2024學年四川省廣元市四川師范大學附屬萬達中學數學高二上期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，2．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.3．將函數圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.4．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.5．在平面直角坐標系中，雙曲線C：的左焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，7．對任意實數，在以下命題中，正確的個數有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.8．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形9．在正方體中中，，若點P在側面（不含邊界）內運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺11．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.12．在等差數列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________14．已知數列滿足，，若，則_______15．二項式的展開式中，項的系數為__________.16．某地區有3個疫苗接種定點醫院，現有10名志愿者將被派往這3個醫院協助新冠疫苗接種工作，每個醫院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.20．（12分）已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長21．（12分）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實軸長為2.（1）求雙曲線的焦點到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.22．（10分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，當以為始邊，為終邊的角時，.（1）求的方程（2）過點的直線交于兩點，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點，線段交于點，求的面積與的面積的比值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結果.【題目詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.2、D【解題分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【題目詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D3、A【解題分析】根據三角函數圖象的變換，由逆向變換即可求解.【題目詳解】由已知的函數逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A4、D【解題分析】以向量為基底向量，則，根據條件由向量的數量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【題目詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D5、A【解題分析】設雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關系，結合計算作答.【題目詳解】設雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A6、D【解題分析】根據給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【題目詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D7、B【解題分析】直接利用不等式的基本性質判斷.【題目詳解】①因為，則，根據不等式性質得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B8、D【解題分析】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【題目詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.9、A【解題分析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【題目詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側面（不含邊界）內運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A10、A【解題分析】由題意可知，十二個節氣其日影長依次成等差數列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【題目詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣其日影長依次成等差數列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A11、A【解題分析】根據兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A12、A【解題分析】利用已知條件求得，由此求得.【題目詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【題目詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：214、【解題分析】由遞推式，結合依次求出、即可.【題目詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.15、80【解題分析】利用二項式的通項公式進行求解即可.【題目詳解】二項式的通項公式為：，令，所以項的系數為，故答案為：8016、22050【解題分析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數的全排列.【題目詳解】根據題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：22050三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直，∴，解得【小問2詳解】∵兩直線平行，∴，解得或1，經過驗證時兩條直線重合，舍去．∴可得：直線：，：∴兩直線間的距離18、（1）（2）【解題分析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內作，連結CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因為，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內作，垂足為E，因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因為，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過B在平面PAB內作，垂足為F，連結CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因為，，所以，從而所以二面角正弦值為.19、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解題分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內部，故證明直線l與圓C相交；（2）設出點，利用垂直得到等量關系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.【題目點撥】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據四點共圓，直徑的端點坐標，求出此圓的方程，與曲線聯立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關鍵.20、（1）見解析；（2）2＋4.【解題分析】（1）由拋物線的簡單幾何性質易得結果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|=2.設A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周長【題目詳解】(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|.因為F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故設A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周長為2＋4.【題目點撥】本題考查了拋物線簡單性質的應用，解題關鍵利用好三角形重心的性質，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】（1）根據已知計算雙曲線的基本量，得雙曲線焦點坐標及漸近線方程，再用點到直線距離公式得解.（2）直線方程代入雙曲線方程，得到關于的一元二次方程，運用韋達定理弦長公式列方程得解.【小問1詳解】雙曲線離心率為，實軸長為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；∴雙曲線C的焦點坐標為，漸近線方程為，即為，∴雙曲線焦點到漸近線的距離為.【小問2詳解】設,,聯立，，，，，，解得22、（1）（2）【解題分析】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設直線的方程為，聯立方程組求得，得到，由拋物線