專題10幾何壓軸

一.解答題（共15小題）

1.（2020?豐臺區一模）已知403=120。，點P為射線0A上一動點（不與點。重合），點C為Z4OB內部

一點，連接CP,將線段“繞點C順時針旋轉60。得到線段CQ,且點。恰好落在射線OB上，不與點。重

合.

（1）依據題意補全圖1;

（2）用等式表示NCPO與NC。。的數量關系，并證明；

（3）連接OC,寫出一個OC的值，使得對于任意點P,總有OP+OQ=4,并證明.

【分析】（1）根據題意補全圖形即可；

（2）根據四邊形內角和為360。可得答案；

（3）連接OC,在射線。4上取點D,使得DP=OQ,連接CD,首先證明ACOQ=ACDP,然后△COZ）為

等邊三角形，進而可得答案.

【解答】解：（1）補圖如圖1:

（2）NCQO+NCPO=180°,

理由如下：；四邊形內角和360。，

且ZAOB=120。，NPCQ=60°,

ZCQO+ZCPO=Zl+Z2=180°.

(3)OC=4時，對于任意點?，總有OP+OQ=4.

證明：連接OC,在射線上取點。，使得。尸=OQ,連接

OP+OQ=OP+DP=OD.

-.Zl+Z2=180°,

?/Z2+Z3=180°,

/.Z1=Z3.

CP=CQ,

在ACQO和bCPD中

CP=CQ

<ZX—N3，

QO=DP

:△COQwbCDP(SAS).

.?.N4=N6,OC=CD.

Z4+Z5=60°,

/.Z5+Z6=60°.

即ZOCD=60°.

\COD是等邊三角形.

.?.OC=OD=OP+OQ=4.

B

0PDA

2.(2020?燕山一模)AA8C中，ZACB=90°,AC=BC=42,M為8c邊上的一個動點(不與點B,C重

合)，連接AM,以點A為中心，將線段AM逆時針旋轉135。，得到線段AN,連接8N.

CMB

由，備用圖

(1)依題意補全圖1;

(2)求證：4BAN=NAMB；

(3)點P在線段BC的延長線上，點M關于點P的對稱點為。，寫出一個PC的值，使得對于任意的點M,

息有AQ=BN,并證明.

【分析】(1)根據題意作出圖形便可;

(2)先證明NABC=45。，再由三角形內角和求得N/WB與NBA"的數量關系，再利用角的和差也可求得

NB/W與NB/W的關系，進而得結論;

(3)不妨設PC的值為1(也可為其他值).任取滿足條件的點M，作點M關于點C的對稱點M',連接AM',

證明△AM'。三AAA?,便可得結論.

【解答】解：(1)根據題意，補全圖形，如圖1,

CM

圖1

(2)zS4CB=90°,AC=BC,

/.ZABM=45°.

ZMAB+ZABM+ZAMB=180°,

.?.ZAMB=135°-ZMAB.

又?ZAWV=135°,

:.ZBAN=}350-ZMAB,

??.ZBAN=ZAMB；

(3)不妨設PC的值為1.

ZACB=90°,AC=BC=叵,

:.AB=2.

如圖2,任取滿足條件的點M,作點用關于點。的對稱點M',連接AAT,

.\AMr=AM=AN,MM'=2CM,

:.AAM'C=AAMC,

ZAM'Q=ZAMB=乙BAN.

;點M關于點P的對稱點為Q,

:.MQ=2MP,

M'Q=MQ-MM'=2MP-2MC=2PC=2,

:.M'Q=AB,

:./\AM'Q=^ANB,

AQ=BN.

3.（2020嗨淀區一模）已知NMON=a,A為射線0M上一定點，OA=5,B為射線ON上一動點，連接

AB,滿足NOAB,NO3A均為銳角.點C在線段08上（與點。，8不重合），滿足AC=A3,點C關于

直線OM的對稱點為D,連接AD,OD.

（1）依題意補全圖1;

（2）求NBA。的度數（用含a的代數式表示）；

a

（3）若tana=±,點P在OA的延長線上，滿足AP=OC,連接8P,寫出一個A8的值，使得BP//OD,

4

并證明.

圖1備用圖

【分析】（1）根據要求畫出圖形即可.

（2）首先證明NO+ZA3O=180。，再利用四邊形內角和定理解決問題即可.

（3）假設P3//OD,求出A6的值即可.

【解答】解：（1）圖形，如圖所示.

圖1

(2)C,。關于AO對稱，

「.AAOD3AAOC,

：.ZD=ZACO,ZAOD=ZAOC=a,

AC=AB,

ZACB=ZABC,

ZACO+ZACB=180°,

/.ZD+ZABC=180°,

??.ZDAB+ZDOB=\SO0,

NDOB=2a,

/.ZZMB=180°-2a.

（3）如圖2中，不妨設O//PB.作A〃JL8C于H,于J.

圖2

3

在RtAAOH中，(24=5,tanZAOH=-,

4

.?.AH=3,OH=4,設CH=BH=x,則8C=2x,

OD//BP,

/.NDOA=NOPB,

ZDOA=ZAOB,

/.ZAOB=NOPB、

PB=OB=4+x,

BJ.LOP,OP=OA+AP=5+4-x=9-x,

.-.OJ=JP=^(9-x),

cosZAOH=

4_5(9-X)

54+x

解得x=l.

BH=L

：.AB=yjAH2+BH2=,3?+『=而.

4.（2020?平谷區一模）AABC中，AB=BC,ZABC=90°,將線段AB繞點A逆時針旋轉a（0。<a<90。）得

到線段40.作射線B。，點C關于射線80的對稱點為點E.連接AE,CE.

(1)依題意補全圖形;

(2)若a=20。，直接寫出NAEC的度數;

(3)寫出一個a的值，使AE=75時，線段CE的長為6-1,并證明.

【分析】(1)作CF_LB￡＞并延長CF到E使EF=CF,如圖1,

(2)連結8E,如圖2,利用對稱的性質得8E=8C,則BC=8E=8A,則根據等腰三角形的性質得出

NBCE=NBEC,NBAE=NBEA,由四邊形的內角和可計算!11

ZBCE+ZBEC+ZBAE+ZBEA+ZABC=360°，進而得至U2(ZB￡C+ZBEA)=270°,即可證得

NBEC+NBEA=135°,即4EC=135°；

(3)如圖2,先證明AAGE為等腰直角三角形，則AG=G￡=1,當a=30。時，則NEBC=30。，進而求得

ZACG=30°,解直角三.角形求得CG=y/3,即可證得CE=CG-EG=拒-I.

【解答】解：(1)如圖1,

(2)ZAEC=135°,

證明：過A作AG_LCE于G.連接AC、BE,如圖2,

由題意，BC=BE=BA,

ZBCE=ZBEC,NBAE=NBEA,

ZBCE+ZBEC+ZBAE+4BEA+ZABC=360°

.ZABC=90。，

/.2(NBEC+NBEA)=270°,

ZBEC+ZBEA=]35°,即ZAEC=135。，

(3)a=30°,

證明：ZAFC=135°,

.,.ZAEG=45。，

?.AE=立,

AG=GE=\,

當a=30。時，

Z￡BC=30°,

BC=BE,

.-.ZBCG=75°,

ZBC4=45°,

:.ZACG=30°,

：.CG=6

C￡=>/3-l.

5.（2020?順義區一模）已知，如圖，A48C是等邊三角形.

（1）如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉90°,得到AD,連接2。，ABAC的平分線交BD于點E,連

接CE.

①求ZAED的度數；

②用等式表示線段AE、CE、之間的數量關系（直接寫出結果）.

（2）如圖2,將線段AC繞點A順時針旋轉90。，得到AO,連接8。，N8AC的平分線交QB的延長線于

點E,連接CE.

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數量關系，并證明.

【分析】（1）①證明NAE￡>=NO=15。，N54E=30。，再利用三角形的外角的性質即可解決問題.

②結論：BD=2CE+應AE.作CKd.BC交BD于-K,連接CO.證明BE=EK,OK=0AE即可解決問

題.

（2）①根據要求畫出圖形即可.

②結論：BD=叵AE-2CE.過點A作AF_LAE,交的延長線于點尸（如圖3）,利用全等三角形的性

質以及等腰直角三角形的性質解決問題即可.

【解答】（1）解：①如圖1中，

AABC是等邊二角形,

AB=AC,ABAC=60'

AE平分NBAC,

ZBAE=-ZBAC=30°,

2

由旋轉可知：AD=AC,ZC4￡>=90°.

AB=AD,NBA。=150°,

:.ZABD=ZD=15°,

ZAED=ZABD+NBAE=45°.

②結論：BD=2CE+丘AE.

理山：作CKJ_3C交8。于K,連接8.

AB=AC,NBAE=NCAE,AE=AE.

AAEB=MEC(SAS),

:.BE=EC，ZAEB=ZAEC=]35°f

??.ZBEC=90°,

/.NEBC=NECB=45。,

/BCK=90。，

/.NCKB=NCBE=45。,

:?CB=CE,

CEA.BK,

..BE=EK,

ZADC=45°,ZADB=150,

??.ZCDK=ZCAE=30°,

NCKD=NAEC=135。,

.MDKsbCAE、

坐旦s

AEAC

;.DK=&AE,

:.BD=BK+DK=2BE+尬AE.

(2)解：①圖形如圖2所示:

E

圖2

②結論：BD=&AE-2CE.

理由：過點A作A尸交EO的延長線于點尸(如圖3).

AABC是等邊二角形，

AB=AC,ABAC=60°,

AE平分N84C,

N1」NBAC=3O°,

2

由旋轉可知：AD=AC,NC4D=90。，

:.AB=AD.Z2=ZCAD-ABAC=30°,

/.Z3=Z4=75°,

.?.N5=N4—Nl=45。，

AF.LAE,

ZF=45°=Z5,

??.AF=AE,

.,.EF=6AE,

?.?Z6=ZEAF-Zl-Z2=30°,

/.Z6=Zl=30°,

又-ZF=Z5=45°,AD=AB,

.\AADF=^ABE(SAS),

：.DF=BE,

AB=AC,AE平分"AC,

/.AE垂直平分BC,

/.CE=BE，

BD=EF—DF—BE,

:.BD=>/2AE-2CE.

6.(2020?東城區一模)如圖，在正方形A88中，AB=3,仞是CO邊上一動點(不與。點重合)，點。

與點E關于AM所在的直線對稱，連接4E,ME,延長C8到點尸，使得B尸=￡>M,連接EF,AF.

(1)依題意補全圖1;

(2)若ZW=1,求線段EF的長；

(3)當點M在C力邊上運動時，能使A4E尸為等腰三角形，直接寫出此時tanND4M的值.

【分析】(1)根據題意作出圖形便可,

(2)連接8M,先證明AAZW=AAfiF,再證明AMEMAWW,求得,便可得所；

(3)設。M=x(x>0),求出AE、AF.EF,當A4EF為等腰三角形，分兩種情況：AE=E/或AP=￡F,

列出方程求出x的值，進而求得最后結果.

【解答】解：(1)根據題意作圖如下:

(2)連接,如圖2,

.點。與點E關于AM所在直線對稱,

:.AE=AD,ZMAD=ZMAE,

??四邊形438是正方形，

.-.AD=AB,ZD=ZABF=90°,

BM=BF,

:./^ADM=AABF(SAS)，

/.AF=AM,ZFAB=ZMAD,

/FAB=/NAE,

:.ZFAE=ZMAB,

:.AFAE=AMAB(SAS),

:.EF=BM,

,四邊形A8CD是正方形，

.?.BC=CD=AB=3,

DM=1,

；,CM=2,

.?.BM=4BC1+CM1=V13,

.\EF=y/\3;

(3)iSDM=x(x>0),則CM=3-x,

EF=BM=y]cM2+BC2=7x2-6x+18,

AE=AD=3,AF=AM=JDM2+AD2=7^+9,

AF>AE，

.?.當AAE尸為等腰三角形時，只能有兩種情況：AE=EF,或AF=E產,

①當AE=E/時，有6-6x+18=3,解得x=3

DM3,

/.tanZ.DAM=----=-=1；

DA3

②當4尸=石尸時，&—6x+18=&+9，解得，x=-,

2

3

小…DM?1

/.tanZ.DAM=---=—=—,

DA32

綜上，tanNOAM的值為1或1.

2

故答案為：tanZDAW的值為1或1.

2

7.（2020?石景山區一模）如圖，點E是正方形A8CD內一動點，滿足Z4E3=90。且N84E<45。，過點。

作DFLBE交BE的延長線于點F.

（1）依題意補全圖形；

（2）用等式表示線段所，DF,8E之間的數量關系，并證明；

（3）連接CE,若AB=2后,請直接寫出線段CE長度的最小值.

【分析】（1）依題意補全圖形；

（2）過點4作AM_L田交FD的延長線于點M，可證四邊形AEFM是矩形，由“AAS”可證AAEB=AAMD,

可得AE=AM,可證矩形AEFM是正方形，可得EF=MF,可得結論；

（3）取A8中點O,連接OC,由勾股定理可求OC=5,由點E在以。為圓心，08為半徑的圓上，可得

當點E在OC上時，CE有最小值，即可求解.

【解答】解：（1）依題意補全圖形，如圖,

(2)線段￡/，DF,BE的數量關系為：EF=DF+BE,

理由如卜.：如圖，過點人作AMJ_FD交FO的延長線于點M,

ZM=ZF=ZAFF=90°,

四邊形AEFM是矩形，

/.ZZME+ZM4D=90°,

?.四邊形ABCD是正方形，

ZBAE4-ZZME=90°,AB=AD,

：.ZBAE=ZMAD.

又二ZAEB=/M=90。,

../iAEB^AAMD(AAS)

.,.BE=DM,AE=AM,

二.矩形AEEM是正方形，

:.EF=MF,

MF=DF+DM，

:.EF=DF+BE；

(3)如圖，取A3中點O,連接。C,

AB=2也

OB=#),

OC=《OB?+BC°=75+20=5，

ZAEB=90°,

.?.點E在以。為圓心，OB為半徑的圓上，

當點E在OC上時，CE有最小值，

.?.CE的最小值為5-方.

8.(2020?西城區一模)如圖，在等腰直角AA8C中，NACB=9()。.點尸在線段8C上，延長8c至點。，

使得CQ=CP,連接AP,AQ.過點B作3DLAQ于點。，交AP于點E,交AC于點F.K是線段AD

上的一個動點(與點A，。不重合)，過點K作GNLA尸于點H,交AB于點G,交AC于點交尸。的

延長線于點N.

(1)依題意補全圖1;

(2)求證：NM=NF；

(3)若4W=CP,用等式表示線段AE,GN與BN之間的數量關系，并證明.

【分析】（1）根據題意補全圖1即可；

（2）根據等腰三角形的性質得到AP=AQ,求得NAPQ=NQ,求得ZMFN=NQ,同理，ZNMF=ZAPQ,

等量代換得到乙MFN=ZFMN,于是得到結論；

（3）連接CE,根據線段垂宜平分線的性質得到AP=4Q,求得NPAC=NQ4C,得到NCAQ=NQ8O,

根據全等三角形的性質得到CP=B,求得4W=C/，得到AE=BE,推出直線CE垂直平分A8,得到

NECB=ZECA=45%根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）依題意補全圖1如圖所示；

（2）CQ=CP,ZACB=90°,

AP=AQ,

ZAPQ=ZQ,

BDVAQ,

NQBD+NQ=NQBD+NBFC=90°,

ZQ=ZBFC,

AMFN=ZBFC,

4MFN=NQ,

同理，ZNMF=ZAPQ,

ZMFN=4FMN,

NM=NF、

(3)連接CE,

ACA.PQ,PC=CQ,

??.AP=AQ,

NPAC=NQAC,

BD±AQ,

.?.NZ)8Q+NQ=90。,

NQ+NC4Q=90。，

/.ZCAQ=4QBD,

/PAC=NFBC，

AC=BC,ZACP=ZBCF,

:.AAPC=ABFC(AAS),

:.CP=CF,

AM=CP,

AM=CF,

ZCAB=ZCBA=45°，

:.NEAB=NEBA,

AE=BE，

AC=BC,

.??直線CE垂直平分AB,

/.ZECB=ZECA=45°，

:.ZGAM=ZECF=45°,

ZAMG=ZCFE,

AAGM=ACEF(ASA),

GM=EF,

BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN,

:.BN=AE+GN.

9.（2020?通州區一模）已知線段AB,過點A的射線/_LA8.在射線/上截取線段AC=A3,連接BC,點

何為BC的中點，點P為AB邊上一動點，點N為線段上一動點，以點P為旋轉中心，將A8/W逆時

針旋轉90。得到ADPE,8的對應點為。，N的對應點為E.

（1）當點N與點M重合，且點P不是AB中點時，

①據題意在圖中補全圖形；

②證明：以A,M,E,。為頂點的四邊形是矩形.

（2）連接EM.若AB=4,從下列3個條件中選擇1個：

@BP=1,②PN=1,③BN=叵,

當條件③（填入序號）滿足時，一定有EM=￡4,并證明這個結論.

C-------------------B

【分析】（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE,AM.由題意可知AABC是等腰直角三角

形，由旋轉可知=通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個角是直角的四邊

形是矩形進行判斷即可；

（2）當條件③BN=&滿足時，一定有EM=EA.先證明四邊形RM0E是矩形再證明FE垂直平分40,

從而可得答案.

【解答】解：（1）①補全圖形如下:

AM.

由題意可知：。在8c上，AABC是等腰直角三角形，則A"_L8C,AM=-BC,

2

?.?旋轉,

:.ADPE=ABPN,

:.DE=BN=-BC,NEDP=ZPBD.

2

ZEDB=ZEDP+NPDB=APBD+4PDB=90°,

:.EDLBC,

:.ED//AM,且瓦)=4W,

四邊形AMDE為平行四邊形.

又?AM±BC,

NAMD=90°,

四邊形AMZ乃是矩形.

(2)答：當條件③3N=&滿足時，一定有EM=EA.

證明：與(1)②同理，此時仍有AZ)PE=Afi/W,

;.DE=BN=0DELBC,

取AM的中點F,連接FE,如圖所示：

48=4,則AM=4xsin45°=2>/5,

FM=0.

:.ED//FM,且ED=FM,

四邊形FMDE是平行四邊形，

又FMA.BC,

ZFMD=90°,

四邊形FMDE是矩形.

:.FE±AM,且=

EA=EM.

故答案為：③.

10.(2020?延慶區一模)如圖1,在等腰直角AABC中，ZA=90°,AB=AC=3,在邊48上取一點。(點

。不與點A,B重合)，在邊AC上取一點E,使AE=A￡>,連接。E.把AADE繞點A逆時針方向旋轉

a(O0<a<360°),如圖2.

(1)請你在圖2中，連接CE和BQ,判斷線段CE和8。的數量關系，并說明理由：

(2)請你在圖3中，畫出當a=45。時的圖形，連接CE和BE,求出此時AC3E的面積；

(3)若AO=1,點M是CO的中點，在AAOE繞點A逆時針方向旋轉的過程中，線段AM的最小值是.

【分析】(1)如圖1中，連接EC,BD.結論：BD=CE.證明AAOB=AAEC(S4S)即可解決問題.

(2)證明：AE//BC,推出ACBE的面積與A4BC的面積相等，即可解決問題.

(3)如圖3中，延長AM到N,使得MN=AM,連接CN,DM.求出AM的取值范圍即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖1中，連接EC,BD.結論：BD=CE.

圖2

理由：ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC>AD=AE,

:.AADB^^AEC(SAS).

:.BD=CE.

(2)如圖2中,

圖2

由題意：ZC4E=45°,

AC=AB,ZCAB=90°,

ZACB=ZABC=45°,

/.AE/IBC.

ACBE的面積與AABC的面枳相等.

AA8C的面積為4.5,

△CBE的面積4.5.

(3)如圖3中，延長AM到N,使得MV=AM,連接CN,DM.

圖3

AM=MN,CM=MD,

二.四邊形ADNC是平行四邊形,

；.AD=CN=L

AC=3,

.?.3-啜）W3+1,

2^AM4,

.,.啜AM2,

AM的最小值為1.

故答案為1.

11.(2020?房山區一模)如圖1,在等腰RtAABC中，NB4C=9()。，A3=AC=2,點〃為BC中點.點P

為48邊上一動點，點。為BC邊上一動點，連接。P,以點P為旋轉中心，將線段尸。逆時針旋轉90。，得

到線段PE,連接EC.

圖1圖2

（1）當點P與點A重合時，如圖2.

①根據題意在圖2中完成作圖；

②判斷EC與BC的位置關系并證明.

（2）連接EM,寫出一個BP的值，使得對于任意的點。總有=EC,并證明.

備用圖備用圖

【分析】（1）①根據要求畫出圖形即可.

②結論：EC±BC.證明ABADMAOE,推出NACE=N8=45。即可解決問題.

（2）當8尸=一時，總有EM=EC.如圖3中，作PS_L8c于S,作PN工PS,并使得PN=PS,連接NE,

3

延長NE交5c于Q,連接EM,EC.通過計算證明QM=QC,利用線段的垂直平分線的性質解決問題即

可.

【解答】解：（1）①圖形如圖2中所示:

A(Kt

MD

圖2

②結論：EC±BC.

理山：AB=AC,N3AC=90。，

ZB=ZACB=45°,

ZEAD=ZBAD=90°,

/BAD=NCAE,

AD=AE,

:.ABAD^ACAE(SAS),

ZB=ZACE=45°,

/.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

s.ECLBC.

(2)當BP=」時，總有EM=EC.

2

理山：如圖3中，作PSJL8C于S,作PN_LPS,并使得尸N=PS,連接NE,延長NE交8c于Q,連接EM,

EC.

PD=PE,NDPE=/SPN=90°,

ZDPS=4EPN，

PS=PN,

:.△DPS^AEPN(SAS),

:.PN=PS,ZPSD=ZN=90°,

ZPEQ=ZPSQ=ZSPN=90°，

四邊形PNQS是矩形，

PS=PN,

四邊形PNQS是正方形,

3

BP=-ZB=45°,AB=2,

2f

.-.B5=PS=—,6c=20,

4

/.BQ=2BS=^,QC=今,

M是8c的中點,

.\MC=42,

：.MQ=QC=^,

EQVCM,

NQ是CM的垂直平分線，

EM=EC.

12.（2020?門頭溝區一模）在A48C中，ZACB=90°,NC48=30。，點。在A8上，連接CQ,并將CD繞

點D逆時針旋轉60°得到DE,連接AE.

（1）如圖1,當點。為4B中點時，直接寫出。E與AE長度之間的數量關系；

（2）如圖2,當點。在線段A8上一時，

①根據題意補全圖2；

②猜想QE與AE長度之間的數量關系，并證明.

圖1圖2

【分析】（1）想辦法證明AAOE是等邊三角形即可解決問題.

（2）①根據要求畫出圖形即可.

②首先證明△的長，AFBC都是等邊三角形，再證明AECFnAOCB,推出N4=N5=60。，證明

AEFA=AEFC（SAS）可得結論.

【解答】解：（D結論：DE=AE.

理由：如圖1中,

ZACB=90°,ABAC=30°,

:.AB=2BC,ZB=60°,

AD=DB,

;.CD=AD=DB,

bCDB是等邊三角形，

NCDB=60。,

DC=DE,NCDE=60。，

ZADE=[S00-ZED-ZCDB=60

DA=DC,DC=DE,

/.AD=DE,

??.AADE是等邊三角形，

DE=AE.

(2)①圖形如圖2所示：

'B

D

圖2

②如圖2-1中，結論：DE=AE.

理由：取的中點尸，連接CE,CF,EF.

ZACB=90°,AF=BF,

CF=AF=BF,

N3=60。，

ABCb是等邊三角形，

.DC=DE,ZCDE=60°,

「.△ECO是等邊三角形，

/.Zl+Z2=Z2+Z3=60°,CE=CD,CF=CB,

Z1=Z3,

.\AECF=ADCB(SAS),

/.Z5=ZB=60%

.N6=60。，

/.Z4=Z5=60°,

EF=EF,FA=FC,

\EFA三AEFC(SAS),

AE=EC,

EC=ED,

AE=ED.

13.(2020?朝陽區一模)四邊形A8CO是正方形，將線段CQ繞點C逆時針旋轉2a(0。<?<45。)，得到線

段CE,連接OE,過點8作8尸，OE交OE的延長線于尸，連接BE.

(1)依題意補全圖1;

(2)直接寫出NF8E的度數；

(3)連接AF,用等式表示線段AF與OE的數量關系，并證明.

【分析】(1)按照題中的表述畫出圖形即可;

(2)NEBE的度數為45。.由題意得，CD=CE=CB,NECD=2a,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

根據三角形內角和與互余關系分別推理即可；

(3)作,交BR的延長線于點，，判定A/Z43三AM￡>(A5A),可得“B=ED,AH=AF,HF=DE,

NH=45°,從而可得，尸與AF的數量關系，則可得線段A尸與OE的數量關系.

【解答】解：(1)補全圖形，如圖所示:

圖1

(2)ZFBE=45°.設。尸與AB交于點G,如圖所示:

圖2

由題意得，CD=CE=CB,ZECD=2a，ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

/.ZEDC=90°-a,/BCE=90。-2a,

ZCBE=45°+a,ZADF=a,

??.ZABE=45°-a.

BFLDE.

:.NBFD=9U0.

ZAGD=/FGB,

：.ZFBG=a

NFBE=NFEB=45。.

(3)DE=j2AF.

證明：如圖，作A”_LA尸，交8尸的延長線于點“，

由(2)得NFBE=NFEB=45。.

:.FB=FE.

AH1AF,ZBAD=90°,

AHAB=ZFAD，

AHABSAFAD（ASA）,

:.HB=FD,AH=AF,

HF=DE,NH=45。.

:.HF=j2AF.

:.DE=41AF.

14.（2020?密云區一模）已知NA/CN=45。，點8在射線CM上，點A是射線CN上的一個動點（不與點C

重合）.點B關于CN的對稱點為點。，連接AB、AQ和8,點尸在直線BC上，且滿足AF=A8.小明

在探究圖形運動的過程中發現：APLA。始終成立.

（1）如圖1,當0°<N8AC<90。時.

①求證：AF1AD；

②用等式表示線段CF、CO與CA之間的數量關系，并證明；

（2）當90。</34。<135。時，直接用等式表示線段CF、CO與CA之間的數量關系是.

【分析】（1）①根據軸對稱的性質得到AABCMAWC,求得Z48C=Z4OC,4（78=48=45。，根據

等腰三角形的性質和四邊形的內角和即可得到結論；

②過A作AP_LAC交C3的延長線于P,求得A4PC是等腰直角三角形，ZPAC=9Q°,AP=AC,得到

ZPAF=ZDAC,根據全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論；

(3)如圖2,過A作AP_LAC交C5的延長線于P，求得AAPC是等腰直角三角形，APAC=90。，AP=AC,

得到Na4E=N0AC