AD=AC+ACcosB-4cosBDC=AC(1+cosB)-4cosBDC=AC(2cosB/2+2sinB/2)-4cosBDC=2ACsin(90°-B/2)-4BCsinB/2=2BCsinB/2-4BCsinB/2=-2BCsinB/2=-BCsinB。6.在等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，求證：BC=AB+DC。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC=1，所以BD=DC。又因為∠A=108°，所以∠B=∠C=(180°-108°)/2=36°，由正弦定理可得BC=2ABsin36°，DC=2BDsin18°=2ABsin18°，代入原式可得BC=AB+DC。7.如圖，D是△ABC的角平分線，H、G分別在AC、AB上，且HD=BD。（1）求證：∠B與∠AHD互補。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為HD=BD，所以HD/DC=AB/AC，即HD=ACBD/DC，代入上式可得∠AHD=∠ACB，又因為∠ACB與∠B互補，所以∠B與∠AHD互補。（2）若∠B+2∠DGA=180°，探究線段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關系，并加以證明。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為HD=BD，所以HD/DC=AB/AC，即HD=ACBD/DC，代入上式可得AH=AC-CH=AC-DC/2，AG=AC-CD，代入∠B+2∠DGA=180°可得cosB=sinDGA，又因為∠AHD=∠ACB，所以∠DGA=∠B/2，代入上式可得cosB=sinB/2，即sinB=2cosB，代入AH和AG的式子可得AH=2AG-HD。8.在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M。（1）當直線l經過點C時，證明：BN=CD。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為∠ACB=2∠B，所以AB/AC=2sinB/sinA=4sinB/2sinA=4cosB，代入上式得BD/DC=4cosB，即BD=4cosBDC，又因為∠BHC=90°，所以BH=BCcosB，HD=BCsinB，代入BN和CD的式子可得BN=BCcosB-BD=BCcosB-4cosBDC=CD。（2）當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明。由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為∠ACB=2∠B，所以AB/AC=2sinB/sinA=4sinB/2sinA=4cosB，代入上式得BD/DC=4cosB，即BD=4cosBDC，又因為M是BC的中點，所以BM=MC=BC/2，代入CE的式子可得CE=2ACsinB/2=2BCsinB/2-2BDsinB/2=2BCsinB/2-2BCsinB/2=0，所以CE=CD。（3）直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系：BN=CD=CE=BC/3。9.已知△ABC中，D為BC中點，E為AB上一點，F為AC上一點，ED⊥DF，連結EF，求證：BE+FC>EF。由勾股定理可得，AE=sqrt(AB^2-BE^2)，AF=sqrt(AC^2-FC^2)，ED=BD-BE，FD=DC-FC，代入ED⊥DF可得BD-BE=DC-FC，即BE+FC=BD-DC，代入勾股定理可得EF=sqrt(AB^2+AC^2-2ABACcosB)，所以要證明BE+FC>EF，即BD-DC>sqrt(AB^2+AC^2-2ABACcosB)，代入BD=BC/2，DC=BC/2，代入勾股定理可得cosB=BC^2-AB^2-AC^2/2ABAC，代入上式可得BC^2>AB^2+AC^2，即∠B>90°，所以BE+FC>EF成立。10.已知△ABC中。（1）如果AB=AC，D、E是AB、AC上的點，若AD=AE，請你寫出此圖中的另一組相等的線段：BD=CE。（2）如果AB>AC，D、E是AB、AC上的點，若BD=CE，請你確定DE與BC的數量關系，并證明你的結論：DE=BC-AB。證明：由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，又因為BD=CE，所以BD/DC=CE/DC，即BD=CE，代入上式得BD/DC=AB/AC，所以BD=ABCD/AC，又因為AD=AE，所以BD=CE=ABCD/2，代入勾股定理可得DE=sqrt(AB^2+AC^2-2ABACcosB)-AB=sqrt(AB^2+AC^2-2ABACcosB)-2ABsinB/2，代入cosB=2cos^2(B/2)-1可得DE=BC-AB。11.在等邊三角形ABC中，將三角形分成四個小三角形，連結四個小三角形的頂點，得到一個正方形。所以正方形的邊長等于三角形的邊長，即AB=BC=CA。1.求等腰三角形頂角的度數，已知AD、EB能構成等腰三角形。2.在AB=10的條件下，求BD·AE的值。3.△ABC和△BDE都是等邊三角形，將△BDE繞著點B旋轉到任意位置。證明△ABE≌△CBD，求△BKL的形狀并證明結論。若K、L不是AE、CD的中點，滿足什么條件可以使△BKL的結論仍成立。4.有公共頂點C的△ABC和△CDE都是等邊三角形，△ABC的位置不變，將△CDE繞點C沿順時針方向旋轉一個任意角。問AD=BE是否成立。5.在△ABC中，AB=AC，D、E為直線BC上與點B、點C不重合的兩點，且∠DAE=1/2