七年級數學下冊知識總復習（滬科版）第六章實數一、基礎知識（一）平方根與立方根1、平方根（1）定義：一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，也叫做二次方根。（2）表示：非負數a的平方根記作±，讀作“正負根號a”，（a叫做被開方數）（3）性質：正數的平方根有兩個，且互為相反數；0的平方根為0；負數的沒有平方根。（4）開平方：求平方根的運算叫做開平方。Ⅰ、平方根是開平方的結果；Ⅱ、開平方與平方互為逆運算。2、算術平方根（1）定義：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，0的算術平方根是0。（2）性質：（1）一個數a的算術平方根具有非負性；即：≥0恒成立。（2）正數的算術平方根只有1個，且為正數；0的算術平方根是0；負數的沒有算術平方根。立方根：（1）定義：一般地，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根，也叫做三次方根。（2）表示：a的立方根記作，讀作“三次根號a”（a叫做被開方數，3叫根指數）（3）性質：正數的立方根是1個正數；負數的立方根是1個負數；0的立方根是0。（二）實數1、無理數：無限不循環的小數。（一個無理數與若干有理數之間的運算結果還是無理數）2、實數：有理數和無理數統稱為實數。3、實數分類：（1）按定義分（略）（2）按正負性分（略）4、實數與數軸上的點一一對應。5、實數的相反數、絕對值、倒數：（與有理數的相反數、絕對值、倒數意義類似）6、實數的運算：實數與有理數一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數及零可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算，而且有理數的運算法則和運算律對于實數仍然適用。7、實數大小：（1）正數>0>負數；（2）兩個負數相比，絕對值大的反而小；絕對值小的反而大。（3）數軸上不同的點表示的數，右邊點表示的數總比左邊的點表示的數大。實數比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數法、估值法······基本技巧1、2、3、典型例題1、的平方根是；的算術平方根是；的立方根是。2、如果一個有理數的算術平方根與立方根相同，那么這個數是；如果一個有理數的平方根與立方根相同，那么這個數是。3、一個自然數的算術平方根是x，則與他相鄰的下一個自然數的算術平方根是。4、下列各數中一定為正數的是（填序號）①x②③④⑤5、當x<-1時，，-x,和的大小關系。6、比較下列各組數的大小7、的絕對值為，相反數為，倒數為。8、已知，y為4的平方根，，求x+y的值。9、已知，求x2+y的平方根。10、如果一個非負數的平方根為2a-1和a-5，則這個數是。11、a為的整數部分，b為的小數部分，則a+2b的值為。12、若，試求的值。（提示：找出題中的隱含條件）第七章一元一次不等式與不等式組基礎知識（一）不等式及其性質1、不等式：（1）定義用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等號表示大小關系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等關系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。不等式的解集與不等式的解的區別：解集是能使不等式成立的未知數的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數的值。二者的關系是：解集包括解,所有的解組成了解集。（4）解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式。

2、不等式的基本性質

性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變。

即：如果，那么.

性質2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個正數，不等號的方向不變。

即：如果，并且，那么；.

性質3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個負數，不等號的方向改變。

即：如果，并且，那么；.性質4：如果，那么.（對稱性）性質5：如果,,那么.（傳遞性）

（二）一元一次不等式

1、定義：含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等號兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：

根據是不等式的基本性質；一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數化為1.

解不等式應注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數，尤其不要漏乘常數項；②移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向要改變。

3.不等式的解集在數軸上表示：

（1）邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式組1、定義：有幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個不等式解集的公共部分，叫做這個（一元一次）不等式組的解集。3、解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4、一元一次不等式組的解法1）分別求出不等式組中各個不等式的解集2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況：不等式組解集口訣記憶同大取大同小取小大小小大中間找無解大大小小則無解（四）一元一次不等式（組）解決實際問題解題的步驟：⑴審題，找出不等關系→⑵設未知數→⑶列出不等式（組）→⑷求出不等式的解集→⑸找出符合題意的值→⑹作答。二、基本技巧有解無解問題：（1）（2）特征解問題：解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡記為)當作已知數，去解原式——→得到原式的解（含)——→根據解的特征列出式子（關于的式子)——→解出的值。例：已知的解集為，求的值。解：解不等式······把當作已知數，去解原式得······得到原式的解（含)則······根據解的特征列出式子解得······解出的值三、典型例題若關于的不等式有解，則的取值范圍是？若無解呢？已知關于，的方程組的解滿足，求的取值范圍。3、適當選擇a的取值范圍，使1.7＜x＜a的整數解：（1）x只有一個整數解；（2）x一個整數解也沒有。4、解不等式（組）（1）（2）（3）－5＜6－2x＜3（5）5、若m、n為有理數，解關于x的不等式(－m2－1)x＞n．6、已知關于x，y的方程組的解滿足x＞y，求p的取值范圍。7、已知關于的不等式組的整數解共有3個，求的取值范圍。8、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，試比較A與B的大小。9、已知a是自然數，關于x的不等式組的解集是x＞2，求a的值。10、某種商品進價為150元，出售時標價為225元，由于銷售情況不好，商品準備降價出售，但要保證利潤不低于10％，那么商店最多降價多少元出售商品?11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。（1）若此車間每天所獲利潤為y(元)，用x的代數式表示y。（2）若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件?12、某學校計劃組織385名師生租車旅游，現知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。（1）若學校單獨租用這兩種客車各需多少錢?（2）若學校同時租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨租用一種車輛節省租金，請選擇最節省的租車方案。第八章整式乘除與因式分解一、基本知識（一）冪的運算：1、同底數冪乘法：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。2、同底數冪除法：同底數冪相除，底數不變，指數相減。3、冪的乘方：冪的乘方，底數不變，指數相乘。4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。注：（1）任何一個不等于零的數的零指數冪都等于1；（2）任何一個不等于零的數的-p（p為正整數）指數冪，等于這個數的p指數冪的倒數。（3）科學記數法：或絕對值小于1的數可記成的形式，其中，n是正整數，n等于原數中第一個有效數字前面的零的個數（包括小數點前面的一個零）。（二）整式乘法：1、單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。2、單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加。3、多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加。（三）、完全平方公式與平法差公式1、完全平方公式：兩個數的和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和加（或減）這兩個數乘積的兩倍。2、平法差公式：兩個數的平方之差等于這兩個數的和與這兩個數的差之積。（四）、整式除法（1）單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。（2）多項式除以單項式的除法法則：單項式與多項式相除，先把多項式的每一項除以這個單項式再把所得的商相加。（五）、因式分解1、定義：把一個多項式化為幾個因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。2、分解因式的基本方法：（1）提公因式法（2）公式法：運用完全平方公式和平法差公式（3）對于二次三項式的因式分解的方法：1）配方法，2）十字相乘法：公式例：將因式分解。方法一：配方法：原式===方法二：十字相乘法：=（4）分組分解法3、分解因式的技巧：(1)因式分解時，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；(2）因式分解時，有時項數較多時，看看分組分解法是否更簡潔(3)變形技巧：①符號變形Ⅰ、Ⅱ、當n為奇數時，Ⅲ、當n為偶數時，②增項變形：例：③拆項變形：例典型例題1、計算題(1)（2)(3)(4)(5)(6)2、快速計算：（1）（2）（3）3、，，求的值。4、如果成立，那么,。5、在括號內填上指數和底數（1）（2）6、化簡求值：已知，求的值。7、已知，再求的值。8、已知，，求代數式的值：（1）（2）9、因式分解：1）2）3）10、比較的大小。11、不解不等式組，求的值。第九章分式基本知識分式及其性質1、分式（1）定義：一般的，如果a，b表示兩個整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式統稱為有理式。（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意義，則分母≠0）（4）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式。2、分式的性質分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變即：（a，b，m都是整式，且）分式的性質是分式化簡和運算的依據。3、約分：把一個式子的分子分母的公因式約去叫做約分。注：約分的結果應為最簡分式或整式。約分的方法：1）若分子、分母均為單項式：先找分子、分母系數的最大公約數，再找相同字母最低次冪；2）若分子、分母有多項式：先把多項式因式分解，再找分子、分母的公因式。（二）分式運算1、分式的乘除1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即：2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；即：3）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即：，2、分式的加減1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：2）異分母分式加減：先通分，變為同分母的分式相加減，即：（三）分式方程1、定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。2、解法：1）基本思路：分式方程整式方程2）轉化方法：方程兩邊都乘以各個分式最簡公分母，約去分母。3）一般步驟：分式方程整式方程解整式方程檢驗注：檢驗的是必不可缺的關鍵步驟，檢驗的目的是看是否有增根存在。（四）分式應用列分式方程解決實際問題的一般步驟：審題設未知數，找等量關系列方程檢驗（=1\*GB3①是否有增根，=2\*GB3②是否符合題意）得出答案二、分式解題中常用的數學思想和技巧1、已知，求的值。（整體思想、構造法）2、已知，求的值。（整體思想、構造法）3、已知，求的值。4、已知，，，求。（先得到的值，然后按第1題方法做）5、已知，求的值。（提示：）6、已知，求的值。（提示：參數法）7、已知，求的值。（倒數求值法）8、已知，求的值。（提示：由得）9、已知，，求的值。（提示：消元代入法，把其中一個未知數看成常數，用它表示其它的未知數）10、計算：1）（提示：用字母代替數）2）（提示：局部通分）3）(提示：假分式可先變形）三、典型例題1、如果分式的值為0，那么x的值是。2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。3、計算:=_______________。4、當分式的值相等時，x須滿足。5、把分式中的x，y都擴大2倍，則分式的值。（填擴大或縮小的倍數）6、下列分式中，最簡分式有個。7、分式方程的解是。8、若2x+y=0，則的值為。9、當為何值時，分式有意義？10、當為何值時，分式的值為零？11、已知分式:當x=時，分式沒有意義；當x=_______時，分式的值為0；當x=－2時，分式的值為_______。12、當a=____________時，關于x的方程=的解是x=1。13、一輛汽車往返于相距akm的甲、乙兩地，去時每小時行mkm，返回時每小時行nkm，則往返一次所用的時間是_____________。14、某班a名同學參加植樹活動，其中男生b名(b<a)．若只由男生完成，每人需植樹15棵；若只由女生完成，則每人需植樹棵。15、當時，分式的值與分式的值互為倒數。16、若方程有增根，則增根是。17、若，則的值是。18、已知，求的值。19、已知x+=3，則x2+=________。20、已知=3，則分式=。21、化簡求值．（1）（1+）÷（1－），其中x=－；（2），其中x=。22、解方程:（1）=2；（2）。23、已知方程，是否存在的值使得方程無解？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，請說明理由。24、若，且

，求、、的值。25、小亮在購物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市發現，同樣的餅干，這里要比購物中心每盒便宜0.5元．因此當他第二次買餅干時，便到一分利超市去買，如果用去14元，買的餅干盒數比第一次買的盒數多，問他第一次在購物中心買了幾盒餅干？第十章相交線、平行線與平移基本知識相交線1、對頂角：兩條直線相交，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的角叫對頂角。對頂角性質：對頂角相等垂直：（1）定義：兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，就說明兩條直線相互垂直。記作；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它們的交點叫做垂足；連接直線外一點與垂足形成的線段叫做垂線段。注：1）垂直是相交的一種特殊的情況；2）兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長線上。（2）性質：在同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直。3、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫做點到直線的距離。在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短。4、垂線的畫法：略平行線1、定義：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。記作AB∥CD。在同一平面內，兩條直線的關系不是相交就是平行，沒有其他。2、相關概念：同位角，內錯角，同旁內角。3、性質：基本性質：經過直線外一點，有且只有一條直線平行于這條直線。其他性質：=1\*GB3①兩直線平行，同位角相等；=2\*GB3②兩直線平行，內錯角相等；兩直線位置關系角的關系=3\*GB3③兩直線平行，同旁內角互補。4、平行判定：=1\*GB3①同位角相等，兩直線平行；=2\*GB3②內錯角相等，兩直線平行；角的關系兩直線位置關系=3\*GB3③同旁內角互補，兩直線平行。5、平行線的畫法：略平移1、定義：在平面內，一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這個圖形的變換叫做平移。2、性質：1）一個圖形和它經過平移后所得到的圖形中，兩組對應點連接的線段平行（或在同一直線上）且相等；2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。3、確定平移的要素：1）方向；2）距離。二、典型例題1、如圖所示，下列判斷正確的是()⑴⑵⑶⑷A、圖⑴中∠1和∠2是一組對頂角B、圖⑵中∠1和∠2是一組對頂角C、圖⑶中∠1和∠2是一對鄰補角D、圖⑷中∠1和∠2互為鄰補角2、下列說法中正確的是（）A、有且只有一條直線垂直于已知直線；B、直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；C、互相垂直的兩條直線一定相交；D、直線外一點A與直線上各點連接而成的所有線段中，最短線段的長是3cm，則點A到直線的距離是3cm。3、如圖，下列說法錯誤的是（）A.∠A與∠C是同旁內角B.∠1與∠3是同位角C.∠2與∠3是內錯