2019年中考初中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題導(dǎo)引40講

第40講存在性問題

口考點解讀：

知識點名師點睛

掌握等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，并能求出相關(guān)的點的

等腰、直角三角形

存在性問題

平行四邊形問題理解并掌握拋物線與特殊的平行四邊形的求法

拋物線

的存相似三角形理解并掌握拋物線與相似三角形問題的解法

在性等腰梯形、直角梯形理解并掌握拋物線與梯形的存在性問題的求法

線段最值掌握線段最大值或線段和的最小值的求法

面積最值問題解決相關(guān)的三角形或四邊形的面積最大(小)值問題

■考點解析:

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性

較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年各

地中考的“熱點”.解這類題目的一般思路是：假設(shè)存在一推理論證一得出結(jié)論.若能導(dǎo)出合理的結(jié)

果，就做出“存在”的判斷；若導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷.

基礎(chǔ)知識歸納：拋物線的存在性問題主要涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、等腰梯形、直

角梯形、線段的最值與面積的最值問題.

基本方法歸納：等腰三角形要注意頂點問題的討論、直角三角形主要討論斜邊、相似三角形的涉及對

應(yīng)邊問題、梯形的上底和下底互相平行、平行四邊形的對邊平行且相等、對角線互相平分、線段的最

值注意二次函數(shù)配方法的應(yīng)用和對稱問題.

注意問題歸納：點的存在性問題中，關(guān)鍵是點的找法，點不要漏找.

考點1：特殊三角形的存在問題

【例1】(山東泰安?口分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點A(-4,

0)、B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求4ADE面積的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使AAEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標(biāo)，

若不存在請說明理由.

【分析】（1）把已知點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可:

（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點D坐標(biāo)，過點D作DGJ_x軸，交AE于點F,表示aADE的面積，運用二

次函數(shù)分析最值即可;

（3）設(shè)出點P坐標(biāo)，分PA=PE,PA=AE,PE=AE三種情況討論分析即可.

解：(1)?.?二次函數(shù)y=ax?+bx+c經(jīng)過點A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),

16a-4b+c=0

4a+2b+c=0，

c=6

3

a-三

解得，,3,

F

c=6

所以二次函數(shù)的解析式為：y=J.x2J.x+6>

(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直線解析式為y=*x-2.

過點D作DN_Lx軸，交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EHLDF,垂足為H,如圖

（蔣m-2），

.\DF=-J-

4

.*?SAAI>E=S&AI>F+SAEI>F=—XDFXAG+—DFXEH

22

JXDFXAG+LXDFXEH

22

=J_X4XDF

2

當(dāng)m=工時，4ADE的面積取得最大值為強.

33

(3)y=-|>x2-|"x+6的對稱軸為x=-1，

設(shè)P(-1,n),又E(0,-2),A(-4,0),

可求?八寸計言,PE=4i+(n+2產(chǎn)AE=V16+4-2A/5>

當(dāng)PA=PE時，屈聲,+(n+2)2,

解得，n=l,此時P(-1,1)；

當(dāng)PA=AE時，1y9+7=416+4=2A/^，

解得，n=±J五，此時點P坐標(biāo)為(-1,±V1T)；

當(dāng)PE=AE時，｛]+(n+2)2=A/]6+4=2V^,

解得，n=-2±J]9,此時點P坐標(biāo)為：(-1,-2iA/19)?

綜上所述，

P點的坐標(biāo)為：(-1,1),(-1,iA/11)，(-1,-2iA/19)?

【點評】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的

最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關(guān)鍵.

【變式1】(山東濰坊?12分)如圖1,拋物線yi=a--Lx+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y

2

軸交于點C(0,1),拋物線外的頂點為G,GMJ_x軸于點乩將拋物線外平移后得到頂點為B且對

4

(1)求拋物線上的解析式；

(2)如圖2,在直線1上是否存在點T,使ATAC是等腰三角形？若存在，請求出所有點T的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由；

(3)點P為拋物線yi上一動點，過點P作y軸的平行線交拋物線也于點Q,點Q關(guān)于直線1的對稱

點為R,若以P,Q,R為頂點的三角形與AAMG全等，求直線PR的解析式.

【分析】(1)應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式；

(2)設(shè)出點T坐標(biāo)，表示aTAC三邊，進行分類討論；

(3)設(shè)出點P坐標(biāo)，表示Q、R坐標(biāo)及PQ、QR,根據(jù)以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等，分類

討論對應(yīng)邊相等的可能性即可.

解：(1)由已知，c=W,

4

將B(1,0)代入，得：a-L+W=0,

24

解得a=--,

4

拋物線解析式為力="多$

???拋物線外平移后得到y(tǒng)z,且頂點為B(1,0),

y2=-—(x-1),

4

即y2=_fX24TXV

(2)存在,

如圖1：

已知A(-3,0),C(0,工)，

4

過點T作TE_Ly軸于E,貝lj

22

TC=TE+CE=I+(A_t)

TA2=TB2+AB=(1+3)2+t2=t2+16,

AC2=253(

16

當(dāng)TC=AC時，/一2十+^⑸

2U16

解得：tk3+VT5,*世叵；

44

當(dāng)TA=AC時，t2+16=153,無解;

16

22

當(dāng)TA=TC時,t-At+2§.=t+16,

解得t3=-2L

8

當(dāng)點T坐標(biāo)分別為（1,四巨），（1,3-V137）,a,_27）時，^TAC為等腰三角形.

448

12

4m

：Q、R關(guān)于x=l對稱

2

AR（2-m,-^m

4

①當(dāng)點P在直線1左側(cè)時,

PQ=1-m,QR=2-2m,

?..△PQR與△AMG全等，

.?.當(dāng)PQ=GM且QR=AM時，m=0,

：.P(0,1),即點P、C重合.

4

AR(2,-L),

4

由此求直線PR解析式為y=-

當(dāng)PQ=AM且QR=GM時,無解;

②當(dāng)點P在直線1右側(cè)時，

同理：PQ=m-l,QR=2m-2,

則P(2,-立)，R(0,-1),

44

PQ解析式為：y=---；

2x4

；.PR解析式為：y=-L乂金或丫=-2

2324

【點評】本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)、三角形全等和等腰三角形判定，應(yīng)用了數(shù)形

結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想.

考點2：相似三角形存在問題

佰2)和B(南，。),

【例2】(2018四川省綿陽市)如圖，已知拋物線y=ax2+bx(a聲0過點A

過點A作直線AC〃x軸，交y軸與點C。

(1)求拋物線的解析式:

(2)在拋物線上取一點P,過點P作直線AC的垂線，垂足為D,連接OA,使得以A,D,P為頂點的

三角形與AAOC相似，求出對應(yīng)點P的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點Q,使得S/MOCngSlMe?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由。

(1)解：?.?點A、B在拋物線上,

，+廊=-3

...■+場6=0,

1

a=2

解得:

.?.拋物線解析式為：y=2x

(2)解：設(shè)P(x,y),

'.'A(反-3),

：.C(0,-3),D(x,-3),

/.PD=y+3,CO=3,AD=x-V-5,AC=

①當(dāng)△ADPs^ACO時，

AD

AC=，

/.百=丁

；.y=J^x-6,

又?.￥在拋物線上，

...y=&-6,

..X-5瓦+12=0,

（x-4后）（x-E）=0,

Ax=4亞x=百,

=4i^卜=百

=6或ly=-3

?:At（百,-3）,

AP（4亞6）.

②當(dāng)△PDAs/\ACO時，

:贊幸

亙

；?y=3x-4,

又二?P在拋物線上，

尸—冷或

解得:

VA(，一3），

：.P(里T).

P點坐標(biāo)為（4行,6）或（3I）.

綜上,

(3)解：VA⑸4

???AC二P,0C=3,

/.0A=2亞

:.SMQC=2?0C?AC=2?0A?h=

3

/.h=2,

又,:必oc

9

...△AOQ邊OA上的高=3h=2,

9

過。作OM_LOA,截取0M=5,過點M作MN〃OA交y軸于點N,過M作HMLx軸，（如圖），

：.ZA0C==30°,

又???MN〃OA,

AZMN0=ZA0C=30°,0M1MN,

.\0N=20M=9,ZN0M=60°,

即N(0,9),

ZM0B=30°,

19

；.MH=20M=4,

...OH:加q-癡用二里

期9

AM(4,4),

設(shè)直線MN解析式為：y=kx+b,

直線MN解析式為：y=-V^x+9,

Ax-反T8=0,

(x-3E)(x+2E)=0,

拋物線上是否存在點Q,使得邑皿=芍￡心應(yīng)

【變式2】(2017日照)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，(DC經(jīng)過坐標(biāo)原點0,且與x軸，y軸分

別相交于M(4,0),N(0,3)兩點.已知拋物線開口向上，與。C交于N,H,P三點，P為拋物線

的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直x軸于點D.

(1)求線段CD的長及頂點P的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的函數(shù)表達式；

(3)設(shè)拋物線交x軸于A,B兩點，在拋物線上是否存在點Q,使得S皿般03=85機仙，且△QABSAOBN

成立？若存在，請求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）連接0C,由勾股定理可求得MN的長，則可求得0C的長，由垂徑定理可求得0D的長,

在RtaOCD中，可求得CD的長，則可求得PD的長，可求得P點坐標(biāo)；

（2）可設(shè)拋物線的解析式為頂點式，再把N點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；

（3）由拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，由S四邊形OPMN=8S/\QRB可求得點Q到x軸的距離，且點Q只能

在x軸的下方，則可求得Q點的坐標(biāo)，再證明△QABs^OBN即可.

解：

???0M=4,0N=3,

AMN=5,

1R

.??OCiMN=2,

22

VCD為拋物線對稱軸，

A0D=MD=2,

在RtAOCD中，由勾股定理可得CD=^OC2_OD2=^（A）2_22=1.）

53

???PD=PC-CD=2-J,

22

：.P(2,-1)；

(2)??,拋物線的頂點為P(2,-1),

???設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為尸a(x-2)2-1,

???拋物線過N(0,3),

A3=a(0-2)2-1,解得a=L

22

???拋物線的函數(shù)表達式為y=(x-2)-1,即y=x-4x+3;

(3)在y=x2-4x+3中，令y=0可得0=X2-4X+3,解得X=1或X=3,

AA(1,0),B(3,0),

AAB=3-1=2,

V0N=3,0M=4,PD=1,

S四邊形OPMN二S/SOMp+S^OMN=?PD+*OM?0N=-1-X4X1+±*4*3=8=8$.比，

??Sz\QAR=1,

設(shè)Q點縱坐標(biāo)為y,則■|"X2X|y1=1,解得y=l或y=-l,

當(dāng)y=l時，則AQAB為鈍角三角形，而AOBN為直角三角形，不合題意，舍去，

當(dāng)y=-1時，可知P點即為所求的Q點，

??,D為AB的中點，

，AD=BD=QD,

???△QAB為等腰直角三角形，

V0N=0B=3,

???△OBN為等腰直角三角形，

.".△QAB^AOBN,

綜上可知存在滿足條件的點Q,其坐標(biāo)為(2,-1).

考點3：特殊四邊形存在問題

【例3】(山東威海?12分)如圖,拋物線y=ax>bx+c(aWO)與x軸交于點A(-4,0),B(2,

0),與y軸交于點C(0,4),線段BC的中垂線與對稱軸1交于點D,與x軸交于點F,與BC交于

點E,對稱軸1與x軸交于點比

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求點D的坐標(biāo)；

(3)點P為x軸上一點，OP與直線BC相切于點Q,與直線DE相切于點R.求點P的坐標(biāo)；

(4)點M為x軸上方拋物線上的點，在對稱軸1上是否存在一點N,使得以點D,P,M.N為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法問題可解；

(2)依據(jù)垂直平分線性質(zhì)，利用勾股定理構(gòu)造方程；

(3)由題意畫示意圖可以發(fā)現(xiàn)由兩種可能性，確定方案后利用銳角三角函數(shù)定義構(gòu)造方程，求出半

徑及點P坐標(biāo)；

(4)通過分類討論畫出可能圖形，注意利用平行四邊形的性質(zhì)，同一對角線上的兩個端點到另一對

角線距離相等.

解：(1)???拋物線過點A(-4,0),B(2,0)

二設(shè)拋物線表達式為：y=a(x+4)(x-2)

把C(0,4)帶入得

4=a(0+4)(0-2)

,-a=-2

二拋物線表達式為：y=-(x+4)(x-2)=--^-x'-x+4

(2)由(1)拋物線對稱軸為直線x=-裊-1

2a

???線段BC的中垂線與對稱軸1交于點D

.?.點D在對稱軸上

設(shè)點D坐標(biāo)為(-1,m)

過點C做CGL1于G,連DC,DB

VDC2=1Z+(4-m)3，DB2=m2+(2+1)2

/.12+(4-m)2W+(2+1)2

解得：m=l

.?.點D坐標(biāo)為(-1,1)

(3)?.?點B坐標(biāo)為(2,0),C點坐標(biāo)為(0,4)

.\BC^22+42=2V5

,.?EF為BC中垂線

ABE=V5

在RtaBEF和RtABOC中，

COS/CBF=BE=°B

BFBC

.V5__2

BF2V5

；.BF=5,EF=^gjr2_gg2-,0F=3

設(shè)。P的半徑為r,OP與直線BC和EF都相切

如圖:

①當(dāng)圓心Pi在直線BC左側(cè)時，連PQ,PR,則PQ=P〃=n

ZPlQlE=ZP,RiE=ZRlEQl=90°

四邊形PRERi是正方形

/.ERFPiQFr,

在RtABEF和RtZXFRR中

/.BE_P1R1

tan21京西

...遙二勺

2巡2V

?*II-----------------

3

；sin/l=M=

BFFP]

.,.FP,=—,OPF—

33

.?.點Pl坐標(biāo)為（y0）

②同理，當(dāng)圓心Pz在直線BC右側(cè)時,

可求。=2掂，0P2=7

???P2坐標(biāo)為（7,0）

.?.點P坐標(biāo)為（寺，0）或（7,0）

（4）存在

當(dāng)點P坐標(biāo)為弓，0）時，

①若DN和MP為平行四邊形對邊，則有DN=MP

當(dāng)時，y=6e)2_1+4嚙

.\DN=MP=—

18

，點N坐標(biāo)為（-1,

②若MN、DP為平行四邊形對邊時，M、P點到ND距離相等

則點M橫坐標(biāo)為-y

則M縱坐標(biāo)為一,X（―24+4甯

由平行四邊形中心對稱性可知，點M到N的垂直距離等于點P到點D的垂直距離

當(dāng)點N在D點上方時，點N縱坐標(biāo)為黑-1%

1818

此時點N坐標(biāo)為（-1,黑）

18

當(dāng)點N在x軸下方時，點N坐標(biāo)為（-1,-日）

18

當(dāng)點P坐標(biāo)為（7,0）時，所求N點不存在.

【點評】本題綜合考查二次函數(shù)、圓和平行四邊形存在性的判定等相關(guān)知識，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和

分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【變式3］（四川自貢?14分）如圖，拋物線y=ax?+bx-3過A（1,0）、B（-3,0）,直線AD交

拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為-2,點P（m,n）是線段AD上的動點.

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q,求線段PQ的長度1與m的關(guān)系式，m為何值時，

PQ最長？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R,使得P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得D點

坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式；

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

(3)根據(jù)PQ的長是正整數(shù)，可得PQ,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，可得DR的長，根

據(jù)點的坐標(biāo)表示方法，可得答案.

解：(1)把(1,0),(-3,0)代入函數(shù)解析式，得

(a+b-3=0,

19a-3b-3=0，

解得「口,

lb=2

拋物線的解析式為y=x、2x-3；

當(dāng)x=-2時，y=(-2)2+2X(-2)-3,解得y=-3,

即D(-2,-3).

設(shè)AD的解析式為y=kx+b,將A(1,0),D(-2,-3)代入，得

fk+b=0,

1-2k+b--3

解得仆=1,

lb=-l

直線AD的解析式為y=x-1；

(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),

1=(m-1)-(m"+2m-3)

化簡，得

1=-m"-m+2

配方，得

1=-(m+—)2+—,

24

當(dāng)m=-A■時,1?*=—；

24

(3)DR〃PQ且DR=PQ時，PQDR是平行四邊形，

由(2)得O<PQW2,

2

又PQ是正整數(shù)，

/.PQ=1,或PQ=2.

當(dāng)PQ=1時，DR=1,-3+l=-2,即R(-2,-2),

-3-1=-4,即R(-2,-4)；

當(dāng)PQ=2時,DR=2,-3+2=-1,即R(-2,-1),

-3-2=-5,即R(-2,-5),

綜上所述：R點的坐標(biāo)為(-2,-2),(-2,-4),(-2,-1)(-2,-5),使得P、Q、D、

R為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解(1)的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解(2)的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)

的性質(zhì)；解(3)的關(guān)鍵是利用DR=PQ且是正整數(shù)得出DR的長.

考點4：最值存在問題：

【例4】(四川宜賓?12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,0),且經(jīng)過

點(4,1),如圖，直線y=Lx與拋物線交于A、B兩點，直線1為y=-l.

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)在1上是否存在一點P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

(3)知F(xo,y(>)為平面內(nèi)一定點，M(m,n)為拋物線上一動點，且點M到直線1的距離與點M

到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo).

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,0),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2,由拋物線過

點(4,1),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標(biāo)，作點B關(guān)于直線

1的對稱點B',連接AB'交直線1于點P,此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標(biāo)可得出點B'

的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B，的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB，的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點

的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；

(3)由點M到直線1的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可

22

得出(1-1-—y0)m'-(2-2x0-2y0)m+xo+yo-2y0-3=0,由m的任意性可得出關(guān)于Xo、y0的方程

22

組，解之即可求出頂點F的坐標(biāo).

解：（1）???拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,0）,

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）

?.?該拋物線經(jīng)過點（4,1）,

l=4a,解得：a=—,

4

拋物線的解析式為y=l(x-2)2=lx2-x+l.

44

（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得:

1

町口陞2=4

解得：,],<

y=jx2-x+l丫1=1[乃=1

.,.點A的坐標(biāo)為（1,工）點B的坐標(biāo)為（4,1）.

4

作點B關(guān)于直線1的對稱點B',連接AB'交直線1于點P,此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）.

?.?點B(4,1)，直線1為y=-1,

...點B'的坐標(biāo)為(4,-3).

設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b(k#0),

將A(1,L)、B'(4,-3)代入y=kx+b,得：

4

/f,13

Rb=],解得：，12.

,4k+b=-3b/

二直線AB'的解析式為y=-lix+A,

123

當(dāng)y=-1時，有-A2.x+A=-1,

123

解得：x=28,

13

...點p的坐標(biāo)為(28,-1).

13

(3)?.?點M到直線1的距離與點M到點F的距離總是相等,

/.(m-xo)'+(n-yo)"=(n+1)

222

m-2xom+xo-2yon+yo=2n+l.

VM(m,n)為拋物線上一動點，

/.n=A.m2-m+1,

4

322J2

Am-2xom+xo-2yo(-1-m-m+1)+y0=2(A,m-m+1)+1,

44

整理得：(1~--yo)nf-(2-2xo_2yo)m+xo2+yo2-2yo-3-0.

22

???m為任意值，

14■得丫。=。

2-2xo-2yo=O，

o2一一-

x+y

oo-2yo-3二0

.fx產(chǎn)

=1

y0

定點F的坐標(biāo)為(2,1).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、

軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線1的距離與點

M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x。、y°的方程組.

【變式4］（2017貴州）如圖，OM的圓心M（-l,2）,0M經(jīng)過坐標(biāo)原點0,與y軸交于點A,經(jīng)

過點A的一條直線1解析式為：y=-yx+4與x軸交于點B,以M為頂點的拋物線經(jīng)過x軸上點D（2,

0）和點C（-4,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：直線1是的切線；

（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線1垂直，垂足為E,PF〃y軸，交直線1于點F,是否存

在這樣的點P,使4PEF的面積最??？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)及4PEF面積的最小值；若不

存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x+4),將點M的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得

到拋物線的解析式；

(2)連接AM,過點M作MGLAD,垂足為G.先求得點A和點B的坐標(biāo)，可求得，可得到AG、ME、0A、

OB的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可證明/MAG=/ABD,故此可證明AM,AB；

(3))先證明NFPE=NFBD.貝l]PF：PE：EF=JG：2：1.則4PEF的面積巧PF：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,

5

-3x2-g+學(xué))，則F(x,-^x+4).然后可得到PF與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的

9992

性質(zhì)求解即可.

解：⑴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x+4),將點M的坐標(biāo)代入得：-9a=2,解得：a=-焉.

9

???拋物線的解析式為y--

999

(2)連接AM,過點M作MGLAD,垂足為G.

把x=0代入y=-*x+4得：y=4,

AA(0,4).

將y-0代入得：0----x+4,解得x=8,

???B(8,0)?

A0A=4,0B=8.

VM(-1,2),A(0,4)，

???MG=1,AG=2.

/.tanZMAG=tanZABO=--.

2

???ZMAG=ZABO.

VZ0AB+ZAB0=90°,

AZMAG+Z0AB=90°,EPZMAB=90°.

.?.1是。M的切線.

(3)VZPFE+ZFPE=90°，NFBD+NPFE=90°,

.\ZFPE=ZFBD.

tanZFPE=—.

2

/.PF：PE：EF=&：2：1.

/.APEF的面積」PE?EF」X^^PF?逅PF=4N.

22555

:,當(dāng)PF最小時,APEF的面積最小.

--x2--x+-^-),則F(x,-—x+4).

設(shè)點P的坐標(biāo)為(X,

9992

-^-x+4+—x2+—x1621,202,1.71

.??PF=(-—x+4)-二22+

299929932-

.,?當(dāng)x=\?時，PF有最小值，PF的最小值為暮.

832

Ap_l_55_

832

APEF的面積的最小值為［x(2)z空黑.

532512。

考點5：其它圖形的存在問題

【例5】(山東淄博?8分)如圖，以AB為直徑的。0外接于AABC,過A點的切線AP與BC的延長線

交于點P,NAPB的平分線分別交AB,AC于點D,E,其中AE,BD(AE<BD)的長是一元二次方程x?

-5x+6=0的兩個實數(shù)根.

(1)求證：PA?BD=PB?AE；

(2)在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明，并求其面積;

若不存在，說明理由.

【考點】MR：圓的綜合題.

【分析】(1)易證NAPE=NBPD,ZEAP=ZB,從而可知△PAEsZ\PBD,利用相似三角形的性質(zhì)即可

求出答案.

(2)過點D作DFLPB于點F,作DGLAC于點G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知：F良黑，從

23

而可知cos/BDF=cosNBAC=cos/APC=Z,從而可求出AD和DG的長度，進而證明四邊形ADFE是菱

3

形，此時F點即為M點，利用平行四邊形的面積即可求出菱形ADFE的面積.

解:(1)：DP平分NAPB,

.\ZAPE=ZBPD,

；AP與。0相切，

ZBAP=ZBAC+ZEAP=90°,

：AB是。。的直徑，

AZACB=ZBAC+ZB=90°,

.".ZEAP=ZB,

.,.△PAE^APBD,

?PAPB

*'AE=BD'

.?.PA?BD=PB?AE；

(2)過點D作DFLPB于點F,作DG±AC于點G,

：DP平分NAPB,

AD_LAP,DF_LPB,

，AD=DF,

,/ZEAP=ZB,

二ZAPC=ZBAC,

易證:DF〃AC,

:.ZBDF=ZBAC,

由于AE,BD(AE<BD)的長是--5x+6=0,

解得:AE=2,BD=3,

...由(1)可知：F&型，

23

cosZAPC=^A=2,

PB3

cosZBDF=cosZAPC=—,

3

?此工

,?麗7'

，DF=2,

，DF=AE,

...四邊形ADFE是平行四邊形，

VAD=AE,

，四邊形ADFE是菱形,

此時點F即為M點，

cosNBAC=cosNAPC=Z,

3

/.sinZBAC=2/^.,

3

.DGV5

?------------?

AD-3

;.DG="?2ZK,

3

???在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形

其面積為：DG?AE=2X2&GZ5

33

A

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的判定及其面

積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合程度較高，考查學(xué)生的靈活運用知識的能力.

【變式5］（四川成都?9分）在亞/dBC中，￡ABC=9Qe,4B=E,心=2,過點作直

線milAC,/UBC繞點C順時針得到/M'B'C（點，的對應(yīng)點分別為Af,H'）射線Cd',

（1）如圖1,當(dāng)與4'重合時，求/4C4'的度數(shù)：

（2）如圖2,設(shè)，與的交點為M,當(dāng)“為的中點時，求線段蛇的長；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程時，當(dāng)點分別在CAr,CE'的延長線上時，試探究四邊形Fd'E'旦的面

積是否存在最小值.若存在，求出四邊形?石'旦的最小面積；若不存在，請說明理由.

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=A'C=2.^ACB=9Qe,m//AC,2^0=90°,

.BC4

■COSZ^'C5=7C=2,ZACAr=60a

（2）,:M為4坪的中點，Zd'CAf由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：￡A,

二tanZFCB=tanZ4=

.\BQ=BC

'「tan工g=tanZFC4=

..PQ^PB+BQ=j

二年皿最小，Sgp即最小，-s^ce=2pQKBCz=

法一：（幾何法）取F0中點G,則^PCQ=9Qa

..CG=^PQ

當(dāng)CG最小時，F(xiàn)。最小，-'CG±PQ,即CG與8重合時，CG最小.

"Gg=百，F(xiàn)41n=南，Ms應(yīng)3g=三”碼?=3-亞

法二：（代數(shù)法）設(shè)尸石=x,BQ=y

由射影定理得：盯=￡」.當(dāng)P0最小，即x+y最小，

.,.（x+j）1=x1+jJ+2xy=x2+j^+6>2xy+6=12

當(dāng)x=y=石時，“=”成立，；了0=五+百=班

【考點】三角形的面積，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出4C=WC=2,根據(jù)已知易證m〃AC,得出NA'BC是直角，

利用特殊角的三角函數(shù)值，可求出NA'CB的度數(shù)，就可求出結(jié)果。

（2）根據(jù)中點的定義及性質(zhì)的性質(zhì)，可證得/A=/A'CM,利用解直角三角形求出PB和BQ的長，再

根據(jù)PQ=PB+BQ,計算即可解答。

（3）根據(jù)已知得出四邊形FA'B'Q的面積最小，則4PCQ的面積最小，可表示出4PCQ的面積，利用

幾何法取產(chǎn)。中點G,則^PCP=9O°,得出PQ=2CG,當(dāng)CG最小時，則PQ最小根據(jù)垂線段最

短，求出CG的值，從而可求出PQ的最小值，就可求出四邊形FA'B'Q面積的最小值。也可以利用代

數(shù)式解答此題。

b真題試卷連接：

1.（2017貴州安順）如圖甲，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,經(jīng)過B、C兩點的拋

物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，

請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)0<x<3時，在拋物線上求一點E,使aCBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究).

2.(2017重慶B)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=返/-2返x-遙與x軸交于A、B兩點

33

(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.

(1)求直線AE的解析式；

(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC,PE.當(dāng)4PCE的面積最大時，連接CD,CB,點K

是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

(3)點G是線段CE的中點，將拋物線丫=退4-2返X-JG沿x軸正方向平移得到新拋物線y',

33

y'經(jīng)過點D,y'的頂點為點F.在新拋物線y'的對稱軸上，是否存在一點Q,使得AFUQ為等腰三

角形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(2017畢節(jié))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(-1,0),B(4,0),

C(0,-4)三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)是否存在點P,使aPOC是以0C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

(3)動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積.

4.(浙江衢州?12分)如圖，Rt^OAB的直角邊0A在x軸上，頂點B的坐標(biāo)為(6,8),直線CD

交AB于點D(6,3),交x軸于點C(12,0).

(1)求直線CD的函數(shù)表達式；

(2)動點P在x軸上從點(-10,0)出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，過點P作直

線1垂直于x軸，設(shè)運動時間為t.

①點P在運動過程中，是否存在某個位置，使得/PDA=/B?若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

②請?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時，在直線1上存在點M,在直線CD上存在點Q,使得以0B為一邊，0,B,M,

Q為頂點的四邊形為菱形，并求出此時t的值.

5.(山東青島?12分)已知：如圖，四邊形ABCD,AB〃DC,CB±AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,

動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s.點

P和點Q同時出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE,設(shè)運動的時間為t(s),0<t<5.

根據(jù)題意解答下列問題：

(1)用含t的代數(shù)式表示AP；

(2)設(shè)四邊形CPQB的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)QP_LBD時，求t的值；

(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使點E在NABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不

存在，請說明理由.

6.（生產(chǎn)建設(shè)兵團?13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2x?-2x-4與x軸交于A,B

33

兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求點A,B,C的坐標(biāo)；

（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發(fā),

在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也停止運

動.設(shè)運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M,使△BMC的面積

是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

b答案：

1.(2017貴州安順)如圖甲，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,經(jīng)過B、C兩點的拋

物線y=x、bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，

請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)0<x<3時，在拋物線上求一點E,使的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究).

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)由拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)及對稱軸，可設(shè)出M點坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、

MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程，可求得M點的坐標(biāo)；

(3)過E作EF，x軸，交直線BC于點F,交x軸于點D,可設(shè)出E點坐標(biāo)，表示出F點的坐標(biāo)，表

示出EF的長，進一步可表示出aCBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時E點的坐

標(biāo).

解:

(1)???直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,

AB(3,0),C(0,3),

把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得(9+"+c=0,解得『I,

Ic=3Ic=3

.??拋物線解析式為y=x2-4x+3；

(2)Vy=x"-4x+3=(x-2)"-1,

...拋物線對稱軸為x=2,P(2,-1),

設(shè)M(2,t),且C(0,3),

MC=V22+(t-3)12-61+13'MP=【t+l|,PC=^22+(-1-3)2=2V5,

?.?△CPM為等腰三角形，

...有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，

①當(dāng)MC=MP時，則有｛t2-6t+13=lt+l，解得t=^|,此時M(2,-1)；

②當(dāng)MC=PC時，則有｛t2-6t+13=2&，解得t=-l(與P點重合，舍去)或t=7,此時M⑵7)；

③當(dāng)MP=PC時，貝惰|t+l|=2掂，解得t=-1+2加或t=-1-2泥，止匕時M(2,-1+275)或(2,

-1-2泥)；

綜上可知存在滿足條件的點M,其坐標(biāo)為(2,-|)或(2,7)或(2,-1+275)或(2,-1-2泥)；

(3)如圖，過E作EF，x軸，交BC于點F,交x軸于點D,

設(shè)E(x,x2-4x+3),則F(x,-x+3),

V0<x<3,

/.EF=-x+3-(x2-4x+3)=-X2+3X,

II1I2QQ

ASAcBE=SAEFc+SAm=yEF?OD+^-EF.BD^EF?OB=^-X3(-x+3x)=-y

乙乙乙乙乙乙

...當(dāng)x=]?時，ACBE的面積最大，此時E點坐標(biāo)為警，

224

即當(dāng)E點坐標(biāo)為髭時，aCBE的面積最大.

24

與-遍與