初中數學

一元二次方程大單元教學設計1:課標分析3:學習目標4:單元整體規劃5:教學過程2:教材分析

“數與式”是代數的基本語言，初中階段關注用字母表述代數式，以及代數式的運算，字母可以像數一樣進行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結論具有一般性.

數與代數領域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發展幾何直觀和運算能力。1:課標分析

本章的具體要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數一元二次方程；會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；了解一元二次的根與系數的關系；能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解得合理性。

本單元屬于“數與代數”中方程與不等式的內容，是魯教版八年級下冊第八章，也是初中學段“數與代數”研究的重要內容之一.本單元共包括7節，具體內容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的應用.2:教材分析

這些內容既是對代數式、一元一次方程、二元一次方程組和可以化為一元一次方程的分式方程、因式分解、實數、二次根式的鞏固、加深和發展，又是今后學習二次函數的基礎.因此，本單元內容在學生的數學學習中具有承上啟下的重要地位，同時，本單元內容也是解決物理等其他學科問題的重要工具。2：教材分析一元二次方程的縱向聯系單元數學要素六年級上冊第三章整式及其加減中的代數式六年級上冊第四章一元一次方程七年級上冊第四章實數七年級下冊第七章二元一次方程組八年級上冊第一章因式分解八年級下冊第七章二次根式九年級上冊第三章二次函數二次根式的橫向聯系

本章在呈現方式上：1、通過豐富的實例，如“地毯四周有多寬”“梯子的底端滑動多少米”等問題，建立一元二次方程，讓學生通過觀察歸納出一元二次方程的有關概念，從中體會方程的模型思想。教材的呈現方式2、在第二至四節探索方程解法的過程中，并未單純地進行解方程的訓練，而是適當設計一些應用題，并在三種解法之后又安排了有關的應用內容。

1.經歷從具體情境中抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.3：學習目標

2.理解一元二次方程及其相關概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。3.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數根和兩個實數根是否相等。4.了解一元二次方程的根與系數的關系，能利用一元二次方程解決有關實際問題。1、一元二次方程及其它們有關的概念。2、用配方法、公式法、因式分解降次解一元二次方程。3、利用實際問題建立一元二次方程的模型，并解決這個問題。教學重點教學難點

一元二次方程配方法解題；用公式法解一元二次方程時的討論；一元二次方程根的判別式；一元二次方程根與系數的關系；建立一元二次方程實際問題的數學模型。

在設計思路上，本章遵循了“問題情境——建立模型——拓展、應用”的模式，首先通過具體問題情境建立有關方程，并歸納出一元二次方程的有關概念，然后探索其各種解法，并在現實情境中加以應用，切實提高學生的應用意識和能力。設計思路

4、單元整體規劃單元課時規劃教學過程

課型課時課時目標學習內容任務活動

課時作業導讀課（10分鐘）學生明確單元主題及本單元學習目標，明晰單元結構化活動.能說出單元主題和本單元需要完成的任務.單元結構化活動框架圖8.1一元二次方程1.通過具體問題中的數量關系列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.明確一元二次方程的定義，并能判斷一個方程是否是一元二次方程;2.經歷估計方程解的過程，體會“二分法”估計方程近似解的無限逼近思想一元二次方程的定義；會化一般式；會找二次項系數、一次項系數、常數項；估計一元二次方程的解；二分法1.觀察例題中方程有何共同特征?類比一元一次方程的定義歸納總結出一元二次方程的定義.2.把方程化為一般式,并指出它的二次項一次項常數項3.閱讀課本,同桌說一說如何估計一個方程的根課本第52頁第2、3題教學過程

課型課時課時目標學習內容任務活動

課時作業8.2用配方法解一元二次方程1能直接用開平方法解方程;能說出配方法的定義,了解配方法解一元二次方程的步驟；會用配方法解數字系數為1的一元二次方程；直接開平方法；會用配方法解數字系數為1的一元二次方程；1.閱讀課本觀察與思考，總結出配方法的一般步驟，并根據平方根意義解二次項系數為1的一元二次方程2.根據等式的基本性質，將一元二次方程的二次項系數化為1.3.將一元二次方程化為一般式，并指出二次項系數、一次項系數及常數項，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根課本第61頁第1、2題教學過程

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課時作業8.3用公式法解一元二次方程通過小組合作求根公式的探究，能夠推導出一元二次方程的求根公式；用公式法解數字系數一元二次方程將一元二次方程化為一般式，并指出二次項系數、一次項系數及常數項，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根課本第67頁第1、2題教學過程

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課時作業8.4用因式分解法解一元二次方程通過探究，學會用因式分解法解特殊的一元二次方程；通過因式分解法解一元二次方程，體會數學中的轉化思想。會用因式分解法解特殊的一元二次方程；會用因式分解法解一元二次方程，。提公因式法；（公因式是單項式和多項式）十字相乘法課本第70頁第1、2題8.5一元二次方程的根與系數的關系1.感悟一元二次方程的根的判別式的產生的過程，能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理；2.會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍；1.能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理；2.能運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍；觀察求根公式，根的情況與什么有關？小組討論并總結根的情況5.不解方程，判斷數字系數方程根的情況；根據根的判別式，求字母系數的取值范圍課本第72頁第1、2、3題教學過程

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課時作業8.6一元二次方程的應用1.能根據題意找出正確的等量關系。2.能正確的列出一元二次方程解決實際問題，并能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性。3.經歷列方程解決實際問題的過程，增強數學的應用意識和能力。面積問題；增長率問題；利潤問題；根據題意，找出等量關系，列出方程，總結列一元二次方程的一般步驟是什么？應注意什么問題？課本第77頁第1、2題一元二次方程的概念及解法1．一元二次方程的概念：只含有①一個未知數，且未知數的最高次數是②2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．【注意】對于方程ax2＋bx＋c＝0，只有當④a≠0時才是一元二次方程．如果說ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么必然隱含著⑤a≠0．2．一元二次方程的解法：一元二次方程根的判別式1．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由⑧b2－4ac來判定，我們將⑨b2－4ac稱為根的判別式．2．判別式與根的關系：(1)b2－4ac＞0?方程有兩個⑩不相等的實數根；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個?相等的實數根；(3)b2－4ac＜0?方程?沒有實數根．3．關于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0.(1)若有兩個相等的實數根，則k的值是5；(2)若有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是k＜5且k≠1；(3)若沒有實數根，則k的取值范圍是k＞5；(4)若有實數根，則k的取值范圍是k≤5且k≠1．【變式提問】若關于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有實數根，則k的取值范圍是k≤5．【易錯提示】在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數中含有字母，那么要加上二次項系數不為0這個限制條件．一元二次方程根與系數的關系當b2－4ac≥0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數根x1，x2，則有：x1＋x2＝?－，x1x2＝?．一元二次方程的解與系數a，b，c的關系(1)當c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝0；(2)當a＋b＋c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝1；(3)當a－b＋c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝－1.一元二次方程根的判別式；一元二次方程根與系數的關系

典型例題已知關于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．(2)若方程有兩個實數根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．【思路點撥】(1)根據根的判別式得出Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋9＞0，據此可得答案；(2)根據根與系數的關系得出x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2，代入x1＋x2＋3x1x2＝1得出關于m的方程，解之可得答案．【自主解答】解：(1)證明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0，∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．(2)由根與系數的關系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1.解得m＝8.一元二次方程的應用常見類型及其關系式1．增長率問題：設基礎量是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a(1＋x)；第二次增長后為a(1＋x)2．若增長兩次后的量為b，則有a(1＋x)2＝b．練習：1、某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是100(1－x)2＝81；2、某機械廠七月份生產零件100萬個，九月份生產零件196萬個，設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，則x滿足的方程是100(1＋x)2＝196．一元二次方程的應用2．面積問題如圖，長為a，寬為b的矩形ABCD的四個角都剪去一個邊長為x的正方形后做成一個無蓋的盒子，則該盒子的底面積S＝(a－2x)(b－2x)1．春節期間x個老同學聚會．(1)若每兩個人都握一次