PAGE沈陽大學畢業設計（論文）傅里葉級數及其應用專業：數學與應用數學班級：姓名：目錄引言 31傅立葉級數的計算 51.1傅立葉級數的幾何意義 51.2傅里葉級數的斂散性問題 101.3傅里葉級數的展開 111.4關于傅里葉級數展開的個別簡便算法 161.5利用二元函數微分中值定理研究函數性質 192傅里葉級數的相關定理及其應用 212.1元函數中值定理及其幾何意義 212.2利用元函數微分中值定理研究函數的性質 283微分中值定理在復數域上的推廣 323.1復數域上的中值定理 323.2利用復數域內中值定理研究函數性質 36結論 39致謝 40參考文獻 41PAGE1沈陽大學畢業設計（論文）No引言微分中值定理是微分學的核心定理，它是聯系函數與導數的橋梁，微分中值定理把函數在某個區間上的函數值與其導數值聯系起來，應用局部狀態的導數研究函數在區間上的“整體”性態，它是研究函數性態的重要工具．在大學四年的學習中，已經掌握了一些有關一元微分中值定理的內容，我們知道一元函數的羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分別建立了函數與一階導數的關系和函數與高階導數的關系．在實際應用中，很多情況要突破一元微分學和平面領域這些局限，為了更好的利用微分學中值定理這個重要工具，需要把它的應用范圍加以擴展，使之能夠在元微分學即維空間以及復數域上得以使用．本文將分三部分對微分中值定理進行推廣，第一部分中，首先從數學分析教材入手，梳理教材中學過的有關一元函數微分中值定理的相關內容，進而研究一元函數羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之間的關系，試圖找出統一的中值公式，通過這個公式全面認識這四個定理．其次，對照一元函數微分中值定理的分析研究，探討二元函數羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函數泰勒中值定理的形式及成立的條件，然后探討定理之間的關系，找到統一的中值公式，透過這個公式再認識微分中值定理，接著仿照一元函數微分中值定理給出證明及其幾何意義．第二部分中，對比一元函數與二元函數微分中值定理，給出元函數微分中值定理的成立條件和中值公式，同樣通過構造“輔助函數”證明定理成立，并自由想象多元函數微分中值定理的幾何意義．第三部分中，從二元函數微分中值定理入手，仿照二元函數中值定理的形式，探討微分中值定理在復數域上的表述．接著再通過構造“輔助函數”給出定理證明．

1傅立葉級數自然界中周期現象的數學描述就是周期函數．最簡單的周期現象，如單擺的擺動等，都可以用正玄函數或余弦函數表示．但是，復雜的周期現象，如熱傳導、電磁波以及機械振動等，就不能僅用一個正弦函數和余弦函數表示，需要用很多個甚至無限多個正弦函數和余弦函數的疊加表示．因此，傅里葉級數就應運而生．傅里葉級數就是將周期函數展成無限多個正弦函數與余弦函數之和的一種解決問題的簡便方法．其主要是研究級數的斂散性問題，從而利用傅里葉級數解決其他生活中的很多相關問題．傅里葉級數應用到我們生活中的各個角落，主要是在數字信號處理等方面有重要應用，為我們的生活無私的奉獻著．1.1一元函數中值定理及其幾何意義從“幾何”的角度來看待傅里葉級數，當我們把一個周期函數表達成傅里葉級數時，其實我們只是在做一個動作，那就是把函數“投影”到一系列由三角函數構成的坐標軸上．考慮一個簡單的二維平面的例子.如下圖所示，給定兩個向量和，從的末端出發作到所在直線的垂線，得到一個跟同向的新向量．這個過程就稱作到所在直線的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。圖中的系數是跟的比例，也就是在軸上的“坐標”．可以用尺規作圖來完成投影這個動作，問題是：如果給定的向量和都是代數形式的，怎么用代數的方法求？圖片1：向量到所在直線的投影

知道這個向量是“正交”于的，用數學語言表達就是．馬上就可以得到c的表達式如下：如下圖所示，現在引進一組正交基，那么可以展開成以下形式

圖片2：向量在正交基上的展開

從圖上來看，式其實說的是可以把“投影”到和這兩個坐標軸上，和就是的新“坐標”.問題是：怎么求和呢？利用之前關于投影的討論，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表達式：；

；如果想把一個向量在一組正交基上展開，也就是找到這個向量沿每條新“坐標軸”的“坐標”，那么我們只要把它分別投影到每條坐標軸上就好了，也就是把式中的換成新坐標軸就好了.這些東西跟傅里葉級數有什么關系？給定一個周期是的周期函數，它的傅里葉級數為：

其中系數表達式如下：；從幾何角度來看，可以用下面這組由無限多個三角函數（包括常數）組成的“正交基”來展開，從幾何投影的觀點來看待傅里葉級數，理解變得更加容易，因為容易理解投影的概念；同事，傅里葉級數所有的公式都可以輕松的記住，想忘記都難了.還可以嘗試著用不同的角度去看待同一個問題，這樣做會發現更多的簡便方法和問題.1.2傅里葉級數的斂散性問題定義１若函數在區間除有限個第一類剪短點外皆連續，則稱函數在逐段連續．若函數與它的導函數都逐段連續，則稱函數在逐段光滑．顯然，逐段光滑的函數是可積的．1.2.1相關定理定理１若是元函數在凸區域上以為周期的在逐段光滑的函數，則函數的傅里葉級數在收斂，其和函數式，即，有． ，使得．特別地，當時，變為．因為，所以，．即，．這就是一元函數的羅爾定理的公式．元函數羅爾定理的幾何意義：在維空間里，閉區域上有連續超曲面，超曲面上每一點都存在超切平面，且在超曲面的底面與面平行，則超曲面上至少有一點，使得過該點的超切平面平行于面．定理2（元函數拉格朗日定理）設元函數在凸區域上連續，在的所有內點都可微，對內任意兩點，，，，使得．(2-1)證明令，．它是定義在上的一元函數，由定理中的條件知在上連續，在內可微，于是根據一元函數微分中值定理，，使得．由復合函數的求導法則．，．而=．所以，．特別地，當，則由(2-1)式有，．這就是一元函數的拉格朗日中值公式．元函數拉格朗日定理的幾何意義：在維空間里，閉區域上有連續超曲面，超曲面上每一點都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，則超曲面上至少有一點，使得過該點的超切曲面平行于面．定理3（元函數柯西中值定理）設元函數和在凸開域上連續，在內關于各個變元具有連續的偏導數，對內任意兩點，，，則有，．證明首先證明，用反證法．假設．即．根據元函數的羅爾定理，，使得，與已知條件矛盾．其次作輔助函數，其中．由定理中的條件知在上連續，在內可微，且，，根據一元函數的羅爾定理，存在使得．由復合函數的求導法則．又．所以，，．函數在一點的導數表示的是曲線在這點的切線，一元函數微分中值定理表示的是過一點的切線與割線的位置關系．那么當函數變為元函數時，中值定理又對應著怎樣的幾何意義呢？通過對一元函數泰勒中值定理與二元函數泰勒中值定理的探討，不難有這樣的問題：在元函數與高階導數有怎樣的關系，泰勒中值定理又會變成怎樣的形式呢？定理4（元函數的泰勒中值定理）設函數在點的某一鄰域內連續，且具有一階及二階連續偏導數，，則，使得，其中．證明考慮函數，．則，．由于函數在點的某一鄰域內連續，并且具有一階及二階連續偏導數，從而復合函數在的鄰域內對有連續的一階及二階導數．由一元函數的泰勒公式可以得到，．(2-2)因為，．所以，，．把代入(2-2)式后再令，便得到泰勒公式，其中．如果設函數在點的某一鄰域內連續且具有階連續偏導數，，則，使得，其中，這稱為拉格朗日余項．證明作輔助函數，．則，．因為，．用數學歸納法可以得到，．由一元泰勒公式，．(2-3)將，，代入(2-3)式得，其中，．2.2利用元函數微分中值定理研究函數的性質例2.1設元函數在凸開域上可微，上取定一點且，有，則，有（常數），即是常數函數．證明元函數在上滿足元函數的拉格朗日定理的條件，根據元函數的拉格朗日定理，，使得．因為點，所以，．即．取，，有，即是常數函數．例2.2若元函數和在凸開域上連續，在內關于各個變元具有連續的偏導數，上取定一點，且對任意的點，有，．而且不為零．則，有，其中是常數，．證明因為元函數和在滿足元函數的柯西定理的條件，則，．又，所以，，．即．所以，．即．設，則，有，其中是常數．例2.3證明：設元函數在凸開域上可微，對內任意兩點，，有，且（是常數且）其中．則．證明因為元函數在上滿足元函數的羅爾定理的條件，所以，，使得，由已知條件，點，有，．所以，，．因此，．例2.4若，證明對某有．證明三元函數在凸開域上連續，在的所有內點都可微，則對內任意兩點，，根據元函數的拉格朗日定理，，使得．即令，則．取，則，即．例2.5若在區域內的諸偏導數存在且有界，則函數在內連續．證明假設，，．任取，設，與連接及的直線段(設充分小)全部包含在內，則由元函數的拉格朗日定理，得，．于是，，，使得當時，有．所以，函數在點連續．由的任意性知，函數在內連續．例2.6將函數在點展成泰勒公式．解．，，，，，，且高于3階的偏導數都恒為0．于是，由元函數的泰勒公式，有．小結元函數微分中值定理的表述形式與二元函數中值定理的形式類似，都是函數值與各偏導數和增量乘積的關系．在證明上也是采用了構造“輔助函數”的方法．在實數域中，微分中值定理聯系了函數與導數，無論是一元函數、二元函數還是元函數，微分中值定理都對研究函數性質有重要的輔助作用，那么如果函數定義在復數域中，微分中值定理還適用嗎？3微分中值定理在復數域上的推廣由于二元函數在固定某個變量為暫時常量下可以看作一元函數，再由偏導數的定義，我們可先將一元微分中值定理推廣到二元實函數上．而二元實函數與復函數都是以有序數對為自變量的函數，它們之間有著密切的聯系，因此在有關性質上也應該有著密切聯系，所以又可利用二元實函數的微分中值定理，將實數域上的微分中值定理推廣到復數域上，得到解析函數的微分中值定理，為應用導數研究解析函數的性質提供了新工具，構建了有用的平臺．3.1復數域上的中值定理引理1（可微的充要條件）設函數在區域內一點可微的充要條件是：(1)二元函數、在點可微；(2)、在點滿足方程，即．上述條件滿足時，在點的導數可以表示為下列形式之一：．證明設在D內一點z可微，則，其中是隨而趨于零的復數．若令，，，則可寫成，這里是的高階無窮小．比較上式兩端的實、虛部，即得，．由數學分析二元函數的微分定義即知，與在點可微，且，．由與的可微性即知，在點有，．其中與是的高階無窮小．再由方程，可設．于是，有．所以，．即．定理1（費馬定理）設函數在定義域內一點的某領域內有定義，并且在處可導，若對任意有或，或．則必有．證明根據引理可知函數和函數在點可微，且．要使，只需，．先證．由于在定義域內一點可微，則在該點關于每一個自變量的偏導數存在．又因為在點的鄰域內的任一點有或．故．同理可證．定理2（羅爾定理）若滿足下列條件：(1)在有界閉區域上連續；(2)在內解析；(3)，其中為內的兩定點，．則至少存在一點使得．證明由解析函數的定義知在內任意一點可導，根據引理得到和在內任一點可微，且的求導公式為．由于，其中為內的兩定點，．并且，．令，則函數在有界閉區域上連續，在內可微，并且有．則至少有一點，使得，．因為，．所以，，．根據引理可知，于是，有，．所以，．定理3（拉格朗日定理）若復函數滿足下列條件：(1)在有界閉區域上連續；(2)在內解析；(3)與是內的兩個定點．則至少存在一點，使得．證明令，則函數在有界閉域上連續，在內解析，并且，．根據羅爾定理可得至少存在一點，使得．即．定理4（柯西中值定理）若函數與滿足下列條件：(1)復函數與在有界閉區域上連續；(2)復函數與在內解析；(3)與在內不同時為零；(4)，與是內的兩個定點．則至少存在一點，使得．證明做輔助函數．易見在內滿足羅爾定理，故存在，使得．因為，所以，有．微分中值定理不僅在實數域內建立了函數與導數的橋梁，在復數域內也適用聯系函數與導數．這使中值定理在函數性態研究中有了更全面的理論和更廣泛的應用．3.2利用復數域內中值定理研究函數性質例3.1設函數在復數域內解析，并且，有，證明在內為常數．證明任取內的兩個互異的點和，若含于．與拉格朗日中值定理可得．由已知條件，．所以，．含于，在中取有限個點，使線段含于中，有．所以，在內為常數．例3.2若函數和在復數域上連續，在內解析，內任取一點，使得且有．則，有，其中是常數．證明函數和在復數域上連續，在內解析，內取有兩互異點和．即點和點的點的連線在內．根據柯西中值定理，得，其中在內．因為，所以，．即．取，則，有，為常數．小結微分中值定理在復數域上仍然成立，羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理與二元函數中值定理有類似的形式．證明也是采用了構造“輔助函數”的方法．在利用導數研究函數性態中，復數域上微分中值定理同樣起到了橋梁作用．微分中值定理不僅在實數域中是研究函數性質的有力工具，在復數域中中值定理仍有形式近似的相關結論，并且對研究復數域函數性質也有所幫助．因此解析函數的微分中值定理為應用導數研究解析函數的性質提供了新的工具，構建了有用的平臺．結論經過對微分中值定理的探究，對中值定理有了進一步的認識，整篇文章歸納為以下幾點：(1)本文將一元函數羅爾中值公式、拉格朗日中值公式、柯西中值公式、泰勒中值公式都統一于一個中值公式．從這個公式重新認識了微分中值定理．(2)二元函數微分中值定理同樣包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理．羅爾中值公式和拉格朗日中值公式都可以統一于柯西中值公式．(3)元函數微分中值定理的表述形式與二元函數微分中值定理的形式類似，都是函數值的改變量與各偏導數與對應增量乘積的關系．定理證明是通過構造輔助函數的方法完成的．(4)微分中值定理在復數域的推廣得到了羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理．(5)不論是一元函數二元函數還是元函數，或是復數域上微分中值定理，定理的證明都采用了構造“輔助函數”的方法并將其轉化為一元函數得以完成．致謝在本次論文的撰寫過程中，我得到了老師的精心指導，不管是從開始定方向還是在查資料準備的過程中，一直都耐心地給予我指導和意見，使我在總結學業及撰寫論文方面都有了較大提高；老師高度的敬業精神和責任感值得我學習．在此，我對徐老師表示誠摯的感謝以及真心的祝福．參考文獻[1]劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1