2023屆四川省南充市高考適應性考試（二診）數學（文）試題一、單選題1．復數滿足：，則（

）A．1+2i B．－1+2i C．1－2i D．－1－2i【答案】C【分析】由復數的四則運算求解即可.【詳解】由，得.故選：C2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法求解相應不等式，得到集合，然后根據并集的定義求得結果，進而做出判定.【詳解】由，解得，即，又∵集合，∴，故選：A.【點睛】本題考查集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎題.3．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據角的終邊上的點的坐標，求出，，代入余弦二倍角公式即可得出結果.【詳解】因為終邊經過點，所以，，所以，故選：C4．近年來國產品牌汽車發展迅速，特別是借助新能源汽車發展的東風，國產品牌汽車銷量得到了較大的提升．如圖是2021年1－7月和2022年1－7月我國汽車銷量占比餅狀圖，已知2022年1－7月我國汽車總銷量為1254萬輛，比2021年增加了99萬輛，則2022年1－7月我國汽車銷量與2021年1－7月相比，下列說法正確的是（

）A．日系汽車銷量占比變化最大 B．國產汽車銷量占比變大了C．德系汽車銷量占比下降最大 D．美系汽車銷量變少了【答案】B【分析】由餅狀圖分析即可【詳解】由餅狀圖可得日系汽車銷量占比下降2.2%，德系汽車銷量占比下降1.6%，美系與其他下降不足1%，而國產汽車銷量占比增加5%>2.2%，故B選項正確，A、C選項錯誤；美系汽車銷量由變化為增加了，D選項錯誤.故選：B5．某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為，則圖中的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】畫出該三視圖對應的直觀圖，再由棱錐的體積公式得出值即可得出答案.【詳解】該三視圖對應的直觀圖可以從邊長為的正方體畫出，即為三棱錐，如下圖所示，由棱錐的體積公式得，，整理，解得，故選：C.6．某高中準備選拔名男生和名女生去參加數學興趣小組，若x，y滿足約束條件，則該數學興趣小組最多可以選拔學生（

）A．8人 B．10人 C．12人 D．14人【答案】D【分析】根據題意，畫出滿足約束條件的可行域范圍，然后結合圖像即可得到其最大值.【詳解】根據條件畫出x，y滿足約束條件表示的平面區域，要求招入的人數最多，即取最大值，目標函數為，在可行域內任取且為正整數使得目標函數代表的斜率為定值，直線在軸上的截距最大時的直線為過得，此時目標函數取得最大值為.故選:D7．智慧的人們在進行工業設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線．如圖，從雙曲線右焦點發出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經過左焦點．已知入射光線斜率為，且和反射光線PE互相垂直（其中P為入射點），則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由入射光線的斜率得出，進而得出，再由雙曲線的定義得出雙曲線的離心率.【詳解】因為入射光線斜率為，所以，又，，所以，又，所以.故選：D8．已知數列的前n項和為，若，（），則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據數列遞推式（），可得（），推出，（），結合等比數列的前n項和公式，即可求得答案.【詳解】因為（），所以（），兩式相減得，（），由（），得，故可知，而，所以，（），故從第二項開始，為公比為4的等比數列，故，故選：A9．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理有，再根據條件整體代換即可.【詳解】因為，則根據正弦定理和余弦定理有.故選：B.10．已知正方體的棱長為，是空間中任意一點，則下列說法中錯誤的是（

）A．該正方體外接球的體積為B．若是棱中點，則異面直線與夾角的余弦值為C．若點在線段上運動，則始終有D．若點在線段上運動，則三棱錐體積為定值【答案】B【分析】求解外接球的添加判斷的正誤；求解異面直線所成角的余弦函數值，判斷的正誤；利用直線與平面垂直判斷的正誤；求解體積判斷的正誤．【詳解】正方體的棱長為，正方體外接球的的半徑為，外接球的體積為，所以A正確；是棱中點，則異面直線與夾角就是直線與夾角，夾角的余弦函數值為：．所以B不正確；因為，，，平面，所以平面，平面，所以點在線段上運動，則始終有，所以C正確；點在線段上運動，因為，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離是定值，則三棱錐體積為的體積，即：，所以D正確；故選：B11．如圖，已知點P是圓上的一個動點，點Q是直線上的一個動點，為坐標原點，則向量在向量上的投影的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】設，的夾角為，設，根據向量的投影的定義結合數量積的運算可表示出向量在向量上的投影，結合圓的方程可得，利用三角恒等變換化簡即可求得答案.【詳解】設，的夾角為，則向量在向量上的投影為，若要投影取得最大值，則應為銳角，設，不妨設，由題意可知，則根據向量數量積的運算可得，由于點P是圓上的一個動點，所以設，（為參數），故，團為的最大值為1，所以的最大值為，故選∶D．12．已知函數有三個不同的零點，且．則實數的值為（

）A． B． C．－1 D．1【答案】D【分析】令，從而求導以確定函數的單調性及取值范圍，再令，從而化為有兩個不同的根，從而可得或，討論求解即可．【詳解】令，則，當時，是增函數，當時，是減函數；又趨向于0時趨向負無窮，趨向于正無窮時趨向0，且，令，則，要使有3個不同零點，則必有2個零點，若，則或，所以有兩個不同的根，則，所以或，且，，①若，，與的范圍相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根一正一負，即，；又，則，且，，故.故選：D二、填空題13．已知向量，，則的值為______.【答案】【分析】由坐標運算結合模長公式求解即可.【詳解】因為，所以.故答案為：14．已知直線與曲線相切，則m的值為______．【答案】1【分析】求出函數的導數，設切點為，利用導數的幾何意義求出切點坐標，代入切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意，可得，直線與曲線相切，設切點為，則，則，即切點為，將該點坐標代入，可得，故答案為：115．設是拋物線上的兩個不同的點，O為坐標原點，若直線與的斜率之積為，則直線恒過定點，定點坐標為______．【答案】【分析】設,，根據題意可得,設直線的方程為，代入拋物線方程化簡整理并且結合根與系數的關系即可得出答案．【詳解】設,，因為直線與的斜率之積為，所以，解得，由題意知直線的斜率一定存在，設直線的方程為，代入拋物線方程可得，需滿足，所以，解得，滿足，故直線的方程為，則直線恒過定點，故答案為∶．16．設定義在上的函數和.若，，且為奇函數，則______.【答案】【分析】由，，可得，再結合為奇函數，可得，從而可得函數是以為周期的一個周期函數，求出即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因，所以，即，因為為奇函數，所以，且，所以，則，所以函數是以為周期的一個周期函數，由，得，則，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于先根據，，可得，再結合為奇函數，可得，從而可得函數的周期.三、解答題列聯表：有蛀牙無蛀牙總計愛吃甜食不愛吃甜食總計(1)根據已知條件完成如圖所給的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關；(2)若從“無蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機抽取8人作進一步調查，再從這抽取的8人中隨機抽取2人去擔任“愛牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率.附：，.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據已知條件，結合獨立性檢驗公式，即可求解；（2）根據已知條件，結合分層抽樣的定義，列舉法，以及古典概型的概率公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，列聯表：有蛀牙無蛀牙總計愛吃甜食9030120不愛吃甜食305080總計12080200有的把握認為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關；（2）若從“無蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機抽取8人作進一步調查，則愛吃甜食占3人，設為，不愛吃甜食占5人，設為，從中隨機選取2人，所有情況為：，共28種，其中抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年為：，共10種，故抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率為.18．已知數列前n項和為．從下面①②中選擇其中一個作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個解答計分．①數列是等比數列，，且成等差數列；②數列是遞增的等比數列，，；(1)求數列的通項公式；(2)已知數列的前n項的和為，且．證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選①：根據等比數列基本量的計算，求出首項及公比即可求解；選②：根據等比數列的性質有，結合已知求出即可得公比，從而得答案；（2）由（1）根據對數的運算性質求出，然后利用裂項相消求和法求出即可證明.【詳解】（1）選①：因為數列是等比數列，設公比為，，且，，成等差數列，所以，解得，所以；選②：因為數列是遞增的等比數列，，，所以，所以，，所以；（2）由（1）知：，且，所以.19．在四棱錐中，底面是邊長為6的菱形，，，.(1)證明：平面；(2)若，M為棱上一點，滿足，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接交于，連接，利用線面垂直的判定推理作答.（2）求出點到平面的距離，再利用等體積法求解作答.【詳解】（1）在四棱錐中，連接交于，連接，如圖，因為底面是菱形，則，又是的中點，，則，而平面，所以平面.（2）連接，由平面，平面，則，而，平面，因此平面，又是邊長為6的菱形，，則，面積，過作交于，而，且，則，顯然，于是，面積，令點到平面的距離為，又平面，由，即，得，解得，所以點到平面的距離為.20．如圖，已知分別為橢圓的左，右頂點，為橢圓M上異于點的動點，若，且面積的最大值為2．(1)求橢圓M的標準方程；(2)已知直線與橢圓M相切于點，且與直線和分別相交于兩點，記四邊形的對角線相交于點N．問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在兩個定點，使得為定值4.【分析】（1）根據題意列出關于的方程，即可求得答案；（2）設切線l方程為；并聯立橢圓方程，化簡可得根與系數的關系式，結合判別式等于0可得參數之間的關系，進而求出點坐標，求出直線的方程，聯立可求得點N的軌跡方程，即可得結論.【詳解】（1）由題意知，且面積的最大值為2．即，當P位于橢圓短軸端點處時，面積的最大，即，故橢圓M的標準方程為.（2）因為點在橢圓，所以，，設切線l方程為；，即，令，則，由，得，即，因為直線l與橢圓M相切，所以，所以，代入，得，即，因為，所以，所以，有，由于，所以，故切線l方程為：，即，令，可得，則直線為：，①令，得,則直線為：，②由①②相乘得：，即點N的軌跡方程為：，由橢圓定義知，存在點，使得為定值4.【點睛】難點點睛：本題第二問解答的思路并不困難，即通過設切線方程，聯立橢圓方程，結合根與系數的關系式化簡，求得坐標，利用交軌法求得動點軌跡方程，即可得到結論，解答的難點在于復雜的計算，計算量較大，且都是關于參數的運算，因此要十分細心.21．已知函數，其中為自然對數的底數.(1)當時，設，求函數的極值；(2)若函數在有零點，求證：.【答案】(1)極小值，無極大值(2)見解析【分析】（1）由導數求極值即可；（2）由題設有在有解，結合向量數量積性質得，應用構造函數并放縮證，再證即可證結論.【詳解】（1）.當；當.則函數在上單調遞減，在上單調遞增.即函數有極小值，無極大值.（2）由，則在有解，若，由知：，所以，即，下證在上恒成立，令，則，故在上遞增，所以，即；令，則，故在上遞增，所以，即；綜上，，即，故，即，下證，即在上恒成立，令，則，在上，遞減，在上，遞增，所以，即，故，得證.【點睛】關鍵點睛：第二問注意引用向量數量積的不等關系，得，再構造函數作放縮處理證明結論.22．數學中有許多美麗的曲線，如在平面直角坐標系xOy中，曲線，（）的形狀如心形（如圖），我們稱這類曲線為笛卡爾心形曲線．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當時．(1)求曲線E的極坐標方程；(2)已知P，Q為曲線E上異于O的兩點，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1