高考數(shù)學培優(yōu)專題14：概率統(tǒng)計一、真題特點分析：1?已知a,a，…,a為1,2,…,n的排列，若i<j且a<a,則(a,a)為順序對，設X為TOC\o"1-5"\h\z12nijija,a，…,a的順序對的個數(shù)，則E(x)=?12n2?拋擲一個均勻的骰子(各面1—6)次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為X，則E(X)=?二、知識要點拓展一?隨機事件的概率隨機事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，隨機事件一般用大寫英文字母A、B等來表示;確定事件必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件；必然事件和不可能事件合起來稱為確定事件。3?事件a的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件a發(fā)生的頻率m總接近于某個常數(shù)，在n它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，作P(A)?由定義可知0WP(A)W1,顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。等可能性事件的概率：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成。如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是丄。如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率P(A)=m。nn說明：使用公式P(A)=m計算時，確定m、n的數(shù)值是關鍵所在，其計算方法靈活多變，n沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,必須做到不重復不遺漏。二?互斥事件的概率相關概念(1)互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件；(2)對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件。對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：(1)互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；(2)所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；兩個事件互斥是從試驗的結果不能同時出現(xiàn)來確定的。從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集是空集。對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作A，從集合的角度來看，事件A所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成集合的補集，即AUa=U，Ana=?對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。2.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構成的，因此當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)，且有P(A+A)=P(A)+P(A)=1。當計算事件A的概率P(A)比較困難時，有時計算它的對立事件A的概率則要容易些，為此有P(A)=1—P(A)。對于n個互斥事件A,A,…，A,其加法公式為P(A+A+???+A)=P(A)+P(A)+…12n12n12+P(A)。n說明：分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想。三．獨立事件的概率相關概念相互獨立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫相互獨立事件。獨立重復實驗：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為P(k)=Ckpk(1—p)n—k。nn關于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：相互獨立也是研究兩個事件的關系；所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的。注意互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生。3?事件A與B的積記作A?B,A?B表示A與B同時發(fā)生。當A和B是相互獨立事件時，事件A?B滿足乘法公式P(A?B)=P(A)?P(B)，還要弄清A?B，A^B的區(qū)別。A?B表示事件A與B同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即a+b，因此有A?B工A7B，但A?B=A+B。8?離散型隨機變量的分布列：一般地，設離散型隨機變量g可能取的值為x,x…x…，g取12i每一個值X(i=1,2,…)的概率P(g=x)=p，則稱下表為隨機變量g的概率分布，簡稱為giii的分布列。gx1x2xiPp1p2pi9?數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量g的;概率分布為gx1x2xnPp1p2pn則稱Eg二xp+xp+???+xp+…為g的數(shù)學期望(平均數(shù)，均值)，簡稱為期望。它反映1122nn了離散型隨機變量取值的平均水平。若g?B(n,p)(二項分布)，則Eg=np。二項分布：定義：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：P(g=k)=Ckpkqn-k(其中k=0,1,…,n,q=1-p)n于是得到隨機變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量g服從二項分布，記作g?B(n-p)，其中n,p為參數(shù)，并記Ckpkqn-k=B(k;n-p).n二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗?關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有

兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.4?幾何分布：“g=k”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為A7，事A不發(fā)生記為A，那么P(g=k)=P(A?A????AA)?根據(jù)相互獨立kk12k-1k事件的概率乘法分式：P(g=k)=P(A)P(A)???P(A)P(A)=qk-1p(k=1,2,3,…)于是得到隨機12k-1k變量g的概率分布列.g123???k???Pqqpq2p???qk-1p???我們稱g服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-1p，其中q=1-p,k=1,2,3,…幾何概型(1)定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．(2)在幾何概型中，事件A的概率的計算公式為：P(A)=構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

P(A)=古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個．幾何概型的兩個特征：①試驗結果有無限多；②每個結果的出現(xiàn)是等可能的．事件A可以理解為區(qū)域。的某一子區(qū)域，事件A的概率只與區(qū)域A的度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關.解決幾何概型的求概率問題關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率．三、典例精講例】?某種細胞如果不能分裂則死亡’并且一個細胞死亡和分裂為兩個細胞的概率都為芥)。現(xiàn)有兩個這樣的細胞，則兩次分裂后還有細胞存活的概率是()。39(A)3939(A)396429(D)2964(C)3164例2．隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是()。

?3^?3^(D)T00例3．體育彩票的抽獎是從寫在36個球上的36個號碼隨機搖出7個．有人統(tǒng)計了過去中特等獎的號碼，聲稱某一號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個幸運號碼，人們應該買這一號碼，也有人說，若一個號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個號碼出現(xiàn)的機會相等，應該買這一號碼，你認為他們的說法對嗎？例4．在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構成一個銳角三角形的概率是()(A)-(C)(A)-(C)-(D)-例5?系統(tǒng)內有2k-1個元件，每個元件正常工作的概率為p,0<p<1，若有超過一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率P，并討論P的單調性。kk例6.投擲一枚硬幣(正反等可能)，設投擲n次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為P,n求P,P,P,P；1234寫出P的遞推公式，并指出單調性；n(3)limP是否存在？有何統(tǒng)計意義。n例7?一袋中有a個白球和b個黑球。從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中。在重復n次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為x。n求x的數(shù)學期望Ex；11設P(x=a+k)=p，求P(x=a+k),k=0,l,???b；nkn+13)證明：x3)證明：x的數(shù)學期望Ex=(1n+1n+1Ex+1。n例8.已知基因型為AA、Aa、aa的比例為u:2v:w，且u+2v+w=1。求子一代AA、Aa、aa的比例；子二代與子一代比例是否相同？四、真題訓練一批襯衣中有一等品和二等品，其中二等品率為0.1.將這批襯衣逐漸檢測后放回，在連續(xù)三次檢測中，至少有一件是二等品的概率為()。(A)0.271(B)0.243(C)0.1(D)0.081

設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1:3.已知從甲袋中摸到紅球的概率為1，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后’從中摸到紅球的2概率為3。則從乙袋中摸到紅球的概率為（）(A)7（C）13(A)7（C）133022(D)2245復旦大學外語系某年級舉行一次英語口語演講比賽，共有十人參賽，其中一班有三位，二班有兩位，其他班有五位。若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的三位同學恰好（D）（D）（B）A)i20(B)1A)i20(B)1(C)17(D)—104.（武大）一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：組距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)234542則樣本在（10,50]上的頻率為（）。5.某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分到同一車間的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z（A）12（B）6（C）18（D）235353535甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲：平均能贏兩盤，某日，甲、乙進行五打三制勝賽，那么甲勝出的概率為。從1-100這100個自然數(shù)中取2個數(shù)，它們的和小于等于50的概率是。8.6名考生坐在兩側各有通道的同一排座位上應考，考生打完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。9.從0,1,2，。。。9這10個數(shù)碼中隨機抽出5個，排列成一行，則恰好構成可以被25整除的五位數(shù)的概率是（用分數(shù)給出答案）。10?設A,B是隨機事件，且P(A)=P(B)=1,P(AUB)=1。則P(AUB)=842甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲。

問：(1)任意一局甲勝的概率；(2)第n局甲勝的概率。從一個裝有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球放入一個箱子中。求箱子中兩球都是紅球的概率；記“從箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有兩次取到紅球的概率。C:y二ax+b,(a,be{1,2,3,4,5}),C:x2+y2二2,求：(1)C,C有交點的概率P(A)；(2)1212求交點個數(shù)的數(shù)學期望E(A)。五、強化訓練A組1、6名考生坐在兩側各有通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交TOC\o"1-5"\h\z卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。2、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種商品，甲廠生產(chǎn)的此商品占市場上的80%，乙廠生產(chǎn)的占20%；甲廠商品的合格率為95%，乙廠商品的合格率為90%，若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為。3、已知正方體各個面的中心，甲乙分別相互獨立地從這6個點中取出3個，則構成兩個三角形全等的概率是。4、某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分配到同一個車間的概率為()5、設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1：3。已知從甲袋中摸到紅球的概率為3，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從中摸到紅球的概率為|。則從乙袋中摸到紅球的概率為()A)19⑻4513(C)A)19⑻4513(C)302211(C)II6、隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是(1(D)1007、在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構成一個銳角三角形的概率是()1(A)1(C)4(D)58、從一個裝有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球放入一個箱子中，求箱子中兩球都是紅球的概率；記“從箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有兩次取到紅球的概率。3）3）1、已知某音響設備由五個部件組成，A電視機、B影碟機、C線路、D左聲道和E右聲道，其中每個部件工作的概率如下圖所示。能聽到聲音，當且僅當A與B中有一工作，C工作，D與E中有一工作；且若D和E同時工作則有立體聲效果。求：（1）求：（1）能聽到立體聲效果的概率；（2）聽不到聲音的概率。2、甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲。問：（1）第一