PAGE16《三角恒等變換章末總結》教師版《三角恒等變換》章末總結08.10.10一、教學目的：對第三章“三角恒等變換”進行章末知識總結，對重點、熱點題型進行歸納總結。二.重點、難點：公式的靈活應用三、知識分析：1、本章網絡結構2、要點概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”（2）要熟悉角的拆拼、變換的技巧，倍角與半角的相對性，如 是的半角，是的倍角等。 （3）要掌握求值問題的解題規律和途徑，尋求角間關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，正確選用公式，靈活地掌握各個公式的正用、逆用、變形用等。 （4）求值的類型： ①“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合和差化積、積化和差、升降冪公式轉化為特殊角并且消降非特殊角的三角函數而得解。 ②“給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系。 ③“給值求角”：實質上可轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角。 （5）靈活運用角和公式的變形，如：，等，另外重視角的范圍對三角函數值的影響，因此要注意角的范圍的討論。 （6）化簡三角函數式常有兩種思路：一是角的變換（即將多種形式的角盡量統一），二是三角函數名稱的變化（即當式子中所含三角函數種類較多時，一般是“切割化弦”），有時，兩種變換并用，有時只用一種，視題而定。 （7）證明三角恒等式時，所用方法較多，一般有以下幾種證明方法： ①從一邊到另一邊，②兩邊等于同一個式子，③作差法。3、題型歸納 （1）求值題例1.已知，，且，求。 分析：由已知條件求，應注意到角之間的關系，，可應用兩角差的余弦公式求得。 解：由已知，得 又 由，得 又 由，得 點評：<1>三角變換是解決已知三角函數值求三角函數值這類題型的關鍵； <2>常見角的變換：，等。 （2）化簡題例2.化簡：，其中。 分析：式中有單角α與半角，可用倍角公式把α化為。 解：原式 ∴原式 （3）證明題例3.求證： 分析1：從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，逐步化成左邊。 證法1：右邊 ∴原命題成立 分析2：由配方，得。將左邊約分，達到化簡的目的。 證法2：左邊 ∴原命題成立 分析3：代數證明中的作差法也適用于三角證明。 證明3：左－右 ∴左＝右 ∴原式成立 （4）與向量、三角形等有關的綜合題例4.平面直角坐標系內有點。 （1）求向量與的夾角θ的余弦； （2）求的最值。 解析：（1）∵ （2） 又 ，即 【模擬試題】一.選擇題（每小題4分，共48分）1.的值為（） A. B. C. D.2.可化為（） A. B. C. D.3.若，且，則的值是（） A. B. C. D.4.函數的周期為T，最大值為A，則（） A. B. C. D.5.已知，則的值為（） A. B. C. D.6.已知，則（） A. B. C. D.7.設，則（） A.4 B. C. D.8.的值是（） A. B. C. D.9.在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形10.要使斜邊一定的直角三角形周長最大，它的一個銳角應是（） A.30° B.45° C.60° D.正弦值為的銳角11.已知向量，向量，向量，則向量與的夾角范圍為（） A. B. C. D.12.已知：，則的值為（） A. B.4 C. D.1二.填空題（每小題3分，共12分）13.已知，則_____________。14.函數的最小正周期為_____________。15.已知，且滿足關系式，則_____________。16.已知。若，則可化簡為_____________。三.解答題（每小題10分，共40分）17.求值：18.已知函數 （1）求函數的最小正周期； （2）求函數的最大值、最小值及取得最大值和最小值時自變量x的集合； （3）求函數的單調區間，并指出在每一個區間上函數的單調性。19.若已知，求的值。20.已知α、β為銳角，且。 求證：

[參考答案]一.選擇題：1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C二.填空題：13. 14.15. 16.三.解答題：17.解：原式 18.解： （1） （2）當 即時， 當 即時， （3）當 即時，單調遞增。 當 即時，單調遞減。 故的