高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各科知識的理論基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，極限、連續(xù)和積分等數(shù)學(xué)思想是建立數(shù)學(xué)模型的基本思想，抽象思維和邏輯思維能力是數(shù)學(xué)建模必備的能力。在教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣。暑假組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，培養(yǎng)他們建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)模型的能力。高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。例1艦艇的會合令：則上式可簡記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點(diǎn)p必位于此圓上。

（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

例2

雙層玻璃的功效在寒冷的北方，許多住房的玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們的差異僅僅在窗戶不同。

不妨可以提出以下假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對流。2、室內(nèi)溫度T1與戶外溫度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k2，單位時間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為θ

ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式θ=kΔT/d

解得：此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有

一般故記h=l/d并令f(h)=

01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考慮到美觀和使用上的方便，h不必取得過大，例如，可取h=3，即l=3d，此時房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時的3%。例3崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動的公式來計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我學(xué)過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0跪.0和5并仍即設(shè)t=4秒，詠則可焦求即得h≈73臺.6米。聽到鐵回聲振再按咬跑表賀，計(jì)闖算得舟到的活時間雙中包交含了反應(yīng)亮?xí)r間進(jìn)一悶步深艦入考姑慮不妨椒設(shè)平均偽反應(yīng)度時間為0.幕1秒杠，假并如仍那設(shè)t=4秒，煌扣除死反應(yīng)藍(lán)時間腿后應(yīng)吐為3.充9秒，勤代入情式①，求枝得h≈69甘.9米。①多測取幾次爹，取滴平均海值再一提步深把入考崇慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。例4錄像述帶還贊能錄關(guān)多長標(biāo)時間錄像衣機(jī)上代有一碰個四鎮(zhèn)位計(jì)秀數(shù)器迫，一非盤18擺0分鐘的錄胞像帶交在開折始計(jì)史數(shù)時晃為00烘00，到聞結(jié)束宮時計(jì)數(shù)為18傷49，實(shí)外際走福時為18浪5分20秒。獲我們旁從00眉84觀察李到01臉47共用告時間3分21秒。府若錄患像機(jī)目讓前的左計(jì)數(shù)手為14離28，問叉是否瓦還能腿錄下毯一個60分鐘圓的節(jié)小目？rθRl由得到又因和得

積分吃得到即從而妄有我們希望建立一個錄像帶已錄像時間t與計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個正確的模型，首先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像帶的磁帶的厚度是常量，它被繞在一個半徑為r的園盤上，見圖。磁帶轉(zhuǎn)動中的線速度v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過的角度θ成正比。rθRl此式中的三個參數(shù)ω、v和r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令則可將上式簡化為：故令上式又可化簡記成t=an2+bn

t=團(tuán)a但n2+b汪nrθRl上式挎以a、b為參傘數(shù)顯狹然是獅一個小十分精明智懷的做誦法，判它為蔑公式鋒的最往終確斷立即罪參數(shù)遣求解窮提供屠了方嘩便。儉將已聰知條饑件代捏入，骨得方尼程組睬：從后準(zhǔn)兩式謙中消春去t1，解抱得a=0.攻00厚00捎29雷1,b=0.甚04隆64占6,故t=0.仍00容00側(cè)29偏1n2+0你.0示46遮46n，令n=14暢28，得積到t=12撇5.驗(yàn)69（分渣）由調(diào)于一亮盒錄飛像帶檔實(shí)際姥可錄支像時鼠間為18坐5.圖33分，擦故尚隔可錄圓像時鄙間董為59塔.6郵4分，加已不匪能再附錄下善一個60分鐘造的節(jié)布目了濟(jì)。例5將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚紐奉塊是尾均質(zhì)伏的，父長度熔與重圈量均脈為1，其蚊重狐心在薄中點(diǎn)1/憤2磚長套處，夕現(xiàn)用歸納旦法推導(dǎo)括。Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚唐塊向碎右可雅疊至任意編遠(yuǎn)，這紫一結(jié)魚果多穿少有點(diǎn)墾出人輪意料尋。例6某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的C點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由B去A的車，難道由B去A的車次多些嗎？請你幫助他找一下原因AB發(fā)出原車次撿顯然訓(xùn)是一倘樣多稻的，否則腰一處云的車器輛將壘會越亭積越躁多。由于距離不同，設(shè)A到C行駛31分鐘，B到C要行駛30分鐘，考察一個時間長度為10分鐘的區(qū)間，例如，可以從A方向來的車駛離C站時開始，在其后的9分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見到先來的車均為B開往A的，僅有最后1分鐘到達(dá)的乘客才見到由A來的車先到。由此可見，如果此人到C站等車的時間是隨機(jī)的，則他先遇上B方向來的車的概率為90%。例7方桌餃問題將一拒張四愧條腿做的方聾桌放拐在不壘平的詳?shù)孛嬗H上，筍不允許禍將桌濱子移持到別搜處，搏但允疊許其肌繞中致心旋理轉(zhuǎn)，是丸否總泊能設(shè)腦法使換其四傘條腿作同時賓落地朗？不附詞加任避何條殺件，嫌答案顯然規(guī)是禁否定趨的，因此我們假設(shè)

（1）地面為連續(xù)曲面（2）方桌的四條腿長度相同（3）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。總可以使三條腿同時著地。

現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時，對角線AC與x軸的夾角記為θ。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f(θ)為A、C離地距離之和，g(θ)為B、D離地距離之和，它們的值由θ唯一確定。由假設(shè)（1），f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)（3），三條腿總能同時著地，故f(θ)g(θ)=0必成立（θ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：yxθCDABo已知f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)>0且對任意θ有f(θ)g(θ)=0，求證存在某一θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。

（證法一）當(dāng)θ=π/2時，AC與BD互換位置，故f(π/2)>0,g(π/2)=0。令h(θ)=f(θ)-g(θ)，顯然，h(θ)也是θ的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)<0而h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在θo，0<θo

<π/2，h(θ0)=0，即f(θo)=g(θo)。又由于f(θo)g(θo)=0，故必有f(θo)=g(θo)=0，證畢。

（證法二）同證一可得f(π/2)>0,g(π/2)=0。令θo=sup{θ|f(ζ)=0，0≤ζ<θ},顯然θ0<π/2。因?yàn)閒連續(xù)，由上確界定義必有f(θ0)=0，且對任意小的ε>0，總有δ>0且δ<ε，使f(θ0+δ)>0。因?yàn)閒(θ0+δ)g(θo+δ)=0，故必有g(shù)(θ0+δ)=0，由δ可任意小且g連續(xù)，可知必有g(shù)(θ0)=0，證畢。證法二除用到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。

圓周及率是籃人類跡獲得稀的最蘭古老儉的數(shù)堂學(xué)概窗念之困一，余早在催大約37犯00年前安（即森公元接前17思00年左船右）所的古襖埃及愿人就滑已經(jīng)既在市用25艙6/莖81（約3.蹈16燙05）作騎為π的近況似值硬了。俗幾千腐年來材，人嘩們一門直沒酬有停海止過垃求π的努尋力。例8π的計(jì)算古求典之方型法分厭析蹈方耳法其匪它奸方具法概率乎方法數(shù)值惹積分祝方法古典林方法用什戶么方資法來聯(lián)計(jì)塘算π的近碑似值相呢？肺顯然輸，不善可能加僅根隸據(jù)圓碰周率盒的定烏義，雜用圓糕的周巨長去渾除以呢直徑鉆。起哈先，平人們鄉(xiāng)豐采用妹的都憐是用連圓內(nèi)意接正鹽多邊就形和古圓外盛切正號多邊扁形來膜逼近篩的古討典方店法。6邊形12邊形24邊形圓阿基劃米德唉曾用目圓內(nèi)交接96邊形呀和圓繞外切96邊形雷夾逼狀的方息法證鋤明了由和導(dǎo)出公元5世紀(jì)鄭，祖運(yùn)沖之鬧指出比西哥方得練到同凱樣結(jié)掌果幾命乎早趕了10蚊00年十五星世紀(jì)險中葉凡，阿麗爾·卡西此給出π的16位小念數(shù)，炎打破稼了祖展沖之固的紀(jì)勸錄15忌79年,韋達(dá)召證明16參30年,最后深一位跳用古村典方者法求π的人糊格林鹽伯格憂也只欺求到屢了π的第39位小糊數(shù)分析含方法從十惡七世牛紀(jì)中仙葉起獵，人確們開饅始用總更先茫進(jìn)的鑄分析址方法賀來求π的近淺似值賄，其策中應(yīng)蹈用的錫主要局工具筑是收艷斂的惰無窮飾乘積垂和無榴窮級崇數(shù)，艦在本急節(jié)中船我們浮將介鎮(zhèn)紹一這些用幅此類叉方法懸求π近似秀值的票實(shí)例毒。取取16璃56年，窮