第二模塊函數(shù)

5/28/2023

第四講函數(shù)及其表示5/28/2023回歸課本1.函數(shù)的概念設(shè)集合A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對A中的任意一個數(shù)x,在集合B中,都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中x叫做自變量,自變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域.自變量取值a,則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值,記作y=f(a).所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做這個函數(shù)的值域.5/28/20232.構(gòu)成函數(shù)的要素:定義域?對應(yīng)關(guān)系?值域.3.兩個函數(shù)的相等當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).4.常用的函數(shù)表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)圖象法.5/28/20235.分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對應(yīng)法則,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).6.映射的概念設(shè)A?B是兩個非空集合,如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱f為從集合A到集合B的一個映射,記作“f:A→B”.5/28/2023考點(diǎn)陪練5/28/20231．（2011·湖南）給定k∈N*，設(shè)函數(shù)f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n，f(n)＝n－k.(1)設(shè)k＝1，則其中一個函數(shù)f在n＝1處的函數(shù)值為_______；(2)設(shè)k＝4，且當(dāng)n≤4時，2≤f(n)≤3，則不同的函數(shù)f的個數(shù)為________．解析：(1)由法則f是正整數(shù)到正整數(shù)的映射，因為k＝1，所以從2開始都是一一對應(yīng)的，而1可以和任何一個正整數(shù)對應(yīng)，故f在n＝1處的函數(shù)值為任意的a(a為正整數(shù))；(2)因為2≤f(n)≤3，所以根據(jù)映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3對應(yīng)，1可以和2對應(yīng)，也可以和3對應(yīng)，有2種對應(yīng)方法，同理，2,3,4都有兩種對應(yīng)方法，由乘法原理，得不同函數(shù)f的個數(shù)等于16.答案：(1)a(a為正整數(shù))

(2)16

5/28/20235/28/2023解析:當(dāng)兩個函數(shù)的解析式和定義域完全相同時,這兩個函數(shù)相等.同時滿足這兩個條件的只有A,B中x≠0,C中x∈R,D中x∈R.答案:A5/28/20233.設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},則在下面4個圖形中,能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()A.①②③④ B.①②③C.②③ D.②解析:由函數(shù)的定義易知②③成立,故選C.答案:C5/28/20235/28/2023解析:A中f(x)的定義域是{x|x≥0},g(x)的定義域是{x|x≥0或x≤-1},f(x)與g(x)的定義域不同,∴f(x)與g(x)不是相等函數(shù).B中f(x)= 的定義域為{x|x∈R,且x≠2},g(x)的定義域為R,f(x)與g(x)的定義域不同,∴f(x)與g(x)不是相等函數(shù).C中f(x)、g(t)雖然自變量用不同的字母表示,但定義域?對應(yīng)關(guān)系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函數(shù).5/28/2023D中f(n)、g(n)的對應(yīng)關(guān)系不同,所以不是相等函數(shù).所以應(yīng)選C.答案:C5/28/2023評析:根據(jù)函數(shù)的三要素,從定義域?值域?對應(yīng)關(guān)系等方面對所給的函數(shù)進(jìn)行分析判斷.判斷兩個函數(shù)是否相同,只需判斷這兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同.即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù),它們也不一定是相等函數(shù),因為定義域?值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.此外,兩個函數(shù)是否相同與自變量用什么字母表示無關(guān).5/28/20235.已知集合A={(x,y)|y=f(x),x∈[-1,2]},集合B={(x,y)|x=0},則A∩B的子集的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.不確定解析:函數(shù)f(x)定義在[-1,2]上,所以由函數(shù)定義知當(dāng)x=0時有唯一的y與之對應(yīng),即直線x=0與函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn),故A∩B中有一個元素,有2個子集.故選C.答案:C5/28/20236.已知映射f:A→B,其中集合B={-2,0,4,10},集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的對應(yīng)元素,且對任意的a∈A,在B中和它對應(yīng)的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的個數(shù)最多可能是()A.4B.6C.8D.105/28/2023解析:當(dāng)(a+1)(a-2)=10時,得a=4,-3;當(dāng)(a+1)(a-2)=4時,得a=3,-2;當(dāng)(a+1)(a-2)=0時,得a=2,-1;當(dāng)(a+1)(a-2)=-2時,得a=0,1,所以根據(jù)映射的定義知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8個,故選C.答案:C5/28/2023類型一 函數(shù)的基本概念解題準(zhǔn)備:(1)函數(shù)是指兩個非空數(shù)集A?B之間的一種對應(yīng)關(guān)系,它要求集合A中的任意一個數(shù),在集合B中都有唯一的數(shù)f(x)與之對應(yīng);(2)兩個函數(shù)相等是指函數(shù)的三要素相同,由于函數(shù)的值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定,因此只需判定定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同即可.5/28/2023【典例1】(1)函數(shù)y=f(x),x∈D與直線x=2交點(diǎn)個數(shù)為________.5/28/2023

[解析](1)當(dāng)x=2∈D時,根據(jù)函數(shù)定義A中任何一個自變量在B中都有唯一元素和它對應(yīng),即有且只有一個交點(diǎn);當(dāng)x=2 D時,無交點(diǎn).(2)命題p中兩函數(shù)的定義域不同,p是假命題,命題q中兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同,q也是假命題,所以p∨q是假命題.[反思感悟]兩個函數(shù)的定義域?值域和對應(yīng)關(guān)系中有一個不同,它們就不表示相等的函數(shù).[答案](1)0個或1個(2)假5/28/2023類型二 求函數(shù)的解析式解題準(zhǔn)備:求函數(shù)解析式的常用方法有:(1)配湊法;(2)換元法;(3)待定系數(shù)法;(4)消元法等.5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023類型三 分段函數(shù)解題準(zhǔn)備:(1)對于分段函數(shù),一定要明確自變量所屬的范圍,以便于選擇與之相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系;(2)分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類思想,相應(yīng)的問題處理應(yīng)分段解決.5/28/20235/28/2023[分析]先根據(jù)f(2)=1求出解析式中參數(shù)t的值,再進(jìn)一步求 的值.5/28/2023[答案]8[反思感悟]對于分段函數(shù)給定自變量求函數(shù)值時,應(yīng)根據(jù)自變量的范圍,利用相應(yīng)的解析式直接求解;若給定函數(shù)值求自變量,應(yīng)根據(jù)函數(shù)每一段的解析式分別求解,但應(yīng)注意檢驗該值是否在相應(yīng)的自變量取值范圍之內(nèi).5/28/2023

[探究]某市某種類型的出租車,規(guī)定3千米內(nèi)起步價8元(即行程不超過3千米,一律收8元).若超過3千米,除起步價外,超過部分再按1.5元/千米收費(fèi)計價,若乘客與司機(jī)約定按四舍五入以元計費(fèi)不找零錢,下車后乘客付了16元,則乘客乘車?yán)锍痰姆秶莀_______.(單位:千米)5/28/20235/28/2023類型四 抽象函數(shù)解題準(zhǔn)備:抽象函數(shù)是一個難點(diǎn),解決抽象函數(shù)問題,要全面應(yīng)用所具有的性質(zhì)展開解題思路,通常方法是賦值法,并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)模型,幫助探求解題思路和方法.5/28/2023【典例4】已知函數(shù)對任意的實數(shù)a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)求證:(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均為常數(shù)),求f(36)的值.5/28/2023

[解](1)對a,b∈R,有f(ab)=f(a)+f(b),令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.令a=b=1,得f(1)=0.5/28/20235/28/2023錯源一 換元不等價5/28/2023

[剖析]錯解中采用了換元法,但換元前后變量取值范圍不相等,所以錯解中f(x)定義域為R是錯的,f(x)定義域應(yīng)為變量t的取值范圍.5/28/20235/28/2023[評析]在應(yīng)用換元法時應(yīng)注意,換元后函數(shù)的形式變了但其實質(zhì)并沒有發(fā)生變化,所以新元的取值范圍必須由原來的變量決定.錯源二解析式化簡不等價導(dǎo)致函數(shù)定義域變大5/28/2023[剖析]本題的錯誤在于盲目地對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡,導(dǎo)致擴(kuò)大了自變量x的取值范圍.5/28/2023[答案]{x|x∈R,x≠-1且x≠-2}技法 求函數(shù)解析式的方法一?特殊值法【典例1】已知對一切x,y∈R,關(guān)系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1,求f(x).[解題切入點(diǎn)]由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y對一切x,y∈R都成立,可根據(jù)需要對x,y進(jìn)行賦值,本題可令x=0.5/28/2023[解]因為f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y對一切x,y∈R都成立.所以令x=0,得f(-y)=f(0)-(1-y)y,又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1,再令x=-y,得f(x)=x2+x+1.5/28/2023[方法與技巧]當(dāng)所給函數(shù)的等式中有兩個變量時,可對這兩個變量交替用特殊值代入或使這兩個變量相等代入,再用已知條件,可求出未知的函數(shù).5/28/20235/28/20235/28/2023

[方法與技巧]已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的問題,可先用g(x)表示h(x),然后再將g(x)用x代替,即得f(x)的解析式.5/28/2023三?換元法5/28/20235/28/2023[方法與技巧]若已知條件中沒有給出函數(shù)的具體解析式,但給出了函數(shù)的某種關(guān)系,可結(jié)合整體思想采用換元法,把解析式的某一部分設(shè)為一個變量進(jìn)行求解,注意新變量的范圍.5/28/2023四?待定系數(shù)法【典例4】已知f(x)是二次函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x).[解]設(shè)f(x)=ax2+bx+c,f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.對應(yīng)得a=1,b=-2,c=1.所以f(x)=x2-2x+1.[方法與技巧]已知函數(shù)式的構(gòu)造模式時可用.5/28/2023五?轉(zhuǎn)化法【典例5】設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),對一切x∈R,均有f(x)+f(x+2)=0,當(dāng)-1<x≤1時,f(x)=2x-1.求當(dāng)1<x≤3時,函數(shù)f(x)的解