2024屆廣東省深圳市翻身實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.3．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.4．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或5．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.06．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖給出的是一道典型的數(shù)學(xué)無(wú)字證明問(wèn)題：各矩形塊中填寫(xiě)的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照?qǐng)D示規(guī)律，有同學(xué)提出了以下結(jié)論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫(xiě)的數(shù)字為B.前七個(gè)矩形塊中所填寫(xiě)的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列D.按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是8．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長(zhǎng)為A.1 B.2C.4 D.89．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.210．某救援隊(duì)有5名隊(duì)員，其中有1名隊(duì)長(zhǎng)，1名副隊(duì)長(zhǎng)，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個(gè)行動(dòng)小組，其中一組2名隊(duì)員，另一組3名隊(duì)員，則正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為（）A. B.C. D.11．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.12．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的兩焦點(diǎn)為，，P為C上的一點(diǎn)（P與，不共線），則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．長(zhǎng)方體中，，，已知點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，且，則點(diǎn)H到平面ABCD的距離為_(kāi)_____15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號(hào)）16．不等式是的解集為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三角形ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且D為AC的中點(diǎn).（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產(chǎn)生的相交弦的長(zhǎng)度.18．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過(guò)上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點(diǎn)為線的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若，且點(diǎn)到平面的距離為1，求線段的長(zhǎng)19．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值20．（12分）設(shè)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.21．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).請(qǐng)判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過(guò)棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【題目詳解】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時(shí)，，當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于0，但始終小于0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：A2、C【解題分析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【題目詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、A【解題分析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開(kāi)口向左，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，無(wú)符合條件的選項(xiàng)；當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開(kāi)口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項(xiàng).4、B【解題分析】利用定義法進(jìn)行判斷.【題目詳解】把代入，得：，解得：或.當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：，此時(shí)“”是“”的充要條件，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：或，此時(shí)“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B5、B【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B6、B【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷【題目詳解】當(dāng)時(shí)，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，，因?yàn)椋裕瑒t可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B7、B【解題分析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【題目詳解】設(shè)每個(gè)矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫(xiě)的數(shù)字為，故A錯(cuò)誤；前七個(gè)矩形塊中所填寫(xiě)的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯(cuò)誤.故選：B.8、B【解題分析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長(zhǎng)為故選9、B【解題分析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【題目詳解】因?yàn)椋裕瑒t，解得，所以.故選：B10、C【解題分析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出答案.【題目詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)為故正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為.故選：C.11、D【解題分析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【題目詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D12、D【解題分析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【題目詳解】橢圓方程為，所以，所以三角形的周長(zhǎng)為.故答案為：14、【解題分析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點(diǎn)H的坐標(biāo)作答.【題目詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，令，點(diǎn)，則，又，則，解得，所以點(diǎn)到平面ABCD的距離為.故答案為：15、②③【解題分析】對(duì)①：由連接，，由平面，即可判斷；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對(duì)②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【題目詳解】解：對(duì)①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤對(duì)②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.16、【解題分析】由可得，結(jié)合分式不等式的解法即可求解.【題目詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離，以及弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點(diǎn)，半徑為BC長(zhǎng)度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長(zhǎng)度為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【題目詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對(duì)為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因?yàn)椋宜裕O(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點(diǎn)，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【題目點(diǎn)撥】立體幾何解答題(1)第一問(wèn)一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問(wèn)是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補(bǔ)形法；(4)向量法.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因?yàn)椋裕矗裕裕矗裕c(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.20、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解題分析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點(diǎn)值確定最值.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴,又,,∴21、（1）（2）是定值，定值為【解題分析】(1)由拋物線的準(zhǔn)線求標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線相交求定值，解聯(lián)立方程消未知數(shù)，利用韋達(dá)定理，求線段長(zhǎng)，再求它們的倒數(shù)的平方和.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，即，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】為定值，且定值是.下面給出證明.證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線有，消去得，則，又，.得因此為定值，且定值是.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計(jì)算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，.∵，∴.∵，，